2012年中考数学复习精品课件：第14讲_二次函数
【解析】连结EC，作DF⊥EC，垂足为F. ∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°， ∴∠DCB=∠CDE=∠DEA =120°.
【解析】(1)由题意，可设所求抛物线对应的函数解析式为
∴所求函数解析式为：
(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)． 当x=5时，y= 2 ×52- 10 ×5+4=4，
3 3 当x=2时，y= 2 ×22- 10 ×2+4=0， 3 3
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为
3 600元．
12．(12分)(2010·眉山中考)如图，Rt△ABO的两直角边OA、
OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y= 2 x2+bx+c经
5 过B点，且顶点在直线x= 上． 2 3
M，当点P、M关于点B成中心对称时，
求C3的解析式；
(3)如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转
180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、 F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是 直角三角形时，求点Q的坐标．
【解析】(1)由抛物线C1：y=a(x+2)2－5得顶点P的坐标为 (-2，-5)， ∵点B(1，0)在抛物线C1上， 5 ∴0=a(1+2)2－5，解得，a＝ . 9 (2)如图(1)连结PM，作PH⊥x轴于H， 作MG⊥x轴于G， ∵点P、M关于点B成中心对称， ∴PM过点B，且PB＝MB， ∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5， BG＝BH＝3， ∴顶点M的坐标为(4，5). 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到， 5 ∴抛物线C3的解析式为y=－ (x－4)2+5.
9
(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到， ∴顶点N、P关于点Q成中心对称， 由(2)得点N的纵坐标为5. 设点N坐标为(m，5), 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G, 作PK⊥NG于K.
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF＝AB＝2BH＝6， ∴FG＝3， 点F坐标为(m+3，0)， H坐标为(-2，0)， K坐标为(m，-5)， 根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，
(1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作
MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为
l．求l与t之间的函数解析式，并求l取最大值时，点M的坐 标．
地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物
线状，身高1米的小明距较近的那棵树
0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距
离为_____米. 【解析】建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式，再根 据解析式求Байду номын сангаас最值. 答案：1
2
三、解答题(共46分)
10．(10分)用长为12 m的篱笆，一边利用
定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每 月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
解析：(1)由题意，得：w=(x-20)·y =(x-20)·(-10x+500) =-10x2+700x-10 000- b =35.
∵DE=CD,∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEA=∠ECB=90°， ∴四边形EABC为矩形，又∵DE=x，
∴AE=6-x，DF= 1 x，EC= 3x，
2
11.(12分)(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创 业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护 眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元 )之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500． (1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时， 每月可获得最大利润？ (2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应
方法二：∵a=-10＜0, ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，w≥2 000. ∵x≤32,
∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500,k=-10＜0, ∴y随x的增大而减小.
∴当x=32时，y最小=180.
∵当进价一定时，销售量越小，成本越小， ∴20×180=3 600(元).
2 综上所得，当Q点坐标为( 19 ，0)或( ，0)时，以点P、N、F 3 3 3 3
为顶点的三角形是直角三角形．
个交点A在点(-2，0)和(-1，0)之间(包
括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边 界和内部)的一个动点，则 (1)abc______0(填“＞”或“＜”)； (2)a的取值范围是_____. 【解析】(1)根据图象判断a,b,c的符号知abc<0; (2)根据顶点C的变化范围，求得 答案：(1)＜ (2)
一、选择题(每小题6分，共30分) 1.(2010·毕节中考)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐 标系内的图象大致是( )
【解析】选C.
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得
抛物线的函数解析式为(
2a
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
(2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000 解这个方程得：x1=30，x2=40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元
或40元.
(3)方法一：∵a=-10＜0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，w≥2 000． ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P(元)，由题意，得： P=20×(-10x+500) =-200x+10 000 ∵k=-200＜0， ∴P随x的增大而减小. ∴当x=32时，P最小＝3 600. 答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为 3 600元．
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的 最大值为_____. 【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法 可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4. 即：x+y的最大值为4. 答案：4
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父亲在 相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小 明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距
5.(2010·台州中考)如图，点A，B的坐标 分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线y=a(x-m)2 +n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、 D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值 为-3，则点D的横坐标最大值为( (A)-3 (B)1 (C)5 ) (D)8
【解析】选D.顶点在A处时点C的横坐标最小，此时D的横坐标 是5，当顶点在B处时，点D的横坐标最大.
(A)y=x2+1 (C)y=x2-1
)
(B)y=(x+1) 2 (D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量， “左加右减”，故选D.
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则
函数值y＜0时x的取值范围是(
(A)x＜-1 (C)-1＜x＜2 (B)x＞2
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，
NF2＝52+32＝34.
①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，
19 解得m＝ 44 ，∴Q点坐标为( ，0); 3 3
②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，
解得m＝ 10 ，∴Q点坐标为( 2 ，0);
③∵PN＞NK＝10＞NF， ∴∠NPF≠90°.
