福建省厦门市实验中学2018-2019学年高三上学期第一次月考理科数学试题(PDF无答案)
f 1 f 2 f 3 f 2018 （ ）
A. 2018
B. 0
C. 2
D. 50
10.已知 f x 是定义在区间1,1 上的奇函数，当 x 0 时， f x x x 1 .则关
于 m 的不等式 f 1 m f 1 m2 0 的解集为（ ）
a
1 2
3
，
b
log
1 3
2
，
c
log
1 2
3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）
A. b a c
B. b c a
C. a b c
D. c b a
5.函数 f x 2sin x x ，则（ ）
A. x 是极小值点 3
C. x 是极大值点 3
2.设 X R ，则“ X 3 8 ”是“ X 2 ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知函数
f
x
2 x
log3
x
，在下列区间中包含
f
x
零点的是（
）
A. 0,1
B. 1, 2
C. 2,3
D. 3, 4
1
4.若
C.若 p q 为假命题，则 p ， q 均为假命题
D.“若 a ，则 sin a 1 ”的否命题是“若 a ，则 sin a 1 ”
6
2
6
2
9.已知 f x 是定义域为 R 的奇函数，满足 f 1 x f 1 x .若 f 1 2 ，则
B.
,
e
1 e
C.
e
1 e
,
2
D.
2,
e
1 e
12. 设 函 数 f x 是 定 义 在 , 0 上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 f x ， 且 有
2 f x xf x x2 ， 则 不 等 式 x 20182 f x 2018 4 f 2 0 的 解 集 为
l
的参数方程为
x y
2t t sin
cos
t为参数
，曲线
C
的极坐标
方程为 sin2 8cos . （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，与 x 轴的交点为 F ，求 1 1 的值.
AF BF
xi
f
xi
1（i
1, 2
）成立，则称函数
f
x
具有性质
P
，若函数
f
x
ex a
具有
性质 P ，则实数 a 的取值范围是
17.已知函数
f
x 满足
f
1 x 1 x
1 1
x2 x2
.
（1）求 f x 的解析式及定义域；
（2）求 f x 的值域.
不充分条件，则实数 m 的取值范围为
15. 函 数 f x 满 足 f x 4 f x x R ， 且 在 区 间 2, 2 上 ，
f
x
cos
x 2
,
0
x
2
x
1
, 2
x
0
，则
f
f
15
2
16. 对 于 函 数 y f x ， 若 其 定 义 域 内 存 在 两 个 不 同 的 实 数 x1 ， x2 ， 使 得
B. x 是极小值点 6
D. x 是极大值点 6
6.设函数 f x x3 a 1 x2 ax ，若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0, 0
处的切线方程为（ ）
A. y 2x
B. y x
C. y 2x
D. y x
（）
A. 2020, 0
B. , 2020
C. 2016, 0
D. , 2016
13.若集合 A 1, 2,3 ， B 1,3, 4 ，则 A B 的子集个数为
14.已知 p : 函数 y a 4x 在 R 上单调递减，q : m 1 a 2m ，若 p 是 q 的必要
厦门市实验中学 2018-2019 学年高三上学期 第一次月考理科数学试题
1.设全集为 R ，集合 A x 0 x 2 ， B x x 1 ，则 A CRB Biblioteka （ ）A.x 0 x 1
B.x 0 x 1
C.x 1 x 2
D.x 0 x 2
7.函数 y 2 x sin 2x 的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.下列说法中正确的是（ ）
A.“ f 0 0 ”是“函数 f x 是奇函数”的充要条件
B.若 p : x0 R ， x02 x0 1 0 ，则 p : x R ， x2 x 1 0
21.已知函数 f x ln x ax2 2a 1 x . （1）讨论 f x 的单调性； （2）当 a 0 时，证明 f x 3 2 .
4a
22.极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正
半轴为极轴.已知直线
18.若函数 f x ax3 bx 4 ，当 x 2 时，函数 f x 有极值 4 .
3
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）若关于 x 的方程 f x k 有三个零点，求实数 k 的取值范围.
19.已知函数 f x log2 ax2 2ax 3 .
（1）当 a 1 时，求该函数的定义域和值域；
（2）如果 f x 1 在区间2,3 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
20.如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB / /CD ，且 BAP CDP 90 （1）证明： 平面PAB 平面PAD ； （2）若 PA PD AB DC ， APD 90 ，求二面角 A PB C 的余弦值.
A. 0,1
B. 2,1
C. 2, 2
D. 0, 2
11.已知函数
f
x
xex , x
xe
x
,
0 x
（ 0
e
是自然对数的底数），方程
f
2
x
tf
x1
0
（ t R ）有四个实数根，则 t 的取值范围为（ ）
A.
