北京市人大附中2018-2019学年度第二学期高二年级期末数学试卷
北京市北京师范大学附属中学2018～2019学年度高2021届高2018级高二第二学期期末及参考答案解析
北京师大附中2018～2019学年度下学期高中二年级年级期末考试 数学试题AP一、选择题。
1.已知条件p:x >2,条件q:x >0,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A将两个条件相互推导,根据能否推导的情况确定正确选项.【试题解答】由于p q ⇒,q p ¿所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 本小题主要考查充分、必要条件的判断,属于基础题.2.“a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【试题参考答案】A根据直线和圆相切的等价条件求出a ,b 的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【试题解答】若直线y x =+22()()1x a y b -+-=, 则圆心(),a b到直线0x y -+=得距离1d ==,即a b -+=即a b -+=a b -+=即0a b -=或a b -=-即a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的充分不必要条件, 故选:A .本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键.3.设(),1,a b ∈+∞,则“a b > ”是“log 1a b <”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】C根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可. 【试题解答】∵a ,b ∈(1,＋∞), ∴a ＞b ⇒log a b ＜1, log a b ＜1⇒a ＞b ,∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件, 故选:C .本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.4.设m R ∈且0m ≠,“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m >B. 1m >C. 2m >D. 2m ≥【试题参考答案】C根据基本不等式的性质,结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【试题解答】当m ＜0时,不等式m ＋4m＞4不成立,当m ＞0时,m ＋4m 当且仅当m=4m ,即m=2时,取等号,A.当m=2时,满足m ＞0,但不等式m ＋4m ＞4不成立,不是充分条件, B.当m=2时,满足m ＞1,但不等式m ＋4m＞4不成立,不是充分条件,C.当m ＞2时,不等式m ＋4m＞4成立,反之不一定成立,是充分不必要条件,满足条件.D.当m=2时,满足m ≥2,但不等式m ＋4m＞4不成立,不是充分条件,故选:C.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.5.若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =U ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±,所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 充分不必要条件,选A.6.设m α⊂,α,β是两个不同的平面,则“αβ∥”是“m βP ”的( ). A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【试题参考答案】A若m α⊂,αβ∥,则m βP ;反之,若m α⊂,m βP ,则αβ∥或α与β相交. 所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件.选A .7.已知(1,1)a x =-,(1,3)b x =+,则2x =是//a b 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【试题参考答案】A已知()1,1a x =-,()1,3b x =+。
2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)
1 / 32018北京人大附中高二（下）期末数 学(理)2018年7月6日制卷人：于金华 杨良庆 审卷人：梁丽平说明：本练习共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸的相应位置.）1．10(e 2)d xx x +⎰等于（ ）（A ）1 （B ）e 1- （C ）e （D ）e 1+2．已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的 图象可能是（ ）4．已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为14，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为15，现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球至少有一个不是红球的概率是（ ）（A ）120 （B ）1920 （C ）35 （D ）7205．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=-6．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==,(0)1i i P p ξ==-,1,2i =.若12102p p <<<,则（ ）（A ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< （B ）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ>（C ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ< （D ）12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>7．集合230123{|222}P x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1},0,1,2,3i a i ∈=．则集合P 中元素的个数及所有元素之和分别是（ ） （A ）16，120 （B ）8，120 （C ）16，60 （D ）8，608．设函数32,e,ln ,e x x x y a x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象上存在两点,P Q ,使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在y 轴上,则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1(0,]e 1+ （B ）1(,]e 1-∞+ （C ）1[+)e 1∞+, （D ）R二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸的相应位置.)9．已知复数12i1iz +=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 10．圆12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)被x 轴截得的弦长为________．11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，则不同的带队方案有________种．（用数字作答） 12．观察下列一组等式x O2 / 31+2=3 2+3+4+5=14 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9+10+11=60……照此规律，第n 个等式的右端为________．13．已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是________．14．给定集合{1,2,3,,}n A n =⋅⋅⋅，映射:n n f A A →，若f 满足：① 当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；② 任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈⋅⋅⋅．则称映射f 为n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射33:f A A →是一个优映射． 表1 表2（1）已知表2表示的映射44:f A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）若映射1010:f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是________．三、解答题 (本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ,求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 16．（本小题13分）已知数列{}n a 中，11a =，且12()2nn n a a n a *+=∈+N .（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题13分）已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(2,0)-，如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f x k =-在区间[3,2]-上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．i1 2 3 ()f i231i1 2 3 4 ()f i3yxO -23 / 318．（本小题13分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 19．（本小题14分）已知函数e ()(ln )()xf x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在12(0,1),(0,1)x x ∈∈，使得12()()f x f x =，试求a 的取值范围．20．（本小题14分）对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,a a ,…k a 中的最大值, 称数列{}n b 为{}n a 的上界数列, 如1, 3, 2, 5的上界数列是1, 3, 3, 5．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的上界数列为2, 4, 4, 5, 写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的上界数列, 满足1k m k a b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅),求证:k k b a =；（Ⅲ）若各项为正整数的数列{}n a 的项数5m =, 其上界数列{}n b 满足11b =, 510b =, 求满足条件的数列{}n a 和{}n b 的个数．频数40208 9 10 11 更换的易损零件数。
