上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题(含精品解析)
或
.
20.平面直角坐标系中， 为原点，射线 与 轴正半轴重合，射线 是第一象限的角平分线，在 上有
点列
，在 上有点列
. （1）求点 ， 的值；
，已知
，
，
，
（2）求 ， 的坐标；
（3）求
面积的最大值，并说明理由。
【答案】（1） 【解析】 【分析】
；（2）
，
；（3）
（1）根据向量的模的定义解得 ,根据向量坐标相等得 ，（2）根据等比数列定义得 ，根据等差数列定义得
（1）根据行列式求得 ，代入化简得 ，解对数方程得结果，（2）化简不等式 ,结合条件得证，将自变量代入函数解析式化简可得
得 （3）
分奇偶讨论，结合（2）对 a,x 分别赋值，得当
时，
；当
时， 确定满足 的条件，解不等式可得结果.
，据此可得数列周期性，再根据 单调性
【详解】（1）因为
则
；
（2）因为
，所以
上海交通大学附属中学 2018-2019 学年度第一学期
高二数学 10 月月考试卷
一.填空题
1.若集合
，
，
【答案】
，则实数 _______；
【解析】
【分析】
根据并集定义求结果.
【详解】因为
，
，
，所以
.
【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.
2.已知关于 的二元一次方程组 ______________；
19.对于数列 ，定义 为数列 的一阶差分数列，其中
，
.
（
），若 ，且
（1）求证数列 为等差数列； （2）求数列 的通项公式；
（3）若
（
），求
，其中：
。
【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】
；（3）
（1）结合条件求得
，再根据等差数列定义得结论，（2）根据等差数列通项公式求得 ，即得数列
的通项公式，（3）代入化简 ，并利用裂项相消法得 ，再根据极限定义得结果.
（2）在 中，角 所对的边分别为 试求函数 的取值范围。
，且
，角 的取值范围是区间 。当 时，
【答案】（1） 【解析】 【分析】
；（2）
（1）先根据配角公式化简函数解析式，再根据条件得周期解得 ，代入最高点坐标解得 c,最后根据正弦函 数性质求增区间，（2）先根据向量数量积解得角 B，再根据三角形内角关系求角 的取值范围，最后根据正弦 函数性质求函数值域.
；满足条件.
因此 . 【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.
8.数列 中，若 ，
，则
【答案】 【解析】 【分析】
先分组求和得
，再根据极限定义得结果.
______；
【详解】因为
，
，……，
，
所以
则
.
【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.
9.设函数
在 上有定义，对于任意给定正数 ，定义函数
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“ 可判断．
【详解】∵
，得出 中，角 所对的边分别为 ，，
，根据充分必要条件的定义
或
∴根据充分必要条件的定义可判断：
“ ”是“ 故选 A
”的充分不必要条件 ．
【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．
15.函数
，则
（）
【解析】 【分析】 先根据向量平行得方程解得 x，再根据向量模的坐标表示得结果.
【详解】因为向量
和
互相平行，所以
，因为
则
或
，选 B.
【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.
14.在
中，角 所对的边分别为 ，则“ ”是“
”的 ( ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
其中最小的的正实数 称为该该函数的线性近似阈值。下列定义在 上函数中，线性近似阈值最小的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义分别求线性近似阈值，再求其中最小值.
【详解】因为
，故 、 、 三点共线，
又因为
，则 、 横坐标相同；
1°对于选项（ ），因为 ， ，所以，
，
设
，则
，所以
2°对于选项（ ），因为 ， ，
，故③正确；
因为
，
，则
化简为：
，等式左右两边相等，故④正确； 综上，正确的序号为：①③④； 【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.
12.已知 为
的外心，且 ，
，则实数 _____
【答案】 【解析】 【分析】
先点乘向量 ，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果.
【详解】（1）∵
，∴
.
∵和
分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，
∴
，解得
∴
.
由
，解得
.
∴函数 的单调递增区间是
.
（2）∵在 中，
，∴
.
∴
，即
.∴
.
当 时，
，考察正弦函数
的图像，
可知，
.∴
【点睛】已知函数
，即函数 的取值范围是
.
的图象求解析式
(1)
.
(2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .
的最小正周期为___________；
【解析】
【分析】
先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期.
【详解】
，
所以周期为
；
【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.
