易错汇总年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷和答案
人大附中第一学期高二数学期末测试
人大附中-第一学期高二数学期末测试一．单项选择题.1.椭圆2212516x y +=上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．102.如果方程 表示焦点在轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（ ）A ．B ．（0，2）C ．D ．（0，1）3. 椭圆 与的关系为（ ）A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的准线4. 方程所表示的曲线为．①若曲线 为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则 或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在 轴上椭圆，则以上命题正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④5. 设双曲线 的一条准线与两条渐近线交于 、 两点，相应焦点为 ，若为正三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．3C ．D ．26. 已知抛物线的焦点为，定点，在此抛物线上求一点，使最小，则点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 动点 到点 的距离比到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．23C ．26D ．332二．填空题.9.如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．10. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______．11. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，则线段的长是____．12. 抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________. 三．解答题.13. 已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．14．已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．15. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．16．设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy=上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx+取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)(文)当3,121-==xx时，求直线l的方程.(Ⅱ)(理)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.-第一学期高二数学期末测试参考答案一．单项选择题.1.B2.D3.B4. C5.D6.C7.D8.D二．填空题.9. 110.11. 812.三．解答题.13.解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条为．可设双曲线方程为即由椭圆方程可知双曲线与椭圆共焦点，则∴．故所求双曲线方程为．解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程可得∴故所求双曲线方程为点评：1．渐近线为的双曲线方程可表示为14．解：设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．15.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．说明处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．16．解：（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.另解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F…………………………9分（Ⅱ）（文）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分 （II ）(理)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ；A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.。
2018-2019学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．（5分）下列导数公式错误的是（）A．（sin x）'＝﹣cos x B．C．D．（e x）'＝e x2．（5分）双曲线x2﹣＝1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣）B．（，0），（﹣，0）C．（0，2），（0，﹣2）D．（2，0），（﹣2，0）3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，则＝（）A．+﹣B．++C．﹣﹣D．﹣++4．（5分）若＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），则＝＝是∥的（）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．x＝，f（x）取得最大值B．x＝，f（x）取得最小值C．x＝2，f（x）取得最大值D．x＝2，f（x）取得最小值7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则＝．10．（5分）已知函数，则f′（1）＝．11．（5分）已知空间向量＝（0，1，1），＝（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是．13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．则（1）M到CC1距离的最小值为；（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有种．三、解答题（共3小题，满分30分）15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c的值为；当x＝时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．（Ⅱ）求实数a，b的值．（Ⅲ）求f（x）的单调区间．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为P A中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M 到y轴的距离等于（）A．2B．25C．3D．419．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m ＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（）A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（）A．B．C．D．21．（6分）已知集合R n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n）∈R n，B＝（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|＝．若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（）A．4B．5C．6D．8二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.22．（13分）已知离心率为的椭圆C：+＝1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q 两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a＝0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f （x）的不动点？证明你的结论．2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）1．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（sin x）'＝cos x，故A错误；对于B、（lnx）′＝，故B正确；对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2＝﹣，故C正确；对于D、（e x）'＝e x，故D正确；故选：A．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣＝1，其中a＝1，b＝，则c＝＝2，又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；故选：D．3．【解答】解：═＝故选：C．4．【解答】解：∵＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），∴当＝＝时，向量∥成立．当＝（1，0，0），＝（2，0，0），满足∥，但＝＝不成立，∴＝＝是∥的充分不必要条件．故选：D．5．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B＝a，A1C1＝a，∠A1BC1的余弦值为，故选：D．6．【解答】解：∵f（x）＝，（x＞0）∴f′（x）＝﹣+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2时，f（x）取最小值，故选：D．7．