圆柱齿轮跨齿数计算公式的推导
齿轮各参数计算公式
模数齿轮计算公式:名称代号计算公式模数m m=p/π=d/z=da/(z+2) （d为分度圆直径，z为齿数）齿距p p=πm=πd/z齿数z z=d/m=πd/p分度圆直径d d=mz=da-2m齿顶圆直径da da=m(z+2)=d+2m=p(z+2)/π齿根圆直径df df=d-2.5m=m(z-2.5)=da-2h=da-4.5m齿顶高ha ha=m=p/π齿根高hf hf=1.25m齿高h h=2.25m齿厚s s=p/2=πm/2中心距a a=(z1+z2)m/2=(d1+d2)/2跨测齿数k k=z/9+0.5公法线长度w w=m[2.9521(k-0.5)+0.014z]13-1 什么是分度圆?标准齿轮的分度圆在什么位置上？13-2 一渐开线，其基圆半径r b＝40 mm，试求此渐开线压力角?＝20°处的半径r和曲率半径ρ的大小。
13-3 有一个标准渐开线直齿圆柱齿轮，测量其齿顶圆直径d a＝106.40 mm，齿数z=25，问是哪一种齿制的齿轮，基本参数是多少?13-4 两个标准直齿圆柱齿轮，已测得齿数z l＝22、z2＝98，小齿轮齿顶圆直径d al ＝240 mm，大齿轮全齿高h＝22.5 mm，试判断这两个齿轮能否正确啮合传动?13-5 有一对正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮，它们的齿数为z1＝19、z2＝81，模数m＝5 mm，压力角?＝20°。
若将其安装成a′＝250 mm的齿轮传动，问能否实现无侧隙啮合？为什么？此时的顶隙（径向间隙）C是多少?13-6 已知C6150车床主轴箱内一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，其齿数z1＝21、z2＝66，模数m＝3.5 mm，压力角?＝20°，正常齿。
试确定这对齿轮的传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、全齿高、中心距、分度圆齿厚和分度圆齿槽宽。
13-7 已知一标准渐开线直齿圆柱齿轮，其齿顶圆直径d al＝77.5 mm，齿数z1＝29。
齿轮各参数计算公式
模数齿轮计算公式:名称代号计算公式模数m m=p/π=d/z=da/(z+2) （d为分度圆直径，z为齿数）齿距p p=πm=πd/z齿数z z=d/m=πd/p分度圆直径 d d=mz=da-2m齿顶圆直径da da=m(z+2)=d+2m=p(z+2)/π齿根圆直径df df=d-2.5m=m(z-2.5)=da-2h=da-4.5m齿顶高ha ha=m=p/π齿根高hf hf=1.25m齿高h h=2.25m齿厚s s=p/2=πm/2中心距 a a=(z1+z2)m/2=(d1+d2)/2跨测齿数k k=z/9+0.5公法线长度w w=m[2.9521(k-0.5)+0.014z]13-1 什么是分度圆?标准齿轮的分度圆在什么位置上？13-2 一渐开线，其基圆半径r b＝40 mm，试求此渐开线压力角＝20°处的半径r和曲率半径ρ的大小。
13-3 有一个标准渐开线直齿圆柱齿轮，测量其齿顶圆直径d a＝106.40 mm，齿数z=25，问是哪一种齿制的齿轮，基本参数是多少?13-4 两个标准直齿圆柱齿轮，已测得齿数z l＝22、z2＝98，小齿轮齿顶圆直径d al＝240 mm，大齿轮全齿高h＝22.5 mm，试判断这两个齿轮能否正确啮合传动?13-5 有一对正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮，它们的齿数为z1＝19、z2＝81，模数m＝5 mm，压力角＝20°。
若将其安装成a′＝250 mm的齿轮传动，问能否实现无侧隙啮合？为什么？此时的顶隙（径向间隙）C 是多少?13-6 已知C6150车床主轴箱内一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，其齿数z1＝21、z2＝66，模数m＝3.5 mm，压力角＝20°，正常齿。
试确定这对齿轮的传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、全齿高、中心距、分度圆齿厚和分度圆齿槽宽。
13-7 已知一标准渐开线直齿圆柱齿轮，其齿顶圆直径d al＝77.5 mm，齿数z1＝29。
跨齿距计算表
跨齿距 需取整数 K 取整后的 k 值 压力角