2018—2019学年度人大附中期末统考题数学
2018—2019学年度人大附中期末统考题数学2019.01班级 姓名 成绩一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{1,3,5}A =，{(1)(3)0}B x x x =--=，则A B = （ ）A ．∅B ．{1}C ．{3}D ．{1,3}2. 2πsin()=3-（ ）A. 2-B. 12-C.2D.123. 下列函数为奇函数的是 （ ） A. 2x y = B. []sin ,0,2πy x x =∈ C. 3y x =D. lg y x =4. 若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则()f x 在定义域内 （ ） A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值5. 如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B C D ，，三点共线，则下列结论不成立．．．的是 （ ） A. 3CD BC =B. 0CA CE ⋅=C. AB 与DE 共线D. CA CB CE CD ⋅=⋅EDCBA6. 函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象 （ ）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D. 先向左平移π个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1（纵坐标不变）8. 如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是 （ ） A. 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值 D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 9. 已知向量=(1,2)a ，写出一个与a 共线的非零向量的坐标 . 10. 已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ= .11. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b .12. 函数2,(),0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是 .13. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%. 有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长. 请预测，从 年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨. （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）14. 已知函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则下列结论正确的是 .（将所有符合题意的序号填在横线上） ① 函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数； ② 满足条件的正整数ω的最大值为3；③ππ()()412f f ≥.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题10分）已知向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若1()3f k α=+且(0π),α∈，求tan α.16. （本小题12分）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-.（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，（ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为 ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围. 17. （本小题12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．18.（本小题10分）定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.2018—2019学年度人大附中期末统考题参考答案 数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511. 3 12. 1t ≥ 13. 2021 14. ①②③ 注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ， ∴()f x =⋅a b =sin +x k . ---------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解. ---------------4分 则实数k 的取值范围为[]02,. --5分 （Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α. -----------6分当π(0]2,α∈时，cos 3α==，sin tan cos 4=ααα=. --------------8分当π(,π)2α∈时，cos 3α==-，tan 4=α-. -------------10分16. 解：（Ⅰ）4b =-； ----2分0c =. ------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-. ----6分 （ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--. ------8分若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩ -------------10分 解得5a >或50a -<<. ----------12分 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17. 解:（Ⅰ）------4分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+----------6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------8分（Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π11sin(2)62x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.--10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1. --------12分18. 解：（Ⅰ） ③； -2分 （Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立. ∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =. ∴()()G x g x x =-为周期函数. -----------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=； ---------------------① 令πx =，得sin T kT T -+=； ---------------② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠，∴1k =． ---------8分 检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =. -------10分2018—2019学年度人大附中期末附加题高一数学 2018.1一.填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 19. cos60sin210︒+︒=______.20. 已知向量(2,4)a =,(1,1)b =.若向量()b a b λ⊥+,则实数λ的值是______.21. 已知π(0)2αα<<的终边与单位圆交于点P ,点P 关于直线y x =对称后的点为M ,点M 关于y 轴对称后的点为N ,设角β终边为射线ON . （1）β与α的关系为______;（2）若1sin 3α=,则tan β=______.22. 已知函数()sin 2sin f x x x =⋅,下列结论中正确．．