【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是﹣，二次函数的顶点和导函数的解均在直线x＝﹣上，故对于选项B是错误的，故选：B．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得﹣2≤k≤2，即k的取值范围为[﹣2，2]；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）9．【解答】解：∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．10．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝，∴f′（1）＝，故答案为：0．11．【解答】解：已知，则：，由于，则：解得：x＝1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13．【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，当x＝40，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；故答案为：40．14．【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，连结AC，BD，交于点O，则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，∴M到CC1距离的最小值为|OC|＝＝．故答案为：．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），M位于BD1三等分点处时，设M（），∴AM＝＝，BM＝＝，CM＝＝，DM＝＝1，A1M＝＝1，B1M＝＝，C1M＝＝1，D1M＝＝．∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．故答案为：4．三、解答题（共3小题，满分30分）15．【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，由抛物线的定义可得x A+1＝2，x B+1＝5，即有x A＝1，x B＝4，即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，AB的方程为2x+y﹣4＝0，O到直线AB的距离为d＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）6，3（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．17．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△P AC中，由已知E为P A中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．＝（﹣1，2，0），＝（0，1，﹣1）．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，得＝（2，1，1）．平面PCD的法向量为＝（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα＝＝．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），＝（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），＝（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，＝．…（14分）一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）18．【解答】解：由抛物线为y2＝2x，可得p＝1．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，设线段AB中点的横坐标为m，则＝m，即x1+x2＝2m，由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．故选：A．19．【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，如图所示：而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，在（x3，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．故选：C．20．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则D（1，0，2），B1（0，1，3），设P（0，0，z），则＝（1，0，2﹣z），＝（0，1，3﹣z），∴•＝0+0+（2﹣z）（3﹣z）＝﹣，故当z＝时，•取得最小值为﹣，故选：B．21．【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M＝或M＝，（1，1，1），故集合M中元素个数最大值为4，故选：A．二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）. 22．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得e＝，则＝，设椭圆方程为：+＝1（b＞0）由题意可知点P（2，1）在椭圆上，所以．解得b2＝2．故椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意可知，直线P A，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ＝∠BPQ，所以k P A＝﹣k PB．设直线P A的斜率为k，则直线P A：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…（1）．依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，化简得16（2k+1）2＞0，解得k．因为2是方程（1）的一个解，所以2x A＝．所以x A＝．当方程（1）根的判别式△＝0时，k＝，此时直线P A与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．同理，易得x B ＝＝．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线P A的斜率k需满足|t |．设四边形APBQ面积为S，则＝＝＝由于|t |，故S ＝＝当|t|时，，可得，即0＜S＜4．（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t ）＝在t ∈时的取值范围．f′（t）＝4﹣＝，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）23．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x ＝±．[（3分）]f（x）和f′（x）的变化情况如下表：）（﹣）（，所以，x＝﹣是f（x）的极大值点；x＝是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3+b＝0；若x＝x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3＝x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3＝0．[（6分）]设g（x）＝2x3+x﹣3．所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，即方程2+x0﹣3＝0的根为x0＝1，所以b＝﹣3＝﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3＝0．①又因为3+2ax1+b＝0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9＝0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9＝0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2＝﹣．对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2＝﹣，所以﹣＝﹣，即a2﹣3b＝﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
人大附中高二年级数学第一学期期末试题整理
第一学期期末考试 高二数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷相应的位置上．）1、若R c b a ∈、、且||||b c a <-，则有（A ） ||||||c b a -> （B ） ||||||c b a +> （C ） ||||||c b a -< （D ） ||||||c b a +< 2、方程x x y =-||表示的曲线是（A ） 一条直线 （B ） 一条射线 （C ） 两条射线 （D ） 两条直线 3、直线l 1：x ＋3y －7＝0，直线l ２：kx －y －2＝0与x 轴、y 轴正向所围成的四边形有外接圆，则k 的值为（A ） －3 （B ） 3 （C ） －6 （D ） 6 4、“直线l 平行于抛物线的对称轴”是“直线l 与抛物线仅有一个交点”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 5、能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤⎩⎨⎧≥+-≤⎩⎨⎧≤+-≤≤00221)(002210)(0221)(02210)(x y x y D x y x y C y x y B y x y A6、与两圆122=+y x 及012822=+-+x y x 都内切的圆的圆心在 )(A 一个椭圆上 )(B 双曲线一支上 )(C 一条抛物线上 )(D 一个圆上7、已知 A(2 ,-3) ,B(-3 , -2) ，直线l 过定点P(1 ,1)且l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） (A) k≥43或k ≤-4 (B) -4≤k ≤ 43 (C) k≠ 21 (D) 43≤k≤4 8、设P (x ，y )是第一象限的点，且点P 在直线3x ＋2y ＝6上移动，则xy 的最大值是 （A ） 1.44 （B ） 1.5 （C ） 2.5 （D ） 19、已知()x f =－x －x 2，如果a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0则()()()c f b f a f ++的值（ ）(A ) 小于0 (B ) 大于0 (C ) 等于0 (D ) 符号不确定 10、经抛物线)0(22>=p x p y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B ，则=2121x x y y )(A 4 )(B －4 )(C p 2 )(D －p 211、如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为MN ，P 为椭圆上任一点，P Q ⊥MN 于Q 且|P Q|2＝k |M Q|•|Q N |，则k 的值 )(A 等于22a b)(B 等于22b a)(C 等于1 )(D 与P 的位置有关12、设双曲线0(12222>>=-a b by a x 的半焦距为c ， 直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ） 3 （C ） 2 （D ）332 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将正确答案填在题的横线上．）