e
1 e
,
厦门市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
厦门市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化3． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的164． 复数i i -+3)1(2的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．5． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°6． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A B D ．347． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58． 以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（ ） A ．2B ．4C ．1D ．﹣19． 已知f （x ）=，则“f[f （a ）]=1“是“a=1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．12+B ．12 C. 34 D ．0 11．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ） A ．y 2=4x 或y 2=8xB ．y 2=2x 或y 2=8xC ．y 2=4x 或y 2=16xD ．y 2=2x 或y 2=16x12．函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）A ．向左平移个单位得到B ．向右平移个单位得到C ．向左平移个单位得到 D ．向左右平移个单位得到二、填空题13．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1和平面BC 1D14．设全集15．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．16．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.三、解答题17．已知函数f （x ）=，求不等式f （x ）＜4的解集．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．19．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边72c =，且tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=a b +的值．20．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }满足：a 1=b 1=1，a 2=b 2，2a 3﹣b 3=1．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．21．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(s i n ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ） 若2a =，ABC ∆c b ,.22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．23．在ABC ∆中已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.厦门市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tan α=，∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．2． 【答案】B 【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 3． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2113V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为222111(2)326V r h r h ππ=⨯=，所以122V V =，故选A.考点：圆锥的体积公式.1 4． 【答案】C【解析】i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．5． 【答案】C【解析】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．【答案】D【解析】考点：异面直线所成的角.7．【答案】C【解析】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．8．【答案】A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．9．【答案】B【解析】解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立，若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0，若x＞0，若f（x）=1，则x2﹣1=1，则x=，即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或，若a＞0，则由f（a）=0或1得a2﹣1=0或a2﹣1=，即a2=1或a2=+1，解得a=1或a=，若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=，即a=﹣，此时充分性不成立，即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．10．【答案】B【解析】考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.11．【答案】C【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．12．【答案】C【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】平行．【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．14．【答案】{7，9}【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}。
厦门市 学 第一学期高三质检理科数学参考答案
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 17. 本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解
能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分 12 分． 解：（1）∵ S 1 ab sin C ， a2 b2 c2 4 3S ，
2
∴ a2 b2 c2 2 3absin C ，······························································1 分
(0, 5 ) ，所以 A
( , 7 ) ，··············································11 分
6
3 36
所以 3b a ( 2, 4] ，即 3b a 的取值范围为 ( 2, 4] . ····························12 分
3
, 3，
1 an 2 3 ∴ an 1 3 2 an 2 ，即 an 1 1 2 an 1 ，
h1
E B
∴数列 an 1 是以 a1 1 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
∴ an 1 2 2n 1 2n ，即 an 2n 1 ， 所以， a5 32 1 33 . 二、填空题：本题共 4 小题，每 t ln a 1，a e ，由图可知，a 的取值范围为1 a e ．
解法二：如图，由于 a 1 ，函数 g x ax 1 的图象与直线 y x 有一个公共点为 0,0 ，
当函数 g x ax 1 的图象与直线 y x 切于原点时， ln a 1， a e ，由图可知， a 的取 值范围为1 a e ．
当 n 2 时， Sn 2an n 2 ，
①
2019届福建省厦门一中高三上学期返校考理科数学试题
绝密★启用前2019届福建省厦门一中高三上学期返校考理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合，{}2log (2)A x y x ==-若全集U A =，{}12B x x =<<，则U C B =（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．设i 是虚数单位，若复数512ia i+-（a R ∈）是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．23．“4πα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要4．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=r r ，且a b ⊥r r ，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．35．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）……○…………订线…………○……※※装※※订※※线※※内※……○…………订线…………○……A B C ．13D ．236．求值：4cos 50°－tan 40°＝( ) AB C ．D ．－17．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：21212S ⨯⨯=⨯弦矢+矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：12V =⨯圆面积⨯矢312+⨯矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为180002m ，建筑容积约为3400003m ，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（ ）参考数据: 3321800032608768+⨯=，3341800034651304+⨯=，3361800036694656+⨯=，3381800038738872+⨯=，3401800040784000+⨯=.…………○………………○……A ．()32,34B ．()34,36C ．()36,38D ．()38,409．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P 、Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，且2QM MF =u u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D10．已知等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 A ．100π B ．54π C ．77πD ．300π11．设函数()2sin 2f x x π=与函数112y x =-的图像在区间35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上交点的横坐标依次为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，则1nii x==∑（ ）A ．4B ．2C ．0D ．612．设实数0m >，若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 0mxxe m-≥恒成立，则m 的最小值（ ） A ．1eB ．12eC ．2eD ．e 3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题…………○○…………订………※※※订※※线※※内※※答※※题…………○○…………订………13．()261(21)x x ++展开式的3x 的系数是________. 14．函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是________.15．已知函数()sin f x x =的图像与直线0(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为1,x 2,x 3x ，则()2313tan x x x x -=-________.16．如图，在棱长为2的正四面体S −ABC 中，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，若PS =3√24PQ ，则PC 长度的最小值为________.三、解答题17．在ABC ∆中,,3B D π=为BC 上的点, E 为AD 上的点,且8,4AE AC CED π==∠=.