的是______.（把所有正确序号都填上） ①2π是函数()f x 的一个周期; ②存在正数M ,使得对任意x ∈R ,有()f x M ≤;③()f x 的对称轴为πx k =,k ∈Z ;④函数()f x 在π(0,)2内是增函数.23. 如图,已知点(1,1)A 和单位圆上半部分上的动点B .BOX θ∠=,(0)θπ≤≤.（1）B 点的坐标为______（用θ表示）; （2）15OA OB ⋅=,2sin cos 1cos θθθ=+______. 24. 如图所示,已知OAB !,由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区域（不含边界）.（1）若D 为AB 中点,OD =______（用OA ,OB 表示） （2）已知下列四个向量: ①12OM OA OB =+;②23143OM OA OB =+;③31123OM OA OB =+;④43145OM OA OB =+.对于点1M ,2M ,3M ,4M ,落在阴影区域内（不含边界）的点有______（把所有符合条件点都填上）.二.解答题（本大题共1小题，满分14分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）25. 对于数集12{1,,,,}n X x x x =-⋅⋅⋅,其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<,2n ≥.定义向量集{|(,),,}Y a a s t s X tX ==∈∈.若对于任意1a Y ∈,存在2a Y ∈,使得120a a ⋅=,则称X 具有性质P .例如{1,1,2}X =-具有性质P .（1）若2x >,且{1,1,2,}x -具有性质P ,求x 的值; （2）若X 具有性质P ,求证:1X ∈,且当1n x >时,11x =.2017-2018人大附高一期末附加卷数学学科测试答案（理工类）2018.1一、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分.19.020.3-21.90βα=+︒;-22.①②③23.(cos ,sin )θθ;127 24.1()2OA OB +;12,M M 二、解答题:25. （本小题满分14分）解:（1）因为2x >,选取1(,2)a x =,2(1,2)a =-,由120a a ⋅=得40x -=,则4x =.（2）取11(,)p x x Y =∈,设(,)q s t Y =∈, 由0p q ⋅=得()10x s t +=, 则0s t +=,则s 和t 中有一个数是1-, 则s 和t 中有一个数是1,即1x ∈, 假设1(1)k x k n =<<,则101n x x <<<, 再取1(,)n e x x Y =∈,(,)f s t Y =∈, 则10n sx tx +=,所以s 和t 异号,且其中一个值为1-, 若1s =-,则11n x tx t x =>≥,矛盾; 若1t =-,则1n n x sx s x =<≤,矛盾;则假设1(1)k x k n =<<不成立,可得当1n x >时,11x =.。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（ ） A.（sinx ）'=-cosx B. (lnx )′=1x C. (1x )′=−1x 2 D.（e x ）'=e x2.（单选题.5分）双曲线x 2- y 23 =1的焦点坐标是（ ） A.（0. √2 ）.（0.- √2 ） B.（ √2 .0）.（- √2 .0） C.（0.2）.（0.-2） D.（2.0）.（-2.0）3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45+lnx .则（）6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2xA.x= 1.f（x）取得最大值2.f（x）取得最小值B.x= 12C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞）9.（填空题.5分）已知函数f（x）=x2.则△x→0f(△x)−f(0)△x=___ ．10.（填空题.5分）已知函数f(x)=e xx.则f′（1）=___ ．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．15.（问答题.10分）已知抛物线C方程：y2=2px（p＞0）.点（1.2）在C上.F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A.B分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB的距离．16.（问答题.10分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx.其导函数为f′（x）的部分值如表所示：x -2 1 3 8 f′（x）-10 6 8 -90根据表中数据.回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为___ ；当x=___ 时.f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a.b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC=PD=√2 .E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC || 平面BED；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；的值；若不存在.说明理由．（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M.使得BM⊥AC？若存在.求PMPC18.（单选题.6分）过抛物线y2=2x焦点的直线交抛物线于A.B两点.若|AB|=5.则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A.2B.25C.3D.419.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx 与曲线y=f （x ）相切于两点.设函数g （x ）=kx+m （m ＞0）.则函数F （x ）=g （x ）-f （x ）（ ）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14 D. −5221.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.822.（问答题.13分）已知离心率为√32的椭圆C：x2a2+ y2b2=1（a＞b＞0）与直线x=2相交于P.Q两点（点P在x轴上方）.且|PQ|=2．点A.B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23.（问答题.13分）对于函数f（x）.若存在实数x0满足f（x0）=x0.则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3.其中a.b∈R（Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点.又是f（x）的不动点.求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1.x2.试问：是否存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）下列导数公式错误的是（）A.（sinx）'=-cosxB. (lnx)′=1xC. (1x )′=−1x2D.（e x）'=e x【正确答案】：A【解析】：根据题意.依次计算选项函数的导数.比较即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A、（sinx）'=cosx.故A错误；对于B、（lnx）′= 1x.故B正确；对于C、（1x ）′=x-1=（-1）×x-2=- 1x2.故C正确；对于D、（e x）'=e x.故D正确；故选：A．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握导数的计算公式．2.（单选题.5分）双曲线x2- y23=1的焦点坐标是（）A.（0. √2）.（0.- √2）B.（√2 .0）.（- √2 .0）C.（0.2）.（0.-2）D.（2.0）.（-2.0）【正确答案】：D【解析】：根据题意.由双曲线的方程求出a、b的值.计算可得c的值.结合双曲线的焦点位置.分析可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线的方程为x 2- y 23 =1. 其中a=1.b= √3 .则c= √1+3 =2.又由双曲线的焦点在x 轴上.则其焦点坐标为（2.0）（-2.0）； 故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.注意分析双曲线的焦点位置.属于基础题．3.（单选题.5分）如图.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a . AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c .则 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. a + b ⃗ - cB. a + b ⃗ + cC. a - b ⃗ - cD.- a + b ⃗ + c 【正确答案】：C【解析】：根据空间向量的加减法运算用已知向量把 D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来即可．【解答】：解： D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ − AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = −c +a −b ⃗ 故选：C ．【点评】：本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法.属于基础题型． 4.