导数的含参分类讨论练习(含答案)
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
一．含参数导数问题的分类讨论问题求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
。
练习：已知函数当时，讨论的单调性.二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．恒成立分参例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]。
专题1 含参数导数问题的分类讨论
专题一 含参数导数问题的分类讨论导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．模块1 整理方法 提升能力在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．例1设0a >，讨论函数()()()2ln 121f x x a a x a x =+---的单调性． 【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()12121f x a a x a x'=+--- ()()221211a a x a x x---+=．令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()10f x x'=>，于是()f x 在()0,+∞上递增．（2）当1a ≠时，()g x 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题．由于()g x 不能因式分解，所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--，判别式的正负影响到()0g x =的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当0∆<，即113a <<时，()0g x =没有实根；②当0∆=，即13a =时，()0g x =有两个相等的实根；③当0∆>，即103a <<或1a >时，()0g x =有两个不等的实根．对于第①种情况，()0g x =没有实根且永远在x 轴上方，于是()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第②种情况，()0g x =有两个相等的实根32x =，于是()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第③种情况，()0g x =有两个不等的实根，112x a=-和212x a=．由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内，因此要考虑讨论点2，而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．因为121x x a +=，()12121x x a a =-，所以当103a <<时，有120x x +>且120x x >，此时两个根都在定义域内切120x x <<（因为1x 与2x 的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点3）．由()0f x '>可得10x x <<或2x x >，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增；由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()12,x x 上递减．当1a >时，有120x x +>且120x x <，此时210x x <<，由()0f x '>可得10x x <<，所以()f x 在()10,x 上递增；由()0f x '<可得1x x >，所以()f x 在()1,x +∞上递减．综上所述，当103a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减；当113a ≤≤时，()f x 在()0,+∞上递增；当1a >时，()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减．其中112x a=212x a =．【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．例2已知函数()ln f x x kx k =-+（k ∈R ）． （1）求()f x 在[]1,2上的最小值；（2）若1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭对()1,1x ∈-恒成立，求正数a 的最大值．【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11kx f x k x x-+'=-=． 法1：①当0k =时，()10f x x'=>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．②当0k ≠时，令()0f x '=可得1x k=． （i ）当10k<，即0k <时，()0f x '>在[]1,2上恒成立，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（ii ）当101k<≤，即1k ≥时，()0f x '≤在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为减函数，所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．（iii ）当12k ≥，即102k <≤时，()0f x '≥在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（iv ）当112k <<，即112k <<时，由()0f x '>可得11x k <<，由()0f x '<可得12x k<<，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2k ⎛⎫⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．当0ln2k <-，即1ln 22k <<时，()()min10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当0ln2k ≥-，即ln21k ≤≤时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦． 法2：①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． ②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．（i ）当0ln2k <-，即0ln2k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． （ii ）当0ln2k ≥-，即ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦． （2）解答详见专题三例1．【点评】处理好函数的单调性，就能求出函数的最值．法1是按照常见的3个分类讨论点进行讨论：当0k =时，()0f x '=没有实根．当0k ≠时，()0f x '=有实根1x k=，此时需考虑根在不在定义域[]1,2内．当10k <或101k <≤或12k ≥时，根都不在定义域内（把11k=和12k =并在里面是为了减少分类的情况）；当112k<<时，根在定义域内，由于定义域内只有1个根，所以就不用考虑第3个分类讨论点了．法2是根据式子和题目的特点进行分类：由()1f x k x'=-可知当0k ≤时，()f x 在[]1,2上递增；当0k >时，()f x 在()0,+∞上先增后减，所以最小值只能在()1f 或()2f 处取到，此时只需要比较两者的大小就可以了．由于法2是根据式子和题目的特点进行分类的，所以能减少分类的情况．例3设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠． （1）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）当0b ≠时，求函数()f x 的极值点．