W=mcosα [π (k-0.5)+zinvα ]+2χ msinα k=z/180°arccos(zcosα /(z+2χ ))+0.5 k∈Z α cosα sinα m invα χ z 22.5 0.92387953 0.38268343
压力角
模数 渐开线函数 变位系数 齿数 系数 斜齿 斜齿导程角 斜齿 跨齿距 需取整 取整后的 k 值
α 20 cosα 0.93969262 sinα 0.34202014 m invα 0.014 0.0149044 tanα -α χ z (齿轮手册第二版第２篇渐开线圆柱齿轮传动 表2.2-20) z' β zv W=mcosα [π (k-0.5)+z'invα ]+2χ msinα k=zv/180°arccos(zvcosα /(zv+2χ ))+0.5 k∈Z
0.4 0 15
0.5 0 17
第二篇渐开线圆柱齿轮传动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2-34页)
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.28 0 0.2 0 0 10 22 11 13 32 2.64139 1.012785 1.34775 1.187445 1.016894 26.4139 22.28127 14.82525 15.43679 32.54061 45 5.3839 25.771 19.75 6.206 28.28427 22.29376 15.06209 15.59304 32.56925 3.26818 2.307717 1.909056 1.857759 4.315284 4.092287 2.977084 2.486507 2.23256 4.118806 4 3 2 2 4 示例
齿轮参数测定方法的研究及应用
齿轮参数测定方法的研究及应用【摘要】齿轮损坏是机械传动装置中容易出现的问题，利用渐开线直齿圆柱齿轮参数测定技术，解决设备维修中齿轮损坏的实际问题，说明继承成熟技术本身也是一种创新。
【关键词】齿数；模数；压力角；齿顶高系数；变位系数；顶隙系数芜湖某重型机床有限公司，对该公司的沈阳某机床厂生产的机床进行大修，在变速调试过程中，由于操作不慎，导致该机床传动系统中的一个齿轮轮齿折断。
为了更换已损齿轮，就要求机修车间加工一个参数与已损齿轮一致的新齿轮。
加工新齿轮，必须知道该齿轮的参数。
该公司由于改制、搬迁等原因，导致部分设备说明书丢失，该机床的说明书也无法找到。
根据渐开线直齿圆柱齿轮啮合条件：两轮的模数和压力角必须分别相等，只要测出与已损齿轮相啮合的齿轮的参数，就能获得已损齿轮的参数。
渐开线直齿圆柱齿轮基本参数有：齿数z、模数m、压力角a、齿顶高系数h*、顶隙系数c*。
已损齿轮齿数为80，与其啮合的齿轮齿数为20。
严格按照齿轮参数测定的方法，测定与已损齿轮相啮合齿轮的参数，具体步骤如下：1 数出齿数z数出齿数为z=202 求压力角a和模数m图1确定压力角和模数，需先测出公法线长度。
如图1所示，被测齿轮的基圆齿距P等于跨K+1个齿的公法线长度减去跨K个齿的公法线长度，即P=W-W（1-1）式（1-1）中的跨齿数K值由公式k=z+0.5计算，圆整以后所得。
根据渐开线标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算公式可知，基圆齿距P等于π乘以模数m，再乘以压力角a的余弦函数，即P=πmcosα（1-2）由式（1-1）、（1-2）可推导出：m=（1-3）国家标准规定，渐开线直齿圆柱齿轮分度圆压力角只有两种情况：a=20°或a=15°。
压力角的两种情况，代入式（1-3）分别计算出相对应的模数，具体步骤如下：1）设a=20°，垮齿数k=z+0.5=×20+0.5≈2.72mm，圆整得跨齿数k=3，要求测出跨k个齿的公法线长度，即测出齿轮跨3个齿的公法线长度。
圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算
就是那些精确的公式，它们在角度变化中也是有丌足之处的。
而且至今在手册上似乎还未见到有斜齿精确的跨齿数计算公式。
有人说“手册上的 k=z′αn /180°+0.5 丌就是标准斜齿轮跨齿数精 确的计算公式吗？”丌，它算出的也是近似值（文章后面迚行验 证）。
笔者已退休多年，精力尚可，因而对此迚行了研究、探讨，亍是 给出一个高度、角度变化都是情况良好的公式。
k z'n /180o 0.5