（单选题.5分）若 a =（a 1.a 2.a 3）. b ⃗ =（b 1.b 2.b 3）.则 a 1b 1= a 2b 2= a 3b3是 a || b ⃗ 的（ ） A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.充分不必要条件 【正确答案】：D【解析】：根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵ a =（a1.a2.a3）. b⃗ =（b1.b2.b3）.∴当a1b1 = a2b2= a3b3时.向量a || b⃗成立．当a =（1.0.0）. b⃗ =（2.0.0）.满足a || b⃗ .但a1b1 = a2b2= a3b3不成立.∴ a1 b1 = a2b2= a3b3是a || b⃗的充分不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用空间向量的坐标公式以及空间向量的共线定理是解决本题的关键．5.（单选题.5分）如图.正棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1=2AB.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【正确答案】：D【解析】：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B.得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角.在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】：解．如图.连接BC1.A1C1.∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=a.AA1=2a.∴A1B=C1B= √5 a.A1C1= √2 a.∠A1BC1的余弦值为45.故选：D．【点评】：本题主要考查了异面直线及其所成的角.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.属于基础题．6.（单选题.5分）设函数f（x）= 2x+lnx .则（）A.x= 12.f（x）取得最大值B.x= 12.f（x）取得最小值C.x=2.f（x）取得最大值D.x=2.f（x）取得最小值【正确答案】：D【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间.求出函数的最小值即可．【解答】：解：∵f（x）= 2x+lnx .（x＞0）∴f′（x）=- 2x2 + 1x= x−2x2.令f′（x）＞0.解得：x＞2.令f′（x）＜0.解得：0＜x＜2.故f（x）在（0.2）递减.在（2.+∞）递增.故x=2时.f（x）取最小值.故选：D．【点评】：本题考查了函数的单调性.最值问题.考查导数的应用.是一道常规题．7.（单选题.5分）如果把二次函数f（x）=ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A.B.C.D.【正确答案】：B上.从而得到答案．【解析】：根据二次函数的顶点和导函数的解在直线x=- b2a.【解答】：解：二次函数f（x）=ax2+bx+c的对称轴是x=- b2a.故其导函数f′（x）=2ax+b=0的根是- b2a上.二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=- b2a故对于选项B是错误的.故选：B．【点评】：本题考查了二次函数的性质.考查数形结合思想.是一道基础题．8.（单选题.5分）函数f（x）=x3+kx2-7x在区间[-1.1]上单调递减.则实数k的取值范围是（）A.（-∞.-2]B.[-2.2]C.[-2.+∞）D.[2.+∞） 【正确答案】：B【解析】：根据题意.求出函数f （x ）的导数.结合函数的导数与函数单调性的关系可得f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立.则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得k 的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=x 3+kx 2-7x.其导数f′（x ）=3x 2+2kx-7. 若函数f （x ）=x 3+kx 2-7x 在区间[-1.1]上单调递减. 则f′（x ）=3x 2+2kx-7≤0在[-1.1]上恒成立. 则有 {f′(1)=3+2k −7≤0f′(−1)=3−2k −7≤0 .解可得-2≤k≤2.即k 的取值范围为[-2.2]； 故选：B ．【点评】：本题考查函数的单调性的判定.涉及函数的导数与单调性的关系.属于基础题． 9.（填空题.5分）已知函数f （x ）=x 2.则 △x→0f (△x )−f (0)△x =___ ． 【正确答案】：[1]0 【解析】：先求出f′（x ）.由 △x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）.能求出结果．【解答】：解：∵f （x ）=x 2. ∴f′（x ）=2x. ∴△x→0f (△x )−f (0)△x =f′（0）=0. 故答案为：0．【点评】：本题考查极限的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意导数概念及性质的合理运用． 10.（填空题.5分）已知函数 f (x )=e xx.则f′（1）=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据导数的公式求出函数的导数.直接代入即可求值．【解答】：解：∵函数f(x)=e xx.∴f'（x）= e x•x−e xx2.∴f′（1）= e−e1=0 .故答案为：0．【点评】：本题主要考查导数的计算.要求熟练掌握常见函数的导数公式.比较基础．11.（填空题.5分）已知空间向量a =（0.1.1）. b⃗ =（x.0.1）.若a . b⃗的夹角为π3.则实数x的值为___ ．【正确答案】：[1]1或-1【解析】：首先根据向量的坐标求出向量的模.进一步利用向量的夹角求出x的值．【解答】：解：已知a=(0，1，1) . b⃗=(x，0，1)则：|a|=√2 . |b⃗|=√x2+1由于a和b⃗的夹角为π3.则：cosπ3=a⃗ •b⃗|a⃗ ||b⃗|=√2√x2+1=12解得：x=1或-1故答案为：1或-1【点评】：本题考查的知识要点：空间向量的夹角.空间向量的数量积和模的运算.属于基础题型．12.（填空题.5分）直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2.2）【解析】：先求出其导函数.利用其导函数求出其极值以及图象的变化.进而画出函数f（x）=x3-3x对应的大致图象.平移直线y=a即可得出结论．【解答】：解：令f′（x）=3x2-3=0.得x=±1.可求得f（x）的极大值为f（-1）=2.极小值为f（1）=-2.如图所示.当满足-2＜a＜2时.恰有三个不同公共点．故答案为：（-2.2）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用.是对基础知识的考查.属于基础题．13.（填空题.5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3−392x2−40x(x＞0) .为使耗电量最小.则其速度应定为___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：欲求使耗电量最小.则其速度应定为多少.即求出函数的最小值即可.对函数求导.利用导数求研究函数的单调性.判断出最小值位置.代入算出结果．【解答】：解：由题设知y'=x2-39x-40.令y'＞0.解得x＞40.或x＜-1.故函数y=13x3−392x2−40x(x＞0)在[40.+∞）上增.在（0.40]上减.当x=40.y取得最小值．由此得为使耗电量最小.则其速度应定为40；故答案为：40．【点评】：考查用导数研究函数的单调性求最值.本题是导数一章中最基本的应用题型．14.（填空题.5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为___ ；（2）M位于BD1三等分点处时.M到各顶点的距离的不同取值有___ 种．【正确答案】：[1] √22; [2]4【解析】：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.由此能求出M到CC1距离的最小值；（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出M 到各顶点的距离的不同取值的种数．【解答】：解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离.连结AC.BD.交于点O.则AC⊥BD.AC || DD1.∴AC⊥平面BDD1.∴OC⊥BD1.且OC⊥CC1.∴M到CC1距离的最小值为|OC|= 12√12+12 = √22．故答案为：√22．（2）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系. A（1.0.0）.B（1.1.0）.C（0.1.0）.D（0.0.0）.A1（1.0.1）.B1（1.1.1）.C1（0.1.1）.D1（0.0.1）.M位于BD1三等分点处时.设M（23，23，13）.∴AM= √(23−1)2+(23)2+(13)2= √63.BM= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.CM= √(23)2+(23−1)2+(13)2= √63.DM= √(23)2+(23)2+(13)2=1.A1M= √(23−1)2+(23)2+(13−1)2=1.B1M= √(23−1)2+(23−1)2+(13)2= √33.C1M= √(23)2+(23−1)2+(13−1)2=1.D1M= √(23)2+(23)2+(13−1)2= 2√33．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．【点评】：本题考查点到直线的距离的最小值的求法.考查点到各顶点的距离的不同取值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识.