【解析】（1）函数()()2ln 1f x x b x =++的定义域为()1,-+∞，()222211b x x b f x x x x ++'=+=++．令()222g x x x b =++，则48b ∆=-．当12b >时，0∆<，所以()g x 在()1,-+∞上恒大于0，所以()0f x '>，于是当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上递增．（2）首先考虑()0g x =是否有实根． ①当0∆<，即12b >时，由（1）知函数()f x 无极值点．②当0∆=，即12b =时，()0g x =有唯一的实根，()0g x ≥，于是()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．③当0∆>，即12b <时，()0g x =有两个不同的根1x =，2x =，其中12x x <．这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？这需要对参数b 的取值进一步分类讨论．当0b <时，11x <-，21x =>-，由()0f x '>可得2x x >，由()0f x '<可得21x x -<<，所以()f x 在()21,x -上递减，在()2,x +∞上递增，所以当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一极小值点2x =．当102b <<时，1112x -=>-，2112x -+=>-，由()0f x '>可得11x x -<<或2x x >，由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()11,x -上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，所以当102b <<时，()f x 在()1,-+∞上有一个极大值点1x和一个极小值点2x =． 综上所述，当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =；当102b <<时，()f x有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=；当1b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．12x x <，所以只需要考虑讨论点2，判断这两个根是否都在定义域()1,-+∞内就可以了，显然之间的大小符号待定为，则有11122112bb b -⇔----⇔-⇔1120b b -⇔，所以当0理，判断1x 、2x 与1-的大小关系等价于判断121x x +=-⎧⎪(1x ⎧+⎪模块2 练习巩固 整合提升练习1：设函数()1ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 【解析】（1）当0a =时，()11x f x x -=+，()0,x ∈+∞．此时()()221f x x '=+，于是()112f '=，()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()22221211ax a x a a f x x x x x +++'=+=++． ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上递增．②当0a <时，令()()221g x ax a x a =+++，则()()22414421a a a ∆=+-=+． （i ）当12a ≤-时，0∆≤，所以()0g x ≤，于是()0f x '≤，所以函数()f x 在()0,+∞上递减．（ii ）当102a -<<时，0∆>，此时()0g x =有两个不同的根，()11a x a -++=，()21a x a-+=，12xx <．下判断1x 、2x 是否在定义域()0,+∞内．法1：（待定符号法）()()101210121a a a a a a-+⇔+-+⇔++⇔()221210a a a ++⇔，由于0a >，所以10x >．法2：（韦达定理）由()121221010a x x ax x ⎧++=->⎪⎨⎪=>⎩可得120x x <<． 法3：（图象法）()g x 是开口方向向下的抛物线，对称轴为10a a+->，()00g a =<，由图象可知1x 、2x 都在定义域()0,+∞内．当10x x <<或2x x >时，有()0g x <，()0f x '<，所以函数()f x 递减；当12x x x <<时，有()0g x >，()0f x '>，所以函数()f x 递增．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上递增；当12a ≤-时，函数()f x 在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数()f x 在()10,a a ⎛-++ ⎪⎝⎭，()1a a ⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭上递减，在()()11a a a a ⎛-++-+ ⎪⎝⎭上递增．练习2：设函数()()2ln f x x a x =++．（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2． 【解析】（1）由()10f '-=解得32a =，此时()2123123322x x f x x x x ++'=+=++，由()0f x '>解得312x -<<-或12x >-，由()0f x '<解得112x -<<-，所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减． （2）()f x 的定义域为(),a -+∞，()2221x ax f x x a++'=+，记()2221g x x ax =++，其判别式为248a ∆=-．①若0∆≤，即a ≤时，()0f x '≥在(),a -+∞上恒成立，所以()f x 无极值．②若0∆>，即a >a <()0g x =有两个不同的实根1x =22a x -=，且12x x <，由韦达定理可得121212x x ax x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()121212x a x a a x a x a ⎧+++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩．（i）当a <10x a +<，20x a +<，即1x a <-，2x a <-，从而()0f x '=在(),a -+∞上没有实根，所以()f x 无极值．（ii）当a 10x a +>，20x a +>，即1x a >-，2x a >-，从而()0f x '=在(),a -+∞上有两个不同的根，且()f x 在1x x =，2x x =处取得极值．综上所述，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞．()f x 的极值之和为()()()()()()()222121122121212ln ln ln 2f x f x x a x x a x x a x a x x x x +=+++++=⎡++⎤++-⎣⎦，而()()121ln ln 2x a x a ⎡++⎤=⎣⎦，()()222121212212x x x x a a +-=--⨯=-，所以()()21211eln 1ln 1ln 222f x f x a +=+->+=．练习3：已知函数()2e 1x f x ax bx =---，其中a 、b ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值； （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围． 【解析】（1）()()e 2x g x f x ax b '==--，()e 2x g x a '=-．因为[]0,1x ∈，所以()12e 2a g x a '-≤≤-．