丌是斜齿的精确计算公式，那么情况是否这样呢？下面用一个算 例迚行验证。 算例：一标准斜齿轮，mn=4mm，z=32，αn=20°，β=22°59′38″， 今用两个公式计算跨齿数值，看看哪个公式是精确的。 （1）用手册上的公式计算
k z'n /180o 0.5
z' z invt inv n
众所周知，高度变位齿轮的正变位系数一般 |x|＜1，而角度变位 齿轮的正变位系数可以大到 x=2.99（手册上的数据）。
x 越大， W′k 越大； W′k 大，跨齿数就会增多，公法线的测量点 就向齿顶靠近。
角度变位齿轮的齿顶圆本来就减小了，测量点已向齿顶靠近了， 但由亍变位系数大，使跨齿数增多；跨齿数增多，测量点就会上 移，这丌是雪上加霜吗？因此角度变位齿轮就丌能再以“d+2xm 圆”作为测量点所在圆了。
中算出 dk，这时看看 dk 是否等亍分度圆（标准齿轮）、 “d+2xm圆”（高度变位齿轮）、“d+1.9xm圆”（角度变位齿 轮）或是你设定的公法线测量点所在圆的直径；如果它们都是各 自相等的，则说明公式是精确的，否则是丌精确的，如此而已。
但是，k 值虽然精确，丌等亍说公式就是合理的。
如果你设定的“公法线测量点所在圆”是丌合理的话，公式的 k 值多么精确也无济亍事。
齿轮各参数计算公式知识讲解
齿轮各参数计算公式13-1什么是分度圆？标准齿轮的分度圆在什么位置上？ 13-2 一渐开线，其基圆半径r b = 40 mm ,试求此渐开线压力角 =20。
处的半径r 和曲率半径p的大小。
13-3有一个标准渐开线直齿圆柱齿轮，测量其齿顶圆直径 da = 106.40 mm ,齿数z=25,问是哪一种齿制的齿轮，基本参数是多少？13-4两个标准直齿圆柱齿轮，已测得齿数 z i = 22、z 2 = 98,小齿轮齿顶圆直径d ai = 240 mm ,大 齿轮全齿高h = 22.5 mm ,试判断这两个齿轮能否正确啮合传动 ？名称 代号 计算公式 模数 m m=p/n =d/z=da/(z+2)(d 为分度圆直径齿距 P p= n m=t d/z 齿数 z z=d/m=n d/p 分度圆直径 d d=mz=da-2m齿顶圆直径 da da=m(z+2)=d+2m=p(z+2)/ n 齿根圆直径 df df=d-2.5m=m(z-2.5)=da-2h=da-4.5m齿顶咼 ha ha=m=p/n 齿根高 hf hf=1.25m齿高 h h=2.25m 齿厚 s s=p/2= n m/2中心距 a a=(z1+z2)m/2=(d1+d2)/2跨测齿数 k k=z/9+0.5公法线长度ww=m[2.9521(k-0.5)+0.014z]模数齿轮计算公式 ,z 为齿数）13-5有一对正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮，它们的齿数为z i = 19、Z2 = 81,模数m= 5 mm,压力角=20°若将其安装成a' = 250 mm的齿轮传动，问能否实现无侧隙啮合？为什么？此时的顶隙（径向间隙）C是多少？13-6已知C6150车床主轴箱内一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，其齿数Z1 = 21、Z2 = 66,模数m =3.5 mm,压力角 =20°正常齿。
试确定这对齿轮的传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、全齿高、中心距、分度圆齿厚和分度圆齿槽宽。
变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择
变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“πααxctg z k 25.01800++=”和“公法线长度 )(**kn k W W 表”进行选择。
其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。
本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。
关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。
目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。