13、实数a 、b 、c 、d 满足下列三个条件：c b b a d c b a c d +<++=+>)3(,)2(,)1(．则将a 、b 、c 、d 按由大到小．．．．的顺序排列为 ．（不按要求作答不给分） 14、点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且不在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标为 ．15、双曲线112422=-y x 的两条渐近线的夹角是 ．16、给出下列四个命题：①平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 的距离是13132； ②方程11422-=-+-ty t x 不可能表示圆；③双曲线1422=+ky x 的离心率为21<<e ，则k 的取值范围是()20,60--∈k ；④曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称． 其中正确．．的命题的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷相应的位置上．） 17、（本小题满分12分）解关于x 的不等式：)0(02><--a a x a x ．18、（本小题满分12分）已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。
北京市人大附中2020-2021学年度高二年级上学期期末考试数学试题 含答案
北京市人大附中2020~2021学年高二第一学期期末考试数学2021年1月20日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为学分认定成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期末成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．设m n ，是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ C ．若//,//m m αβ，则//αβ D ．若,m n αα⊥⊥，则//m n2．已知复数(1)(31)i i z i −−=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =−−C ．24z z −−的虚部为1 D ．||z =3．如果直线20x y +=与直线10x my +−=垂直，那么m 的值为（ ）A ．2−B ．12−C ．12D ．2 4．某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ）A ．54种B ．45种 C ．45C 种 D ．45A 种 5．已知拋物线的准线方程为7x =−，则抛物线的标准方程为（ ）A ．228x y =−B ．228y x =C ．228y x =−D ．228x y = 6．已知二项式()*2nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为（ ）A ．14B ．10082017C ．240D ．240− 7．在棱长为1的正四面体ABCD 中，EF ，分别是棱BC AD ，的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ．0B ．12C ．34−D ．12− 8．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F B ，为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于另一个点C （O 为坐标原点），若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC ．12D ．13二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．若复数11mi z i+=+（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是______．10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为________．11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，将这个菱形沿对角线BD 折成60︒的二面角，这时线段AC 的长度为_______．12．若直线3450x y −+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A B ，两点，且120AOB ︒∠=（O 为坐标原点），则r =_________．13．用123,,组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有_______个．14．如图，若正三棱柱111ABC A B C −的底面边长为8，对角线1B C 的长为10，点D 为AC 的中点，则点1B 到平面1C BD 的距离为_____，直线1AB 与直线BD 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，已知定点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、,OAB 的外接圆为圆M ，直线l 的方程为2y kx =−．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆M 相切，求k 的值；（Ⅲ）若直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =，求k 的值．16．（本题满分10分）如图，在四棱锥E ABCD −中，平面ADE ⊥平面ABCD O M ，，分别为线段AD DE ，的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥．（Ⅰ）求证：//CM 平面ABE ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长．17.（本题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，且离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y kx =C 交于,M N 两点，若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．Ⅱ卷（共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．在7(2)x y +的展开式中，系数最大的项是（ ）A ．768yB ．34112x yC ．25672x yD ．251344x y 19．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D20．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，6AB =，点P 在平面11AB D 内，1A P =P 到1BC 距离的最小值为（ ）A ．B ．CD ．3五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．已知直线1:43120l x y −+=和直线2:1l x =−，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是________．22．已知集合(){}12345,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈−=∣，则集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为_________．23．已知椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分）六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（本题满分14分） 已知椭圆22:14x y w m m+=的左顶点为(2,0)A −，动直线l 与椭圆w 交于不同的两点,P Q （不与点A 重合），点A 在以PQ 为直径的圆上，点P 关于原点O 的对称点为M ．（Ⅰ）求椭圆w 的方程及离心率；（Ⅱ）求证：直线PQ 过定点；（Ⅲ）（i ）求PQM 面积的最大值； （ii ）若MPQ 为直角三角形，求直线l 的方程．北京市人大附中2020~2021学年高二第一学期期末考试数学答案一、1D 2C 3A 4A 5B 6C 7D 8D二、9．11m −<< 10．22145x y −= 1112．2 13．36 14．（1（2三、15．