人大附中高一年级《数学》 第一学期 期末考试试卷
2019北京人大附中高一(上)期末复习数学
数
班级
学
学号
2019.12.28
姓名
一、选择题
2
1. 已知集合 = {| −1 ≥ 1} , = {| = ln(2 − )},则 ∩ =（）
A. [1,2)
B. (1,2)
C. [1,3]
D. (−∞, 2)
2. 已知命题: “∀ ∈ , 2 + 2 > 0”，则命题的否定位（）
人.
14. 设、为两个随机事件，给出以下命题：
1
1
9
5
4
20
①若、为互斥事件，() = , () = , 则( + ) =
1
1
1
1
1
1
2
3
6
1
1
1
2
3
6
1
1
5
2
3
6
;
②若() = 2 , () = 3 , () = 6，则、为相互独立事件；
③若() = () = , () = ，则、为相互独立事件；
④若() = , () = , () = ，则、为相互独立事件；
⑤若() = , () = , () = ，则、为相互独立事件；
其中正确的命题序号为
三、解答题
15.函数() =
1−
−1
, ( > 0 且 ≠ 1)是奇函数
（1）求的值；
（2）判断()在区间(1, +∞)上单调性并加以证明；
= ()是函数 = ()的一个等值域变换。
（1）判断下列函数 = ()是不是函数 = ()的一个等值域变换？说明你的理由；
1
2020-2021中国人民大学附属中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案
2020-2021中国人民大学附属中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2787．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
人民大学附属中学高一(上)期末数学模拟试卷 (7)
人民大学附属中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．B．C． D．2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（）A．14 B．15 C．16 D．323．（5分）已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．﹣14．（5分）若函数f（x）=ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x（x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．7．（5分）方程x﹣log x=3和x﹣log x=3的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．无法确定α与β大小8．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=﹣对称B．由y=2sin2x的图象向左平移得到MC．图象M关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间（﹣，）上递增9．（5分）函数y=sin2（x﹣）的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．πB．C． D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣，﹣）11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0 B．C．D．112．（5分）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A．B．C． D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）计算：log 3+lg4+lg25+（﹣）0=．14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为．15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为．16．（5分）已知正实数x，y，且x2+y2=1，若f（x，y）=，则f（x，y）的值域为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|5≤x＜7}（1）求集合A；（2）求（∁U B）∩A．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+4x+1，且满足f（﹣1）=f（3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求f（x）的值域．20．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2cosωxsinωx+sin（ωx+）sin（ωx﹣）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）=log2（）﹣x（m为常数）是奇函数．（1）判断函数f（x）在x∈（，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2x+m 恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．B．C． D．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（）A．14 B．15 C．16 D．32【解答】解：集合M={1，2}，N={2，3，4}，则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=，f（﹣1）=f（1），∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，∵f（﹣1）=f（1），∴a=2．故选：B．4．（5分）若函数f（x）=ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x（x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解：f（x）为偶函数，则b=0；∴g（x）=ax3+x；∴g（﹣x）=a（﹣x）3﹣x=﹣（ax3+x）=﹣g（x）；∴g（x）是奇函数．故选A．5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：a=log2＜0，b=（）3∈（0，1），c=3＞1．∴c＞b＞a．故选：B．6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，∴tan（α﹣）=tan[（α﹣β）﹣（﹣β）]===．故选：C．7．（5分）方程x﹣log x=3和x﹣log x=3的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．无法确定α与β大小【解答】解：方程x﹣log x=3和x﹣log x=3，分别化为：log2x=3﹣x，log3x=3﹣x．作出函数图象：y=log2x，y=3﹣x，y=log3x．则α＜β．故选：A．8．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=﹣对称B．由y=2sin2x的图象向左平移得到MC．图象M关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间（﹣，）上递增【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，令x=﹣，可得f（x）=0，可得图象M关于点（﹣，0）对称，故图象M不关于直线x=﹣对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，故B不正确；在区间（﹣，）上，2x+∈（0，π），函数f（x）=2sin（2x+）在区间（﹣，）上没有单调性，故D错误，故选：C．9．（5分）函数y=sin2（x﹣）的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．πB．C． D．