考查学生的空间想象能力.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.10分）已知抛物线C 方程：y 2=2px （p ＞0）.点（1.2）在C 上.F 为焦点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧.且|AF|=2.|BF|=5.求原点O 到直线AB 的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程.可得p=2.可得抛物线的方程和焦点坐标； （Ⅱ）运用抛物线的定义.可得A.B 的坐标.AB 的方程.运用点到直线的距离公式.可得所求值．【解答】：解：（Ⅰ）将（1.2）代入抛物线方程可得4=2p. 解得p=2.即抛物线的方程为y 2=4x.F （1.0）；（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A.B 分别在其对称轴的上、下两侧. 且|AF|=2.|BF|=5.由抛物线的定义可得x A +1=2.x B +1=5. 即有x A =1.x B =4.即为A （1.2）.B （4.-4）.AB 的斜率为-2. AB 的方程为2x+y-4=0. O 到直线AB 的距离为d= √4+1= 4√55 ．【点评】：本题考查抛物线的定义、方程和性质.考查直线方程的求法和运用.以及点到直线的距离公式的运用.考查运算能力.属于基础题．16.（问答题.10分）已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx.其导函数为f′（x ）的部分值如表所示：（Ⅰ）实数c 的值为___ ；当x=___ 时.f （x ）取得极大值（将答案填写在横线上）． （Ⅱ）求实数a.b 的值． （Ⅲ）求f （x ）的单调区间．【正确答案】：6; 3【解析】：（Ⅰ）由极值的定义.通过表格可求解； （Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可； （Ⅲ）利用导数求出f （x ）的单调区间【解答】：解：（Ⅰ）6.3 （Ⅱ）：f'（x ）=3ax 2+2bx+c.由已知表格可得 {f′(1)=8f′(3)=0 解得 {a =−23b =2（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x ）=-2x 2+4x+6=-2（x-3）（x+1）. 因为x∈（-∞.-1）和x∈（3.+∞）时f'（x ）＜0.x∈（-1.3）时f'（x ）＞0. 所以f （x ）的单调增区间为（-1.3）.单调减区间为（-∞.-1）和（3.+∞）．【点评】：本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间.属于基础题． 17.（问答题.10分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为矩形.平面PCD⊥平面ABCD.BC=1.AB=2. PC =PD =√2 .E 为PA 中点． （Ⅰ）求证：PC || 平面BED ； （Ⅱ）求二面角A-PC-D 的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M.使得BM⊥AC ？若存在.求 PMPC 的值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF.推导出EF || PC ．由此能证明PC || 平面BED ．（Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．推导出PO⊥CD .取AB 中点G.连结OG.建立空间直角坐标系O-xyz.利用向量法能求出二面角A-PC-B 的余弦值．（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．利用向量法能求出在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ．此时. PMPC = 12【解答】：（共14分）证明：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F.连结EF ． 因为ABCD 为矩形.所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中.由已知E 为PA 中点. 所以EF || PC ．又EF⊂平面BFD.PC⊄平面BFD. 所以PC || 平面BED ． …（5分） （Ⅱ）取CD 中点O.连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形.O 为CD 的中点. 所以PO⊥CD ．又因为平面PCD⊥平面ABCD. PO⊂平面PCD.所以PO⊥平面ABCD ．取AB 中点G.连结OG.由题设知四边形ABCD 为矩形. 所以OF⊥CD ．所以PO⊥OG ．…（1分） 如图建立空间直角坐标系O-xyz.则A （1.-1.0）.C （0.1.0）.P （0.0.1）.D （0.-1.0）. B （1.1.0）.O （0.0.0）.G （1.0.0）． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）. PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.-1）． 设平面PAC 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）. 则 {n ⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0n ⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0.令z=1.得 n ⃗ =（2.1.1）．平面PCD 的法向量为 OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.0）．设 n ⃗ ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.所以cosα= |n ⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n⃗ •OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √63． 由图可知二面角A-PC-D 为锐角.所以二面角A-PC-B 的余弦值为 √63 ．…（10分）（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点.则存在λ∈[0.1]使得 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ．因此点M （0.λ.1-λ）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.λ-1.1-λ）. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2.0）． 由 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得1+2（λ-1）=0.解得 λ=12． 因为 λ=12 ∈[0.1].所以在棱PC 上存在点M.使得BM⊥AC ． 此时. PMPC = 12 ． …（14分）【点评】：本题考查线面平行的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查线段比值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意向量法的合理运用．18.（单选题.6分）过抛物线y 2=2x 焦点的直线交抛物线于A.B 两点.若|AB|=5.则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（ ） A.2 B.25 C.3 D.4【正确答案】：A【解析】：由题意知.求出抛物线的参数p.由于直线过焦点.设出AB 中点的横坐标m.由中点的坐标公式求出x 1+x 2.利用弦长公式x 1+x 2+p.解方程可得m.即可得到所求值．【解答】：解：由抛物线为y 2=2x. 可得p=1．设A 、B 两点横坐标分别为x 1.x 2. 设线段AB 中点的横坐标为m. 则x 1+x 22=m.即x 1+x 2=2m. 由|AB|=x 1+x 2+p=2m+1=5.解得m=2.可得AB 的中点M 到y 轴的距离为2．故选：A．【点评】：本题是直线被圆锥曲线所截.求弦长问题.一般可以由公式：|AB|= √1+k2•|x1-x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系.从而简化解题过程．但对于过焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用．19.（单选题.6分）如图.已知直线y=kx与曲线y=f（x）相切于两点.设函数g（x）=kx+m （m＞0）.则函数F（x）=g（x）-f（x）（）A.有极小值.没有极大值B.有极大值.没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【正确答案】：C【解析】：F（x）表示两图象上横坐标相同时.纵坐标的差.根据函数图象即可判断出结论．【解答】：解：设y=kx与f（x）的切点横坐标分别为x1.x2.（x1＜x2）.设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3.如图所示：而F（x）=kx+m-f（x）表示直线g（x）的点（x.g（x））与f（x）上的点的（x.f（x））的纵坐标的差.显然.F（x）在（0.x1）上单调递减.在（x1.x3）上单调递增.在（x3.x2）上单调递减.在（x2.+∞）上单调递增.∴x1.x2为F（x）的极小值点.x3为F（x）的极大值点．∴F（x1）.F（x2）为F（x）的极小值.F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．【点评】：本题考查了函数图象的几何意义.函数极值的意义.属于中档题．20.（单选题.6分）如图所示.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长为3.底面边长A 1C 1=B 1C 1=1.