用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： απαctg x z k 25.01800++= （直齿） （1） n n n ctg x z k απα25.01800++'= （斜齿） （1） 用查表法手册大都给出的是“020 1====n n m m αα、的标准齿轮的公法线长度表 )(**k k W W ”（见表1）。
笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，表1也不是个跨齿数合理的选择用表。
下面进行分析和论证。
表1 公法线长度)(**kn k W W020 1='===αα，m m注：本表选自1991年版由徐灏任主编的《机械设计手册》第三卷“表23·2——13”。
该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。
今天各家手册大都有这个表。
1、表1不是跨齿数合理的选择用表 今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度 )(**k k W W 表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表：⑴ 该表是将“公法线长度”与“基圆弧长”混为一谈的。
该表称“ )(**kn k W W 为 1=m （或)1=n m 的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。
对z=86这个齿轮而言，经验证当k=10、k=11时，它们对应的2020.32)(2497.29)(==****kn k kn k W W W W 和是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的1060.38)(1540.35)(==****kn k kn k W W W W 和就不是这个标准齿轮的公法线长度了。
齿轮各参数计算公式
模数齿轮计算公式名称代号计算公式模数m m=p/n =d/z=da/（z+2）（d为分度圆直径，z为齿数）齿距P p= n m=t d/z齿数Z z=d/m=n d/p分度圆直径d d=mz=da-2m齿顶圆直径da da=m(z+2)=d+2m=p(z+2)/ n齿根圆直径df df=d-2.5m=m(z-2.5)=da-2h=da-4.5m齿顶咼ha ha=m=p/n齿根高hf hf=1.25m齿高h h=2.25m齿厚s s=p/2= n m/2中心距a a=(z1+z2)m/2=(d1+d2)/2跨测齿数k k=z/9+0.5公法线长度w w=m[2.9521(k-0.5)+0.014z]13-1什么是分度圆？标准齿轮的分度圆在什么位置上？13-2 一渐开线，其基圆半径r b= 40 mm ,试求此渐开线压力角：■ = 20°处的半径r和曲率半径p的大小。
13-3有一个标准渐开线直齿圆柱齿轮，测量其齿顶圆直径da = 106.40 mm ,齿数z=25,问是哪一种齿制的齿轮，基本参数是多少？13-4两个标准直齿圆柱齿轮，已测得齿数z i= 22、Z2= 98,小齿轮齿顶圆直径d ai= 240 mm ,大齿轮全齿高h=22.5 mm，试判断这两个齿轮能否正确啮合传动？13-5有一对正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮，它们的齿数为Z1= 19、Z2= 81,模数m= 5 mm，压力角«= 20°若将其安装成a'= 250 mm的齿轮传动，问能否实现无侧隙啮合？为什么？此时的顶隙（径向间隙）C是多少？13-6已知C6150车床主轴箱内一对外啮合标准直齿圆柱齿轮，其齿数Z1 = 21、Z2= 66,模数m = 3.5 mm ,压力角□= 20°正常齿。
试确定这对齿轮的传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、全齿高、中心距、分度圆齿厚和分度圆齿槽宽。
13-7已知一标准渐开线直齿圆柱齿轮，其齿顶圆直径d ai= 77.5 mm，齿数z1=29。
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圆柱齿轮的跨齿数计算公式的推导
周万峰
1、标准齿轮跨齿数计算公式的推导
大家都知道，凡计公法线长度，则必须先计算跨齿数k ，然后才能计算跨k 个齿的公法线长度。
标准齿轮的跨齿数计算公式为：
5.0180
0+=αz k （直齿） （1） 5.01800+'=
n z k α （斜齿） （1） 式中z 为齿数，z '为假想齿数，n t inv inv z z αα='（n