（1）求CE 的长;（2）若5CD =,求DAB ∠的余弦值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,2n n n S a S a +==-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1122...nb na a a =,且()()12·...n n k b b b a n N*+++≤∈,求实数k 的最大值.………订……………线………__________考号：………订……………线………19．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.(Ⅰ)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率()%y 与月份代码x 之间的关系.求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年5月份（即7x =时）的市场占有率；(Ⅱ)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A B 、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值．．．．．．．．．．．．为决策依据，你会选择采购哪款车型？ （参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ,ˆˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bay bx x x x nx====---===---∑∑∑∑） 20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，,22AB BC AB BC AD ⊥===，E 为CD 的中点，PB AE ⊥.…………○………………○……（1）证明:平面PBD⊥平面ABCD；（2）若,PB PD PC=与平面ABCD所成的角为4π，求二面角B PD C--的余弦值.21．已知焦点在x轴上的椭圆E经过点⎛⎝⎭，且焦距为（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线:l y m=+与椭圆E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于点M，若tan AMB∠=-m的值.22．已知函数()xf x e=，1()g xx a=-.（1）设函数()()()F x f x g x=+，试讨论函数()F x零点的个数；（2）若2a=-，0x>，求证：28()()24xf xg xx-⋅>+参考答案1．B 【解析】分析：根据对数函数的性质，求解{}2log (2){|2}A x y x x x ==-=<，即{|2}U x x =<，再根据集合补集的运算，即可求解.详解：由集合{}2log (2){|2}A x y x x x ==-=<，即{|2}U x x =<， 又因为{}12B x x =<<，所以{|1}U C B x x =≤，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合A ，得到集合U ，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．D 【解析】 解：5212ia a i i+=-+- ，由纯虚数的定义可得：20,2a a ==∴= . 本题选择D 选项. 3．A 【解析】由cos 2α =0得2 α =kπ+ 2π，即α =π2k +4π，k ∈Z ， 则“4πα=”是“cos 2α =0”的充分不必要条件， 故选：A ． 4．A 【解析】 【分析】由a b ⊥r r，转化为0a b ⋅=r r ，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=r r，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切． 5．D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D.6．C 【解析】 【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=440404040sin cos sin cos ︒︒-︒︒=()280301040sin sin cos ︒-︒+︒︒=121010102240cos cos sin cos ︒-︒︒︒=310102240cos sin cos ︒-︒︒=()301040cos ︒+︒︒故选C ． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．A 【解析】由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥A BCD - ，由图可知，三棱锥的三个面中，只有ADB ∆ 是直角三角形，即直角三角形的个数为1 ，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8．B 【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算32,32,36,38,40h =时的体积近似值. 详解：设体育馆建筑高度为()h m ，则3111800022V h h =⨯+， 若32h =，则304383V =；若34h =，则325652V =，若36h =，则347328V =，325652340000347328<<，∴3436h <<，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题. 9．B 【解析】 【分析】求出各点坐标，根据三点关系列方程得出,a c 的关系即可得出离心率． 【详解】把x c =-代入22221x y a b-=，解得2by a =±，∴22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，∵ 2QM MF =u u u u r u u u r ，∴2, 3b M c a ⎛--⎫⎪⎝⎭，由PF BF OE OB =得：2b ac a OE a+=，∴2b OE ac =+， ∴20, b E a c +⎛⎫⎪⎝⎭，又(),0A a -，E A M ,,三点共线，∴ 223 b b a ca a c a +=- ，整理得：2a c =， ∴2ce a==．故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题． 10．C 【解析】由71335a a =，得()()1136512a d a d +=+，解得121a d =-，则222222447474cos a cos a sin a sin a cos a sin a -+-= 22224747cos a cos a sin a sin a -()()47474747cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina =-+ ()()()474756cos cos cos +a a a a a a =+-=-，又4756+a a a a =+，()47cos 1a a ∴-=-，故473π2πa a d k -=-=+，()π2π3k d k Z +=-∈， 又公差()1π2,0,,7π3d d a ∈-∴=-=，由()π7π103n a n ⎛⎫=+--≥ ⎪⎝⎭，得22n ≤，故22S 或21S 最大，最大值为222221π227π77π23S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，故选C ． 11．A 【解析】 【分析】求出函数()2sin 2f x x π=与函数112y x =-图象的公共的对称中心以及在区间35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点个数，通过对称的性质可得结果. 【详解】 将函数112y x =-与()2sin 2f x x π=的图象有公共的对称中心1,02⎛⎫⎪⎝⎭，从图象知它们在区间35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有八个交点， 分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为1， 故所有的横坐标之和为：4．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的交点问题，利用对称中点关系求解．属于基础题． 12．A 【解析】 原问题等价于minln 0mxx e m ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 设()ln mxx f x em =-，则()1'mxf x me mx=- 令f ′(x )=0,可得21mxe m x=，由指数函数和反函数在第一象限的图象， 可得mxy e=和21y m x=有且只有一个交点， 设为(a ,b ),当x >a 时,f ′(x )>0,f (x )递增； 当0<x <a 时,f ′(x )<0,f (x )递减。
福建第一中学2018-2019学年高三上学期数学理科月考试卷及答案及详解
福建第一中学2018-2019学年高三上学期数学理科月考试卷及答案及详解一、选择题（每小题5分，总分50分）1．已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4D.453．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x4.已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0对， 2cos ,08,()6log ,8,xx f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩ ((16))f f -= （ ） (A) 12-(B) (C)12(D)5.已知实数x ，y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩设y x m +=，若m 的最大值为6，则m 的最小值为（ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．06、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（ ） A 、518 B 、29 C 、1318 D 、7367、.高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上课而且必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（ ） ( A)36 (B)24 (C)18 (D)128．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．89. 若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(x a f x g = (0<a<1)的单调递减区间是( )A 、 []0,3log a ，[)+∞,1B 、(]),0[,3log ,+∞∞-aC 、[]a a ,3 D 、[]1,3log a10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝19． 二、填空题：本大题共有5个小题，每小题4分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________. 12．函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是 ．13．在61()x x-的二项展开式中，常数项等于 .14．抛物线218y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．15．在区域02,0 4.x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b ,则满足sin 1b a ≥+的概率为 .三、解答题（共80分，请写出详细解答过程）16.（本小题满分13分）已知向量)sin ,cos 2(x x m =，)cos 32,(cos x x n = ()x ∈R ，设函数1)(-∙=x f ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A B C ，，，若2)(=A f ，4π=B ，边3=AB ，求边BC ．17.（本题满分13分）如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM ∥AC . (1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB ；(3)设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cos θ的值．18.（本小题满分13分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图象上；数列{}n b 满足11,b a =11()n n n n b a a b ++⋅-=，其中n N *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．19.（本小题满分13分）设椭圆E:22221x ya b+=（a,b>0），短轴长为4，离心率为22，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。
福建省厦门市翔安一中2018-2019届高三10月月考数学理试卷(含答案)
).
11. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ) 1
1 ，当 x [0,1] 时， f ( x ) x ，若在区间 ( 1,1] 上方程 f ( x 1) 1 3 1 3
3 ,3 ) 2
D. (1,
3 ) 2
f ( x) mx m 0 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是
x 1
)
B. {0}
C. {2,4}
D. ( )
2
2．下列命题中的假命题是
0
B. x N , ( x 1) 0 D. x 0 R, tan x 0 2
C． x 0 R, lg x 0 1 3、已知条件 p:x≤1，条件 q: A.充分不必要条件
5
1 ＜1，则 p 是 q 成立的 x
该企业 4 年共将 消耗的水费之和． ．． (Ⅰ) 试解释 C (0) 的实际意义，请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？
3 1
17.已知偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 的定义域都是 ( 4,4), 它们在 ( 4,0] 上的图象分别是图①和图②， 则关于 x 的不等式 f ( x ) g ( x ) 0 的解集是
18. 函数 f(x)=x|x|+bx+c，给出四个命题： ①当 C＝0 时，y＝f(x)是奇函数； ②当 b=0，c>0 时方程 f(x)＝0 只有一个实数根； ③y＝f(x)的图象关于点(0,c)对称； ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是________. 三、解答题（本大题共 5 题,19、20、21、22 每题 13 分,23 题 14 分，合计 66 分，解答时应写出必要 的文字说明证明过程或演算步骤）
福建省厦门外国语学校2019届高三1月月考数学(理)试题(解析版)
厦门外国语学校2018-2019学年高三第三次月考数学（理）试题一、选择题1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，∴，故选A．2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故为必要不充分条件.3.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列前项公式，以及等差数列的性质，将转化为的形式，求出，进而求得的值.【详解】依题意，所以，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，以及考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.若，（常数），则点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段D. 椭圆或直线【答案】C【解析】当a=2时，若F1（﹣2，0），F2（2，0），|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是线段，当时>4,这时轨迹是椭圆。
故答案为C。
5.已知实数满足，则的最小值为（）A. 1B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.考点：线性规划.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得时，，满足条件，执行循环体；时，，满足条件执行循环体；时，，不满足条件，退出循环体，输出∴∴故选C7.已知函数的最大值为2，且满足，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】函数满足，则函数关于直线对称，由函数的解析式可得：，分类讨论：若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；综上可得：或 .本题选择C选项.8.已知直线与双曲线交于两点，且线段的中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得M，设代入双曲线方程相减得故选B点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦AB的中点M坐标，可采用点差法，得出是解决本题的关键.9.已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，令，则.当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；所以，故，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.10.已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，将折起使得平面平面，求得三棱锥体积的表达式，然后利用换元法求得体积的最大值.【详解】设，将折起使得平面平面，在三角形中，由面积公式得（其中到的距离为），则.故三棱锥体积为（）.令，故，由于是递减函数，故当时取得最大值，为. 【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的计算，考查函数的单调性，考查换元法求函数的最值，属于中档题.11.给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】给定两个单位向量，，且则，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC=，则因为则，所以=因为，所以有最小值-1.故选B12.已知数列的前项和为，数列为，若，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，其从第二项起，前项和.利用求得所在的位置，并由此求得的值.【详解】设，从第二项起，项和.令即，故当时符合题意.由于从开始，即，而.即，故.故选D.【点睛】本小题主要考查新定义数列的前项和的求法，以及等差数列前项和公式，考查分析和运算求解能力，属于中档题.解题过程中，首先是观察题目所给数列的规律，数列是分组呈现的，第一组的分母是，分子是，第二组分母是，分子从递增，以此类推.找到规律后，先求得每组和的公式，然后求整体的和，列不等式来求的位置.二、填空题13.已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数____【答案】1【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数，根据复数为纯虚数求得的值.【详解】依题意，为纯虚数，故.【点睛】本小题考查复数的除法运算、乘法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.14.过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的为__________．【答案】【解析】【分析】求得直线与抛物线交点的坐标.根据圆的对称性得到圆心在轴上，设出圆心坐标，利用圆和准线相切列方程，解方程求得圆心坐标并求出圆的半径.【详解】抛物线的准线方程为，将代入抛物线的方程，求得，故两个交点的坐标为.由于圆和相切，根据圆的对称性可知，圆心在轴上.设圆心的坐标是，故，解得，故圆心为，半径为，所以圆的方程为.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的方程的确定，考查直线和圆的位置关系.得到一个抛物线的方程，首先确定好抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程等等.直线和抛物线的交点坐标，可以将直线方程代入抛物线方程来求解出来.圆是对称图形，弦的垂直平分线经过圆心，这是一个很重要的性质，主要用来确定圆心的位置.15.如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为_______【答案】【解析】【分析】画出三视图对应的几何体的直观图，根据几何体的三条相互垂直的棱，确定几何体外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示的三棱锥，由三视图可知两两垂直，故几何体的外接球是以分别为长、宽、高的长方体的外接球.由于，是以长方体的体对角线也即是外接球的直径为，故外接球的半径为，表面积为.【点睛】本小题主要考查空间几何体的三视图、考查几何体外接球的表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 16.已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别是.若对任意的，恒成立,则实数a 的取值范围是________【答案】【解析】 【分析】先找到直线所过的定点，利用导数画出函数在上的图像，在上的图像先明确过的定点，再结合直线和函数图像交点的性质，列不等式组，从而求得的取值范围.【详解】直线方程可化为，故直线过定点.当时，，故函数也过.不妨设.故恒成立.当时，令，解得，故函数在上递减，在上递减.，.画出函数在上的图像，由图可知，当时：在，与直线有且只有两个交点，且一个交点处于轴左侧，另一个交点为.时，和直线有一个交点，则.则当时，令，化简得，解得.当时，由，解得.由于，则，化简得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查直线过定点，考查利用导数求函数的单调区间并利用单调区间画出函数图像，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17.已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求出，利用求出，从而求得，由此求得等比数列的首项和公比，进而求得数列的通项公式，代回已知条件求解出的通项公式.（2）利用分组求和法以及裂项相消求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由条件可知，得，于是，，解得，又数列是等比数列，则公比为，于是，又，于是，解得.（2）由题意得，.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求解，考查分组求和法以及裂项相消求和法，属于中档题.18.在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为．（I）若，求点的坐标；（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值．【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点的坐标是；(2)由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得的最大值是.试题解析：（1）由题意，，，因为，所以，即.又，所以，，，所以点的坐标为.（2）由知，向量，同向平行，易知直线的倾斜角为，所以，即.由正弦定理得]当时，. 19.如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.（1）证明：直线∥面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。
