利用导数研究函数的单调性学案
高中数学导数的单调性教案
高中数学导数的单调性教案1. 知识目标：掌握函数的单调性的概念和求解方法，了解导数在求解单调性中的应用；2. 能力目标：能够通过计算导数来判断函数的单调性，能够独立解决函数的单调性问题；3. 情感目标：培养学生对数学分析的兴趣，激发学生解决问题的潜能。
【教学重点】1. 函数的单调性的概念及求解方法；2. 导数在求解函数的单调性中的应用。
【教学难点】1. 导数在判断函数的增减性中的具体应用；2. 培养学生利用导数判断函数单调性的能力。
【教学准备】1. 教师准备：PPT课件、黑板、粉笔、导数表格等；2. 学生准备：课前自主学习相关概念。
【教学过程】一、导入（5分钟）利用案例引入函数单调性的概念，让学生了解函数的单调性对于函数图象的影响。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解函数的单调性是指函数在定义域内的增减性；2. 介绍导数在判断函数增减性中的作用，导数大于0，则函数单调增加，导数小于0，则函数单调减少；3. 示范如何通过求导数来判断函数的单调性。
三、例题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的例题进行讲解，引导学生使用导数判断函数的单调性；2. 让学生在课堂上尝试解决一些功能简单的函数单调性问题。
四、拓展应用（10分钟）提供一些较为复杂的例题，让学生在导数的基础上解决函数的单调性问题，培养学生的计算能力和灵活性。
五、总结（5分钟）对当堂课进行总结，强调导数在函数单调性中的作用，并鼓励学生多加练习，提高解题能力。
【作业布置】布置相关的作业，要求学生通过导数的方法判断给定函数的单调性，并将解题过程写明。
【板书设计】1. 函数的单调性：增减性2. 导数的应用：判断函数的单调性【课后反思】本节课程设计采用案例引入、概念讲解、例题演练、拓展应用等教学方法，能够提高学生对函数单调性的理解和应用能力。
后续可以通过更多的例题训练，让学生更加熟练地掌握导数在函数单调性中的作用。
导数与函数单调性上课用学案教案.doc
导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 学会利用导数判断函数的单调性。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。
2. 利用导数判断函数的单调性。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。
2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。
2. 教学手段：黑板，PPT。
五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。
2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。
3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。
七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。
3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。
八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。
2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。
九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。
3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。
十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数．问题：能否用定义法讨论函数()xf x e x=-的单调性？学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R ， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 答案：增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 变式题2：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 解：由()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞ 变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值是 .答案：-8例3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是xyO图xyO①xyO ② xyO ③yO④x-2 2xyO1-1 -11[2,2][4,)-+∞则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 答案：③备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈．解：(1)(1)'()(0)a x f x x x -=>当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；O-22xy1 -1-2 12Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ①② ③ ④当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=a f 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<-(3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)342. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33-- 3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性.答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()a g x x =,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间；解：()()()()ln 0aF x f x gx x=+=+>，()()221'0a x aF x x x x x -=-=>（1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增.6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1） 六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值； （2）求证：(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围.（1）解：2()32f x x bx c '=++，由条件知(0)0f '=，0c ∴=.（2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223b x ∴=-≥即3b ≤-，又(2)84f b d =++=(1)13f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈. （1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由； （3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x=-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++, 即220x x -++>， 解得12x -<<.所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立.280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩， 解得1a ≥. 解法二： 函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1.1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。
3用导数研究函数的单调性 学案
④当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
【题干】设 ．讨论 的单调区间；
【答案】见解析
【解析】
由 ， ，
① 时， ，此时 ，
∴ 在R上递减．
② 时， ，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
解得 ，
故 在 ， 上递减，
在 上递增．
1.函数 的单调减区间为________________．
2．函数 的单调递减区间是__________．
3.已知函数 ．求函数 的单调区间；
4.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是__________．
5.已知函数 ，求：
（1）函数 的图象在点 处的切线方程；
（2） 的单调递减区间．
6.已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）当 时，
∴
∴ ， ；
∴函教 的图象在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）由题知，函数 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ， ，
①当 时，所以 ，在区间 和 上 ；在区间 上 ，
故函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .
②当 时， 恒成立，故函数 的单调递增区间是 .