6.等差数列 中，
，则该数列的前 项的和
【答案】52
【解析】
，则称函数 为
的“孪生函数”，若给定函数 【答案】 【解析】 【分析】
， ，则
根据定义化简 ，再根据分段函数求结果.
_______________.
【详解】因为
,y
因此
.
【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.
10.在
中， 边上的中线
，若动点 满足
（ ），则 【答案】 【解析】 【分析】
，若存在
，使
，那么（ ）
A.
B.
【答案】C
【解析】
【分析】
C.
或
D.
根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.
【详解】由题意得
或 ，选 C
【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.
16.定义域为 点，其中
的函数 ，
图像的两个端点为 ，向量
，
是 图像上任意一
。若不等式
恒成立，则称函数 在 上满足“ 范围线性近似”，
.
【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.
4.已知向量 ， 均为单位向量，若它们的夹角是 60°，则 【答案】 【解析】 【分析】 结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.
等于___________；
【详解】 【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.
5.函数 【答案】
【详解】（1）因为
，
所以
，故数列 为公差 的等差数列；
（2）
；
（3） 则
， ，
； 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方
法，裂项相消法适用于形如
(其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法
求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
，（3）根据三角形面积公式得 定面积最大值.
关系式，再根据作差法确定数列
单调性，根据单调性确
【详解】（1）由题意设
；
（2）因为 ,
， ；
（3）
，设
，
因为 则
，
，为递增数列； 为递减数列，
，
所以
；
【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据
的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列.
【详解】两边同点乘向量 ，可得，
，
所以
由向量投影得
所以 由正弦定理知：
，
， ，
【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.
二.选择题（本大题共有 4 题，每题 5 分，满分 20 分）
13.若平面向量
A.
B. 或
【答案】B
和 C. 或
互相平行，其中 D. 或
【答案】 【解析】 【分析】 根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.
的增广矩阵是
，则此方程组的解是
【详解】 【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.
3.函数
的定义域_______________；
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.
【详解】由题意得
（2）因为函数 因此由
在区间 得
的根，所以 上递增，所以
,
， ，
,
,即
.
【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考
查基本分析转化求解能力.
18.已知函数
上海市2018-2019学年交大附中高二上期末数学期末试卷
2018~2019学年交附高二上期末试卷2019.1一、填空题：1、(19交附高二期末1)复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，i 为虚数单位，实数m =______； 答案：2m =；2、(19交附高二期末2)复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为______； 答案：1-3、(19交附高二期末3)抛物线212x y =的准线方程为______； 答案：3y =-4、(19交附高二期末4)已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 答案：25、(19交附高二期末5)若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为______； 答案：3-或26、(19交附高二期末6)设双曲线()222109x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双能线上的一点，若15PF =，则2PF =______； 答案：117、(19交附高二期末7)设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是______；答案：6-；8、(19交附高二期末8)若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =______；答案：1；9、(19交附高二期末9)在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的平分线上，2OC =，则OC =______；答案：⎛ ⎝⎭；10. (19交附高二期末10)参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；答案：()3703x y x +-=≠11、(19交附高二期末11)在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中点在原点，它的一个焦点坐标为)，()12,1e =、()22,1e =-分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若()12,OP ae be a b R =+∈，则a 、b 满足的一个等式是______；答案：14ab =； 12、(19交附高二期末12)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 答案：10； 二、选择题：13、(19交附高二期末13)对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c R ∈，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A 、两根12,x x 满足12b x x a +=-，12cx x a=；B 、两根12,x x 满足12x x -C 、若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D 、若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 答案：B ；14、(19交附高二期末14)已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条答案：C ；15、(19交附高二期末15)如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ） A 、22b a -B 、22a b -C.22a b +D.ab答案：A ；16、(19交附高二期末16)已知F 为抛物线2:4C y x =的集点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A 、0个B 、1个C 、3个D 、无数个答案：D ； 三、解答题：17、(19交附高二期末17)设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.答案：（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；18、(19交附高二期末18)（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .（1）1z =-±；（2）12z =-；19、(19交附高二期末19)已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142x yl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.答案：（1；（2）x =或8100y +-=；20、(19交附高二期末20)圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.答案：（1）()2211y x y -=≥；（2）1,k ⎛∈- ⎝⎭；（3）m =；21、(19交附高二期末21)过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由. 答案：（1）24y x =；（2）3-；（2）()[),610,-∞-+∞；。
2017-2018学年上海交通大学附属中学高二10月月考数学试题 pdf版
15 、已知点 A, B, C, D 是直角坐标系中不同的四点，若 AC AB R ， AD AB R ，且
1
1
2 ，则下列说法正确的是（
） B. D 可能是线段 AB 的中点 D. C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C、D 可能同时在线段 AB 上
