高三数学调研考试题

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江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷(含答案)

江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={(x,y )|x 2+y 2=4},B ={(x,y )|y =2cos x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.在复平面内，复数z 对应的点Z 在第二象限，则复数z4i 对应的点Z 1所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a ，b ，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为( )A. 79B. 80C. 81D. 824.“tan 2α=14”是“tan 3αtan α=11”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若单位向量a ,b 满足⟨a ,b⟩=120∘，向量c 满足(c−a )⊥(c−b )，则a ⋅c +b ⋅c 的最小值为( )A.3−14B. 1−34C.3−12 D. 1−326.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=12，a n +1=2a na n +1，若S 2024∈(k−1,k)，则正整数k 的值为( )A. 2024B. 2023C. 2022D. 20217.已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线(x p >0,y p >0)，交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当S △OPA =2时，该双曲线的离心率为( )A.17B. 32C.19D. 258.在▵ABC 中，A <B <C 且tan A,tan B,tan C 均为整数，D 为AC 中点，则BCBD 的值为( )A. 12B.22C.32D. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。

2024届邯郸第三次调研数学试卷含答案

邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1已知集合}2M=≤，{}23N x x −<<，则M N ∩=（）A. {}04x x ≤≤ B. {}24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}04x x ≤<2. 若复数(1)i2ia a z +−=+纯虚数，则实数=a （）A. 2−B. 13− C. 13 D. 23. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线，则3a b −=（）A. (1,10)B. (5,10)C. (5,2)D. (1,2)4. 在632x x −的展开式中，21x 的系数为（）A. 192−B. 6−C. 6D. 1925. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等，且14a ，312a ，23a 成等差数列，则2021202320202022a a a a −=−（） A 1B. 2C. 3D. 46. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，(,)P x y 为抛物线上一动点，点(6,3)A ，则PAF △周长的最小值为（） A. 13B. 14C. 15D. 16.为.7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)()f x f x +=，且()f x 在[1,0]−上单调递减，若()3log 45a f =，()5log 8b f =−，43c f=，则（） A. a b c << B. a c b << C. c<a<bD. b<c<a8. 已知在四面体ABCD 中，AB BC CD DA BD ====，二面角A BD C −−的大小为π3，且点A ，B ，C ，D 都在球O 的球面上，M 为棱AC 上一点，N 为棱BD 的中点．若MO CN λ=，则λ=（） A13B.49C.59D.23二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线22:163x y C λλ−=+−，则（）A. λ的取值范围是(6,3)−B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C. C 的焦距为6D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCD F −−的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A. 共有18个顶点B. 共有36条棱C.表面积为6+D.体积为11. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c)222a c b +−，则下列说法正确的是（）.A. cos cos A C 的取值范围是11,24−B. 若D 为边AC 中点，且1BD =，则ABCC. 若ABC 是锐角三角形，则a c 的取值范围是1,22D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E，且BE =，则4a c +的最小值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 写出一个(0)ωω>，使得函数π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为__________．13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X ，则()E X =__________．14. 记min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中最小的数．设0a >，0b >，则11min ,,3a b b a+的最大值为__________．四、解答题：本题共577分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知217S =，57n S n +是公差为12的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y /千人0.811.31.72.2（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明；（2）求y 关于x 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．的参考数据：5124.5i ii x y==∑，()521 1.26i i y y =−=∑3.55≈．参考公式：相关系数r =ˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==−−=−∑∑，ˆˆa y bx=−． 17. 在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，224AB BC CD ===，5PC =，E 为棱AB 的中点，且CE PE ⊥．（1）求四棱锥P ABCD −的高；（2）求二面角B PC E −−的正弦值．18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b ab +=>>经过P，31,2Q − 两点．（1）求E 的方程；（2）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．19. 已知函数()2()e x f x x ax =−，a ∈R ．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ，其中1>0x ，20x >．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．邯郸市2024届高三年级第三次调研考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．1.已知集合}2M=≤，{}23N x x −<<，则M N ∩=（）A. {}04x x ≤≤ B. {}24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}04x x ≤<【答案】C 【解析】【分析】化简集合M .详解】}{}204Mx x =≤=≤≤，{}23N x x −<<，所以{}03M N x x ∩=≤<．故选：C. 2. 若复数(1)i2ia a z +−=+为纯虚数，则实数=a （）A. 2−B. 13− C. 13D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简z ，再利用复数的分类即可得解. 【详解】因为(1)i [(1)i](2i)312i 2i (2i)(2i)55a a a a a a z+−+−−−−==+++−，又z 为纯虚数，所以31020a a −= −≠ ，解得13a =.故选：C.【3. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线，则3a b −=（）A. (1,10)B. (5,10)C. (5,2)D. (1,2)【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.【详解】因为//a b，所以(4)2(2)m −×=×−，解得1m =，所以33(1,2)(2,4)(5,10)a b −=−−−=．故选：B.4. 在632x x −的展开式中，21x 的系数为（）A. 192−B. 6−C. 6D. 192【答案】A 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】632x x −的展开式的通项为()()()36184166C 22C r r r r r r rr T x x x −−−+=−=−，令1842r −=−，得=5r ，所以21x 的系数为326192−×=−．故选：A .5. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等，且14a ，312a ，23a 成等差数列，则2021202320202022a a a a −=−（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出q ，即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±，因为14a ，312a ，23a 成等差数列，所以12343a a a +=，即211143a a q a q +=，所以2340q q −−=，解得4q =或1q =−（舍去），所以202120232020202220202022202020224a a a a q qq a a a a −−===−⋅⋅−．故选：D6. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，(,)P x y 为抛物线上一动点，点(6,3)A ，则PAF △周长的最小值为（） A. 13 B. 14C. 15D. 16【答案】A 【解析】【分析】过P 及A 作准线垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为PQ PA AF ++的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.【详解】由题知(2,0)F ，准线方程为2x =−.如图，过P 作准线的垂线，垂足为Q ，过A 作准线的垂线，垂足为B ，所以PAF △的周长||||||||||||||||8513PF PA AF PQ PA AF AB AF =++=++≥+=+=，当P 为AB 与抛物线的交点P ′时等号成立，即PAF △周长的最小值为13.故选：A7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)()f x f x +=，且()f x 在[1,0]−上单调递减，若()3log 45a f =，()5log 8b f =−，43c f =，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c<a<bD. b<c<a【答案】B的【解析】【分析】首先得()f x 在[1,2]上单调递减，进一步通过偶函数性质以及(2)()f x f x +=将自变量都转换到区间[1,2]内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.【详解】因为()f x 是偶函数，(2)()f x f x +=，()f x 在[1,0]−上单调递减，所以()f x 在[1,2]上单调递减．()()()333log 452log 5log 5a f f f ==+=，()()55log 8log 8b f f =−=，因为345125381>，3485125625<，所以4353>，4385<，所以5341log 8log 523<<<<，所以()()534log 8log 53f f f>>，故a c b <<．故选：B.8. 已知在四面体ABCD 中，AB BC CD DA BD ====，二面角A BD C −−的大小为π3，且点A ，B ，C ，D 都在球O 的球面上，M 为棱AC 上一点，N 为棱BD 的中点．若MO CN λ=，则λ=（） A.13B.49C.59D.23【答案】C 【解析】【分析】根据题意和几何关系，并在ACN △所在平面内建立平面直角坐标系，确定点,O M 的位置和坐标，即可求解.【详解】由题意知ABD △与BCD △均为等边三角形，连接AN ，CN ，则AN BD ⊥，CNBD ⊥，ANC ∠是二面角A BD C −−的平面角，所以π3ANC ∠=，又易知AN CN =，所以ACN △是等边三角形．设P 为BCD △的外心，Q 为CN 的中点，连接,,OP ON AQ ，则点O ，P ，Q 都在平面ACN 内，建立平面直角坐标系如图．设2AN NC AC ===，则23NP =，π6ONP ∠=，所以OP =又AQ =29OP AQ =，因为//MO CN ，易知29CM CA =，则23O ，169M ，从而109MO =，59OM CN λ==．故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得60分． 9. 已知双曲线22:163x y C λλ−=+−，则（）A. λ的取值范围是(6,3)−B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C. C 的焦距为6D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC 【解析】【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得63λ−<<，判断方程中分母的符号即可判断A,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，22163x y λλ−=+− 表示双曲线，(6)(3)0λλ∴+−>，解得63λ−<<，故A 正确；对于B ，由A 项可得63λ−<<，故60,30λλ+>−>，C ∴的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为(0)c c >，则2639c λλ=++−=，3c ∴=，即焦距为26c =，故C 正确；对于D，离心率e =，63λ−<<，03∴<<，e ∴的取值范围是(1,)+∞，故D 错误．故选：AC .10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCD F −−的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（）A. 共有18个顶点B. 共有36条棱C.表面积为6+ D.体积为【答案】BD 【解析】式，可得答案.详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A 错误，B 正确；该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，故该多面体的表面积为1618611sin 6062×+×××××=+ ，故C 错误；正八面体E ABCD F −−可分为两个全等的正四面体，其棱长为3，过E 作EO ⊥平面ABCD 于O ，连接AO ，如下图：因为EO ⊥平面ABCD ，且OA ⊂平面ABCD ，所以OE OA ⊥，【正方形ABCD 中，由边长为3，则对角线长为，则OA =在Rt AOE △中，EO ，则2EF OE ==，正八面体E ABCD F −−的体积为2133××，切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为21613××所以该阿基米德多面体的体积为，故D 正确．故选：BD.11. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c )222a c b +−，则下列说法正确的是（）A. cos cos A C 的取值范围是11,24−B. 若D 为边AC 的中点，且1BD =，则ABCC. 