且∠A 1C 1B 1=90°.D 点在棱AA 1上且AD=2DA 1.P 点在棱C 1C 上.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ）A. 52B. −14 C. 14D. −52【正确答案】：B【解析】：建立如图所示的直角坐标系.设P （0.0.z ）.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (z −52)2 - 14 .利用二次函数的性质求出它的最小值．【解答】：解：建立如图所示的直角坐标系. 则D （1.0.2）.B 1（0.1.3）. 设P （0.0.z ）.则 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0.2-z ）. PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.3-z ）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+（2-z ）（3-z ）= (z −52)2- 14 . 故当z= 52 时. PD ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为- 14 .故选：B ．【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义.两个向量坐标形式的运算.属于基础题． 21.（单选题.6分）已知集合R n ={X|X=（x 1.x 2.….x n ）.x i ∈{0.1}.i=1.2.….n}（n≥2）．对于A=（a 1.a 2.….a n ）∈R n .B=（b 1.b 2.….b n ）∈R n .定义A 与B 之间的距离为d （A.B ）=|a 1-b 1|+|a 2-b 2|+…|a n -b n |= ∑|a i −b i |n i=1 ．若集合M 满足：M⊆R 3.且任意两元素间的距离均为2.则集合M 中元素个数的最大值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8【正确答案】：A【解析】：由集合的子集得：R 3中含有8个元素.先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点.已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点.即M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）}或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}.得解．【解答】：解：由n 元子集个数得：R 3中含有8个元素.可将其看成正方体的8个顶点. 已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点. 所以M={（0.0.0）.（1.1.0）.（1.0.1）.（0.1.1）} 或M={（0.0.1）.（0.1.0）.（1.0.0）.（1.1.1）}. 故集合M 中元素个数最大值为4. 故选：A ．【点评】：本题考查了集合的子集及阅读能力.属难度较大的题型． 22.（问答题.13分）已知离心率为 √32 的椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）与直线x=2相交于P.Q 两点（点P 在x 轴上方）.且|PQ|=2．点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.且∠APQ=∠BPQ ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）通过椭圆的离心率.设椭圆方程.利用点在椭圆.求出b 2.然后求出椭圆方程． （Ⅱ）通过∠APQ=∠BPQ .推出k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.得到直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．与椭圆联立.求出A 、B 坐标.设四边形APBQ 面积为S.表示出三角形的面积.利用基本不等式求出最值.也可以利用函数的导数求解面积的范围．【解答】：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e= √32 .则 ba = 12 .设椭圆方程为： x 24b 2 + y 2b 2 =1（b ＞0） 由题意可知点P （2.1）在椭圆上. 所以44b 2+1b 2=1 ．解得b 2=2．故椭圆C 的标准方程为 x 28+y 22=1 ． …（4分）（Ⅱ）由题意可知.直线PA.直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为∠APQ=∠BPQ .所以k PA =-k PB ．设直线PA 的斜率为k.则直线PA ：y-1=k （x-2）（k≠0）．由 {x 2+4y 2=8y −1=k (x −2) .得（1+4k 2）x 2+8k （1-2k ）x+16k 2-16k-4=0… ① ．依题意.方程 ① 有两个不相等的实数根.即根的判别式△＞0成立． 即△=64k 2（1-2k ）2-4（1+4k 2）（16k 2-16k-4）＞0. 化简得16（2k+1）2＞0.解得k ≠−12 ． 因为2是方程 ① 的一个解.所以2x A = 16k 2−16k−41+4k 2 ． 所以x A = 8k 2−8k−21+4k 2 ．当方程 ① 根的判别式△=0时.k= −12.此时直线PA 与椭圆相切．由题意.可知直线PB 的方程为y-1=-k （x-2）．同理.易得x B =8(−k)2−8(−k )−21+4(−k )2 = 8k 2+8k−21+4k 2． 由于点A.B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点.∠APQ=∠BPQ . 且能存在四边形APBQ.则直线PA 的斜率k 需满足|t| ＞12 ． 设四边形APBQ 面积为S.则S △APQ +S △BPQ =12|PQ ||2−x A | +12|PQ ||x B −2| = 12|PQ ||x B −x A | = |8k 2−8k−21+4k 2−8k 2+8k−21+4k 2| = |16k1+4k 2| 由于|t| ＞12 . 故S=16|k|1+4k 2 = 161|k|+4|k|当|t| ＞12 时. 1|k|+4|k |＞4 .可得 0＜161|k|+4|k|＜4 .即0＜S ＜4．（此处另解：设t=|k|.讨论函数f （t ）= 1t +4t 在t∈ (12，+∞) 时的取值范围． f′（t ）=4- 1t2 =4t 2−1t 2.则当t ＞12时.f′（t ）＞0.f （t ）单调递增．则当t ＞12 时.f （t ）∈（4.+∞）.即S∈（0.4）．所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是（0.4）．…（14分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法.直线与圆锥曲线的综合应用.基本不等式以及函数的导数的应用.考查分析问题解决问题的能力．23.（问答题.13分）对于函数f （x ）.若存在实数x 0满足f （x 0）=x 0.则称x 0为函数f （x ）的一个不动点．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+3.其中a.b∈R （Ⅰ）当a=0时.（ⅰ）求f （x ）的极值点；（ⅱ）若存在x 0既是f （x ）的极值点.又是f （x ）的不动点.求b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1.x 2.试问：是否存在a.b.使得x 1.x 2均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）（i ）求出函数的导数.通过讨论b 的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的极值点.（ii）得到函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在.根据题意得到x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．① .3 x12 +2ax1+b=0．② .得到a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时.f′（x）=3x2+b；（ⅰ）① 当b≥0时.显然f（x）在R上单调递增.无极值点．[（2分）]② 当b＜0时.令f′（x）=0.解得：x=± √−b3．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：所以.x=- √−3是f（x）的极大值点；x= √−3是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点.则有3 x02 +b=0；若x=x0是f（x）的不动点.则有x03 +bx0+3=x0.从上述两式中消去b.整理得：2 x03 +x0-3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x-3．所以g′（x）=6x2+1＞0.g（x）在R上单调递增．又g（1）=0.所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1.即方程2 x03 +x0-3=0的根为x0=1.所以 b=-3 x02 =-3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1.x2.所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1.x2.所以△=4a2-12b＞0.即a2-3b＞0．[（9分）]假设存在实数a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点.则x1.x2是方程x3+ax2+（b-1）x+3=0的两个实根.显然x1.x2≠0．对于实根x1.有x13 +a x12 +（b-1）x1+3=0．①又因为3 x12 +2ax1+b=0．②① ×3- ② ×x1.得a x12 +（2b-3）x1+9=0．同理可得a x22 +（2b-3）x2+9=0．所以.方程ax2+（2b-3）x+9=0也有两个不等实根x1.x2．[（11分）] 所以x1+x2=- 2b−3a．对于方程3x2+2ax+b=0.有 x1+x2=- 2a3.所以- 2a3 =- 2b−3a.即a2-3b=- 92.这与a2-3b＞0相矛盾！所以.不存在a.b.使得x1.x2均为f（x）的不动点．[（13分）]【点评】：本题考查了函数的单调性、极值问题.考查导数的应用以及新定义问题.分类讨论思想.是一道综合题．。