福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学(理)试卷【附答案】
厦门外国语学校2018-2019学年高三第一次月考数学（理）试题一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．已知集合2{230},{2}A x x x B x x =--≤=<，则A B =I ( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．已知角α的终边经过()1,2P ,则sin(2)2πα+等于 （ ）A ．35-B ．15 C 5 D ．353．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．定积分()11sin x x dx -+=⎰（ ）A ．cos2 B.1 C. 1cos2+ D.25．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A ．3y x =B ．2xy -= C ．21y x =-+ D ．1y x =+6．设函数1()702()0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩,若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞U7．函数x x x y sin cos +=的图象大致为（ ）8．函数()xx f x e e -=+，则使得()21(1)f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）A. (),1-∞B. ()(),01,-∞⋃+∞C.()0,+∞ D. (0,1)9．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(10)f f f f ++++=…（ ）A ．10-B ．0C ．2D ．1010．已知函数2()2ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞ 11． 已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( ) A. 43,π⎛-∞ ⎝⎦ B. 2,π⎛-∞ ⎝⎦ C. 243ππ⎡⎢⎣⎦ D. 2,π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭12．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上单调.下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π⎛⎫-=⎪⎝⎭C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题（共4小题，20分）13. 已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则()f x =________________________14. 若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=__________________15. 已知22()()1x a f x x bx -=++是奇函数．若关于x 的不等式21m -＞()f x 有解，则m的取值范围是______16．已知()||xf x xe =，又2()()()g x f x tf x =-（t R ∈），若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围是 ．三、解答题（共6题，70分） 17. 已知6(,),sincos222παααπ∈+=（Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ） 3sin()5αβ-=-，(,)2πβπ∈，求cos β的值．18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛42π，，直线l 的极坐标方程为απθρ=⎪⎭⎫⎝⎛-4cos ，且l 过点错误！未找到引用源。
2018-2019学年福建省厦门市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|x＞0}，则M∩N＝（）A．（0，2]B．[﹣3，2]C．（0，3]D．[﹣3，+∞）2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是（）A．＜1B．2﹣x＜2﹣y C．lg（x﹣y）＞0D．x2＞y24．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．9B．12C．27D．365．（5分）已知角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（log23））＝（）A．﹣9B．﹣1C．D．7．（5分）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，若将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．πB．C．D．9．（5分）函数y＝cos x+ln（|x|+1）（x∈[﹣2π，2π]）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝5，则E的离心率为（）A．2B．C．D．11．（5分）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，r＝（）A．B．C．D．12．（5分）在平面四边形ABCD中，△ACD面积是△ABC面积的2倍，数列{a n}满足a1＝3，且＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则a5＝（）A．31B．33C．63D．65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝i，其中i为虚数单位，则|z|＝．14．（5分）《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布尺．15．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为．16．（5分）已知偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1（a＞1），若f（x）恰有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a2+b2﹣c2＝4S．（1）求角C；（2）若c＝2，求b﹣a的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n﹣2．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）数列{b n}满足b n＝数列{c n}满足c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°．（1）证明：AC⊥平面P AB；（2）当直线PC与平面P AB所成角的正切值为时，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．（12分）已知圆E：（x+）2+y2＝16，点F（，0），动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C．（1）求C的方程；（2）已知过点（2，﹣1）的直线l与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a＜1），若f（x）存在极大值点x1和极小值点x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x1）＞kf（x2），求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin （θ﹣）＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P（1，0）作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝|ax+2|，不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（1）求a的值；（2）求证：对任意x∈R，存在m＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+成立．2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵x2+x﹣6≤0，∴﹣3≤x≤2，∴M＝{x|﹣3≤x≤2}∴M∩N＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]故选：A．2．【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．3．【解答】解：对于选项A：当x＝﹣1，b＝﹣2时，＞1，故选项A错误，对于选项B：因为y＝2x在R上为增函数，又x＞y，所以﹣x＜﹣y，所以2﹣x＜2﹣y，故选项B正确，对于选项C：当x＝﹣1，b＝﹣2时，lg（x﹣y）＝0，故选项C错误，对于选项D：当x＝﹣1，b＝﹣2时，x2＜y2，故选项D错误，故选：B．4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z＝x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝3+3×3＝12．故选：B．5．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），∴sinα＝cos47°＝sin43°，cosα＝sin47°＝cos43°，∴α＝43°，则sin（α﹣13°）＝sin30°＝，故选：A．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log23）＝﹣（）＝﹣，f（f（log23））＝f（﹣）＝3×（﹣）＝﹣1．故选：B．7．【解答】解：设船的实际速度为，v1和v2的夹角为θ，北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处，则⊥，∴cosθ＝﹣cos（π﹣θ）＝﹣＝﹣＝﹣故选：D．8．【解答】解：因为，f（x）＝sin2x，由二倍角公式得：f（x）＝﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，则所得图象对应的解析式为：g（x）＝﹣cos2（x﹣φ）＝﹣cos（2x﹣2φ），所得图象关于原点对称，即函数y＝g（x）为奇函数，即2φ＝k，又φ＞0，所以φ的最小值为，故选：D．9．