若ABC 是锐角三角形，则a c 的取值范围是1,22D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ，且BE =，则4a c +的最小值为10 【答案】ABC 【解析】【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得π3B =，对A ：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B ：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C ：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D ：借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】由题意知)2221sin 2Sac B a c b ==+−，整理得222sin a c b B +−，由余弦定理知2222cos a c b ac B =+−，tan B ∴，()0,πB ∈ ，π3B ∴=．对A ，22π1cos cos cos cos cos cos 32A C A A A A A =−=−1cos 21π12sin 24264A A A +−=−− ，2π0,3A ∈ ，ππ7π2,666A ∴−∈− ，π1sin 2,162A∴−∈− ，cos cos A C ∴的取值范围为11,24−，故A 正确；对B ，D 为边AC 的中点，2BD BC BA ∴=+，则2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，43ac ∴≤，当且仅当a c =时，等号成立，14sin 23ABC S ac B ∴==≤=△B 正确；对于C，2πsin sin 13sin sin 2C a A c C C−===，ABC 是锐角三角形，ππ62C ∴<<，tan C ∞ ∴∈+，1,22a c ∴∈ ，故C 正确；对于D ，由题意得ABE BCE ABC S S S +=△△△，即1π1π1πsin sin sin 262623c BE a BE c a ××+××=××，整理得a c ac +=，即111a c+=，1144(4)559c a a c a c a c a c∴+=++=++≥+=，当且仅当2a c =时，等号成立，故D 错误．故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 写出一个(0)ωω>，使得函数π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为__________．【答案】π3（答案不唯一）【解析】【分析】利用正弦函数的对称性与周期性得到关于ω的方程，解之即可得解.【详解】因为π()sin 23f x x ω=+的图象关于点(1,0)对称，所以πsin 203ω +=，则π2π(Z)3k k ω+=∈，故ππ(Z)26k k ω=−∈，又0ω>，所以π3ω=，5π6，4π3，…．.故答案为：π3（答案不唯一）. 13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X ，则()E X =__________．【答案】8 【解析】【分析】由题意分析离散型随机变量X 的所有取值，求出概率分布列计算期望即可．【详解】从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片的所有10种结果中，()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,5,1,9,2,3,2,5,2,9,3,5,3,9,5,9，2张卡片上的数字之和分别为：3,4,5,6,7,8,10,11,12,14，(3)(4)(5)(6)(7)(8)1(10)(11)(12)(14)10P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X =================== 所以1()(34567810111214)810E X ×+++++++++．故答案为：814. 记min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中最小的数．设0a >，0b >，则11min ,,3a b b a+的最大值为__________．【答案】2 【解析】【分析】分a 是否大于1b 进行讨论，由此即可简化表达式，若1a b ≤，则可以得到1min ,32a b a+≤，并且存在2a =，12b =，使得1min ,32a b a +=，，同理1a b >时，我们可以证明11min ,,32a b b a+<，由此即可得解.【详解】若1a b ≤，则1ab ≤，此时111min ,,3min ,3a b a b b a a+=+，因为13134a b ab a+=+≤，所以a 和13b a +中至少有一个小于等于2，所以1min ,32a b a+≤，又当2a =，12b =时，1132a b b a ==+=，所以11min ,,3a b b a+的最大值为2．若1a b >，则1ab >，此时111min 3min ,3b b a b a+=+，因为111334b b a ab+=+<，所以1b 和13b a +中至少有一个小于2，所以11min ,,32a b b a+<．综上，11min ,,3a b b a+的最大值为2．故答案为：2.【点睛】关键点点睛：关键是分a 是否大于1b进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知217S =，57n S n +是公差为12的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）51na n =+ （2）n T 6(56)nn =+【解析】【分析】（1）由题意首先得21527S =×+结合57n S n +是公差为12的等差数列可求得(57)2n n S n =+，根据,n n a S 之间的关系即可进一步求解；（2）首先得11155156n b n n=− ++，由裂项相消法即可求解.【小问1详解】因为217S =，所以21527S =×+，所以11(2)5722nS n n n =+−×=+，即(57)2n n S n =+．当2n ≥时，11(57)(52)5122n n n n n a S S n n n −−=−=+−+=+，又111(57)62a S ==+=适合上式，所以51na n =+．【小问2详解】1111(51)(56)55156nb n n n n==− ++++ ，故1111111561111165156nT n n=−+−++− ++1115656n−+ 6(56)n n =+． 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x12345招生人数y /千人0.8 1 1.3 1.7 2.2（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明；（2）求y 关于x 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．参考数据：5124.5i i i x y ==∑，()521 1.26i i y y =−=∑ 3.55≈．参考公式：相关系数r =ˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==−−=−∑∑，ˆˆa y bx=−．【答案】（1）证明见解析（2）ˆ0.350.35yx +，2.8千人．【解析】【分析】（1）求出,x y ，代入求出相关系数即可；（2）根据公式求出ˆb，再求出ˆa ，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可. 【小问1详解】由题意知1(12345)35x =++++=，1(0.81 1.3 1.7 2.2)1.45y =++++=，()5214101410ii x x =−=++++=∑，所以55 3.50.9863.55x yr =≈≈，因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．【小问2详解】()515215 3.5ˆ0.3510i ii ii x y x ybx x ==−===−∑∑，ˆˆ 1.40.3530.35a y bx =−=−×=，所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.350.35y x +．当7x =时，ˆ0.3570.35 2.8y=×+=，由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．17. 在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，224AB BC CD ===，5PC =，E 为棱AB 的中点，且CE PE ⊥．（1）求四棱锥P ABCD −的高；（2）求二面角B PC E −−的正弦值．【答案】（1）3 （2【解析】【分析】（1）过A 作BC 的平行线，与CD 的延长线交于点O ，连接PO ，EO ，通过证明BC PO ⊥，CE PO ⊥来证明PO 为四棱锥P ABCD −的高，从而求解；（2）建立空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】如图，过A 作BC 的平行线，与CD 的延长线交于点O ，连接PO ，EO ．//AB CD ，AB BC ⊥，∴BC CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCDCD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面PCD ，PO ⊂平面PCD ，∴BC PO ⊥，//AB CD ，∴//AB CO ， //AO BC ，AB BC ⊥，∴四边形ABCD 为矩形，∴4CO AB ==，E 为棱AB 的中点，∴CE OE ==，从而CE OE ⊥，又因为CE PE ⊥，PE OE E = ，OE ⊂平面PEO ，PE ⊂平面PEO ，∴CE ⊥平面PEO ， PO ⊂平面PEO ，∴CE PO ⊥，BC CE C = ，BC ⊂平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ．∴PO 为四棱锥P ABCD −的高，即3PO ，∴四棱锥P ABCD −的高为3；【小问2详解】由（1）知，OA ，OC ，OP 两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(2,2,0)E ，所以(2,0,0)CB = ，(0,4,3)PC =− ，(2,2,0)CE=− ，设(,,)m x y z =是平面PBC 的法向量，则430,20,m PC y z m CB x ⋅=−= ⋅== 可取(0,3,4)m = ，设(,,)n p q r =是平面PCE 的法向量，则430,220,n PC q r n CE p q ⋅=−= ⋅=−= 可取(3,3,4)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==，所以二面角B PC E −−.18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过P，31,2Q − 两点．（1）求E 的方程；（2）若圆221x y +=两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=．（2）24049．【解析】【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形ABCD 的面积1||||2SAC BD ⋅，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值. 【小问1详解】因为E过点P ，31,2Q− ，所以2222231,2191,4a b a b += += 解得224,3.a b = = 故E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由题知12,l l 的斜率存在且不为0．设1:(0)l y kx m k =+≠．因为1l 与圆221x y +=1=，得221m k =+．联立1l 与E 的方程，可得()2223484120kxkmx m +++−=，的设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834km x x k −+=+，212241234m x x k−=+．所以2AC x =−==将221m k =+代入，可得AC =．用1k−替换k，可得BD =四边形ABCD 的面积12S AC BD =⋅=．令21t k =+，则(1,)t ∈+∞，可得S，再令u=(1,)t ∈+∞，则52u ∈ ，可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++×，即四边形ABCD 面积的最小值为24049．19. 已知函数()2()e x f x x ax =−，a ∈R ．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ，其中1>0x ，20x >．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．【答案】（1）y x =（2）（i ）2e ,4∞+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在0x =的导数值，由(0)0f =，结合直线的点斜式，可求出切线方程；（2）（i ）将问题转化为y a =与2(e )x g x x =有三个不同交点的问题，利用导数可求得2(e )x g x x=的单调性和最值，从而得到2(e )xg x x=的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；（ii ）设210x x >>，根据：121e x ax =，222e x ax =，采用取对数、两式作差整理的方式可得12122ln x x x x −=，通过分析法可知只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++即可，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1t h t t t −=−+，利用导数可求得()h t 单调性，从而得到()(1)0h t h <=，由此可证得结论. 【小问1详解】()22()e e 2(1)e 3x x x f x ax x ax x ax =−+−=+−′，所以()0101f =′−=，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．【小问2详解】（i ）由2()e x f x ax =−，得()2(1)e 0x x ax+−=，该方程有一根为1−，且0x ≠，所以2e 0x ax −=即2e xa x=有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为1−．令2(e )xg x x =，则32())(e x x x xg −′=，所以当(,0)x ∈−∞时，()0g x ′>，当(0,2)x ∈时，()0g x ′<，当(2,)x ∈+∞时，()0g x ′>，所以()g x 在(,0)−∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．又2e (2)4g =，且当x 无限趋近于−∞时，()0g x >且趋近于0，当x 从0的左侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 从0的右侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 无限趋近于+∞时，e x 的增速远大于2x 的增速，所以()g x 趋近于+∞．故()g x 的大致图象如图所示：又21e (1)e 4g −=<，所以当2e 4a >时，直线y a =与曲线()y g x =有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为1−，所以a 的取值范围为2e ,4∞ +．（ii ）由（i ）知121e x ax =，222e x ax =，所以11ln 2ln x a x =+，22ln 2ln x a x =+，所以1121222ln 2ln 2ln x x x x x x −=−=，则12122ln x x x x −=，要证124x x +>，只需证()1212122ln x x x x x x −+>，不妨设210x x >>，所以1201x x <<，所以12ln 0x x <，则只需证()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++．令12x t x =，则(0,1)t ∈，令2(1)()ln 1t h t t t −=−+，则当01t <<时，2222212(1)2(1)(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t t t h t t t t t t t +−−+−−′=−==>+++，所以()h t (0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=，所以当(0,1)t ∈时，2(1)ln 1t t t −<+恒成立，所以原不等式124x x +>得证. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数在某点处切线方程、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量12x t x =，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于t的不等式恒成立. 在。