1 ,3m m
D. 无法确定
14、若点 3,1 和 4,6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧，则实数 a 的取值范围为（ A. 7 a 24 B. a 7 或 a 24 C. a 7 或 a 24
）
D.无法确定
上海交通大学附属中学 2017—2018 学年第一学期
高二数学月考一试卷
一、填空题（共 12 题，前 6 题每题 4 分，后 6 题每题 5 分，满分 54 分） 1、若向量 a ， b 满足 a b 12 ，且 b 5 ，则 a 在 b 方向上的投影为 2、设点 A 1,6, B(3,0) ， P 是直线 AB 上一点，且 AP
16、已知在 ABC 中， P0 是边 AB 上的一个定点，满足 P0 B
1 AB ，且对于边 AB 上任意一点 P ，恒有 4
PB PC P0 B PC0 ，则（
A. B
）
2
B. A
2
C. AB AC
D. AC BC
三、解答题（满分 76 分：14+14+14+16+18） 17、（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 已知 a 与 b 所成的角为 ，且 a 2, b 3
上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（3）设2212n n a n =++，试探求是否存在m 使得若数列{}n a 为“m 阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m ，若不存在，请说明理由．16．D讨论m 的取值直至4m ³不再成立为止，可得结果.【详解】（1）由题意可知2n a n=326n a n +=+，326n a a n +=+所以33n n a a a +=+所以{}na 为“3阶可分拆数列”； （2）因为数列{}na 的前n 项和为2n n S a =- (0)a >当1n =时，12a a =-；当2n ³时，112n n n n a S S --=-=，所以12122n n a n a n --=ì=í³î ，因为存在正整数n 得11n n a a a +=+成立，①当2n ³时1222n n a -=+-即122n a -=-，因为2n ³，1222n a -=-³，所以0a £，而0a >，所以不存在正整数n （2n ³）使得11n n a a a +=+成立；②当1n =时，若11n n a a a +=+成立，则242a =-，得1a =，所以1a =时存在正整数1n =使得11n n a a a +=+成立，由①②得1a =.（3）假设存在m 使得数列{}na 为“m 阶可分拆数列”即存在确定的正整数m ，存在正整数n 使得m n m n a a a +=+成立()222212212212m n m n m n m n ++++=+++++即()()2121213m n mn --+=，①当1m =时，21213n n -+=，3n =时方程成立，②当2m =时()321413n n -+=当1n =时()32147n n -+=；当2n =时()321417n n -+=，当2n >时()321417n n -+>，所以不存在正整数n 使得m n m n a a a +=+成立；③当3m =时()721613n n -+=，当1n =时()721613n n -+=成立，④当4m ³时()()()212121521823m n n mn n --+³-+³，所以不存在正整数n 使得m n m n a a a +=+成立.综上：1m =或3.【点睛】思路点睛：本题为数列新定义题，由题意可知对于确定的m 存在n 即可，且()()21212m n mn --+分别为关于,m n 的单调递增数列，所以可采用逐一讨论的方法直至()()2121213m n mn --+>时截止可找到所有的,m n .。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 精品解析)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣1 25．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n 趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．，可得a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n＝1时也成立，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n ﹣5a n ﹣85，n ∈N * （1）证明：{a n ﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值． 【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n 的通项公式而T n 为数列{b n }的前n 项和，所以先求b n 的通项，可利用第一问中s n 的通项代入到b n ＝中，化简得出b n 后，利用做差法得到T n ，求出极限即可．【解答】解：（1）n ≥2，s n 2＝（s n ﹣s n ﹣1）（s n ﹣）∴s n ＝即﹣＝2（n ≥2）∴＝2n ﹣1故s n ＝（2）b n ＝＝＝（﹣）T n ＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n ＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，且数列{a n }的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n }满足，记数列{b n }的前n 项和为S n ，（1）写出数列{a n }的通项公式； （2）求S n ；（3）证明：当n ≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n ≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E为BC的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是②③④⑤．故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案．【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题． 25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题： ①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是③④．【分析】①当时，作差a n﹣a n+1═≥0，n＝1时取等号，a1＝a2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n}的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，因此数列{a n}必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n＝n，则a n﹣a n+1═n﹣（n+1）＝≥0，n ＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市交通大学附属中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期高二数学10月月考试卷一.填空题1.若集合，，，则实数_______；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，，，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_______________；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令,则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，，则______；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,y因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；（4）（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________【答案】①③④【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，，则实数_____【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量，可得，，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知：，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.函数，若存在，使，那么（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、填空题1．不等式2230x x +-≤的解集为.2．对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为． 3．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的条件．