第2讲第1课时利用导数研究函数的单调性 (1)

第2讲 导数的应用

一、选择题

1.函数f (x )＝x ln x ，则( )

A.在(0，＋∞)上递增

B.在(0，＋∞)上递减

C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增

D.在⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1e ，令f ′(x )<0

得0

答案 D

2.下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2

，3π2 B.(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D.(2π，3π)

解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2

，5π2时，恒有x cos x >0.

答案 C

3.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单

调递增”的充分不必要条件.

答案 A

4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝

f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )

解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)

上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B

5.设函数f(x)＝1

2x

2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范

围是()

A.(1，2]

B.(4，＋∞]

C.[－∞，2)

D.(0，3]

解析∵f(x)＝1

2x

2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)，

当x－9

x≤0时，有0

即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

答案 A

二、填空题

6.函数f(x)＝e x

x的单调递增区间为________.

解析函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝e x（x－1）

x2

，令f′(x)>0得x>1.

答案(1，＋∞)

7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.

解析f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x

＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x，

由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，

即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.

令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，

则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，

即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，

解得a ≥34. 答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫34，＋∞ 8.(2017·合肥模拟)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________.

解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2

＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫23，＋∞时， f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19.

所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫－19，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－19，＋∞ 三、解答题

9.(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.

(1)求a ，b 的值；

(2)求f (x )的单调区间.

解 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .

由题意得⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，

解得a ＝2，b ＝e.

(2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，

由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号.

令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.

当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减；

当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增，

∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立，

∴f ′(x )>0在R 上恒成立.

∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞).

10.设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1.

(1)若a >0，求函数f (x )的单调区间；

(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.

解 (1)由已知得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，

当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；

当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；

当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，

单调递减区间为(0，a ).

(2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，

使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，

即x ∈(－2，－1)时，a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max

＝－22， 当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立.

所以满足要求的实数a 的取值范围是(－∞，－22).

11.(2017·承德调考)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )

( )

A.f (1)e 2 017f (0)

B.f (1)>e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)

C.f (1)>e f (0)，f (2 017)

D.f (1)