导数应用的题型与方法

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作者：谢立荣
导数应用的题型与方法
一、考试内容
撰写人：谢立荣
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和
最小值。
二、考试要求
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函
数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。
函数 f (x) 的极大值是 f (1) 0 ，极小值是 f (1) 4 ．
(3) 函数 g(x) 的图象是由 f (x) 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 4 m 个单位得到的，
所以，函数 f (x) 在区间[3, n m] 上的值域为[4 4m, 16 4m] （ m 0 ）．
而 f (3) 20 ，∴ 4 4m 20 ，即 m 4 ．
3
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当2 3
x
1时,
f
( x)
0.
f
( x) 极大
f (2)
13
又 f (1) 4, f (x) 在[－3，1]上最大值是
13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 f (x) 3x 2 2ax b, 由①知 2a+b=0。
h0
2h
h0
2h
lim f (a 3h) f (a) lim f (a) f (a h)
h0
2h
h0
2h
3 lim f (a 3h) f (a) 1 lim f (a h) f (a)
2 h0
3h
2 h0
h
3 f '(a) 1 f '(a) 2b
2
2
（2） lim h0
P(x0 , y0 ) 为曲线上一点，过 P(x0 , y0 ) 点的切线方程为： y y0 f (x0 )(x x0 )
4．瞬时速度
用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，
v lim y S(t t) S(t)
t0 t
t
5．导数的定义
对导数的定义，我们应注意以下三点：
(1)△x 是自变量 x 在 x0 处的增量(或改变量)． y
又 y1 x12 y2 (x2 2)2 x12 y1
k
y2 x2
y1 x1
2y1 (2 x1)
x1
2x12 2 2x1
x12 x1 1
2x1
x1 0或 x1 2， k 0或k 4 l 的方程为： y 0 或 y4 4(x2)。
题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
例 3 已知函数 f (x) x3 ax2 bx c,过曲线y f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为
8、已知 y f (x) x [a , b] （1）若 f (x) 0 恒成立 ∴ y f (x) 为 (a , b) 上 ∴ 对任意 x (a , b) 不等式 f (a) f (x) f (b) 恒成立 （2）若 f (x) 0 恒成立 ∴ y f (x) 在 (a , b) 上 ∴ 对任意 x (a , b) 不等式 f (a) f (x) f (b) 恒成立
① ②
∵ y f (x)在x 2时有极值,故f (2) 0, 4a b 12 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5
∴ f (x) x3 2x2 4x 5.
（2） f (x) 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2). 当 3 x 2时, f (x) 0;当 2 x 2 时, f (x) 0;
y=3x+1
（Ⅰ）若函数 f (x)在x 2 处有极值，求 f (x) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y f (x) 在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数 y f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围
解：（1）由 f (x) x3 ax2 bx c,求导数得f (x) 3x2 2ax b.
据切线定义，可得切线方程为 x x0
7、 导数与函数的单调性的关系
㈠ f (x) 0 与 f (x) 为增函数的关系。
f (x) 0 能推出 f (x) 为增函数，但反之不一定。如函数 f (x) x3 在 (,) 上单调递 增，但 f (x) 0 ，∴ f (x) 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f (x) 0 时， f (x) 0 与 f (x) 为增函数的关系。 若将 f (x) 0 的根作为分界点，因为规定 f (x) 0 ，即抠去了分界点，此时 f (x) 为增函 数，就一定有 f (x) 0 。∴当 f (x) 0 时， f (x) 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件。 ㈢ f (x) 0 与 f (x) 为增函数的关系。 f (x) 为增函数，一定可以推出 f (x) 0 ，但反之不一定，因为 f (x) 0 ，即为 f (x) 0 或 f (x) 0 。当函数在某个区间内恒有 f (x) 0 ，则 f (x) 为常数，函数不具有单调性。∴ f (x) 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件。
于是，函数 f (x) 在区间[3, n 4] 上的值域为[20, 0] ．
令 f (x) 0 得 x 1 或 x 2 ．由 f (x) 的单调性知， 1„ n 4 „ 2 ，即 3 „ n „ 6 ．
综上所述， m 、 n 应满足的条件是： m 4 ，且 3 „ n „ 6 ．
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三
个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用
开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点
的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知 y f (x) （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
(1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数，即曲线 y=f(x)在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y y0 f '(x0 )(x x0 ) 特别地，如果曲线 y=f(x)在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线平行于 y 轴，这时导数不存在，根
四、热点题型分析
题型一：利用导数定义求极限 例 1．已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f′(a)=b，求下列极限：
f (a 3h) f (a h)
f (a h2 ) f (a)
（1） lim
； （2） lim
h0
2h
h0
h 3h) f (a) f (a) f (a h)
㈤函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x) 在 (a, b) 单调递增，在 (b, c) 单调递增，又知函数
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在 f (x) b 处连续，因此 f (x) 在 (a, c) 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区
间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 n 次多项式
的导数问题属于较难类型。 2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一
个方向，应引起注意。 3．曲线的切线 用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设
12b b2 12
0,则0 b
6.
综上所述，参数 b 的取值范围是[0,)
例 4：已知三次函数 f (x) x3 ax2 bx c 在 x 1 和 x 1 时取极值，且 f (2) 4 ．
(1) 求函数 y f (x) 的表达式；
(2) 求函数 y f (x) 的单调区间和极值；
y
(b)求平均变化率
f (x0 x)
f (x0 ) ；
x
x
(c)取极限，得导数
f
'(x0
)
lim
x0
y x
。
6．导数的几何意义
函数 y=f(x)在点 x0 处的导数，就是曲线 y=(x)在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率．由此，
可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
当 1 x 1 时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0 ；
当 x 1 时， f (x) 0 ．∴函数 f (x) 在区间 (, 1] 上是增函数；
在区间[1,、 ] 上是减函数；在区间[1, ) 上是增函数．
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依题意 f (x) 在[－2，1]上恒有 f (x) ≥0，即 3x 2 bx b 0.
①当 x
b 6
1时,
f (x)min
f (1) 3 b b 0,b 6 ；
②当 x
b 6
2时,
f (x)min
f (2) 12 2b b 0,b ；
③当 2
6 b
1时,
f
( x) min
⑵熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则会
求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小 值。 三、双基透视 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数 的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；