4．若圆柱的高为10，底面积为4π，则这个圆柱的侧面积为.5．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为. 6．若正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，且高为1，则其体积为.7．在ABC V A =A ＝.8．若三个向量()3,3,2a =r ，()6,,7b m =r ，()0,5,1c =r 共面，则实数m 的值为．9．已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是．10．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=o ，P 为该球面上的动点，若三棱锥P OAB -体积的最大值为6，则球O 的表面积为.11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12．在四面体PABC 中，2PD PA PB =+uu u r uu r uu r ，523PE PB PC =+uur uu r uu u r ，23PF PC PA =-+u u u r u u u r u u u r ，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为.二、单选题13．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n ⊥α成立的是（ ）A ．α⊥β，m ⊂βB ．α∥β，n ⊥βC ．α⊥β，n ∥βD ．m ∥α，n ⊥m14．如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为1R ，与该正方体每条棱都相切的球半径为2R ，过该正方体所有顶点的球半径为3R ，则下列关系正确的是（ ）A ．123::2R R RB ．123+=R R RC ．222123+=R R RD ．333123+=R R R16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题17．已知函数21()sin 22f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 18．据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米.(1)求该蒙古包的表面积（不含底面）；(2)求该蒙古包的体积.19．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC ==1AC 与底面ABCD 所成的角为45︒ .(1)求四棱锥1A ABCD -的体积；(2)求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =.(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由.21．设m 为给定的实常数，若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()f x m f x f m +=+成立，则称函数()f x 为“()G m 函数”． （1）若函数()2x f x =为“(2)G 函数”，求实数0x 的值；（2）若函数2()lg 1a f x x =+为“(1)G 函数”，求实数a 的取值范围； （3）已知()f x xb =+(b ∈R )为“(0)G 函数”，设()|4|g x x x =-.若对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x ≠时，都有2211()()2()()g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．。
上海市交大附中2018-2019学年高二上学期9月摸底考试数学试题
绝密★启用前上海市交大附中2018-2019学年高二上学期9月摸底考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若平面向量()1,a x =和()23,b x x =+-互相平行，其中x ∈R ，则a b -=（ ） A. B.2或 C.2-或0D.2或102．已知ABC ∆两内角A 、B 的对边边长分别为a ，b ，则“A B =”是“cos cos a A b B =”（ ）． A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件3．函数()321f x ax a =-+，若存在()01,1x ∈-，使()00f x =，那么（ ） A.115a -<<B.1a <-C.1a <-或15a >D.15a <4．定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点为,A B ，向量()1ON OA OB λλ=+-，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a b λλ=+-，[]0,1λ∈。
若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上满足“k 范围线性近似”，其中最小的的正实数k 称为该函数的线性近似阈值。
下列定义在[]1,2上函数中，线性近似阈值最小的是（ ） A.2y x = B.2y x=C.sin3y x π= D.1y x x=-第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．若集合{}0,A m=，{}0,2B=，{}0,1,2A B=，则实数m=_______；6．已知关于,x y的二元一次方程组111222a xb y ca xb y c+=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是______________；7．函数y=的定义域_______________；8．已知向量a→，b→均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于___________；9．函数()2sin sin44f x x xππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为________.10．等差数列{}n a中，67812a a a++=，则该数列的前13项的和13S=__________. 11．已知函数()142xf x=+，若函数()14y f x m=+-为奇函数，则实数m为_______；12．数列{}n a中，若11a=，()112n n na a n N*++=∈，则()122limnna a a→∞+++=______；13．设函数()y f x=在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数()()(),(),Mf x f x Mf xM f x M⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()Mf x 为()f x的“孪生函数”，若给定函数()22f x x=-，1M=，则(2)Mf=_______________.14．在△ABC 中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，则(＋)·的最小值是________．15．定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的(,),(,)a m nb p q==，令*a b mq mp=-，给出以下四个命题：①若a与b共线，则*0a b=；②**a b b a=；③对任意的Rλ∈，有()*(*)a b a bλλ=；④2222(*)()||||a b a b a b +⋅=⋅（注：这里a b ⋅指a 与b 的数量积）； 其中所有真命题的序号是__________． 16．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则实数m =_____ 三、解答题17．已知不等式230x x t -+<的解集为{}1,x x m x R <<∈ （1）求实数,t m 的值；（2）若函数()24f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式()2log 320a mx x t -++-<的解集。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣125．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n，可得a n＝（﹣﹣1 1）n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），﹣1当n＝1时也成立，∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n 项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值．【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．）（s n﹣）【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n﹣1∴s n＝即﹣＝2（n≥2）∴＝2n﹣1故s n＝（2）b n＝＝＝（﹣）T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E 为BC 的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线； ∴△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确． 