【解答】解：函数是偶函数，关于y轴对称，f（2π）＝cos2π+ln（|2π|+1）＝1+ln（2π+1）＞0，排除D，f（0）＝cos0+ln1＝1，f（π）＝cosπ+ln（|π|+1）＝﹣1+ln（π+1）＝ln＜1，排除B，C故选：A．10．【解答】解：依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则|AB|＝•＝4（m2+1）＝5，解得：m＝±，∴直线l的方程为2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直线的斜率为：±2．直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，可得b＝2a，所以b2＝4a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故选：C．11．【解答】解：圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，V P﹣ABCD＝＝＝＝﹣，0＜h＜2，令f（h）＝h2﹣4h，则f′（h）＝3h2﹣4＝0，解得h＝，f（h）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣，此时r＝＝，（V P﹣ABCD）max＝．故选：C．12．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，若△ACD面积是△ABC面积的2倍，即×|DF|×|AC|＝×|BE|×|AC|，则有|DF|＝2|BE|，又由△DOF～△BOE，则|DO|＝2|BO|，即＝2，则有（﹣）＝2（﹣），变形可得：＝+，设＝λ，则＝+，又由＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则（a n+1﹣3）＝2（a n﹣2），变形可得（a n+1﹣1）＝2（a n﹣1），则数列{a n﹣1}是首项为a1﹣1＝2，公比为2的等比数列，则a n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，则有a n＝2n+1；则a5＝25+1＝33，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由（1+2i）z＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，该女子每天织的布的数量为等差数列，设该数列为{a n}，若该女子一个月）共织布390尺，则S30＝a1+a2+a3+……+a30＝390，该女子本月中旬织布的数量为S20﹣S10＝a11+a12+a13+……+a20＝（a1+a21）+（a12+a22）+……+（a10+a30）＝（a1+a2+a3+……+a30）＝130；故答案为：130．15．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2．设三角形ABC的重心为G，则AG＝，设三棱柱外接球的球心为O，连接OG，则OG＝1，∴三棱柱外接球的半径满足．∴该三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．16．【解答】解：∵f（0）＝a0﹣1og a1﹣1＝1﹣0﹣1＝0，即f（x）有一个零点0，∵f（x）是偶函数，∴要使f（x）恰有三个零点，则等价为当x＞0时，f（x）只有一个零点，由f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1＝0，得a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，设y＝a x﹣1和y＝1og a（x+1）则两个函数互为反函数，图象关于y＝x对称，要使a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，则只需要函数的y＝a x﹣1在x＝0处的导数y′＜1即可，即y′＝a x lna，则y′|x＝0＝a0lna＝lna＜1，得1＜a＜e，即实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵4S＝b2+a2﹣c2，∴2ab cos C＝4×ab sin C，∴cos C＝sin C，∴tan C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（2）∵c＝2，C＝，由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，b＝4sin B，∴b﹣a＝4（sin B﹣sin A）＝4[sin（﹣A）﹣sin A]＝4（cos A+sin A）＝4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴∴sin（A+）∈（﹣，1），∴4sin（A+）∈（﹣2，4），即b﹣a的取值范围是（﹣2，4），18．【解答】解：（1）证明：S n＝2a n﹣n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣3，即a1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2﹣2a n﹣1+n﹣1+2，可得a n+1＝2（a n﹣1+1），即有{a n+1}是首项为4，公比为2的等比数列；（2）b n＝＝＝，c n＝b n+＝+＝2+﹣，前n项和T n＝2n+﹣+﹣+…+﹣＝2n+．19．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°，∴AC⊥PB，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，∴AC＝＝＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又PB∩AB＝B，∴AC⊥平面P AB．解：（2）∵AC⊥平面P AB，∴∠APC是直线PC与平面P AB所成角，∵直线PC与平面P AB所成角的正切值为，∴tan∠APC＝＝，∴AC＝＝2，∴P A＝2，PC＝＝2，PB＝＝＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，2，0），P（，0，），D（﹣2，2，0），＝（），＝（﹣，﹣），＝（﹣3，2，﹣），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，2），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）依题意得|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|PE|＝4＞|EF|＝2，根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆，这里2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1故C的方程为+y2＝1；（2）证明：根据题意，C的方程为+y2＝1，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣2）与椭圆方程联立消去y可得：（k2+）x2﹣2k（2k+1）x+（2k+1）2﹣1＝0，变形可得：（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+16k2+16k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则k1＝，k2＝，则k1+k2＝（）+（）＝+＝＝2k﹣（2k+2）＝﹣1；故k1+k2为定值﹣1．21．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴0＜a＜1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，且﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，故a的范围为（0，1），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞kf（x2），∴a﹣1＞k[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故k＞0，故（a+1）lna＜（1+）（a﹣1），即lna＜（1+），设g（x）＝lnx﹣（1+），则g′（x）＝，令x2﹣+1＝0（*），①k≥1时，△＝﹣4≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1+），符合题意，②0＜k＜1时，△＝﹣4＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＝＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x3＜x4＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（x3，1）递增，故当x4＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1+），故f（x1）＜kf（x2），矛盾，不合题意，综上，k≥1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】（1）∵在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，∴C的轨迹方程是，∵直线的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝，∴直线的直角坐标方程是y﹣x＝，即y﹣x＝2；（2）由上解之l的斜率是，故其倾斜角是60°，所以其垂线的倾斜角是150°故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得7t2﹣4t﹣12＝0∴t1t2＝﹣，t1+t2＝，由题意，点A在x轴上方，故可令|P A|＝t1＞0，|PB|＝﹣t2＞0，∴＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）f（x）≤a⇔|ax+2|≤a⇔﹣a≤ax+2≤a⇔﹣1﹣≤x≤1﹣，∴﹣1﹣＝﹣2，a＝2（2）证明：由（1）得f（x）＝|2x+2|，∴f（x﹣2）+f（2x）＝|2x﹣2|+|4x+2|＝2|x﹣1|+2|2x+1|＝∴f（x）min＝3，当m＝2时，m+＝3，所以对任意x∈R，存在m＝2＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+＝3成立。
福建省厦门市科技中学2018-2019学年高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)