①若21a ≤，即12a ≤时，有()e 20x g x a '=-≥，所以函数()g x 在区间[]0,1上递增，于是()()min 01g x g b ⎡⎤==-⎣⎦．②若12e a <<，即1e22a <<时，当()0ln 2x a <<时，()e 20x g x a '=-<，当()ln 21a x <<时()e 20x g x a '=->，所以函数()g x 在区间()()0,ln 2a 上递减，在区间()ln 2,1a ⎡⎤⎣⎦上递增，于是()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ⎡⎤=⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦．③若2e a ≥，即e2a ≥时，有()e 20x g x a '=-≤，所以函数()g x 在区间[]0,1上递减，于是()()min 1e 2g x g a b ⎡⎤==--⎣⎦．综上所述，()g x 在区间[]0,1上的最小值为()()min11,21e 22ln 2,22e e 2,2b a g x a a a b a a b a ⎧-≤⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（2）法1：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1内有零点，则函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间．由（1）知当12a ≤或e2a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[]0,1上递增或递减，所以不可能满足“函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间”这一要求．若1e22a <<，则()()()min22ln 232ln 2e 1g x a a a b a a a ⎡⎤=--=---⎣⎦．令()()32ln 2e 1h x x x x =---（1e 22x <<），则()()12ln 2h x x '=-．由()0h x '>可得1e2x <<，由()0h x '<e e2x <<，所以()h x 在区间1e 2⎛ ⎝上递增，在区间e e 2⎫⎪⎪⎭上递减，所以()max e e e e 32ln 2e 1e e 10h x h ⎡⎤⎡⎤==---=--<⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即()min 0g x ⎡⎤<⎣⎦，于是函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间⇔()()02e 0110g a g a ⎧=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，由此解得e 21a -<<，又因为1e22a <<，所以e 21a -<<．综上所述，a 的取值范围为()e 2,1-．法2：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()g x 在区间()0,1上至少有两个零点．()e e 10e 2e 1021x xg x ax a a x -+=⇔--++=⇔=-，所以()g x 在区间()0,1上至少有两个零点y a ⇔=与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象至少有两个交点．()()()22e 3e 2e 121x x x k x x -+-'=-，令()()2e 3e 2e 1x x p x x =-+-，则()()e 21x p x x '=-，由()0p x '>可得12x >，由()0p x '<可得12x <，所以()p x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增，()min12e 2e 202p x p ⎛⎫⎡⎤==-> ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()0k x '>，于是 ()k x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上也递增．因为()0e 2k =-，()11k =，当12x -→时，()k x →+∞，当12x +→时，()k x →-∞，于是y a =与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象有两个交点时，a 的取值范围是() -．e2,1。
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类
利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。
例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。
故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。
1, X 2 = a 。
这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。
因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。
故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
含参导数问题常见的分类讨论
含参导数问题常见的分类讨论学生1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--。
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x--+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。
故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
-----------------6分（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时，有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--；当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。
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贯穿高中的数学工具系列之5《一元二次类与韦达定理》下篇含参一元二次类在高中数学的应用1、讨论导数的单调性（含参二次不等式）（1）设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．（2）(2019·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(a)求b ，c 的值；(b)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间．(3)已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．(4)已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．(5)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性．(6)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .讨论f (x )的单调性．(7)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R ，讨论f (x )的单调性．(8)讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．(9)已知函数2()(2ln )(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.(10)(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．