2018至2019第二学期二年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年度二年级数学第二学期期末质量监测一、填一填（每空一分，共28分）1.5218里面有（）个千、（）个百、（）个十和（）个一。
2.一个数由7个千，3个百，6个一组成，这个数写作（），读作（）。
3.用4,6,0,2组成的最大的四位数是（），组成的最小四位数是（）。
4.小狗比小猫重，但是比小猪轻，小猫比小兔重，它们中（）最重，（）最轻。
5.30个）个6.爸爸在笔直的马路上开车，车体向前行是（）现象，车轮的运动是（）现象。
5=8……最大是（），这时是（）。
8.36÷（3×3），应先算（）法，再算（）法。
9.一个西瓜重5（），一个苹果重25（）。
10.从45里连续减去5，减（）次还剩5。
11.按规律填一填。
（1）697，698，699，（），（）；（2）2200，2100，2000，（），（）。
12.括号里最大能填几？（）×7<36 9×（）<4073>8×（）7（）5<784二、我是小法官。
（对的打“√”，错的打“×”）5分1.3050读作三千零五。
（）2.1千克铁比1千克棉花重。
（）3.最小的三位数与最小的四位数相差900。
（）4.6×6÷9与87+24-9的运算顺序是一样的。
（）5.把15块饼干分成3份，每份一定是5。
（）三、我会选。
（将正确答案的序号填在括号里）（10分）1.用一堆小方块拼最多能拼成6个，还剩3个小方块，这堆小方块共有（）个。
A.27B.45C.512.一个足球48元，一个篮球45元，李老师拿100元买了一个足球和一个篮球，应找回多少元？列式正确的是（）。
A.100-（48-45）B.100-（48+45）C.100-48+453.678最接近（）。
A.800B.600C.7004.......，那么第35个图形是（）。
A. B. C.5.图形可以由下面的图形（）旋转得到。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
北京市人大附中2018-2019学年度第二学期高二年级期末数学试卷(解析版)
2019北京人大附中高二（下）期末数学试卷第I 卷(共17题，满分100分)一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =I ，则集合B 可以是（ ） A. {}21xx B. {}21x xC. {}2log 1x xD. {}1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】由A B A =I 可知，A B ⊆，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由A B A =I 可知，A B ⊆，对于A ：0{|212}x x >=＝{|0}x x A ⊇＞，符合题意.对于B ：{}21x x ＝{|11}x x x <->或，没有元素1，所以不包含A ； 对于C ：22{|log 1log 2}x x >=＝{|2}x x >，不合题意； D 显然不合题意， 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 2y x x =+ B. 2ln y x = C. 13y x = D. cos y x =【答案】B 【解析】 【分析】判断各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.【详解】对于A 选项，二次函数2y x x =+关于直线12x =-对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数，不合乎题意；对于B 选项，函数2ln y x =的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()22ln ln x x -=，该函数为偶函数，当0x >时，2ln 2ln y x x ==，则函数2ln y x =在区间()0,∞+上是增函数，合乎题意；对于C 选项，函数13y x ==R =意；对于D 选项，函数cos y x =为偶函数，且在()0,∞+上不单调，不合乎题意.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，可以利用定义，对于一些常见的基本初等函数，也可以借助其本身的基本性质来进行判断，考查对函数基本性质的了解，属于基础题.3.“3πα=”是“sin α=”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用sin 223x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，结合充分条件与必要条件定义可得结果.【详解】根据题意，由于sin 23x k παπ=⇔=+或223x k ππ=+，因此3πα=可以推出sin 2α=，反之，不成立，因此“3πα=”是“sin α=”的充分而不必要条件，故选A. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.设命题:(0,)P x ∀∈+∞，ln 1x x -„，则p ⌝为（ ） A. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x >-B. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x -„C. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x >-D. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x >-【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D 选项符合.所以本小题选D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.5.函数5)(3-=x x f 的零点所在的区间是 A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)【答案】A 【解析】 【分析】求得 f （1）f （2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f （x ）的零点所在的区间． 【详解】由函数()35f x x =-可得()11540f =-=-<，()28530f =-=>，故有()()120f f <，根据函数零点判定定理可得，函数()f x 的零点所在区间为()1,2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．6.已知2log 6a =，3log 7b =，0.13c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】 利用中间值32和2可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】222log 6log 22a =>=Q ，79<<Q ，所以，333log log 7log 9<<，即322b <<.()20.10.20.53332=<=<Q ，而239224⎛⎫=> ⎪⎝⎭，0.1332∴<，即32c <. 因此，c b a <<，故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，常用中间值法来比较三个数的大小关系，常见的中间值为0、1，中间值可以三个数来确定，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知ABC ∆中，A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，120A =o ，a =ABC ∆的c b +=（ ）A. 4.5B.C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求出bc 的值，利用余弦定理得出22b c +的值，从而可得出b c +的值.【详解】由三角形的面积公式可得11sin 2224ABC S bc A bc bc ∆==⨯==，4bc ∴=. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22124212b c ⎛⎫+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，得2217b c +=.所以，()2222172425b c b c bc +=++=+⨯=，因此，5c b +=，故选：C.【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.8.已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足：81433f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：()1:p f x 在[]0,2π上单调递减； ()2:p f x 的最小正周期是4π； ()3:p f x 的图象关于直线2x π=对称；()4:p f x 的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称. 其中的真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得出，1123f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得出ω的表达式，由题意得出该函数的周期2T π≥，由此可得出ω的值，求出函数()y f x =的解析式，即可判断出结论. 