故正确的命题是②③④⑤． 故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键． 24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题．25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题：①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k ＜1时，数列{a n }不一定有最大项；③当0＜k ＜时，数列{a n }为递减数列；④当为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是 ③④ ．【分析】①当时，作差a n ﹣a n +1═≥0，n ＝1时取等号，a 1＝a 2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k ，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n }的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k ＝时，因此数列{a n }必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n ＝n，则a n ﹣a n +1═n﹣（n +1）＝≥0，n＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高二数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m ＝．2．（3分）复数z＝（2+i）（1﹣i），其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（3分）抛物线x2＝12y的准线方程为4．（3分）已知向量＝（1，﹣2），，，，如果，则实数λ＝．5．（3分）若直线l1：ax+2y＝0和l2：3x+（a+1）y+1＝0平行，则实数a的值为．6．（3分）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝．7．（3分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣3y的最小值是．8．（3分）若复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），则|z|＝．9．（3分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝．10．（3分）参数方程（t为参数）化成普通方程为；11．（3分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆上，点P满足，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．二、选择题：13．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（）A．两根x1，x2满足，B．两根x1，x2满足C．若判别式△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根D．若判别式△＝b2﹣4ac＝0时，则方程有两个相等的实数根14．（3分）已知两点A（1，2），B（4，﹣2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条15．（3分）如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若||＝a，||＝b．则＝（）A．b2﹣a2B．a2﹣b2C．a2+b2D．ab16．（3分）已知F为抛物线C：y2＝4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个三、解答题：17．设z+1为关于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求m、n的值；（2）若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2+4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．18．（1）已知非零复数z满足|z+2|＝2，，求复数z．（2）已知虚数z使和都是实数，求虚数z．19．已知椭圆．（1）M为直线上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值；（2）过点，作椭圆的弦AB，使，求弦AB所在的直线方程．20．圆，圆，动圆P与两圆M1、M2外切．（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围；（3）是否存在直线l：y＝kx+m与轨迹C交于点A，B，使，且|AB|＝2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．21．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线的方程；（2）求的值（其中O为坐标原点）；（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．【解答】解：∵复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i（i为虚数单位）是纯虚数，∴m2﹣5m+6＝0且m2﹣3m≠0，解得m＝2，故答案为：2．2．【解答】解：z＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．则z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．4．【解答】解：∵＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），，∴＝﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．∴实数λ＝2．故答案为2．5．【解答】解：∵l1：ax+2y＝0与l2：3x+（a+1）y+1＝0平行∴∴a＝﹣3或2故答案为：﹣3或26．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其中a＝＝3，则有||PF1|﹣|PF2||＝6，又由|PF1|＝5，解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）故|PF2|＝11，故答案为：11．7．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z＝2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z＝2x﹣3y的最小值为z＝2×3﹣3×4＝﹣6．故答案为：﹣6．8．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z•2i＝|z|2+1（其中i为虚数单位），∴（a+bi）•2i＝a2+b2+1，∴2ai﹣2b＝a2+b2+1，∴，解得a＝0，b＝﹣1，∴|z|＝＝1．故答案为：1．9．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD＝1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||＝2∴＝（﹣，）故答案为：（﹣，）10．【解答】解：由题意，可知：，对于①式，可化成用x表示t的函数形式，x（1+t）＝2+3t化简，整理得：，其中x≠3同理，对于②式，可化成用y表示t的函数形式，y（1+t）＝1﹣2t化简，整理得：，其中y≠﹣2联立两个t的表达式，得：＝两式交叉相乘，得：（x﹣3）（1﹣y）＝（2﹣x）（y+2）化简，整理，得：3x+y﹣7＝0（x≠3）．故答案为3x+y﹣7＝0（x≠3）．11．【解答】解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a＝2，b＝1双曲线方程为，＝（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab＝1．故答案为4ab＝1．12．【解答】解：∵，∴＝，则O，A，P三点共线，∵，设Op与x轴的夹角为θ，B为A（x，y）在x轴上的投影，则线段OP在x轴上的投影长度为||cosθ＝＝＝≤48×＝10，当且仅当即|x|＝时取得最大值10．故答案为：10．二、选择题：13．【解答】解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式△≥0还是△＜0，两根x1，x2满足，，故A正确，若两根x1，x2为虚根，则不成立，故B错误，判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，D，正确，故选：B．14．【解答】解：由点A（1，2），B（4，﹣2），易得|AB|＝5，以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，故选：C．15．