【解答】解：函数y=sin2（x﹣）==的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），可得y=的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得2m=（2k+1）•，k∈Z，即m═（2k+1）•，则m的最小值为，故选：D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣，﹣）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（3|2a+1|）＞f（﹣），等价为f（3|2a+1|）＞f（），∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴3|2a+1|＞，即2a+1＜﹣或2a+1＞，解得a＜﹣或a＞﹣，故选A．11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0 B．C．D．1【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．12．（5分）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A．B．C． D．3【解答】解：函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==﹣在区间[a，b]上时增函数，则有：，故a，b是方程f（x）=﹣=x的同号相异的实数根，即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同号相异的实数根．那么ab=，a+b=，只需要△＞0，即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．那么：n﹣m==，故b﹣a的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）计算：log 3+lg4+lg25+（﹣）0=．【解答】解：原式=+lg102+1=+2+1=．故答案为：．14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为4cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，∴扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm，故答案为：4cm．15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为﹣1．【解答】解：∵α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），∴cos2α=2sin （+α），∴（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=（cosα+sinα），∴cosα+si nα=0，或cosα﹣sinα=（不合题意，舍去），∴α=，∴2α=，∴sin2α=sin=﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）已知正实数x，y，且x2+y2=1，若f（x，y）=，则f（x，y）的值域为[，1）．【解答】解：x2+y2=1；∴=====；∵1=x2+y2≥2xy，且x，y＞0；∴；∴1＜1+2xy≤2；∴；∴；∴f（x，y）的值域为．故答案为：[，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|5≤x＜7}（1）求集合A；（2）求（∁U B）∩A．【解答】解：（1）由题意可得：；解得3≤x＜10；∴A={x|3≤x＜10}；（2）C U B={x|x＜5或x≥7}；∴（C U B）∩A={x|3≤x＜5或7≤x＜10}．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得：．（2）==．19．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+4x+1，且满足f（﹣1）=f（3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求f（x）的值域．【解答】解：（1）由f（﹣1）=f（3）可得该二次函数的对称轴为x=1…（2分）即从而得m=﹣2…（4分）所以该二次函数的解析式为f（x）=﹣2x2+4x+1…（6分）（2）由（1）可得f（x）=﹣2（x﹣1）2+3…（9分）所以f（x）在（﹣2，2]上的值域为（﹣15，3]…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2cosωxsinωx+sin（ωx+）sin（ωx﹣）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调增区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+2cosωxsinωx+sin（ωx+）sin （ωx﹣），=+sin2ωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx），=；…（5分）由题意得，即可得ω=1…（6分）（2）由（1）知则由函数单调递增性可知：整理得：…（9分）∴f（x）在（0，π）上的增区间为，…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=log2（）﹣x（m为常数）是奇函数．（1）判断函数f（x）在x∈（，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由条件可得f（﹣x）+f（x）=0，即，化简得1﹣m2x2=1﹣4x2，从而得m=±2；由题意m=﹣2舍去，所以m=2，即，上为单调减函数；证明如下：设，则f（x1）﹣f（x2）=log2（）﹣x1﹣log2（）+x2，因为＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0；所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；所以函数f（x）在x∈（，+∞）上为单调减函数；（2）设g（x）=f（x）﹣2x，由（1）得f（x）在x∈（，+∞）上为单调减函数，所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上单调递减；所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上的最大值为，由题意知n≥g（x）在[2，5]上的最大值，所以．22．（12分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，∵f（）=﹣．∴a（sin+cos）﹣sin﹣1=﹣．解得：a=1，函数f（x）的最小正周期T=π，（2）存在n=504，满足题意：理由如下：当时，，设t=sinx+cosx，则，sin2x=t2﹣1，则，可得t=1或，由t=sinx+cosx图象可知，x在上有4个零点满足题意．当时，，t=sinx﹣cosx，则，sin2x=1﹣t2，，，t=1或，∵，∴x在上不存在零点．综上讨论知：函数f（x）在[0，π）上有4个零点，而2017=4×504+1，因此函数在[0，504π]有2017个零点，所以存在正整数k=504满足题意．。
2023-2024学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题含解析
故选 B
点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报 y 的值，这是
一些解答题 7、A
【解析】转化为当
x
0,
1 2
时，函数
y
4x
3 2
的图象不在
y
loga
x
的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】由题意知关于
x
的不等式
4x
3 2
loga
x
在
x
向左平移 个单位长度，得到函数
，即可求出最小正周期，把
看成是整体，分别求 的单
调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.