)
(D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
4.(2010·遵义中考)如图，两条抛物线y1=的阴影部分的面积为( )
-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成
1 2 1 x +1、y2=- x2 2 2
(A)8
(B)6
(C)10
(D)4
【解析】选A.由图知y2可由y1向下平移2个单位得到，故阴影 部分的面积为2×4=8.
二、填空题(每小题6分，共24分) 6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图 所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一 个解x2=_____.
【解析】根据二次函数图象的对称性可得. 答案：-1
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一
∴点C和点D在所求抛物线上．
(3)设直线CD对应的函数解析式为y=kx+b，
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t．
13．(12分)如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2－5的顶点为P，
珍藏2012年中考数学复习专题——二次函数知识点归纳
中考复习专题——二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：oo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．2总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。
总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：总结：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．初中 数学二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
2012版中考数学精品课件(含10 11真题)第14讲二次函数(82张)
)
(A)将抛物线C向右平移 5 个单位 (B)将抛物线C向右平移3个单位
(C)将抛物线C向右平移5个单位
(D)将抛物线C向右平移6个单位
2012版中考数学复习指导
【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直 线 x 3 ,它到直线x=1的距离是 5 ，因此，抛物线C与抛物
2 2
线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.
(B)y=-2x2+12x-16
(C)y=-2x2+12x-19
(D)y=-2x2+12x-20
2012版中考数学复习指导
【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点 (3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2= -2x2+12x-20,故选D.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
2012版中考数学复习指导
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
2012版中考数学复习指导
【自主解答】(1)由题意，得w= (x-20)·y =(x-20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000
x b 35.
2a
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润. (2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000 解这个方程得x1=30，x2 =40. 答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元 或40元.
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
2012年中考数学复习 第三章函数及其图象 第14课 二次函数及其图象课件
解析：根据图象可知： ①a＜0，c＞0，∴ac＜0，正确；
1 ②∵顶点坐标横坐标等于 ，∴－ b ＝ 1 ，∴a＋b＝0正确； 2
2a 2 4ac－b 4a
2
③∵顶点坐标纵坐标为1，∴
＝1，∴4ac－b2＝4a，正确；
④当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，错误．
正确的有3个．故选C.
题型分类 深度剖析
x2－11x＋10＝0，解之得x1＝1，x2＝10.
∴当x＝1时，50＋x＝51；当x＝10时，50＋x＝60. ∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润
不低于2200元. (或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的
.
抛物线的对称轴是直线x＝ －2a ，抛物线的顶点
是
2 4ac－b b － ， 2a 4a
.
4．图象的平移：
[难点正本 疑点清形式的转化
根据定义可知，二次函数需满足两个条件：①a≠0，②x的最高 次数为2.一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)， 则解析式可以写成交点式y＝a(x－x1) (x－x2 ) .
c＝1, a＋b＋c＝3, 9a＋3b＋c＝2. ∴y＝－
5 6
c＝1.
[6分]
x2＋17 x＋1.
6
(3)①当点A运动到点 F 时，t＝1， 当0<t≤1时，如图1， ∵∠OFA＝∠GFB′， tan∠OFA＝ OA＝ 1 ，
OF
∴tan∠GFB′＝ ∴GB′＝ S△FB′G＝
2012中考数学专题复习课件之(十六)二次函数
05
二次函数的综合题
与其他知识的综合
与方程和不等式的综合
二次函数与方程和不等式经常结合在一起考 察，例如求二次方程的根，或比较二次函数 在不同区间的函数值大小。
与几何知识的综合
二次函数与几何知识结合，例如求三角形面 积的最值，或判断抛物线的位置关系。
压轴题解析
要点一
压轴题的特点
压轴题通常难度较大，涉及多个知识点，需要考生具备较 高的思维能力和解题技巧。
THANKS
感谢观看
二次函数是只含有一个未知数， 且该未知数的最高次数为2的函数 。其一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线，其开 口方向由系数$a$决定。当$a > 0$时 ，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛 物线开口向下。
2012中考数学专题复习课 件之(十六)二次函数
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的综合题
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
详细描述
总结词
将二次函数与实际生活问题相结合，解决生活中的问 题。
详细描述
二次函数在实际生活中有着广泛的应用。例如，在物 理学中，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来描述； 在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与 数量之间的关系。此外，二次函数还可以用来解决最 优化问题，如怎样投资才能在风险最小的情况下获得 最大的收益等。解决这类问题需要将实际问题转化为 数学模型，然后利用二次函数的性质和图象来求解。
2012年中考数学一轮复习精品讲义 二次函数
第二十六章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c83A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1³(－1)2＋b ³(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2ba-＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2ba-＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=134-与x＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y2＜y1＜y3．故选B．【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=134-的函数值转化为x＝－34的函数值．例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－32(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21分析y＝x2－3x＋5变形为y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋5－94，即y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝2332x⎛⎫-+⎪⎝⎭＋114＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2ba -和244acb a-的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2ba -时，y 有最小值为244acb a-；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2ba -时，y 有最大值为244acb a-．例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a²3²(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题 专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2ba-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3．(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－15x ＋1，当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－25x ＋2． (3)由题意可知M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A ′M ′＝152． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为152． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4³1³1＝0，可得抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2ba-＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)³10³250－10³200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09²泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF =OA cos 60°=1，AF =OF tan 60°∴点A (1．代入直线解析式，得1＋mm， ∴y=x. 当y =0时，=0， 解得x ＝4，∴点E (4，0)．(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵抛物线过原点，∴c ＝0，∴1640,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝x 2x . 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．(1)求点B 的坐标；(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，OF ＝1． ∵OA ⊥OB ，∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°． 又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴BE OE OBOF AF OA==＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B (4，2)．(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．则2,1642,0.a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y ＝12x 2－32x . 例21如图26－96所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点， ∴01,200,b c c =++⎧⎨=++⎩解得3,2,b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋2．(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2， 可得旋转后C 点的坐标为(3，1)．当x ＝3时，由y =x 2－3x ＋2得y ＝2，可知抛物线y ＝x 2－3x ＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y =ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，∴40,4 4.a b a a --=⎧⎨-=⎩解得1,3.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4．(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)． 由(1)得B 点的坐标为(4，0)， ∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．2011中考真题精选点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、﹣2B、2C、15D、﹣15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
2024年中考数学复习课件-第14讲 二次函数的应用
图3
离为 7 m .