③当 时， ，在区间 ，和 上 ；在 上 ，
故函数 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是
④当 时， ， 时 ， 时 ，
函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
⑤当 时， ，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ，
综上，① 时函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
利用导数研究函数的单调性教案
利用导数研究函数的单调性教案教案：利用导数研究函数的单调性一、教学目标1.了解函数的单调性概念，以及单调递增和单调递减的定义；2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法；3.能够通过导数的正负性分析函数的单调区间，并作出相应的图像。
二、教学准备1.教师准备：书本、黑板、白板、彩色粉笔、计算器、实例练习题；2.学生准备：笔记本、课本。
三、教学过程1.引入导入（10分钟）导师通过提问等方式，引导学生回顾函数的增减性、最值点等概念，为接下来的学习做铺垫。
2.学习讲解（25分钟）1)导师先通过实例展示导数与函数单调性之间的关系，比如分别给出函数f(x)=x^2和函数g(x)=-x^2的导数，并解释导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。
2)导师详细讲解如何利用导数分析函数的单调性：首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x)；其次，求出f'(x)的零点，即导数为零的点。
这些点将把函数f(x)的定义域划分为若干个开区间；然后，对每个开区间分别求取f'(x)的正负性，从而得到导数f'(x)在各开区间的取值范围；最后，结合导数f'(x)的正负性来分析函数f(x)的单调性。
3.实例训练（35分钟）导师通过多个实例进行讲解和学生训练，帮助学生熟悉和掌握利用导数研究函数单调性的方法。
4.小结提问（10分钟）导师通过提问进行小结，确保学生对函数的单调性及利用导数分析函数单调性的方法有一个深入的理解。
五、作业布置给定函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，设置一个问题，让学生利用导数分析函数的单调性，并解决问题。
六、板书设计函数的单调性单调递增：导数大于零单调递减：导数小于零怎样利用导数研究函数的单调性？1.求导函数2.导函数的零点3.导函数的正负性导函数的正负性与函数的单调性的关系七、教学反思通过本堂课的教学，学生基本能够理解函数的单调性概念，知道如何利用导数研究函数的单调性。
《导数与函数的单调性》 导学案
《导数与函数的单调性》导学案一、学习目标1、理解导数的概念，掌握导数的几何意义。
2、掌握利用导数判断函数单调性的方法。
3、能够运用导数求函数的单调区间。
二、学习重难点1、重点（1）导数的定义及几何意义。
（2）利用导数判断函数的单调性。
2、难点（1）导数概念的理解。
（2）导数与函数单调性的关系的推导。
三、知识回顾1、函数单调性的定义设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），如果对于定义域\（I\）内某个区间\（D\）上的任意两个自变量的值\（x_1\），＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼）（或\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在区间\（D\）上是增函数（或减函数）。
2、常见函数的单调性（1）一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ≠ 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上是增函数；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（R\）上是减函数。
（2）二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ≠ 0\）），当\（a ＞ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是减函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是增函数；当\（a ＜ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是增函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是减函数。
四、新课导入在前面的学习中，我们主要通过函数的定义和图象来研究函数的单调性。
但是，这种方法对于一些复杂的函数来说，可能不太直观和方便。
那么，有没有一种更有效的方法来判断函数的单调性呢？这就是我们今天要学习的利用导数来研究函数的单调性。
五、导数的概念1、定义设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处及其附近有定义，如果\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）与\（＼Delta x\）的比值\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼dfrac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）当\（＼Delta x ＼to 0\）时的极限存在，那么这个极限值称为函数\（y ＝f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）或\（y'｜＿{x ＝ x_0}＼）。
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义与几何意义2. 导数的计算公式3. 利用导数判断函数单调性4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，利用导数判断函数单调性；2. 难点：导数的计算，利用导数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及计算公式；2. 利用例题讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 结合实际问题，运用导数进行求解；4. 引导学生进行小组讨论和探究，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数单调性概念，引导学生思考如何判断函数的单调性。
2. 讲解导数的定义与几何意义：结合图形，解释导数的定义，说明导数的几何意义。
3. 讲解导数的计算公式：列出常见函数的导数公式，引导学生理解导数计算的方法。
4. 利用导数判断函数单调性：讲解如何利用导数判断函数的单调性，给出判断标准。
5. 例题讲解：选择具有代表性的例题，讲解利用导数判断函数单调性的步骤。
6. 小组讨论：让学生分组讨论实际问题，引导他们运用导数进行求解。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在判断函数单调性及解决实际问题中的应用。
8. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
10. 课堂评价：根据学生的课堂表现、作业完成情况等方面进行评价，鼓励学生积极参与课堂活动。
六、教学拓展1. 引入拉格朗日中值定理和柯西中值定理，解释它们与导数的关系。
2. 探讨导数在求解函数极值、最大值和最小值问题中的应用。
3. 介绍导数在微分方程求解中的作用。
七、课堂互动1. 提问：请学生解释导数的概念及其在几何上的意义。
2. 示例：让学生上台演示如何计算给定函数的导数。
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利用导数研究函数的单调性
考试大纲解读：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．
2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往往与不等式结合考察.
知识点归纳：
一、函数的导数与函数的单调性：
1.若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。
2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．
3．使f ′(x )＝0的离散的点不影响函数的单调性．
二、利用导数求函数单调区间的步骤：
（1）求()f x '；
（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,
n x x x ； （3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。
例题与习题
求下列函数的单调区间
1.3()-f x x x =
2.()ln (0)f x x x x =>
3. 2()ln(23)f x x x =++
4.f (x )＝(x －1)2－ln(x －1)2；
5.f (x )＝1
x ln x . 6、f (x )＝x 2
＋1
x －1
7、f (x )＝x ＋21－x 8、f (x )＝sin x
2＋cos x
注意事项：
利用导数求单调性是高考的重要热点：
1．若f (x )在区间(a ，b )上为减函数不能得出在(a ，b )上有f ′
(x )<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域；
3．单调区间一般不能并起来.。