【详解】Q 函数()y f x =满足81433f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 且在区间814,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有最大值但没有最小值，则11112cos 2336f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，()11cos 1036πωπω⎛⎫+=>⎪⎝⎭，得()11236k k N πωππ*+=∈， ()12122k k N ω*-∴=∈， 易知函数()y f x =的最小正周期2212122T k ππ=≥-，解得23112k ≤≤，1k ∴=，12ω=.()12cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于命题1p ，由[]0,2x π∈，得17,2666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数()y f x =在区间[]0,2π上不单调，命题1p 不正确；对于命题2p ，函数()y f x =的最小正周期为2412T ππ==，命题2p 正确； 对于命题3p ，152cos 2cos 2222612f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，则函数()y f x =的图象不关于直线2x π=对称，命题3p 不正确；对于命题4p ，4412cos 2cos 033262f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =的图象关于点4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，命题4p 正确.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键就是根据题中条件求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共6小题。
2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)
① 当 i , j An , i j 时， f (i ) f ( j ) ；
② 任取 m An ，若 m 2 ，则有 m { f (1), f (2), , f (m)} ．
则称映射 f 为 An An 是一个“优映射”．例如：用表 1 表示的映射
表1
表2
f : A
3
f (i ) 2
甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 局的得分情况如下：
0 分．两人 4
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果 x y 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X , 求 X 的分布列和数学
分别是（ ）
（ A） 16， 120
（ B） 8， 120
（C） 16， 60
（ D） 8， 60
8．设函数 y
x3 x2 , x e,
的图象上存在两点 P, Q , 使得 △ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ( 其中 O 为坐标
a ln x, x e
原点 ), 且斜边的中点恰好在 y 轴上 , 则实数 a 的取值范围是（
17．（本小题 13 分） 已知函数 f ( x) ax3 bx2 4x 的极小值为
（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式；
8 ，其导函数 y
（Ⅱ）若函数 y f (x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不同的零点，
求实数 k 的取值范围．
f (x) 的图象经过点 ( 2, 0) ，如图所示．
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2019北京人大附中高二（下）期末
数学
第I卷(共17题，满分100分)
一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)
1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是
A. {}
B. {}
C. {x}
D. {1，2，3}
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是
A. B. ln
C. D. cosx
3. “α=”是“sinα=”成立的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设命题P：,lnx≤x-1,则为
A. , lnx>x-1
B. ，ln≤-1
C. , lnx>x-1
D. ，ln>-1
5. 函数f（x）=-5的零点所在的区间是
A. （1，2）
B. （2，3）
C. （3，4）
D. （4，5）
6. 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是
A. c<b<a
B. a<b<c
C. b<c<a
D. c<a<b
7. 已知△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,A=120°，a=，△ABC的面积为，则c+b=
A. 4.5
B. 4
C. 5
D. 6
8. 已知函数f（x）=2cos（）（）满足：f（）=f（），且区间（，）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：
：f（x）在[0,2]上单调递减；
：f（x）的最小正周期是4；
：f（x）的图象关于直线x=对称；
：f（x）的图象关于点（-，0）对称
其中的真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题。
每小题5分，共30分）
9. 函数y=（）的定义域是
10. 在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,已知a=1,sinA=c=-，则c=
11. 设tanα，tanβ是方程-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）=
12. 小甲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系；
F（X）=
，
某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论；
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
其中正确的结论序号有。
（注：请写出所有正确结论的序号）
13. 函数f（x）=+cos()的最大值为
，n=，
14. 设A，B是R的两个子集，对任意x∈R,定义：m=
①若A B，则对任意x∈R,m(1-n)= ;
②若对任意x∈R，m+n=1,则A，B的关系为
三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分10分）
已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程
（2）求函数f（x）的单调区间和极值
16.(本小题满分10分)
甲厂以x千小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10).每小时可获得利润是100(5x+1-)元
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大
问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,且asinB-bcosC=csosB
（1）判断△ABC的形状；
（2）若f(x)=cos2x-cosx+，求f（A）的范围
II卷（共6道题，满分50分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸的相应位置上）
18. △ABC中，A，B，C的对边的长分别为a,b,c,给出下列四个结论：
①以，，为边长的三角形一定存在
②以，，为边长的三角形一定存在
③以，，为边长的三角形一定存在
④以,,为边长的三角形一定存在
那么，正确结论的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
19.如图，点A，B是函数y=在第I象限的图像上两点且满足∠OAB=90°且=，则△OAB的面积等于
A. B.
C. D.
20. 已知函数f（x）=(a∈R),若存在,使得f(f())=，则α的取值范围是
A.[1,e]
B. [0,1]
C. (-∞,0]
D. (-∞,1]
21. 已知圆C：,直线l:y=kx+b(kb≠0),l和C交于A，B两点，以Ox为始边，小强数学逆时针旋转到OA、OB为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin（α+β）是定值
②当k为变数，b为变数时，sin（α+β）是定值
③当k和b都是变数时，sin（α+β）是定值
其中正确命题的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、解答题（本大题共2小题，满分26分，请把结果填在答题纸中）
22. （本小题满分13分）
已知函数f(x)=ax-(2a+1)lnx-,g（x）=-2alnx-，其中a∈R
（1）当a>0时，求f（x）的单调区间
（2）若存在x∈[]，使得不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围
23. （本小题满分13分）
设A是一个由0和1构成的m行n列的数表，且A找那个所有数字之和不小于,所有这样的数表构成的集合记为S（m,n）
记为A的第i行各数之和（1≤i≤m）,为A的第j列各数之和（1≤j≤m）K(A)为，，···，,,,···，中的最大值
（1）对如下数表A，求K（A）的值
（3）已知t为正整数，对于所有的A∈S（6，t），=5（1≤i≤6），且A的任意两行中最多有2列各数之和为2，求t的值。