（本题满分10分）解：（Ⅰ）法一：设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+−>， 1分 因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以110420F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩ 2分解得200D E F =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，经检验符合题意所以圆M 的方程为2220x y x +−=． 3分法二：因为圆M 经过点(0,0)(1,1)(2,0)O A B 、、，所以||||OA AB OA AB ⊥=， 1分所以圆心为(1,0)M ，半径为1r = 2分所以圆M 的方程为22(1)1x y −+=． 3分（Ⅱ）因为直线l 与圆M 相切，所以圆心(1,0)M 到直线:2l y kx =−的距离为1． 4分1=， 5分 解得34k =． 6分（Ⅲ）设圆心(1,0)M 到直线l 的距离为d ，因为直线l 与圆M 相交于E F ，两点，||EF =， 所以222||2EF d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 7分所以2212d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭所以2d = 8分2= 解得1k =或7k =． 10分16．（本题满分10分）解：（Ⅰ）取AE 中点F ，连接MF BF ，，因为M 为线段DE 的中点， 1分 所以1//2MF AD MF AD =，， 因为四边形BCDO 是正方形，O 为线段AD 的中点， 所以1//2BC AD BC AD =，， 所以//BC MF BC MF =，所以四边形BCMF 为平行四边形．所以//MC BF ， 2分因为MC ⊂/平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，所以//CM 平面ABE ． 3分（Ⅱ）因为AE DE O =，为线段AD 的中点，所以EO AD ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD因为平面ADE ⋂平面ABCD AD =EO ⊂平面ADE所以EO ⊥平面ABCD因为OB ⊂平面ABCD 所以EO OB ⊥又因为OB OD ⊥所以OE OB OD ，，三线两两垂直． 4分以O 为原点，以OB 为x 轴，以OD 为y 轴，以OE 为z 轴建立直角坐标系，如图． 则(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B E D − 5分设平面ABE 的一个法向量为(,,)m x y z =因为(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==因为00AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以00x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1z =得11y x =−=，所以(1,1,1)m =− 6分因为(0,1,1)DE =−设DE 与平面ABE 所成角为θ所以sin |cos ,|3m DE θ=〈〉== 所以直线DE 与平面ABE7分 （Ⅲ）设(0,,0)N t 因为11110,,,1,,,(1,,0)2222M MB BN t ⎛⎫⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面BMN 的一个法向量为(,,)n x y z =因为00MB n BN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以110220x y z x ty ⎧−−=⎪⎨⎪−+=⎩ 令1y =得21x t z t ==−，所以(,1,2t 1)n t =− 8分因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅= 9分所以1210t t −+−= 所以23t = 线段25133AN =+=． 10分17．解：（Ⅰ）由题意得2,2c a e a ===，所以c = 1， 因为222a b c =+，所以1b =， 2，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． 3，（Ⅱ）因为四边形PAMN 是平行四边形，则//PA MN ，且||||PA MN =．所以直线PA 的方程为(2)y k x =−，所以(3,),||P k PA = 4，设()()1122,,,M x y N x y ．由2244,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()224180k x +++=，5，由0>，得212k >．且1212228,4141x x x x k k +=−=++． 6，所以||MN ==． 7，因为||||PA MN =，所以=整理得421656330kk −+=，解得2k =±，或2k =± 9，经检验均符合0>，但2k =−时直线MN 过点A ，不满足四边形 PAMN 是平行四边形，舍去．所以k =2k =±． 10， 四、18．C 19．A 20．B五、21．16522．130 23．①③（此题错选得0分，少选得部分分，完全正确得满分） 六、24．解答：（Ⅰ）因为椭圆22:14x y w m m+=的左顶点为20A （-,）， 所以44m =，所以1m =， 1，所以椭圆w 的方程为2214x y +=， 2，因为21a b ==，，所以c =所以椭圆w 3， （Ⅱ）设()()1122,,P x y Q x y ，，当PQ x ⊥轴时，()11,Q x y −因为点A 在以PQ 为直径的圆上，所以PA QA ⊥，所以0PA QA ⋅=所以()221120x y −−−=因为221114x y += 所以211516120x x ++= 解方程得165x =−或12x =− 因为l 不过(2,0)A −，所以12x =−舍去， 所以165x =−，所以直线 PQ 的方程为65x =−． 4， 当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为(0)y kx n k =+≠，由2244y kx n x y =+⎧⎨+=⎩得()222418440k x knx n +++−= 所以122212208414441kn x x k n x x k ⎧⎪>⎪⎪+=−⎨+⎪⎪−=⎪+⎩5， 因为0PA QA ⋅=所以()()1212220x x y y +++=所以()()2212121(2)40k x x kn x x n ++++++= 所以()222224481(2)404141n kn k kn n k k −−+++++=++ 6， 所以22121650k kn n −+=所以(65)(2)0k n k n −−=所以2n k =或65n k =当2n k =时直线l 的方程为(2)y k x =+过(2,0)A −，不合题意，舍去． 当65n k =时，直线l 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 综上，直线PQ 过定点6,05⎛⎫− ⎪⎝⎭． 7，（Ⅲ）（i ）连接QO ，因为O 为PM 中点， 所以121216622255PQM POQ S S y y y y ==⨯⨯−=− 当PQ x ⊥轴时，由（Ⅱ）知6464,,5555P Q ⎛⎫⎛⎫−−−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以644825525PQM S ==⨯⨯=． 8， 当PQ 与x 轴不垂直时，1212121666222555PQM POQ S S y y kx kx k x x ==⨯⨯−=−=−‖266|||5541k k k ==+2242541k =+ 9， 令2411(0)t k k =+>≠所以PQM S ===因为101t<< 所以48025PQM S << 10， 综上，当直线6:5l x =−时，PQM 的面积最大，最大值为4825．（Ⅲ）（ii ）因为MPQ 为直角三角形，设6,05T ⎛⎫− ⎪⎝⎭下面分三种情况讨论：①当90QPM ︒∠=时，则0TP OP ⋅= 因为()11116,,5TP x y OP x y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以2211161054x x x ++−=，所以2111524200,0x x ++=<，所以无解．所以QPM ∠不可能为直角． 11， ②当90PQM ︒∠=时，当PQ x ⊥轴时，由椭圆的对称性知90PQM ︒∠= 此时l 的方程为65x =− 12，当PQ 与x 轴不垂直时，1PQ QM k k ⋅=− 又2221212122212121114PQ QM y y y y y y k k x x x x x x −+−⋅=⋅==−≠−−+−所以，此时90PQM ︒∠≠． 13， ③当90QMP ︒∠=时因为PQ 的方程为65y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为14PQ QM k k ⋅=−，所以14QM k k =−又因为1MP QM k k ⋅=−，所以4MP k k = 所以直线PM 的方程为4y kx =由465y kxy k x=⎧⎪⎨⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭⎩得28,55kP⎛⎫⎪⎝⎭因28,55kP⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以2464442525k+⨯=解得k=，所以直线l的方程为645y x⎫=±+⎪⎝⎭综上，直线l的方程为410410y x y x=+=−−或65x=−14。
2017-2018年北京市人大附中高二上学期期末数学试卷与解析