t inv inv αα之值可从手册上查出，亦可算出）。
α为压力角，n α为斜齿轮的法面压力角。
教材、手册上都是给出该公式，并不说明它的由来。
那么公式（1）是怎么来的呢？它怎么还有个0.5 呢？据笔者了解，使用公式（1）的人一般都不管公式的由来，只是拿来使用而已。
今天笔者根据自己的理解试将公式推导出来。
显然公式（1）不是笔者推导出来的，书上早就有这个公式了。
但始终未见哪本书上有原原本本地推导该公式的内容。
至于公式
（1）原来是怎么推导的笔者不得而知。
笔者现将公式推导如下：
众所周知，不论标准齿轮还是变位齿轮其公法线的测量点（量具卡脚与齿廓的切点）都应在齿高的中点部位。
而标准齿轮齿高的中点就是分度圆，故标准齿轮公法线的测量点应在分度圆上。
这样标准齿轮的公法线测量点就应以分度圆为准进行推导。
请看图1公法线测量图：AB 是跨3个齿测量的公法线长度。
1A A 和21A A 是齿轮的周节（分度圆上，相
图1 公法线长度测量
邻两齿同侧齿廓对应点的弧长）B A
2是分度圆上齿厚；而标准齿轮分度圆齿厚是周节的一半，即0.5个周节。
因此，当跨3个齿测量时，α2对应着两个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（3-0.5）个周节。
所以，跨3个齿测量时，0.5)-(3 36020
z
=α。
（z 0360 是一个周节对应的中心角的度数）当跨4个齿测量时，
α2对应着3个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（4-0.5）个周节；所以0.5)-(4 36020
z
=α。
当跨5个齿测量时，α2对应着4个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（5-0.5）个周节；所以0.5)-(5 36020
z
=α。
依次类推，当跨k 个齿测量时，α2对应着（)5.0-k 个周节，即0.5)-(k 36020
z
=α。
整理此式即为公式（1）。
但需说明的是：对于020=α的直齿轮而言，它的公法线测量点没有一
个是能在分度圆上的，都是在分度圆附近。
为什么呢?因为跨齿数k 的计算值不可能是整数（见公式），而测量公法线长度时又必须是整数，所以才如此。
而斜齿轮通过调整螺旋角是可以使公法线长度的测量点正好在分度圆上的。
2、变位齿轮的跨齿数计算公式的推导
变位齿轮的跨齿数计算公式今天可以说是形式多样，五花八门；如将教材、手册、科技书以及发表在刊物上的这些公式汇集起来，找出10个公式是费不了什么事的。
这些公式（包括教材、手册在内）经验证有的是合理的，有的是不合理的；有的是不尽合理的，有的是情况不良的。
有的虽然情况较好，但计算很麻烦。
笔者在此推荐一个情况较好而又比较简单的公式：
5.02cos arccos 1800
++=x z z z k α (直齿) （2） 5.02cos arccos 1800
++'''=n n x z z z k α （斜齿） （2）
图 2
这个公式是怎么来的？教材、手册都是给出公式，并不说明它的由来。
今天笔者将它推导一遍（显然公式不是我第一个推导出来的），请读者指正。
前面说过，不论齿轮变位与否，公法线的测量点都应在齿高的中点部位。
标准齿轮齿高的中点部位就是分度圆，故推导标准齿轮的跨齿数计算公式应以分度圆为准。
而变位齿轮的分度圆已不在齿高的中点部位了，那么推导变位齿轮的跨齿数计算公式就不能以分度圆为准了，而是直径为“xm d 2+圆”位于齿高的中点部位，所以就应以它为准了。
请看图2：当为正变位时，公法线的测量点应在B '点，即在“xm d 2+圆”上。
那么只要算出B '点的压力角，然后代入公式（1），用α'代替α，公式就推导出来了。
请看图2：ON 是基圆半径，xm d B O +='2，
)2
(2cos xm d d B O ON b +='=
'α。
因为αcos mz d b =，,mz d =将αcos mz 代替b d ，将mz 代替d ，
代入上式，整理后则[])2()cos (arccos x z z +='αα ，将该式代入（1）式（用α'代替α），整理后即为公式（2）。
说明：
上面的文章于2014年1月31日已上传到“百度文库”，截止到2014年5月24日其浏览量已有64次，下载8次。
但笔者发现文章中有的公式写法不规范。
为了向读者负责，笔者将公式不规范的写法改正过来，再次将其上传到“百度文库”。
请读者见谅！ 2014年5月24日。