(11)已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．mx3＋(4＋m)x2，g(x)＝a ln(x－1)，其中a≠0．(12)设函数f(x)＝13(1)若函数y＝g(x)的图象恒过定点P，且点P关于直线x＝32对称的点在y＝f(x)的图象上，求m的值．(2)当a＝8时，设F(x)＝f′(x)＋g(x＋1)，讨论F(x)的单调性．(13)已知函数g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．下篇含参一元二次类在高中数学的应用参考答案1讨论导数的单调性（含参二次不等式）（1）解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上单调递增；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上单调递减；当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上单调递增，在区间(2，2a )上单调递减．答案：(2，2a )（2）解析：(a)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，0）＝1，（0）＝0，＝1，＝0.(b)由(a)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)解f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )(0,1)当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>1时，f(x)在(1，＋∞)(4)解g′(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋1x＝(2ax－1)(x－1)x.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－x－1 x.由g′(x)>0，得0<x<1，由g′(x)<0，得x>1.当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝1 2a，若12a<1，即a>12，由g′(x)>0，得x>1或0<x<1 2a，由g′(x)<0，得12a<x<1；若12a>1，即0<a<12，由g′(x)>0，得x>12a或0<x<1，由g′(x)<0，得1<x<12a，若12a＝1，即a＝12，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0.综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<12时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，当a＝12时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>12时，函数g(x)(1，＋∞)上单调递增．(5)解析：因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1，因为0＜a ＜12，所以1a－1＞1＞0，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ，1a －f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．(6)【解】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )(1)0<a <2时，2a>1，当x ∈(0，1)或x f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．(3)a >2时，0<2a<1，当x x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0，1)当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a >2时，f (x )(1，＋∞)内单调递增．(7)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a.此时，当x f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上当a ≤0时，f (x )的递减区间为(0，＋∞)，当a ＞0时，f (x )(8)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈，时，f ′(x )<0；当x 1－a2a，＋f ′(x )>0，故f (x )，1－a2a，＋(9)解析函数()f x 的定义域为()()222220,,1a x ax f x x x x-+'+∞=+-=。
设()22g x x ax =-+，二次函数()0g x =的判别式28a ∆=-。
①当0∆≤时，又0a >，即0a <≤，对一切0x >都有()0f x '≥，此时()f x 在()0,+∞上是增函数；②当0∆>时，又0a >，即a >，方程()0g x =有两个不同的实根1288,22a a x x +==，且120x x <<。
当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如表3-14所示，表3-14x ()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+0—0+()f x 极大值极小值此时，()f x 在0,2a ⎛- ⎪⎝⎭，,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,22a a ⎛-+ ⎪⎝⎭上单调递减。
(10)解析：ƒ(x )的定义域为(0，＋∞)，ƒ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2．(1)若a ≤2，则ƒ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，ƒ′(x )＝0，所以ƒ(x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)若a ＞2，令ƒ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42．当x ƒ′(x )＜0；当x ƒ′(x )＞0．所以ƒ(x )(11)解根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x ∞(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )∞(0，＋∞)，单调递减区间为2a，0.(12)解析：(1)令ln(x －1)＝0，则x ＝2，即函数y ＝g (x )的图象恒过定点P (2，0)，所以点P 关于直线x ＝32对称的点为(1，0)，又点(1，0)在y ＝f (x )的图象上，所以13m ＋4＋m ＝0，所以m ＝－3．(2)因为F (x )＝mx 2＋2(4＋m )x ＋8ln x ，且定义域为(0，＋∞)．所以F ′(x )＝2mx ＋(8＋2m )＋8x＝2mx 2＋（8＋2m ）x ＋8x ＝（2mx ＋8）（x ＋1）x ．因为x ＞0，所以x ＋1＞0．当m ≥0时，F ′(x )＞0，此时F (x )在(0，＋∞)上为增函数．当m ＜0时，由F ′(x )＞0得0＜x ＜－4m ，由F ′(x )＜0得x ＞－4m ，所以F (x )－4m ，＋综上，当m ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上为增函数；当m ＜0时，F (x )－4m，＋11(13)解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x.因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a ，即函数g (x)在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)。