2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ=﹣．故选：C．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．4．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD 所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠010．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在实数m，n使得=m+n，∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．故答案为：11．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．故答案为：12．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．令x=0，解得．综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；（2）由（1）可知：．如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，解得x=﹣1.4或1．①当a≤﹣1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P 满足|PA|+|PB取得最小值，∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．综上可知：d（a）=三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），∴=2，∴A1C1∥EF．（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），∴•=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，【解答】∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=，得=（0，2t，）．由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，∴cos60°=，即=，解得t=．因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，∴c=1，e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅲ）设P（x 1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由①得x 1+x2=﹣．②又y1+y2=k（x1+x2）+2③因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．所以向量+共线等价于x 1+x 2=﹣（y 1+y 2）．将②③代入上式，解得k=． 所以不存在常数k ，使得向量+与共线．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题(1)
北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==L L ，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项四、双空题6．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____.五、填空题六、单选题8．已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是A ．1322a a a+³B ．2221322a a a +³C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >9．某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11八、单选题11．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件九、填空题12．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．列{}n a 的任意一项都是{}na 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}na 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p q <，求证： 00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}na 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{}na 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个()1,2,...s =，求数列{}n a 的通项公式．17．对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5),(4,1)P ，求12(),()T P T P 的值；（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列:(,),(,)P a b c d 和:(,),(,)P c d a b ¢，试分别对m a =和m d =两种情况比较2()T P 和2()T P ¢的大小；（3）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.(只需写出结论).十一、单选题18．设等差数列{a}的前n 项和为S ，在同一个坐标系中，a=f （n ）及S=g （n ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．当n =4时，S 取得最大值B ．当n =3时，S 取得最大值C ．当n =4时，S 取得最小值D ．当n =3时，S 取得最大值十三、解答题20．求下列数列{}na 的通项公式.(1)111,221n n a a a -==+；(2)111,3n n a a a -==；(3)32n nS =-；(4)1111,3n n n a a a --==+；m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度（单位：m /s ）为A ．37B ．38C ．39D ．40十五、解答题29．设函数2()ln (R)f x x ax x a =+-Î，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1.A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a bc c<答案第11页，共22页【详解】解：q===﹣2，|a 1|+|a 2|+…+|a n |==故答案为﹣2，11．D【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列12．8【详解】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.13．（I ）ln 2n ；（II ）122n +-.【分析】（I ）设公差为d ，根据题意可列关于1,a d 的方程组,求解1,a d ，代入通项公式可得；（II ）由（I ）可得2n a n e =，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【详解】（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为q 的递增子列12,,q a a a L ，都能从其中找到若干个长度为p 的递增子列12,,p a a a L ，此时p q a a £，设所有长度为q的子列的末项分别为：{}123,,,q q q a a a L ，所有长度为p的子列的末项分别为：{}123,,,p p p a a a L ，则{}0123min ,,,n q q q a a a a =L ，注意到长度为p 的子列可能无法进一步找到长度为q 的子列，故{}0123min ,,,m p p p a a a a £L ，据此可得：00m n a a <.(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数，下面说明此数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有12s -个()1,2,s =L ：当1n =时命题显然成立，假设当n k =时命题成立，即长度为k 末项为2k-1的递增子列恰有12k -个，则当1n k =+时，对于n k =时得到的每一个子列121,,,,21k s s s a a a k --L ，可构造：()121,,,,21,211k s s s a a a k k --+-L 和()121,,,,2,211k s s s a a a k k -+-L 两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有()1112222k k k +--´==个，综上可得，数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nn n a n n -ì==í+îL 为偶数为奇数是一个满足题意的数列的通项公式.注：当3s =时，所有满足题意的数列为：{}{}{}{}2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5，当4s =时，数列{}2,3,5对应的两个递增子列为：{}2,3,5,7和{}2,3,6,7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.17．（1）7,8；（2）无论还是，都有成立；（3），，，，.【详解】试题分析：根据条件中的定义，对于数对序列1122:(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，{}112()(),(2)k k k k T P b Max T P a a a k n -=++++££L ，其中{}112(),k k Max T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a L +++两个数中最大的数，求解.依题意，，.（2），，当时，，因为，且，所以，当时，，因为，且，所以，所以无论还是，都有成立.（3）数对序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，，，，.考点：新定义题型.18．A【分析】由图象可知可能：①70.7a =，70.8S =-，80.4a =-．