江苏省南京市2024-2025学年高三9月学情调研考试数学含答案

南京市2025届高三年级学情调研数学 2024.09.19 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知a x ＝4，log a 3＝y ，则a x ＋y ＝A ．5B ．6C ．7D ．123．已知|a |＝3，|b |＝1．若(a ＋2b )⊥a ，则cos<a ，b >＝A ．－32B ．－33C ．33D ．324．已知数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ．若S 3＝6，S 6＝3，则S 9＝A ．－18B ．－9C ．9D ．185．若a 是第二象限角，4sin2α＝tan α，则tan α＝ A ．－7 B ．－77 C ．77D ．7 6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为A ．4B ．6C ．8D ．127．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为A ．24B ．32C ．96D ．1288．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上．若PF ＝2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为A ．254B ．25C ．552D ．55二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z ，下列命题正确的是A ．若z ＋1∈R ，则z ∈RB ．若z ＋i ∈R ，则z 的虚部为－1C ．若|z |＝1，则z ＝±1D ．若z 2∈R ，则z ∈R10．对于随机事件A ，B ，若P (A )＝25，P (B )＝35，P (B |A )＝14，则 A ．P (AB )＝320 B ．P (A |B )＝16 C ．P (A ＋B )＝910 D ．P (―AB )＝1211．设函数f (x )＝1|sin x |＋8|cos x |，则 A ．f (x )的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z } B ．f (x )的图象关于x ＝π4对称 C ．f (x )的最小值为5 5 D ．方程f (x )＝12在(0，2π)上所有根的和为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．(2x ＋1x)4展开式中的常数项是 ▲ ． 13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．(第13题图)14．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A ．当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为 ▲ ．四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，16．(本小题满分15分)如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，→AM＝2→MD，→CN＝2→ND．(1)求证：EF∥平面MNB；(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．(第16题图)已知数列{a n }，{b n }，a n ＝(－1)n ＋2n ，b n ＝a n ＋1－λa n (λ＞0)，且{b n }为等比数列．(1)求λ的值；(2)记数列{b n ⋅n 2}的前n 项和为T n ．若T i ⋅T i ＋2＝15T i ＋1(i ∈N *)，求i 的值．18．(本小题满分17分)已知 F 1，F 2是双曲线线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，F 1F 2＝26，点T (26，10)在C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 过点D (1，0)，且与C 交于A ，B 两点．①若→DA ＝3→DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若|PQ |＝2，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x－a＋ax2－3ax＋1，a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)

2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。

重庆市2024-2025学年高三上学期开学9月调研测试数学试题(含答案)