【详解】由于函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为
，再将所得图象向左平移 个单位长度，
.
，故 A 错误；
的单调减区间为
，故 在区间 内不单调递减；
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (x) f (x 4) ，且 f (1) 1，则 f (2020) f (2021) （ ）
A. 1
Hale Waihona Puke B. 0C.1D. 2
2．若直线 l : x 3y n 0 与圆 x2 y2 2x 4 y 0 交于 A, B 两点，A, B 关于直线 3x y m 0 对称，则实数 m 的
2023-2024 学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题
注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
北京市人大附中2023届数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析
7、C
【解析】由平行线的传递性可判断 A；由线面垂直的定义可判断 B；由线面平行的定义可判断 C；由线面平行的性质
和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断 D.
【详解】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故 A 正确；
由线面垂直的定义可得，若直线 m 垂直于平面 内的任意一条直线，则直线 m 垂直于平面 ，故 B 正确；
4
4
2
对于④，x 代入到 y＝sin（2x 5 π）得到 sin（2 5 π）＝sin 3 1，故命题④正确；
8
4
84
2
对于⑤，x
5 3
代入到
y
tan
x 2
6
得到
tan（
5 3 2
6
）＝0，故命题⑤正确.
故答案为④⑤
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与求值问题，是综合性题目
【解析】设幂函数为
f
x
xa
，代入点
2,
1 4
，得到
f
x
x2
，判断函数的奇偶性和值域得到答案.
【详解】设幂函数为
f
x
xa
，代入点
2,
1 4
，即 2a
1a 4
2 ，
f
x
x2
定义域为 ,0 0, ，为偶函数且 f x x2 0,
故选： A
【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
2
14．若命题“ x R, x2 2mx m 2 0 ”为真命题，则 m 的取值范围是______
x2 2x, x 0
15．函数
2023届北京市中国人民大学附属中学高一上数学期末含解析
【解析】（1）做辅助线，利用勾股定理，计算BC的长度，然后得出C的坐标，结合圆的方程，即可得出答案．（2）利用直线垂直，斜率之积为-1，计算切线的斜率，结合点斜式，得到方程．
【详解】（1）
过C点做CD BA，联接BC，因为 ，所以 ，因为
所以 ，所以圆的半径
故点C的坐标为 ，所以圆的方程为
14．已知 ，则 ____________
15．设x、y满足约束条件 ，则 的最小值是________.
16．已知扇形的圆心角为 ，扇形的面积为 ，则该扇形的弧长为____________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是
圆的半径为1，
故切线长的最小值为 ，
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题
3、C
【解析】圆心为 和 ，半径为 和 ，圆心距离为 ，由于 ，故两圆相交.
4、C
【解析】∵集合A={t2+s2∣∣t,s∈Z}，
∴1∈A，2∈A，1+2=3∉A，故A“x+y∈A”错误；
又∵1−2=−1∉A，故B“x−y∈A”错误；
A. B.
C. D.
6．点 直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
7．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是 密位制，即将一个圆周角分为 等份，每一个等份是一个密位，那么 密位对应弧度为（）