②70.7a =，70.8S =-，80.4S =-．③70.8a =-，70.7S =，80.4a =-．④70.8a =-，70.7S =，80.4S =-．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．用导数研究()m x 在R 上的单调性，明确其正负.然后分0a £和0a >两种情况讨论()h x 极值情况即可.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f p p =-又()22sin f x x x ¢=-，所以()2f p p ¢=，因此 曲线()y f x =在点()(),f p p 处的切线方程为()()222y x p p p --=-，即 222y x p p =--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x ¢=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x ¢=-³所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a £时，x e a -0>当0x <时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x ¢=--由 ()0h x ¢=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a Î-¥时，()ln 0,0x a e e h x ¢-，()h x 单调递增；当()ln ,0x a Î时，()ln 0,0x a e e h x -><¢，()h x 单调递减；当()0,x Î+¥时，()ln 0,0x a e e h x ->>¢，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x Î-¥+¥时，()0h x ¢³，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x Î-¥时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢>单调递增；当()0,ln x a Î时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x ¢<单调递减；当()ln ,x a Î+¥时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x ¢>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.综上所述：当0a £时，()h x 在(),0¥-上单调递减，在()0,¥+上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -¥和()0,ln a 和()0,¥+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-¥+¥上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0¥-和()ln ,a +¥上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a =--+++éùëû.【名师点睛】1.函数f (x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′(x 0)(x−x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．。
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期数学期末复习试题(1)含详解
高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.12.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.33.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13 D.435.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.46.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C .3250x y -+= D.3250x y --=7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A.12B.23C.1D.438.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.133 B.173C.53D.3939.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716 B.115C.2D.7410.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.12.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.高二数学期末复习题（1）2022.12.18一､选择题1.已知复数2i i1i z =++，则z =（）A.3B.C.2D.1B【分析】首先根据复数的除法运算性质化简复数z ，再结合复数的模的概念计算即可.【详解】()()()2i 1i 2ii i 12i 1i 1i 1i z -=+=+=+++-，则z ==.故选：B.2.向量(),0,1a x = ，()4,,2b y = ，若//a b ，则x y +的值为（）A.0B.1C.2D.3C【分析】根据向量平行，得到方程组，求出,x y 的值，得到答案.【详解】由题意得：a b λ=，即4012x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得：2012x y λ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，故2x y +=.故选：C3.若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.平行或线在面内A【分析】根据2n υ=- 得到υ 与n共线，即可得到直线l 与平面α垂直.【详解】因为2n υ=- ，所以υ 与n共线，直线l 与平面α垂直.故选：A.4.空间,,,A B C D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133=--PA PB xPC PD ，则实数x 的值为（）A.43- B.13-C.13D.43C【分析】先设AB mAC nAD =+，然后把向量AB ，AC ，AD 分别用向量PA ，PB ，PC ，PD 表示，再把向量PA 用向量PB ，PC ，PD 表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A ，B ，C ，D 四点共面，但任意三点不共线，则可设AB mAC nAD =+，又点P 在平面外，则()()PB PA m PC PA n PD PA -=-+-，即(1)m n PA PB mPC nPD ++=-++，则1111m n PA PB PC PD m n m n m n -=+++-+-+- ，又5133=-- PA PB xPC PD ，所以15131113m n mx m n n m n -⎧=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，解得15m n ==，13x =，故选：C ．5.()2,2M 是抛物线()220y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，则MF =（）A.52B.3C.72D.4A【分析】将点()2,2M代入22y px =，可得1p =，即可求出准线方程，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得MF【详解】解：因为()2,2M是抛物线()220ypx p =>上一点，所以22221p p =⋅⇒=，则抛物线的准线方程为12x =-，由抛物线的定义可知，15222MF =+=，故选：A.6.已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A.2350x y -+=B.2350x y --=C.3250x y -+=D.3250x y --=A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=.故选：A.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 中点，112,,,BM MC B N B B x y λ==∃∈R，使得1A N x AM y AE =+，则λ=（）A .12B.23C.1D.43C【分析】正方体中存在三条互相垂直的直线，故我们可以建立空间直角坐标系进行计算.【详解】如图建系，设棱长为6，则()()()()()16,0,0,0,6,3,2,6,0,6,0,6,6,6,66A E M A N λ-()()()10,6,6,4,6,0,6,6,3A N AM AE λ=-=-=-1046,66663x yA N xAM y AE x y y λ=--⎧⎪=+∴=+⎨⎪-=⎩，解之：1λ=故选：C8.若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.3C.53D.3C【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a的值，进而根据离心率e =可求得结果.【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±；由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165==，解得：32a =，∴双曲线离心率53e ==.