2025年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.函数的最小值为（）A.1B.2C.4D.83.已知为虚数单位，若，则（）A. B.C.D.4.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.5.已知，则（）A.B. C.3 D.46.某池塘中饲养了A ､B 两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A 约有（）采样点品种A 品种B 东209{}{}22,2,1,0,1,2,3A xx x B =->=--∣A B ⋂={}2,1--{}0,1{}2,3-{}1,2()221f x x x =+i ()1i 1i z -=+z =2i +2i -2i -+2i--,a b1,2a b == ()0a a b ⋅+= ,a b = 60 90 120 150()11cos ,cos cos 43αβαβ+==tan tan αβ=1413南73西178A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾7.若函数在上单调递减，则（）A.B.C.D.8.已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（）A.B.C.若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修10.已知曲线，则（）A.将向右平移个单位，可以得到B.将向左平移个单位，可以得到C.与在有2个公共点D.在原点处的切线也是的切线11.已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（）()()()ln ln 1f x x a x =---()1,∞+1a >1a …1a <0a …ABC V BC AB π()2,N μσX []3,3μσμσ-+3σX []3,3μσμσ-+()330.9973P X μσμσ-+≈……X ()1,0.0001N ()112P X ==()(0.99) 1.01P X P X <=…[]0.99,1.0212π:sin2,:sin 23C y x C y x ⎛⎫==-⎪⎝⎭1C π62C 1C 2π32C 1C 2C []0,π1C 2C O F 2:2(0)E y px p =>,A B E AF FB λ=A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则__________.13.已知直线和平面与存在位置关系M .若“且M ”是“”的充分条件，则M 可以是__________.14.有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种.0001001101111111四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角的对边分别为，其面积.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判断此时的形状.16.（15分）如图，三棱锥中，平面是棱上一点，且.0,2AB p λ∀>…1120,AF BF pλ∀>+=0,sin AFO λ∠∃>=0,cos 0AOB λ∠∃>…{}n a 1233,0a a a =-+=4a =,a b ,b γγa γ⊥a b ⊥1,2,3,4ABC V ,,A B C ,,a b c 22c S =π,13A b ==c a b >222a b c ab++ABC V P ABC -PA ⊥,,15,20.ABC AB AC AB AC M ⊥==BC 12AM =（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.17.（15分）甲､乙两名围机手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束.己甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5.（1）求比赛只进行了三局就结束的概率：（2）己知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望.18.（17分）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点.（1）设直线的斜率为，已知，求证：（2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.19.（17分）已知数列.（1）证明：是等比数列；（2）已知数列.①求的最大值；②对任意的正整数，证明：.BC ⊥PAM 10PA =PA PBC 22Γ:12x y +=l Γ,A B M AB l k ()1,(0)M m m >k <l Γ1F OM Γ,C D AM BM CM DM ⋅=⋅l {}1126:2,1n n n n a a a a a ++==+32n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭{}2:n n n b b a =n b ()2k k (211)(21)k i kib k b -=>-∑2025年普通高等学校招生全国统一考试9月调研测试卷数学参考答案一､单选题1CBBC ACCD8题提示：由题意，设内角所对的边为，则有，则该圆锥的体积，设，则在上单调递增，在上单调递减，所以.二､多选题9.BCD10.AC11.ABC11题提示：由可知，三点共线，所以直线是过焦点的直线，设其倾斜角为，，所以焦点弦，A 正确，，，所以，B 正确，，故，C 正确，，所以,D 错误.三､填空题12.313.或14.57614题提示：显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1，按照下面的顺序填入这6个数字0.（1）先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法，而从该行的4格中选出3个填入数字8-ABC V ,,A B C ,,a b c 224c b +=()2211ππ433V b c c c =⋅⋅=⋅-⋅()()24f x x x =⋅-()()243,f x x f x =-'⎛ ⎝2⎫⎪⎪⎭max 14π4π33V ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭AF FB λ=,,A F B AB F α()()1122,,,A x y B x y 12222sin p AB x x p p α=++=≥1cos pAF α=-1cos p BF α=+112AF BF p +=()(]sin sin πsin 0,1AFO ∠αα=-=∈0,sin AFO λ∠∃>=2222120,||||20AO BO AB x x p λ∀>+-=--<cos 0AOB ∠<b γ⊂b ∥γ0，也有种填法.因此这一步共有种不同的填法.（2）选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为前三列（否则就没有一列的数字之和为4）中的某一列，从而选出这一列共有3种选法.而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法.这一步共有种不同的填法.（3）当完成前面两步后，最后一个数字0只有4个位置可以选择.因此，符合要求的不同填法共有种.四､解答题15.（13分）解：（1）由，得.（2）由得，所以得最大值为，此时，所以（舍去）或，从而，故是以为直角顶点的等腰直角三角形.16.（15分）解：（1）因为，所以，因为，所以因为平面所以又平面，所以平面.（2）由条件，两两垂直，以方向为轴正方向建系如图，则34C 4=4416⨯=23C 3=339⨯=1694576⨯⨯=211sin 22S bc A c==sin 1c b A ===211sin 22ab C C =2sin cab C=22222222π2cos 2sin 4a b c a b c c C C C ab ab ab +++-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭222a b c ab++2222π,,4C a b c c =++==()2200,a b b b b ⎛⎫+=⇒-== ⎪ ⎪⎝⎭b =c =ABC V A ,15,20AB AC AB AC ⊥==25BC =300AM BC AB AC ⋅=⋅=,AM BC ⊥PA ⊥,ABC ,PA BC ⊥,AM PA ⊂PAM BC ⊥PAM ,,AB AC AP ,,AB AC AP,,x y z ()()()()()()15,0,0,0,20,0,0,0,10,15,20,0,15,0,10,0,0,10B C P BC BP AP =-=-=设平面的法向量为，则，即，取，故与平面.17.（15分）解：（1）比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢，所以概率为.（2）可取值为时，则前三场都是甲赢，时，则可能的情况是甲乙甲乙乙胜甲乙乙乙甲胜甲甲乙甲甲胜甲乙甲甲故.18.（17分）解：（1）设，PBC (),,n x y z =BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩()4,3,6n = cos ,n AP ===PA PBC 0.60.50.60.40.50.40.180.080.26⨯⨯+⨯⨯=+=X 3,4,53X =()30.50.60.3P X ==⨯=4X =()()()513410.30.350.35P X P X P X ==-=-==--=()30.340.3550.35 4.05E X =⨯+⨯+⨯=()()1122,,,A x y B x y由，得，变形得，即，故，又，解得，故（2）由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，得.设，则，可得，则弦的中点的坐标为，故的方程为.联立，得，由对称性，不妨设，则，其中.可得由题意，且，故，即代入，得，221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222121202x x y y -+-=1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+12km =-12k m =-2112m m >⎧⎪⎨+<⎪⎩0m <<k <l x l 1x my =-22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my +--=()()1122,,,A x y B x y 12122221,22m y y y y m m +==-++AB ===()2121222242222m x x m y y m m -+=+-=-=++AB M 222,22m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭CD 2m y x =-22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2242x m =+()()0000,,,C x y D x y --20242x m =+00x >0CD x ===11,22OC OD CD AM BM AB ====1122AM BM CM DM CD OM CD OM ⎛⎫⎛⎫==+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭222||||||44AB CD OM =-222||4||,AB CD OM =-,,AB CD OM ()()()()()222222222228144442222m m m m m m m ⎡⎤++⎢⎥=-+⎢⎥++++⎣⎦解得，故直线的方程为.19.（17分）解：（1）由可得，两式相除可得，又，故是首项为公比为的等比数列.（2）由（1）可知，，解得，故.①，故随的增大而减小，即时的值最大，且最大值.②.，当且仅当时取等；，其中，当且仅当时取等；，其中，故，当且仅当时取等；故，当且仅当时取等；由此.任意恒成立，即原不等式成立.m =l 1x =-1261n n n a a a ++=+11263264833,221111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++-+++-=-=+=+=++++11333124842n n n n n n a a a a a a ++--+-==-⋅+++113124a a -=-+32n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭1,4-14-3124nn n a a -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭3(4)2(4)1n n n a ⋅-+=--23162161n n n nba ⋅+==-()3161553161161n nn nb ⋅-+==+--n b n 1n =nb 1110333b =+=()21212111(21)22k k ki ki kk i k i k i i i b k bb bkb b b k b ---===>-⇔+>⇔+>⋅∑∑∑22231623162161161i k i i k ii k ib b ---⋅+⋅++=+≥--i k =()()()22231623162916616164ik ik i k i --⋅+⋅+=⋅+++216162216i k i k -+≥=⋅i k =()()()2221611611616161ik ik i k i ----=-++21616216i k i k -+≥=⋅()()()222161161162161161i k i k k k ---≤-⋅+=-i k =2316222161k i k i k k b b b -⋅++≥=⋅=-i k =()212kik iki b b k b -=+>⋅∑2k ≥。