福建省厦门市科技中学2018-2019学年高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合B是f（x）=ln（1-|x|）的定义域，则A∪B（）A. B. C. ∪ D.2.已知log7[log3（log2x）]=0，那么等于（）A. B. C. D.3.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，4.下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. “若，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题5.若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6.已知偶函数f（x）在[0，2]上递减，试比a=f（1），b=f（），c=f（log2）大小（）A. B. C. D.7.为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若2a cos B=c，则2cos2+sin B-1的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知向量=（1，0），||=，与的夹角为45°，若=，=，则在方向上的投影为（）A. B. C. 1 D.10.直线与函数y=sin x（x[0，π]）的图象相切于点A，且l∥OP，O为坐标原点，P为图象的极大值点，与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则=（）A. B. C. D. 211.已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1-x）-x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A. B. C. D.12.设1＜x＜2，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，tan（α-β）=，则tanβ=______．14.对任意m[-1，1]，函数f（x）=x2+（m-4）x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围______．15.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若（λ＞0），＞，则的最小值是______．16.设f（x）=（ax+b）ln x-4ax，对于任意的a（1，2），f（x）均单调递增，则b的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．18.已知，（1）求函数f（x）的单调递减区间，并指出函数y=f（x）的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；（2）当，时，求函数f（x）的最值，并求出函数取最值时的x的值．19.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）当x[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．20.如图，在平面四边形ABCD中，．（1）若与的夹角为30°，求△ABC的面积S△ABC；（2）若，为AC的中点，G为△ABC的重心（三条中线的交点），且与互为相反向量，求的值．21.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．22.已知函数f（x）=x-a ln x，g（x）=-，（a R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由，得，所以A={x|}={x|}，由1-|x|＞0，得-1＜x＜1，所以B={x|-1＜x＜1}．所以A∪B={x|}∪{x|-1＜x＜1}=（-1，2）．故选：D．首先通过解分式不等式化简集合A，然后求出对数型函数的定义域得到集合B，直接取并集．本题考查了并集及其运算，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型．2.【答案】C【解析】解：由条件知，log3（log2x）=1，∴log2x=3，∴x=8，∴x-=．故选：C．从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值，求出值．利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数．3.【答案】C【解析】解：A项中B=180°-45°-80°=55°，由正弦定理可求得c=•sinC，进而可推断出三角形只有一解；B项中b=为定值，故可知三角形有一解．C项中由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=．因而B有两值．D项中c＞a，进而可知C＞A=120°，则C+A＞180°不符合题意，故三角形无解．故选：C．先根据正弦定理和A项中的条件可求得c的值为一个，推断出A中的三角形有一个解；根据余弦定理可求得B项中的b的值，推断出B中的三角形有一个解；C项中利用正弦定理可求得sinB的值，根据正弦函数的性质可求得B有两个值，推断出三角形有两个解；D项中利用大边对大角可推断出C＞A=120°三角形中出现两个钝角，不符合题意．本题主要考查了解三角形．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．4.【答案】B【解析】解：若xy=0，则x=0的否命题为：若xy≠0，则x≠0，故A错误若x+y=0，则x，y互为相反数的逆命题为真命题为若x，y互为相反数，则x+y=0，为真命题x R，使得2x2-1＜0的否定是：“x R，均有2x2-1≥0，故C错误若cosx=cosy，则x=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题，故D错误故选：B．若xy=0，则x=0的否命题为：若xy≠0，则x≠0；若x+y=0，则x，y互为相反数的逆命题为真命题为若x，y互为相反数，则x+y=0；x R，使得2x2-1＜0的否定是：“x R，均有2x2-1≥0；若cosx=cosy，则x=y为假命题，则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题．本题主要考查了命题真假相同的判断，解题中主要涉及到了，命题的逆命题、否命题、逆否命题的写法及互为逆否命题的真假关系的应用．5.【答案】B【解析】解：∵∴，可得||=||由此可得△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形又∵，可得∴结合，得•=0由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直，∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上，∴AM是BC的垂直平分线，可得AB=AC，得△ABC是等腰三角形又∵，∴△ABC不是等边三角形故选：B．根据算出△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形．而，得到=-2，代入第一个等式可得•=0，从而得到BC⊥AM．再根据△MBC是等腰三角形，得到AM是BC 的垂直平分线，可得AB=AC，而且M不是△ABC的重心，可得△ABC是等腰三角形且不是等边三角形，得到本题答案．本题给出三角形中的向量式，叫我们判断三角形的形状，着重考查了平面向量的数量积计算性质和向量加减法的定义等知识，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：∵，∴∵f（x）在[0，2]上递减，∴f（）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（）=f（-）=∴＞f（1）＞，即c＞a＞b故选：D．由对数的定义，可得b=f（2），c=f（-）=f（）．再结合函数函数f（x）在[0，2]上递减，即可得到a、b、c的大小关系．本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x-）=sin2（x-），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x-）的图象，故选：B．先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．8.【答案】B【解析】解：由余弦定理得：cosB=，代入2acosB=c得：a2+c2-b2=c2，即a2=b2，可得：a=b，即A=B，2cos2+sinB-1=cosA+sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵2acosB=c，即cosB=＞0，∴B（0，），∴B+（，），∴sin（B+）（，1]，∴sin（B+）（1，]，即2cos2+sinB-1的取值范围是（1，]，故选：B．利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化简，可得出a=b，根据等边对等角可得A=B，然后把所求式子的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，再由B为三角形的内角，得出B的范围，进而得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的取值范围．本题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，考查特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．9.【答案】D【解析】解：向量=（1，0），||=，与的夹角为45°，若=，=，则•=1××=1，可得•=（+）•（-）=2-2=1-2=-1，||====1，则在方向上的投影为=-1．故选：D．运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，以及向量投影的概念，计算可得所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量投影的求法，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵P（，1），直线l的斜率即为OP的斜率=．设A（x1，y1），由于函数y=sinx在点A处的导数即为直线l的斜率，∴cosx1=，y1=sinx1==，∴AB直线的方程为y-y1=（x-x1），令y=0 可得点B的横坐标x B=x1-y1，由=•cos∠ABC==（x1-x B）2 ==×=，故选：B．直线l的斜率即为OP的斜率，即函数y=sinx在点A处的导数，得到cosx1=，点斜式写出AB直线的方程，求出点B的横坐标，由=•cos∠ABC==（x1-x B）2求出结果．本题考查直线的斜率公式，函数的导数与斜率的关系，求直线的点斜式方程，以及两个向量数量积的定义，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵f（1+x）=2f（1-x）-x2+3x+1∴f′（1+x）=-2f′（1-x）-2x+3∴f′（1）=-2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1-x）-x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=-1∴切线方程为：y+1=x-1即x-y-2=0故选：A．