【解答】解：∵AD⊥DC，∴•＝0，∴•＝（+）•（﹣）＝﹣•（+）＝﹣•（+），∵AB⊥BC，∴•＝0，∴﹣•（+）＝﹣，∵||＝a，||＝b，∴＝b2﹣a2，故选：A．16．【解答】解：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线C三点，当满足时时，F为△ABC的重心，连接AF并延长至D，使FD＝AF，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．故“和谐三角形”有无数个，故选：D．三、解答题：17．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+mx+n＝0的两根分别为i，﹣i．由根与系数的关系可得，即m＝0，n＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|＝＝∈[4，6]．18．【解答】解：（1）设z＝a+bi，则z+＝a+bi+＝a+bi+＝a++（b ﹣）i，∵，∴b﹣＝0，得b（1﹣）＝0，得b＝0或1﹣＝0，得a2+b2＝4，若b＝0，则z＝a，由|z+2|＝2得|a+2|＝2得a＝0，此时z＝0，不满足条件．若a2+b2＝4，由|z+2|＝2得|a+bi+2|＝2，得＝2，即（a+2）2+b2＝4，即a2+4a+4+b2＝4，得4+4a+4＝4，得a＝﹣1，此时b＝±，即z＝﹣1±i．（2）设z＝a+bi，（b≠0），∵和都是实数，∴设＝m和＝n，即z2＝m（z+1），z＝n（z2+1），即a2﹣b2+2abi＝m（a+1+bi）＝m（a+1）+mbi，则，即m＝2a，即a2+b2+2a＝0，①由z＝n（z2+1），得a+bi＝n（a2﹣b2+2abi+1）即，得n＝，a＝（a2﹣b2+1），即a2+b2﹣1＝0，②则2a＝﹣1，得a＝﹣，b＝±，即z＝﹣±i．19．【解答】解：（1）设点N的坐标为，则点N到直线l的距离为＝＝，所以，|MN|的最小值为；（2）设直线AB的参数方程为（t为参数，且β为倾斜角），设点A、B 对应的参数分别为t1、t2，由于，则﹣t1＝3t2，将直线AB的参数方程代入椭圆的方程，并化简得，由韦达定理得＝，，则，所以，，化简得，得cosβ＝0或，因此，弦AB所在的直线方程为或y，即或．20．【解答】解：（1）圆M1的圆心为M1（0，﹣），半径为r1＝，圆M2的圆心为M2（0，），半径为r2＝．设P（x，y），动圆P的半径为R，则|PM1|＝＝R+，|PM2|＝＝R+，∴＝+2，整理得：y2﹣x2＝1．∴动圆圆心P的轨迹C的方程y2﹣x2＝1（y≥1）．（2）设y＝k（x﹣1），则﹣1＜k＜0．联立，化为：（k2﹣1）x2﹣2k2x+k2﹣1＝0，△＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2﹣1）＞0，解得：﹣1＜k＜﹣．∴．（3）k＝0时，不成立．k≠0时，直线OA的方程为：y＝﹣x，则＞1或＜﹣1，解得﹣1＜k＜0，或0＜k＜1．联立，解得＝，＝．∴|OA|2＝+＝．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（k2﹣1）x2+2kmx+m2﹣1＝0，△＝4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2﹣1）＞0，化为：k2+m2﹣1＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|2＝（1+k2）[﹣4x1x2]＝（1+k2）[﹣4×]，∵|AB|＝2|OA|，∴|AB|2＝4|OA|2，∴（1+k2）[﹣4×]＝4×．化为：m2＝2﹣2k2．联立，解得：A．∴＝，化为：m2＝．∴2﹣2k2＝，0＜k2＜1．∴（1﹣k2）＝k2+1，解得．因此存在k，m满足题意．21．【解答】（1）y2＝4x；（2）﹣3；（2）（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）；解：（1）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），抛物线的焦点F的坐标为，设直线MN的方程为，将直线MN的方程与抛物线的方程联立，消去x并整理得y2﹣2mpy﹣p2＝0．由韦达定理得，由于p＞0，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）＝；（3）设点、．，．∵AB⊥BC，则．易知，y3≠2，y4≠y3，化简得（y3+2）（y4+y3）+16＝0，所以，．①当y3+2＜0时，由基本不等式可得，当且仅当，即当y3＝﹣6时，等号成立；②当y3+2＞0时，．当且仅当时，即当y3＝2时，等号成立，事实上，y3≠2，此时，有y4＜﹣6．综上所述，C点纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．。
上海市交大附中2018-2019学年高二上学期期末数学试题
○…………外……○…………内……绝密★启用前 上海市交大附中2018-2019学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ） A.两根12,x x 满足12b x x a +=-，12c x x a =； B.两根12,x x 满足12x x -= C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根； D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若A B a =u u r ，AD b =uuu r ，则A C B D ⋅=（ ） A.22 B.22 C.22 D.ab4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个…………○订…：___________班__考号：…………○订…第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______； 6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 7．抛物线212x y =的准线方程为__________. 8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r ，如果m n ⊥，则实数λ=______； 9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ．10．设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______． 12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________． 14．参数方程231121t x t t y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______； 15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为， 1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若 12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=uu r uu u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 三、解答题 17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =-+时，求,m n 的值； （2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z +∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21zz +都是实数，求虚数z .19．已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142xyl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值；（2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2O A B π∠=，且2A B O A =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误.【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x 由韦达定理得：12b x x a +=-，12c x x a=，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确.故选：B【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．C 【解析】【分析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条.【详解】由题意得：5AB == ∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．