故选：C.9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）A.3716B.115C.2D.74C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =- 是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ+ 抛物线24y x =的焦点(1,0)F ∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ，∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．10.双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A.2B.4C.8D.14B【分析】由双曲线定义及渐近线方程得3,5a c ==，126MF MF -=，结合均值不等式、对勾函数单调性及12MF MF 、的取值范围求最小值即可.【详解】由一条渐近线方程为43y x =得4433a a =⇒=，由双曲线定义可知，126MF MF -=，5c ==.要使2116MF MF +的值最小，则1MF 应尽可能大，2MF 应尽可能小，故点M 应为双曲线右支上一点，故126MF MF -=，即216MF MF =-.故21111616662MF MF MF MF +=+-≥=，当且仅当1116MF MF =即14MF =时等号成立，此时21620MF MF =-=-<，故取不到等号.对勾函数166y x x=+-在()0,4单调递减，在()4,+∞单调递增，∵22MF c a ≥-=，∴1268MF MF =+≥，故当212,8MF MF ==时，2116MF MF +取得最小值为4.故选：B.二、填空题11.已知复数5i12iz =+，则z 的虚部为________.1【分析】由复数除法得出2i z =+，即可得虚部【详解】()()()5i 12i 5i 105i 2i 12i 12i 12i 5z -+====+++-，故虚部为1.故答案为：112.若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.3147【分析】求出平面ABC 的法向量，利用空间距离的向量公式去求P 到平面ABC 的距离可得答案.【详解】由()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C -可得()()1,1,21,1,1BA BC =--=-，,设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r,则0n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，令3x =，则()3,1,2n =-r，又()0,2,4PA =-- ,则点()1,2,3P 到平面ABC的距离为7PA nn⋅==,故答案为:3147.13.在下列命题中：①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c不一定共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++．其中正确命题的是______．③【分析】根据共线向量和共面向量的相关定义判断即可.【详解】①若向量,a b 共线，则向量,a b所在的直线可以重合，并不一定平行，错误；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故,a b共面，错误；③若,,a b c 两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量，则,,a b c不一定共面，正确；④只有当空间的三个向量,,a b c不共面时，对于空间的任意一个向量p 总存在实数,,x y z 使得p xa yb zc =++，若空间中的三个向量共面，此说法不成立，错误；综上③正确，故选：③14.已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为___________.++【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l 得PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l 往上平移个单位到B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '++【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.15.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为______.【分析】根据点M 的轨迹方程可得()2,0Q -，结合条件可得2MP MB MQ MB QB +=+≥，结合图象，即可求得.【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =．因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB QB +=+≥，当且仅当,,Q M B 三点共线时，等号成立，因为101123QB k -==+，所以直线QB 方程为：()123y x =+即320x y -+=，圆心到直线距离1015d r =<=，即直线QB 与圆相交.（如图中的12,M M 点均满足）又因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ ．.三､解答题16.若两条相交直线1l ，2l 的倾斜角分别为1θ，2θ，斜率均存在，分别为1k ，2k ，且120k k ⋅≠，若1l ，2l 满足______（从①12θθπ+=；②12l l ⊥两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：（1）1k ，2k 满足的关系式；（2）若1l ，2l 交点坐标为()1,1P ，同时1l 过(),2A a ，2l 过()2,B b ，在（1）的条件下，求出a ，b 满足的关系；（3）在（2）的条件下，若直线1l 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数a ，b 的值．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】（1）依题意11tan k θ=，22tan k θ=，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；（2）首先表示出直线1l 、2l ，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；（3）按照函数的平移变换规则将直线1l 进行平移变换，即可求出1k ，从而求出直线1l 的方程，即可求出a ，再根据（1）求出直线2l 的方程，即可求出b 的值；【小问1详解】解：依题意11tan k θ=，22tan k θ=，且1θ，2θ均不为0或2π，若选①12θθπ+=，则12θπθ=-，则()122tan tan tan θπθθ=-=-，即120k k +=；若选②12l l ⊥，则121k k ×=-【小问2详解】解：依题意直线1l ：()111y k x -=-，直线2l ：()211y k x -=-，又1l 过(),2A a ，所以()1121k a -=-且1a ≠，即()111k a =-且1a ≠，又2l 过()2,B b ，所以()2211b k -=-且1b ≠，即21b k -=且1b ≠；若选①，则120k k +=，所以121b k k -==-，即()()111b a =--且1a ≠、1b ≠；若选②，则121k k ×=-，所以()()21111b a k k -⨯=-⨯，即2b a +=且1a ≠、1b ≠；【小问3详解】解：直线1l ：()111y k x -=-，将直线1l 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到()14121y k x -⎡⎤-=-+⎣⎦，即11215x y k k --=+，所以1152k k -+=-，解得112k =，此时直线1l ：()1112y x -=-，所以()1112a =-，解得3a =；若选①，则212k =-，此时直线2l ：()1112y x -=--，所以121b -=-，解得12b =；若选②，则22k =-，此时直线2l ：()121y x -=--，所以12b -=-，解得1b =-；17.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点.（1）若12F PF △为等腰直角三角形，求椭圆C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于9，求b 的值和a 的取值范围.（11-或2（2）3b =，)+∞【分析】（1）根据1290PF F ︒∠=或2190PF F ︒∠=或1290F PF ︒∠=进行分类讨论，通过求22ce a=来求得椭圆的离心率.（2）根据已知条件列方程求得b ，判断出22c b ≥，结合222a b c =+求得a 的取值范围.【小问1详解】12F PF △为等腰直角三角形可知有三种情况．当1290PF F ︒∠=时，1||2PF c =，2||PF =，于是12||||1)2PF PF c a +=+=，得212c e a ===；当2190PF F ︒∠=时，同理求得1e =；当1290F PF ︒∠=时，则P 在椭圆短轴的端点，12||||PF PF ==，12||||2PF PF a +==，解得2222c e a ===，所以椭圆C 1或22.【小问2详解】设(,)P x y ，由12F PF △的面积等于9，得12||92c y ⋅⋅=，①由12PF PF ⊥，得222x y c +=，②再由P 在椭圆上，得22221x y a b+=，③由②③及222c b a +=，得422b y c =，又由①知242229b y c c==，故3b =，由②③得22222()a x c b c=-，22c b ∴≥，从而2222218a b c b =+≥=，故a ≥3b ∴=，a ≥P ，故3b =，a 的取值范围为).+∞18.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点，BF AB ⊥．（1）证明：BF ⊥平面11E AB ；（2）当1B D 为何值时，平面11BB C C 与平面DFE 所成的夹角最小？（1）证明见解析（2）112B D =【分析】(1)先证明AB ⊥平面11BCC B ，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，由线面垂直判定定理证明BF ⊥平面11E AB ；(2)求平面11BB C C 与平面DFE 的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得1B D 的取值.