江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数学试卷(附答案)

江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （）A. {}2,1--B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32 已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（） A. 25B. 16C. 9D. 53. 若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（）A.19B.13C. 3D. 95. 从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（） A. 每个面都等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（）.的是A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙 8990918892则（）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC 和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．的（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列．（1）求{}n a 通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，离心率为2．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ．（1）若22k =，求3k ；（2）证明：()213k k k +为定值．21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 22. 已知函数()ln a f x x x=-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x的零点，1m n a ==+．①证明：0m x n ＜＜； ②探究0x 与2m n+的大小关系．的答案解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果. 【答案详解】因为{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，所以A B = {}0,1,2.故选：C2.已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（）A.25 B.16C.9D.5【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据给定条件，求出,z z ，再利用复数乘法运算计算即得.答案详解】由8,6i z z z z +=-=，得43i,43i z z =+=-，所以()()43i 43i 25z z ⋅=+-=.故选：A3.若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【答案解析】【详细分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【答案详解】由题意8a b λμ⇔= ∥，则“8λμ=”是“a b ∥”的充要条件. 故选：C ．【4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（）A.19B.13C. 3D. 9【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【答案详解】设等比数列公比为q ，24623a a a =+，即2422223q q a a a =+，所以24123q q =+，所以213q =，由25247325113a a q q q a a q --===--，故选：B ．5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个详细分析判断即可. 【答案详解】如图，11D BAC -每个面都是等边三角形，A 不选；11A DD C -每个面都是直角三角形，B 不选；1D ABC -三个面直角三角形，一个面等边三角形，C 不选，选D ．故选：D.的6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【答案解析】【详细分析】将直线与抛物线联立方程组，Δ0=求出p ，得点M 坐标得解.【答案详解】设抛物线C 的焦点为F ，联立212y x x py=-⎧⎨=⎩，消y 可得2220x px p -+=，因为直线与抛物线相切，则2480p p ∆=-=，0p > ，2p ∴=，()2,1M ∴，1122M pMF y ∴=+=+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（） A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<【答案】C 【答案解析】【详细分析】方法一：设()()2f xg x x =利用导数得到函数单调性，从而求解；方法二：设()1,f x =特例法得解.答案详解】方法一：∵()()2xf x f x '<，∴()()()'2320f x xf x f x x x ⎛⎫-⎝⎭'=< ⎪, 设()()2f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减，所以()()()2e 4g g g >>，()()()22e 44e 16f f f ∴>>，即()()()224e 216e e 4f f f >>，故C 正确．【方法二：设()1,f x =又22e 164e <<，C 正确．故选：C8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（）A. B.C.D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知作图如图所示，设AEF α∠=，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.【答案详解】如图所示，10,20EF FG ==，令AEF α∠=，则10sin ,2AF AFE παα=∠=-，则BFGa ?，20cos ,20sin ,2BF BG BGF πααα==∠=-，则,10cos CGH CG αα∠==∴周长()()22210sin 20cos 220sin 10cos AB BC αααα=+=+++π60sin 60cos 4ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭故选：D ．【点评】关键点评：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙 89 90 91 88 92则（）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差【答案】BC 【答案解析】【详细分析】由中位数、极差的概念即可判断AC ，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【答案详解】甲的极差93876-=，乙的极差92884-=，A 错．甲的平均数8791908993905++++=，乙的平均数8990918892905++++=，B 对．甲的中位数90，乙的中位数90，C 对．2==，D 错.故选：BC ．10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()f x 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【答案详解】由()f x 为奇函数，即函数()f x 的图象关于()0,0对称，又()()11f x f x +=-，则()f x 的图象关于1x =对称，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴为周期函数且周期为4T =，B 对．所以()()311f f =-=，A 对．而(4)()()f x f x f x -=-=-，C 错．由上可知()()200f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()()123410100f f f f f +++=--+++=，则181()(1)(2)1k f k f f ==+=-∑，D 对．故选：ABD ．11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A 、B ，设(),M x y ，若MQ =，推出恒成立，即可判断C 、D.【答案详解】圆22230x y x ++-=即()2214x y ++=，圆心()1,0C -，半径2r =，又()0,1P ，所以CP =，因为点M 在圆22230x y x ++-=上，所以2MP ⎡∈+⎣，所以存在点M ，使得1MP =，故A 对．因为()2211284++=>，所以点Q 在圆外，又2CP r =<=，点P 在圆内，所以当QM 与圆C 相切时，MQP ∠取最大值，此时π4MQP ∠=，所以π4MQP ∠≤，故B 对．对于D ，设(),M x y ，若MQ =222MQ MP ⇔=2222(1)(2)2(1)x y x y ⎡⎤⇔-+-=+-⎣⎦22230x y x ⇔++-=，又点M 在圆22230x y x ++-=上，MQ ∴=一定成立，故D 对，C 错.故选：ABD ．12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】对于A ，2301ππ3V R d d =-，3102π3V R V =-化简即可验算；对于B ，3202π3V R V =-化简即可验算；对于C ，21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将2R d =代入即可判断；对于D ，求()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-的最小值即可. 【答案详解】2301ππ3V R d d =-（同底等高），()()3233232121πππππ23()23333V R R d d R R d d R d R d =-+=-+=-+，A 对．()()()323221ππππ223339V R R d d R d R d R d =+-≠+-+，B 错． ()221323232π121()2321πππ23133R R R d R d V d d V R R R R d d d d ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，2Rd=，121551612127V V ⨯∴==+-，C 对．对于D ，,33R R d d ≤∴≥时，()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-， ()()()()223223232121231,0231231x x x x f x f x x x x x --+==>+-+-'， ()f x 在[)3,+∞ ，()()7320f x f ≥=，D 对．故选：ACD.【点评】关键点评：判断D 选项的关键是首先得到21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】23-##23- 【答案解析】【详细分析】根据定义域代入计算可得答案.【答案详解】21log 32112log 211333f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：23-. 14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．【答案】 ①. 8 ②. 16 【答案解析】【详细分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【答案详解】4432(2)8243216x x x x x +=++++，2x 的系数为232248a =-=，令0x =，0116a -⨯=，即016a =-；1x =，0123450a a a a a a =+++++，1234516a a a a a ∴++++=.故答案为：8；16.15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案解析】【详细分析】由题意得π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ，结合题意可得ω，然后代入求值即可.