对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．12.【答案】A【解析】解：令f（x）=x-lnx（1＜x＜2），则，∴函数y=f（x）（1＜x＜2）为增函数，∴f（x）＞f（1）=1＞0，∴x＞lnx＞0∴，∴，又，∴，故选：A．要判断大小关系，可以令f（x）=x-lnx（1＜x＜2），然后求导，判断f（x）的单调性，继而判断所给数的大小关系．本题在于巧设函数，并求导，判断单调性，考查了灵活运用知识的能力．13.【答案】【解析】解：，可得，解得tanα=1．tanβ=tan[α-（α-β）]===．故答案为：．利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．本题考查两角和与差的正切函数，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．14.【答案】（-∞，1）∪（3，+∞）【解析】解：∵任意k[-1，1]，函数f（x）=x2+（k-4）x-2k+4＞0，恒成立，令g（k）=k（x-2）+x2-4x+4＞0，则，即-（x-2）+x2-4x+4＞0，（x-2）+x2-4x+4＞0，解得x＜1或x＞3，故答案为（-∞，1）∪（3，+∞）．令g（k）=k（x-2）+x2-4x+4＞0，则，解得答案．此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于k的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意．15.【答案】【解析】解：由题意可得，即，故，由D、E、F在同一条直线上，故所以=（）（）=因为λ＞0，μ＞0由基本不等式可得≥=当且仅当，即μ=2λ时取等号．故答案为：由题意可得，由D、E、F三点共直线可得，故=（）（）=，下面由基本不等式可得答案．本题为向量与基本不等式的结合，其中向量式的结论和“1”的代入是解决问题的关键，属基础题．16.【答案】[2e2，+∞）【解析】解：∵f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a（1，2），f（x）均单调递增，∴f′（x）=alnx+（ax+b）×-4a≥0在x＞0上为单调增函数，∴（ax+b）×≥4a-alnx，∴b≥3ax-axlnx（x＞0），令g（x）=3ax-axlnx=a（3x-xlnx）（x＞0），a（1，2），求h（x）=3x-xlnx的最大值，h′（x）=3-（lnx+1）=0，可得x=e2，存在唯一极值点也是最大值点，h（x）max=h（e2）=3e2-e2×2=e2，∴g（x）max=2×e2=2e2，∴b≥2e2，故答案为：[2e2，+∞）；已知f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a（1，2），f（x）均单调递增，说明f′（x）≥0恒成立，可以推出a与b的关系，再利用常数分离法进行求解；此题主要考查函数的单调性与导数的关系，解题过程中用到了常数分离法，此题是一道基础题；17.【答案】解：由得（0＜k＜1）．由题设得∫01-k[（x-x2）-kx]dx=∫01（x-x2）dx即∫01-k[（x-x2）-kx]dx=（-）|01=∴（1-k）3=∴k=1-∴直线方程为y=（1-）x．故k的值为：．【解析】先由得，根据直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫01-k[（x-x2）-kx]dx=∫01（x-x2）dx下面利用定积分的计算公式即可求得k值．研究平面图形的面积的一般步骤是：（1）画草图；（2）解方程组，求出交点坐标；（3）确定被积函数及上、下限；（4）进行计算．18.【答案】解：（1）f（x）=（1+cos2x）+3sin2x-=（cos2x+sin2x）=2sin（2x+）+2kπ≤2x+≤+2kπ，k Z∴f（x）的单调减区间[+kπ，+kπ]，k Zy=2sin2x向左平移得到y=2sin（2x+）（2）∵x[0，]∴2x+[，]∴sin（2x+）[-，1]∴当2x+=，即x=时，f（x）min=-，当2x+=，即x=时，f（x）max=2．【解析】（1）利用两角和差的三角函数化简函数，得到y=2sin（2x+），进而得到单调递减区间；y=2sin2x向左平移得到y=2sin（2x+）；（2）当时，，求出2x+的范围，进而得到sin（2x+）的范围，从而得到函数f（x）的范围，从而求得函数f（x）的最大值．本题考查两角和差的三角函数，求三角函数的值域，求三角函数的值域是解题的难点．19.【答案】解：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3；①当2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x2+6x-3，当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6 （2分）②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=x2-2x-3=（x-1）2-4，当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12 （4分）综上可知，函数f（x）的最大值为12，最小值为5．（6分）（2）若x≥a，原不等式化为f（x）=x2-ax≤1，即a≥x-在x[1，2]上恒成立，∴a≥（x-）max，即a≥．（8分）若x＜a，原不等式化为f（x）=-x2+ax≤1，即a≤x+在x[1，2]上恒成立，∴a≤（x-）min，即a≤2．（10分）综上可知，a的取值范围为≤a≤2．（12分）【解析】（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3；再对x的取值进行分类讨论去掉绝对值符号：①当2≤x＜4时，②当4≤x≤5时，分别求出在各自区间上的最值，最后综合得到函数f（x）的最值．（2）题目中条件：“x[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立”转化为f（x）=x2-ax≤1恒成立，下面只要利用分离参数法求出函数x-或x+在给定区间上的最值即得．本题考查不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．20.【答案】解：（1）∵，∴BA•BC cos30°=32，∴，∴△ ．（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A（-2，0），C（2，0），设D（x，y），则，，因为与互为相反向量，所以，．因为G为△ABC 的重心，所以，，即B（-3x，-3y），∴，，，，因此=32，即x2+y2=4．∴，，．【解析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得BA•BC的值，可得△ABC的面积S△ABC的值．（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设D（x，y），由条件求得点B的坐标，从而求得的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，用坐标法求两个向量的数量积，属于中档题．21.【答案】解：（1）由体积V=，解得l=，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•，又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-，=，0＜r≤2由于c＞3，所以c-2＞0当r3-=0时，则r=令=m，（m＞0）所以y′=①当0＜m＜2即c＞时，当r=m时，y′=0当r（0，m）时，y′＜0当r（m，2）时，y′＞0所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤时，当r（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；当c＞时，建造费用最小时r=【解析】（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．22.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x-ln x，，（2分）（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞-1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e-1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由＜可得＞，因为＞，所以＞；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜a ln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a-a ln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）综上讨论可得所求a的范围是：＞或a＜-2．（13分）【解析】（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．。
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三上学期第一次月考理科数学试题
1.若集合 M x 2 x 3 ， N x 2x1 1 ，则 M N （ ）
A. 3,
B. 1,3
C. 1, 3
D. 2, 1
2.抛物线 x2 2a 1 y 的准线方程是 y 1，则实数 a （ ）
6. 设 集 合 A x x2 ax 2017 0 ， B x x2 ax 2018 0 ，
C x x2 2017x b 0 ，D x x2 2018x b 0 ，其中 a ，b R ，下列说法
正确的是（ ） A.对 a R ， A 是 B 的子集；对 b R ， C 不是 D 的子集 B.对 a R ， A 是 B 的子集； b R ， C 是 D 的子集 C. a R ， A 不是 B 的子集；对 b R ， C 不是 D 的子集 D. a R ， A 不是 B 的子集； b R ， C 是 D 的子集
1
7.如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为 48 ，则 a 的值为（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
8.若 y log1 3x2 ax 5 在1, 上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
3
A. , 6
B. 6, 0
C. 8, 6
（）
A. 3 4
B. 8 9
C. 1 4
D. 4 9
5.已知函数 f x ln x 2x ，若 f x2 4 2 ，则实数 x 的取值范围是（ ）
A. 2, 2
B. 2, 5
C. 5,2