【小问1详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，AB ⊂底面ABC ，所以1BB AB ⊥．因为BF AB ⊥，1BB BF B ⋂=，1BB ⊂平面11BCC B ，BF ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，所以()0,0,0B ，()2,0,0A ，()12,0,2A ，()10,0,2B ，()1,1,0E ，()0,2,1F ，因为()0,2,1BF = ，()11,1,2EA =- ，()11,1,2EB =--，所以10BF EA ⋅= ，10BF EB ⋅=，所以1BF EA ⊥，1BF EB ⊥，因为11EA EB E ⋂=，1EA ，1EB ⊂平面11E AB ，所以BF ⊥平面11E AB ．【小问2详解】由题设()(),0,202D a a ≤≤．设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()1,1,1EF =- ，()1,1,2DE a =--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-．因为平面11BB C C 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BB C C 与平面DEF 所成的夹角为θ，则cos m BA m BA θ⋅==⋅ 当12a =时，22214a a -+取最小值为272，此时cos θ3=，此时11112B D A B =<，符合题意．故当112B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的夹角最小．19.如图，已知动圆P 过点()11,0F -，且与圆()222:18F x y -+=内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）过点1F 的直线l 交E 于A 、B 两点，是否存在实数t ，使得11AB t AF BF =⋅恒成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（1）2212xy +=（2）存在，且t =【分析】（1）分析可知动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，求出a 、b 的值，结合椭圆E 的焦点位置可得出椭圆E 的方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，利用弦长公式以及两点间的距离求出t 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：显然，圆2F的半径为，设圆P 的半径为r ，由题意可得12PF r PF r⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，12122PF PF F F +=>=，则动点P 的轨迹是1F 、2F为焦点，以为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b +=>>，122F F c =，所以a =1c =，1b ==，故E的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立方程组()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k+=-+，21222212k x x k -=+.12AB x =-=212k =+)22112k k +=+.1AF ===1BF ===所以()222221212112228424112122212k k x x x x k k k AF BF k --+++++++==+⋅==.所以11·AB BF =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，联立方程组22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得21,2A ⎛- ⎝⎭、21,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.此时AB =，11221222AF BF ⋅=⨯=，所以11AB BF =⋅.综上，存在实数t =使得11AB t AF BF =⋅恒成立.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
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2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选：C．（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ＝﹣．故选：C．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠010．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．【解答】解：∵抛物线x2=ay的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．【解答】解：设双曲线C的方程为，由题意点P（1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为11．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x﹣4，﹣2，0），∵空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，∴存在实数m，n使得=m+n，∴，解得x=11．m=﹣3，n=1．故答案为：11．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为12．【解答】解：如图，由|AB|=6，可得AD=3，则|OD|=2，即A（3，2），代入曲线方程，可得，即b=12．故答案为：12．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．【解答】解：（1）设动点P（x，y），由题意可得，①当x＜﹣4时，∵|x+1|＞3，无轨迹；②当﹣4≤x≤﹣1时，化为，化为，与y轴无交点；③当x＞﹣1时，化为，化为y2=﹣2x+3，．令x=0，解得．综上①②③可知：曲线C与y轴的交点为；（2）由（1）可知：．如图所示，令y=1，则10x+15=1，或﹣2x+3=1，解得x=﹣1.4或1．①当a≤﹣ 1.4或a≥1时，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；②当﹣1＜a＜1时，当直线y=1与相交时的交点P满足|PA|+|PB|取得最小值，∵此抛物线的准线为x=2，∴直线y=1与准线的交点Q（2，1），此时d（a）=|QB|=2﹣a；③当﹣1.4＜a≤﹣1时，当直线y=1与相交时的交点P 满足|PA|+|PB取得最小值，∵此抛物线的准线为x=﹣4，∴直线y=1与准线的交点Q（﹣4，1），此时d（a）=|QB|=a+4．综上可知：d（a）=三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．【解答】解：（Ⅰ）在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．∴E（a，x，0），F（a﹣x，a，0）．证明：（II）∵x=a，∴A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（a，，0），F（，a，0），∴=（﹣a，a，0），=（﹣，，0），∴=2，∴A1C1∥EF．（III）∵=（﹣x，a，﹣a），=（a，x﹣a，﹣a），∴?=﹣ax+ax﹣a2+a2=0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，则AF⊥平面CBF．∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）解：过F作FH⊥AB于H，由已知可得△AOF为边长是1的正三角形，则FH=．在Rt△BHF中，由BH=，FH=，可得BF=，在Rt△CBF中，由BF=，BC=AD=1，可得CF=2．∴直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为；（Ⅲ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t（t＞0），则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0）．∴=（2，0，0），=（，﹣，t）．设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=，得=（0，2t，）．由（Ⅰ）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为==（﹣，，0），依题意与的夹角为60°，∴cos60°=，即=，解得t=．因此，当AD的长为时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=，∴c=1，e==，∴a=，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1，∴椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，得+y2=1．整理，得（1+2k2）x2+4kx+2=0．①，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=32k2﹣8（1+2k2）＞0，解得k＜﹣或k＞．∴满足条件的k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由①得x1+x2=﹣．②又y1+y2=k（x1+x2）+2③因为M（，0），N（0，1），所以=（﹣，1）．所以向量+共线等价于x1+x2=﹣（y1+y2）．将②③代入上式，解得k=．所以不存在常数k，使得向量+与共线．。