【答案详解】π2sin 4i x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πsin ,1,242i x i ω⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭，所以，π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ， ()ππ22π,,2sin 23334f x x ωω⎛⎫∴⨯=∴==+ ⎪⎝⎭，所以ππππ2sin 2sin 81243f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．【答案】3【答案解析】【详细分析】根据椭圆定义用a 表示1122||||||||PF QF PF QF 、、、，再利用余弦定理可解. 【答案详解】设1||PF m =，则1||4QF m =，又222||5||,PF QF =由椭圆定义，()()22524,a m a m -=-得3am =，所以1122452,,,,3333a a a a PF QF PF QF ==== 又因为12//PF QF ，所以1221cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，2222221254164499990,1524223333a a c a a c a a a a +-+-∴+=⋅⋅⋅⋅所以3c e a ==．故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）7【答案解析】【详细分析】（1）由等腰三角形三线合一得OC AB ⊥，由线面垂直的性质得PO OC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1答案详解】C 为底面圆周上一点，CA CB ∴⊥，又2,AC AB BC ==∴= ，又O 为AB 中点，OC AB ∴⊥，又PO ⊥ 底面ABC ，OC ⊂底面ABC ，PO OC ∴⊥，又,AB PO O ⋂=,AB PO ⊂底面PAB ， OC ∴⊥平面PAB ．【小问2答案详解】PO ⊥ 底面ABC ，,OC OB ⊂底面ABC ，所以,PO OC PO OB ⊥⊥，又因为OC AB ⊥，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2,PC AB AC ===，(()(),0,1,0,1,0,0PO P B C ==∴ ，(()0,1,,1,1,0PB BC ∴==-，设平面PBC 的一个法向量()1,,n x y z =，由11ꞏ0ꞏ0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00y x y ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩，取1z =，所以)1n = ，而平面APB 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角A PB C --平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 7n n n n θ⋅∴=== ．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．【答案】（1）3π4（2）2AD = 【答案解析】详细分析】（1）由两角和正切得tan 1A =-，进一步得3π,sin 4A C B ===，结合正弦定理即可求解.（2）由222BD AD CD =+结合余弦定理即可求解.【【小问1答案详解】()17tan tan 20tan tan 131tan tan 120B CA B C B C +=-+=-=-=---，且(),,0,πA B C ∈，3π,sin 4A C B ∴=== 在ABC中，6sin sin 3c b c C B =⇒=⨯=．【小问2答案详解】设,6AD x CD x =∴=-，222282(6)2BD x x x ⎛⎫∴=+-⋅⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 2162802x x x ⇒-+=⇒=或，1406x << ，2x ∴=，即2AD =．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．【答案】（1）21n a n =- （2）{}8,11A =．【答案解析】【详细分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得；（2）由（1）得，122721k a n n =++-，根据k a 为正奇数，得到1221n -为正整数即可解出. 【小问1答案详解】n a成等差数列，()2141n n n a S a ∴+==+①， ()21141n n S a ++=+②，222211111422,220n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⇒=-+-∴---=②①，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以12n n a a +-=，且()211141,1a a a =+∴=，所以{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()12121n a n n ∴=+-=-．【小问2答案详解】由（1）得，()()()2132125(21)821121227212121n n k n n n n n a a a n a n n n ++++-+-+====++---k a 为正奇数，又21n -为正奇数，∴1221n -为正整数．所以211,3n -=，2n ∴=或1n =，当1n =时，212111;2k k n -===，时，21158k k -==，，{}8,11A ∴=．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ．（1）若22k =，求3k ；（2）证明：()213k k k +为定值．【答案】（1）32k =-（2）证明见答案解析【答案解析】【详细分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线MN 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得12k k ，再结合（1）中结论即可得证. 【小问1答案详解】由题意知2222212a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，双曲线：2214x y -=．易知直线MN 的斜率不为零，所以设直线MN 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，22444x my x y =+⎧∴⎨-=⎩，得()2248120m y my -++=，则()()()222Δ8441216120m m m =--⨯=+>，则121222812,44m y y y y m m +=-=--， ()()()12121223212121212222224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ∴=⋅==--+++++ 2222123412842444m m m m m m -==--+⋅+--，23,22k k =∴=-．【小问2答案详解】因为2121111222111111422444x y y y k k x x x x -=⋅===+---，()2131223131442k k k k k k k ∴+=+=-=-为定值．.21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <．【答案】（1）50343（2）证明见答案解析【答案解析】【详细分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）欲求随机变量X 的分布列，需先求随机变量X 可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X 的期望. 【小问1答案详解】一位顾客中奖的概率为21335338C C C 2C 7⋅+=， ∴仅有最后一位顾客中奖的概率55250777343P =⨯⨯=．【小问2答案详解】X 的所有可能取值为0,1,2,,n ，()()()()15252520,1,2,,777777n n P X P X P X P X n -⎛⎫⎛⎫======⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ X 的分布列如下：X12Ln()2125551237777n E X n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 令()221555512317777n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①， ()()221555555221777777n n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②， ①-②2125555177777n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51175757217n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭- ()492497,4742n S E X ∴<∴<⨯=． 22. 已知函数()ln a f x x x =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x 的零点，1m n a ==+． ①证明：0m x n ＜＜；②探究0x 与2m n +的大小关系．【答案】（1）答案见答案解析（2）①证明见答案解析；②02m n x +<．【答案解析】【详细分析】（1）求导讨论0a ≥和<0a 两种情况，根据导数的正负得到单调区间. （2）①证明：由()f x 在()0,∞+上单调递增，0m x n <<⇔()()0f m f n <<，()f m f ==，()()ln 11a f n a a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性进而求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，证得结果；②()1ln 22m n a f h a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭利用导数证明函数()h a 在()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=，即证得()002m n f f x +⎛⎫>= ⎪⎝⎭，由()f x 的单调性即可证得结果.【小问1答案详解】()221a x a f x x x x='+=+．当0a ≥时，()()0f x f x '>，单调递增；当0a <时，令()0f x x a =⇒=-' ()f x 在()0,a -上单调递减；(),a ∞-+上单调递增．【小问2答案详解】①证明：()f x 在()0,∞+上单调递增，要证：0m x n <<⇔证()()0f m f n << 而()f m f ==令()g a =， ()1021g a a ==='<+，()g a ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g a g <=． ()0,f m ∴<()()()1ln 1ln 1111a f n a a a a =+-=++-++，令()()1ln 111p a a a =++-+，则()()()22110111a p a a a a =-=>+++'()p a ∴在()0,∞+上单调递增，()()00p a p >=． ()0f n ∴>()()00f m f n m x n ∴<<⇒<<．②()1ln 22m n a f h a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭()h a ='====0=> ()h a ∴()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=()0022m n m n f f x x ++⎛⎫∴>⇒< ⎪⎝⎭．【点评】思路点评：本题利用函数的单调性将问题0m x n <<转化为()()0fm f n<<，()f m f ==，()()ln 11a f na a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性通过求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，得出()()0f m f n <<.在。

惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题含解析

图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

2025届广东省高三毕业班调研考试(一)数学试卷(解析)

2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{Z |8150},{|5}A x x x B x x =Î-+£=<，则A B =I （）A. {}3 B. {}3,4 C. {}4,5 D. {}3,4,5【答案】B 【解析】【分析】先解不等式求得集合A ，进而求得A B Ç.【详解】集合()(){}2{Z |8150}{Z |350}3,4,5A x x x x x x =Î-+£=Î--£=.而{|5}B x x =<，故{}3,4A B Ç=.故选：B2. 已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==Î且,0)b c ¹,可得12R z z Î，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,R z b z c b c ==Î且,0)b c ¹,则12i R i z b bz c c ==Î，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，的综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选：A.3. 已知a r和b r 的夹角为150°()2a b b +×=r r r （）A. 9-B. 3- C. 3 D. 9【答案】C 【解析】分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b +×=×+r r r r rr 2cos1502a b b=××°+r rr 2223æ=+×=ççè故选：C4. 已知 π2sin sin 33a a æö+-=ç÷èø，则 πcos 23a æö+=ç÷èø（）A. 59-B. 19-C.19D.59【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得2π1sin sin sin sin 332a a a a a æö=+-=+-ç÷èø1πsin cos 26a a a æö=-=+ç÷èø所以 22ππ21cos 22cos 1213639a a æöæöæö+=+-=´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故选：B.5. 已知等比数列 {}n a 为递增数列，n nnb a =. 记 ,n n S T 分别为数列 {}{},n n a b 的前n 项和，若 2133312a a a S T =+=，，则 n S =（）【A. 141n --B.()11414n --C.()14112n- D. 24n -【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解q 的值，再由数列的单调性进一步判断即可.【详解】2131133141122312a a a a q a S T q q q=Þ=Þ=+=Þ++=，，则 ()()2121294214042q q q q q q -+=--=Þ==，.由于 {a n }为递增数列，则 1144q a ==，，所以 {a n }的通项公式为 24n n a -=所以 ()()11414411412nn n S -==--，故选：C.6. 已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽V V POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积为34π3R得R =连接PH ，PH ^平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ^，∽V V POQ PFH ，h，所以=PQ PHOQ FHh=，所以1133==´=ABCDV S PH故选：A.7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设{}n a为斐波那契数列，()*12121,1,3,Nn n na a a a an n--===+³Î，其通项公式为n nnaéùêú=-êúëû，设n是2log1(14(xx xéùë-û-<+的正整数解，则n的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】利用给定条件结合对数的性质构造42na<，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log1(14(xx xéùëû+-<+的正整数解，故2log(1(14n n néùëû+-<+，取指数得((4112nn n+<+-，同除2n得，42n n-<，42n nùú-<úû，即42na<，根据{}n a是递增数列可以得到{}2n a也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <´<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选：A8. 函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A. 21,e æö-¥ç÷èø B. 21,2e æö-¥ç÷èø C. 210,e æöç÷èøD. 210,2e æöç÷èø【答案】D 【解析】【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，由导数求得ℎ(x )的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由()21ln 02mx x x +=>得22ln 1m x x -=，则问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，而()()()2232112ln 21ln 2x x x x x h x x xæö×--ç÷-¢èø==，令ℎ′(x )>0，解得0e x <<，令ℎ′(x )<0，解得e x >，故ℎ(x )在()0,e 上单调递增，在()e,¥+单调递减，则()()2max 1e 2e h x h ==，ℎ(x )大致图象如下所示：结合图象可知，m 的取值范围是210,2e æöç÷èø故选：D二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 现有十个点的坐标为 ()()()1210,0,,0,,,0x x x L ，它们分别与 ()()()1210,10,,10,,,10y y y L 关于点(3,5)对称.已知 1210,,,x x x L 的平均数为a ，中位数为 b ，方差为c ，极差为d ，则 1210,,,y y y L 这组数满足（）A. 平均数为 6a - B. 中位数为 6b -C. 方差为c D. 极差为d【答案】ABCD 【解析】【分析】根据对称知识可得()6Z 110i i y x i i =-Î££，，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判断出答案.【详解】由于 ()()()1210,0,,0,,,0x x x L ，它们分别与 ()()()1210,10,,10,,,10y y y L 关于点(3,5)对称，则有()6Z 110i i x y i i +=Î££，，即有 ()6Z 110i i y x i i =-Î££，.则由平均数的性质可得1210,,,y y y L 这组数的平均数为 6a -，结合中位数性质可知中位数为 6b -，结合方差性质可得方差为c ，极差非负，所以极差为d .故选：ABCD10. 设 123,,z z z 是非零复数，则下列选项正确的是（）A. 2211z z =B. 1212z z z z +=+C. 若122i 2z --=，则116i z +-最小值为3D. 若22i i 4z z ++-=，则2z的最小值为【答案】CD 【解析】【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A ，举反例判断B ，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C ，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D 即可.【详解】对于A.，设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=-+，22221(i)2i z a b a b ab =-=--，的当,a b 有1个为0或全为0时，2211z z =，当,a b 均不为0时，2211,z z 无法比较大小，故A 错误，对于B ，当1i z =，2i z =-时，120z z +=，此时120z z +=，122z z +=，故1212z z z z +=+不成立，故B 错误，对于C ，设1i z a b =+，因为122i 2z --=，所以i 22i 2a b +--=，故有2(2)i 2a b -+-=，可得22(2)(2)4a b -+-=,所以1z 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，而116i i 16i 1(6)i z a b a b +-=++-=++-=，故116i z +-表示点(),a b 到定点()1,6-的距离，由圆的性质可知，1min16i 23z +-=-=，故C 正确，对于D ，设2z a bi =+，所以2i i i (1)i z a b a b +=++=++=，2i i i (1)i z a b a b -=+-=+-=，而22i i 4z z ++-=4=，所以得到点(),a b 到两定点()0,1-，()0,1的距离之和为4，故2z 的轨迹是以()0,1-，()0,1为焦点的椭圆，故轨迹方程为22143y x +=，而2z 表示(),a b 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得当点B 在椭圆的左右顶点时，2z 取得最小值，此时2z =，故2min z =D 正确.故选：CD .11. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当()()0e e e 0x f x f x ³+--=，，且当x >0时，()()e e 0f x f x ¢¢++->，则下列说法正确的是（）A. ()e 0f =B. ()f x 在(),e -¥上单调递增，在()e,+¥上单调递减C. 若()()1212,x x f x f x <>，则212ex x +<D. 若12,x x 是()()()2e 2g xf x x =+--在()0,2e 内的两个零点，且12x x <，则()()211ef x f x <<【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，令x =0，可求()e f ；B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，结合()()e e 0f x f x ¢¢++->得()e 0f x ¢-<，()e 0f x ¢+>，可判断()f x 单调性；C 选项，12e x x ,,的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明212e x x +<，利用函数单调性，证明()()12f x f x <且()()21e f x f x <，可得结论.【详解】A 选项，令x =0，则有()()()()e e e 1e e 0f f f -=-=，所以()e 0f =，故A 正确.B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，得()()e e e 0f x f x ¢++-=¢，所以()()e e e f x f x +=-¢-¢，代入()()e e 0f x f x ¢¢++->，得当x >0时，()()1e e 0f x ¢-->，所以()e 0f x ¢-<.又因为()()e e 0f x f x ¢¢++->，所以，()e 0f x ¢+>.因此，当e x <时，()0f x ¢<，()f x 在(),e -¥上单调递减；当e x >时，()0f x ¢>，()f x 在()e,+¥上单调递增.故B 错误.C 选项，对12e x x ,,的大小关系进行分类讨论：①当12e x x <£时，()f x 在(),e -¥上单调递减，所以()()12f x f x >，显然有212e x x +<；②当12e x x £<时，()f x 在()e,+¥上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ³时，()()e e e f x f x +=-.令()()()()()()122e e,e 2e e 2e t x f t f t f x f x f x ¥=+Î+=->=-，，，又因为()()e 0f x f ³=，所以()22e 0f x ->，因此()()()()1222e 2e 2e f x f x f x f x >=->-.因为12e 2e e x x <-<，，由()f x 的单调性得，212e x x +<.故C 正确.D 选项，因为()()()()()()2200e 202e 2e e 20e e 220g f g f g f =+->=+->=-=-<，，，所以120e 2e x x <<<<.先证212e x x +<，即证122e x x ->，即()12e 0g x ->，只需证()2112e (2e e)20f x x -+--->，即证()211e (e )20f x x +-->.事实上，()()()()()2211111e e 2e 20f x x f x x g x +-->+--==，因此212e x x +<得证.