大学物理C1第七章振动

ϕ = arctg(− v0 ) ωx0
或
} cosϕ = x0 A sinϕ = − v0
由cosϕ大小和sinϕ的符号决定ϕ
Aω
7.3 简谐振动的描述
(3)相位差
⎧ ⎨ ⎩
x1 x2
= =
Acos(ω t Acos(ω t
+ ϕ1) + ϕ2 )
Δϕ = (ω t + ϕ2 ) − (ω t + ϕ1 ) = ϕ2 −ϕ1
同频率简谐振动的相位差等于其初相差
7.3 简谐振动的描述
注意 同相、反相；超前、落后。
同相和反相
当Δϕ = ±2kπ (k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1 A2
x2 x1
同相 T
o
t
- A2
-A1
x
当Δϕ = ±(2k+1)π (k =0,1,2,…), A1
两振动步调相反,称反相
7.2 简谐振动的定义 简谐振动的定义
代表式
文字表述
适用范围
判 据 Fx = −kx
1
凡物体所受回复力与位移成 正比且反向时，物体的运动 是简谐振动。
只适用于机 械运动
判 据
d2 x dt 2
+
ω
2
x
=
0
任何一个物理量对时间的二 阶导数与其本身成正比且反 号时，该物理量按简谐振动
2
规律变化。
任何运动， 任何物理量
− ϕ0 ω
x-t 图象为振动曲线
7.3 简谐振动的描述
二.简谐振动的特征量
初相
x = Acos(ωt + ϕ )
振幅
角频率
1. 振幅A
振幅A：物理量离开平衡位置的最大距离| xmax | 。
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
x = Acos(ω t + ϕ ) t = 0 由 v = − Aω sin(ω t + ϕ )
7.1 简谐振动的模型 回顾中学内容：简谐振动模型
弹簧振子
集中弹性
k
M
集中质量
μ=0
m弹 <<M, m弹略去不计
弹簧振子的回复力：
弹性力 F = −kx 弹簧的形变量
弹簧的劲度系数
7.1 简谐振动的模型
单摆 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
单摆的回复力：
F = −mg sinθ
mg = k
当θ 很小时 sinθ ≈ θ
x
x
r A
(0
)
A
ωϕ ω t+ϕ 相位
1
t
r A
(t
)
x(t)
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 ω 逆时针旋转的矢量 Ar(t )，在x
轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
7.3 简谐振动的描述
3. 比较同频率简谐振动的步调
ω
N
A2ϕ2 Aϕ1 1 M OQ P
x
点Q的振动比点P的振动超前 相位： Δϕ = ϕ 2-ϕ 1 时间： Δt = ϕ2 − ϕ1
ϕ =π 2
ω
x<0
x>0
v<0
v<0
ϕ =π
ϕ=0 x
x<0
x>0
v>0
v>0
ϕ = 3π 2
7.3 简谐振动的描述
利用旋转矢量
1. 画出振动曲线图
x
x
2 1 t=0s
3
11
4
5 67
10 O
9
8
36 9
12 t
理解振动曲线与旋转矢量之间的关系
7.3 简谐振动的描述
2. 求初相和相位 x = Acos(ωt + ϕ )
x0 = Acosϕ v0 = − Aω sinϕ
解得
A=
x02
+
v02 ω2
=
x2
+
v2 ω2
7.3 简谐振动的描述 2.角频率ω 、周期T、频率ν 角频率ω：由系统本身决定的常数，与初始条件无关。
周期T：物体作简谐振动周而复始完全振动一次所需 的时间。 频率ν：表示单位时间内物体完成全振动的次数。
ω 4. 分析振动的合成（下面讲）
7.3 简谐振动的描述
例2 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T
＝2s，其平衡位置取坐标原点。若t＝0时刻质点第一次 通过x＝－2cm处，且向x轴负方向运动，再过多久质点 第二次通过x＝－2cm处？
解：由旋转矢量法作图
v
由图可知质点振动的初相为 2π ，
x(t ) = x1(t) + x2(t )
的仍
= ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 )cosωt
简然 谐是
− ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt
振同
合振幅 = Acosϕ ⋅ cosωt − Asinϕ ⋅ sinωt
动频 率
= Acos(ωt + ϕ )
式中：A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ϕ = arctan A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
基本要求
1. 掌握简谐振动的定义（回复力、动力学方程和 运动学方程） 2. 掌握简谐振动的特征量，振动曲线 3. 掌握并熟练应用旋转矢量法分析解决有关简谐振 动的问题 4. 理解简谐振动的能量 5. 掌握同方向同频率简谐振动的合成 6. 了解拍现象，互相垂直简谐振动的合成 7. 了解阻尼振动和受迫振动
r A t=t
ω t+ϕ0 o
· ϕ0 x
ω ω
r A t = 0x
x = A cos(ω t + ϕ0)
x = A cos(ωt + ϕ )
v = dx
dt
vx = −v sin(ωt + ϕ )= −ωR sin(ωt + ϕ )
a
=
d2 x dt 2
ax = −an cos(ωt + ϕ )= −ω 2 R cos(ωt + φ )
离系统平衡 位置的位移
系统本身决定的常数
7.2 简谐振动的定义
二.简谐振动的微分方程
由回复力： F = −kx
由牛顿第二定律：F
=
ma
=
m
d2x dt 2
令 k = ω 2得 m
d2 x dt2
+
k m
x
=
0
d2 dt
x
2
+
ω
2
x
=
0
7.2 简谐振动的定义
三.简谐振动的运动方程
d2 x dt 2
+
3
那么两次通过x＝－2cm处，即时
间由0到t矢量间夹角为 2π ，所以
3 2π
t = 3 ×T = T = 2 (s)
2π
33
t=0
2π 3 -2
t
x (cm)
小结：熟练运用旋转矢量法解决问题
7.4 简谐振动的能量 无阻尼弹簧振子系统
o
μ=0 x
x
以平衡位置为坐标原点
{x = Acos(ω t + ϕ0 ) v = − Aω sin(ω t + ϕ0 )
振动系统动能：
Ek
=
1 2
mv 2
=
1 2
mA2ω 2
sin 2 (ω
t
+ϕ)
=
1 2
kA2
sin 2 (ω
t
+ϕ)
7.4 简谐振动的能量
o
μ=0 x
x
以弹簧振子所在水平面为重力势能零点
振动系统势能：
EP
=
1 2
kx 2
=
1 2
kA2
cos2 (ω
t
+ϕ)
振动系统机械能：
E
=
Ep
+
Ek
=
1 2
kA 2
7.5 简谐振动的合成
几何方法
ω y
v A
=
v A1
+
v A2
ω
v
平行四边形整体旋
A v
A2 sinϕ2 转，其对角线为简谐振
Ao2
- A2
-A1
x1 反相
T
x2
t
7.3 简谐振动的描述 超前和落后
若Δϕ = ϕ 2-ϕ 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 超前、落后以<π 的相位角来判断
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
2 超前于1
7.3 简谐振动的描述 三.旋转矢量法
ω
2
x
=
0
求解得运动方程： x = Acos(ωt + ϕ )
积分常数
思考 运动方程可否用正弦函数描述？二者均可
利用函数关系 cos(ωt + ϕ ) = sin(ωt + ϕ + π )
并令 ϕ′ = ϕ + π
2
2
运动方程变形为：x = Asin(ωt + ϕ ′)
一般采用余弦函数描述简谐振动的运动方程
θl
T
Fm
重力的切 向分力