要点梳理
典题精析
备考练习
13
第14讲 二次函数的应用
（1）求 关于 的函数解析式.
小锦囊 (1)由题意知，抛物线过点 0，10 和点 3，7 ，
对称轴为直线＝1,因此利用待定系数法可求解.
解:由题意可知,抛物线过点 0,10 和点 3,7 ,对称轴
为直线 = 1 .
= 10,
图3
设 关于 的函数解析式为 = 2 + + ,所以 ൞9 + 3 + = 7,
−
2
= 1.
= −1,
解得 ቐ = 2, 所以 关于 的函数解析式为 = − 2 + 2 + 10 .
= 10.
要点梳理
数解析式，然后运用二次函数的基本性质解决相关的问题.
要点梳理
典题精析
备考练习
5
第14讲 二次函数的应用
例1 （2021·广西北部湾经济区 改编）2022年
在北京举办的冬奥会激起了人们对冰雪运动的
极大热情.图1是某跳台滑雪训练场的横切面示
意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终
图1
点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐
的函数解析式是 =
1
−
5
−
3 2
2
7
+ .
2
图2
下列说法正确的是____（填序号）.
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m ；
②篮球出手点距离地面的高度为 2.25 m .
要点梳理
典题精析
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
(备战中考)2012年中考数学深度复习讲义：二次函数(第一部份)
m2 1 m2 1 2 2 ． 由于 b －4ac=（－m）－4³1³ =－m －2<0， 2 2
2
所以此函数的图像与 x 轴没有交点． 对于关于 x 的二次函数 y=x －mx－
m2 2 ． 2
由于 b －4ac=（－m） －4³1³
2
2
m2 2 2 =3m +4>0， 所以此函数的图像与 x 轴有两个不同的交点． 2
2 2 2 2 2
2
2
4
2011 年中考真题
一、选择题 1. （2011 山东滨州， 7， 3 分） 抛物线 y x 2 3 可以由抛物线 y x2 平移得到,则下列平移过程正确的是( )
2
A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位
2 2 2 2 2 2
b 4ac b 2 2 ， ） ．对于 y=a（x－h） +k 而言其顶点坐标为（h，k） ，• 2a 4a
由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
b 4ac b 2 ④二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=－ ，最值为 ， （k>0 时为最小值，k<0 时为最大值） ．由此 2a 4a
b 4ac b 2 随 x 的增大而增大， 在对称轴 x=－ 的右侧， y 随 x 的增大而增大， 此时 y 有最大值为 y= ， 顶点 （－， 2a 4a
4ac b 2 ）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近 y 轴，│a│越 4a
小，开口越大，•图像两边越靠近 x 轴；a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当 b=0 时，对称轴 x=0，即对称
2012年中考数学考点专题备考复习课件21
y = a( x – h )2 + k
上 下 平 移
y = a(x – h )2
上下平移
y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。
第4页，共28页。
３、二次函数的y= ax2+bx+c的性质：
二次函数 y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
A
B
D C
第11页，共28页。
练习：
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
① abc>0 ；② b2-4ac<0；③ b+2a<0；④ a+b+c>0. 其中所
有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④
A
D. ①②③
a<0，b>0，c>0
第12页，共28页。
第15页，共28页。
交点式： 解：因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为（2，
0）（-6，0），可设该函数的解析式为： y=a(x+6)(x-2),把点（0，3）代入得：
3= -12a
解得：a= 1 4
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
第16页，共28页。
练习：
6.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此函 数解析式。
(0,0)
y = ax2 + k
a＞0向上 a＜0向下
y轴 ( 0 , k )
y = a(x – h )2
a＞0向上 直线x=h ( h , 0 )