A【解析】【分析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅uuu r uu u r化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】 AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅ AD DC ⊥ 0AD DC ∴⋅= ()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC ∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅= 222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=- 故选：A【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．D【解析】【分析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果.【详解】 抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，用如下办法构造ABC ∆，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时， 设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ，设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==- 则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-， 所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.5．2【解析】【分析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果.【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m = 故答案为：2【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题.6．-1【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．3y =-【解析】2212,32p x py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32p y =-=-，故答案为3y =-.8．2；【解析】【分析】 根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果.【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ=故答案为：2【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．3-或2 【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行．10．11【解析】 由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =， 根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF =，所以2||11PF =.11．6-【解析】试题分析:作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.考点：线性规划. 12．1 【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．(,55-【解析】 【分析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =-，因为|OC |＝22t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||a a λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．()3703x y x +-=≠； 【解析】 【分析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果. 【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t -++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误. 15．4ab=1 【解析】 【详解】 因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为 ，12OP ae be =+ =，，化简得4ab=116．10； 【解析】 【分析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- OA AP OA OPλ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB x OP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248c o s 925x OP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OPθ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果. 17．（1）0m =，1n =；（2）[]4,6； 【解析】 【分析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果；（2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n =（2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈即PQ 的取值范围为[]4,6【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）1z =-；（2）12z =-±； 【解析】 【分析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z . 【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb⎧-=+∴⎨=⎩ 22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n aa b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-2b ∴==±122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数. 19．（1；（2）x或8100y +-=； 【解析】 【分析】（1）设()2c o s ,N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值；（2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程. 【详解】（1）设()2cos ,N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值m i n 15d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角） 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+ 222sin 11sin 22sin ββββ⎛⎫+∴= ⎪⎪++⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+= 解得：cos 0β=或tan 8β=-∴弦AB 所在的直线方程为x =12y x-=即x =或8100y +-= 【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题.20．（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =使得题设成立 【解析】【分析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k=-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211km k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值.【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点 10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或k >1,2k ⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211A y k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB kx x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k k k ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k k k+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U ；【解析】 【分析】（1）设直线:2p MN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果； （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。