A. B.
C. D.
8．已知 则 （）
A. B.
1人大附中数学必修1测试题及参考答案
人大附中2008-2009学年第一学期高一年级必修1考核试卷2008年11月5日 制卷人 高德莲 审卷人 梁丽平卷一 （共90分）说明：本试卷分卷一共三道大题，17道小题，卷二共二道大题，6道小题；满分120分，考试时间90分钟；请在密封线内填写个人信息。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．若{2,1,2,3}A =-，},|{2A t t x x B ∈==，则集合B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8 个 2.下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．1y x =- C ．xy 1=D ．42+-=x y 3. 若()2x f x =，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ． 偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 4．二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，当1x =时，y 的值为（ ）A ．-7B ．1C ．17D ．255( )A ．lg 41-B ．1lg 4-C ．lg 3D ．1 6. 下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A.y =B.2x y x=C.log (0,a x y a a =>且1)a ≠D.log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 7. 下列计算中，一定正确的是 （ ）A ．2332a a a ⋅= B ． 0(2)1a -= C ．13a-=．=8. 设函数)(x f 是奇函数，且对任意正实数x 满足)2(2)2(x f x f --=+， 已知(1)4f =，那么)3(-f 的值是（ ）A ．2B ．8-C ．8D ．2-9．三个数680.80.8log 6，0.8，的大小关系为（ ）A . 680.80.8log 60.8<< B . 680.80.80.8log 6<< C ．860.8log 60.80.8<< D . 680.8log 60.80.8<<10．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值是（ ）A. 19- B. 9 C.－9 D.91二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答题表中） 11. 函数2lg -=x y 的定义域是 . 12. 若2log 3x =，则22x x -+的值为_____________13. 函数2y x -=在区间]2,21[上的最大值是 _14．若函数 3)1()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是 三、解答题（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.（本题满分12分）已知函数2()1f x x =+（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 在区间(1,)-+∞上的单调性，并用单调性的定义证明. 16.（本题满分12分）我们国家是水资源比较贫乏的国家之一，各个地区采用不同的价格调控以达到节约用水的目的。
人民大学附属中学高一(上)期末数学模拟试卷 (14)
人民大学附属中学高一（上）期末数学模拟试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．（3分）若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．（3分）不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是．5．（3分）若f（x+1）=2x﹣1，则f（1）=．6．（3分）不等式的解集为．7．（3分）设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=．8．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．9．（3分）设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．（3分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=x的大致图象是（）A．B．C．D．14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时f（x）=（）A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣115．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．（3分）给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．x﹣[x]≥0B．x﹣[x]＜1C．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立D．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD 垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．（10分）设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a 的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．（12分）在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．（3分）若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．（3分）不等式2|x﹣1|﹣1＜0的解集是．【解答】解：①若x≥1，∴2（x﹣1）﹣1＜0，∴x＜；②若x＜1，∴2（1﹣x）﹣1＜0，∴x＞；综上＜x＜．故答案为：＜x＜．5．（3分）若f（x+1）=2x﹣1，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（x+1）=2x﹣1，∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．（3分）不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于（x﹣3）（x﹣2）≥0且x﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．（3分）设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3分）已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：x，x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．（3分）设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2．【解答】解：α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m+1，若α是β的必要条件，则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3．10．（3分）函数的值域是（0，4] ．【解答】解：设t=x2﹣2≥﹣2，∵y=（）t为减函数，∴0＜（）t≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．（3分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：由于函数f（x）=是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=x的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：y=f（﹣x）===f（x），∴函数y=x为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵＞1，∴当x＞0时，y=x的变化是越来越快，故排除B故选：A14．（3分）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则x＜0时f（x）=（）A．﹣x﹣1 B．x+1 C．﹣x+1 D．x﹣1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x﹣1，又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x+1，故选B．15．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）x≥a，整理得：1.1x≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．（3分）给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．x﹣[x]≥0B．x﹣[x]＜1C．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立D．令f（x）=x﹣[x]，对任意实数x，f（﹣x）=f（x）恒成立【解答】解：在A中，∵[x]为不大于x的最大整数，∴x﹣[x]≥0，故A正确；在B中，∵[x]为不大于x的最大整数，∴x﹣[x]＜1，故B正确；在C中，∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，∴对任意实数x，f（x+1）=f（x）恒成立，故C正确；在D中，∵[x]为不大于x的最大整数，f（x）=x﹣[x]，∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，∴对任意实数x，f（x+1）=f（x）不成立，故D错误．故选：D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…（2分）得，m2+m≤﹣m+3…（2分）即，m2+2m﹣3≤0…（2分）得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2分）18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【解答】解：由题意…．（2分）S AMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．（5分）…．（2分）当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．（7分）面积的最小值为24平方米．…．（8分）19．（10分）设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===，由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a 的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，知函数f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，即a=1；（2）函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象的对称轴为直线x=a，由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得．当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．（12分）在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在x∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立；②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。