此时有1210e 2e 2e x x x <<<<-<.因为()()()()()22211122e 22e e 2e 2f x x x x f x =--+=---+<--+=，又()10f x ¹，所以()()211f x f x <，因为()()()2112e e f x f x f x <-=，又()10f x ¹，所以()()21e f x f x <.综上，()()211e f x f x <<，故D 正确故选：ACD.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.12. 已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为__.【答案】29【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意101922729a a d =+=+=..故答案为：2913. 若 ()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++____________.【答案】121122【解析】【分析】利用赋值法令1x =，1x =-，联立方程组求解即可.【详解】令1x =，得 ()554321012243a a a a a a +==+++++，令1x =-，得 ()5543210121a a a a a a -+==-+-+-+，则 ()()543210543210531243112122a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-+-++===，且 ()()543210543210420243112222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-++++===，故531420121122a a a a a a ++=++.故答案为：121122.14. 如图，在矩形ABCD 中，8,6,,,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，点Q 在直线HF 上，点N 在直线BC 上，,,R OQ kOH CN kCF k ==Îuuu r uuur uuu r uuu r，直线EQ 与直线GN 相交于点R ，则点R 的轨迹方程为_______________.【答案】()221,3916y x y -=¹-【解析】【分析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ 的方程与直线GN 的方程，联立求解即可.【详解】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为8,6AB BC ==，所以 ()()()()()()0,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3O H F E G C --，所以 ()4,0OH =-uuur ()()0,3,4,3CF OC =-=uuu r uuu r ，又因为 ,OQ kOH CN kCF ==uuu r uuur uuu r uuu r ，所以 ()()4,0,0,3OQ k CN k =-=-uuu r uuu r，所以()()4,0,4,33Q k N k --.因为 ()()0,3,4,0E Q k --，所以直线EQ 的方程为 334y x k =--①，因为 ()()0,3,4,33G N k -，所以直线GN 的方程为 334ky x =-+②.由①可得 ()()3043x k x y =-¹+，代入②化简可得 ()2210916y x x -=¹，，结合图象易知点R 可到达 ()0,3G ，但不可到达 ()0,3E -，所以点R 的轨迹方程为 ()221,3916y x y -=¹-，故答案为：()221,3916y x y -=¹-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知 2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-（1）求 A ;（2）若 23b c P Q ==，，，分别为边 a b ，上的中点，G 为 ABC V 的重心，求 PGQ Ð的余弦值.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；(2)根据已知设 AB c AC b ==uuu r uuu r rr ，，表达出AP BQ uuu r uuu r ，，再根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】因为2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-，所以()()22212sin 12sin 2sin 2sin sin B A C B C ---=-，即222sin sin sin sin sin A B C B C =+-由正弦定理得 222a c b bc =+-，由余弦定理得 1cos 2A =，因为()π0π3A A Î=，，【小问2详解】设 AB c AC b ==uuu r uuu r r r ，，1cos 2332b c b c A ×=×=´´=r r r r 依题意可得()1122AP b c BC b c BQ b c =+=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r r r，，所以AP ===uuu rBQ ===uuu r ()221111143917224424424AP BQ b c b c b b c c æö×=+-=-×-=--=-ç÷èøuuu r uuu r r rr r r r r r 所以cos AP BQ PGQ AP BQ×Ð==×uuu r uuu r uuu r uuu r .16. 设A B ，两点的坐标分别为()),. 直线AH BH ，相交于点H ，且它们的斜率之积是13-.设点H 的轨迹方程为C .（1）求C ;（2）不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线AE 与直线AF 的斜率之积是13-，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）(2213x y x +=¹（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设点H 的坐标为(),x y ，然后表示出直线,AH BH 的斜率，再由它们的斜率之积是13-，列方程化简可得点H 的轨迹方程；（2）设()()1122,,,E x y F x y ，当直线l 斜率不存在时，求得直线l 为 x =0，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx b =+，由13AE AFk k ×=-13=-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得20b =，从而可求得直线恒过的定点.【小问1详解】设点H 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标是()，所以直线 AH的斜率AH k x =¹，同理，直线 BH的斜率BH k x=¹，(13x =-¹，化简，得点H 的轨迹方程为(2213x y x +=¹，即点H 的轨迹是除去()),两点的椭圆.【小问2详解】证明：设()()1122,,,E x y F x y ①当直线l 斜率不存在时，可知 1221,x x y y ==-，且有22111313AE AF x y k k ì+=ïïíï×==-ïî，解得1101x y ==±，，此时直线l 为 x =0，②当直线l 斜率存在时，设直线 :ly kx b =+，则此时有：13AE AFk k ×====-联立直线方程与椭圆方程 2213y kx b x y =+ìïí+=ïî，消去 y 可得： ()222316330k x kbx b +++-=，根据韦达定理可得： 122631kb x x k -+=+，21223331b x x k -=+，13=-，13=-，1=-所以20b =，则0b =或b =，当b=时，则直线 (:l y k x =恒过A 点与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①，②可知，直线l 恒过原点 ()0,0，原命题得证.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.17. 如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，608AB AD BAD ACÐ===o ，，.（1）记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为 2V ，求12V V ；（2）设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCDk 的值.【答案】（1（2）4k =【解析】【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值，即可求得答案.【小问1详解】在底面ABCD 中，因为 AC 是底面直径，所以 90ABC ADC Ð=Ð=，又 AB AD =，故 ACB △≌ACD V ，所以13042BAC DAC BAD BC CD AB AD ÐÐÐ=======o ,,.因为PC 是圆柱的母线，所以PC ^面ABCD ，所以 211π()16π2V AC PC PC ==´，211112243232V AB BC PC PC PC =´´´××=´´´´=,因此12V V =；【小问2详解】以C 为坐标原点，以,CA CP uuu r uuu r为,x z 轴正方向，在底面ABCD 内过点C 作平面PAC 的垂直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为30BAC DAC AB AD ÐÐ===o ，，所以 ABE V ≌ADE V ，故 90AEB AED ÐÐ==o ，所以1622BE DE AB AE CE AC AE =====-=，，2PC kCE k ==，因此()()()()()()0,0,0,8,0,0,2,,0,0,2,2,,0,0,2C A D P k CD CP k ==uuu r uuu r，()8,0,2PA k =-uuu r，因为 PA kPF =，所以 18,0,2PF PA k k æö==-ç÷èøuuu r uuu r ，则88,0,22,,0,22F k CF k k k æöæö-=-ç÷ç÷èøèøuuu r 设平面FCD 和平面PCD 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==r r，则有:)111182020n CF x z k n CD x ì×=+-=ïíï×=+=îuuu r r uuu rr ，222220m CP kz m CD x ì×==ïí×=+=ïîuuu r r uuu r r ，取())()221,,1,4n k k k k m æö=---=-ç÷ç÷èør r ，设平面FCD 与平面PCD 的夹角为 q，则sin q =所以有：cos cos q ===，整理得2120k k --=，2120k k -+=（无解，舍），由于k 为正整数，解得4k =.18. 已知函数()()1ln f x x x =-，（1）已知函数()()1ln f x x x =-的图象与函数()g x 的图象关于直线 x =―1对称，试求()g x ；（2）证明()0f x ³；（3）设0x 是()1f x x =+的根，则证明：曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.【答案】（1）()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-. （2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()11f x g x --=-+，得()()()12ln 1g x x x -+=----，再利用换元法求()g x ；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线 e x y =上的一点 ()11e,x B x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是 ()exh x =在B 处的切线，证明直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率即可.【小问1详解】因为()f x 的图象与()g x 的图象关于直线 x =―1对称，所以 ()()11f x g x --=-+.又因 ()()()()()111ln 12ln 1f x x x x x éù--=-----=----ëû，所以()()()12ln 1g x x x -+=----，令1t x =-+，则 1x t =+，所以()()][()()()21ln 113ln 2g t t t t t éù=--+--+=----ëû，因此()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-.【小问2详解】证明：解法1：当 1x ³时，10x -³且 ln 0x ³，此时 ()()1ln 0f x x x =-³；当01x <<时，10x -<且ln 0x <，此时 ()()1ln 0f x x x =->，故综上()0f x ³.解法2：()1ln 1f x x x +¢=-，令()1ln 1x x xj =+-，()2110x x x j ¢=+>在()0,¥+上恒成立，为故()x j 在()0,¥+上单调递增，即()f x ¢在()0,¥+上单调递增，因此当01x <<时，()()10f x f ¢¢<=；当()()110x f x f ¢¢³³=，；因此()f x 在()0,1上单调递减，在 [)1,+¥上单调递增，故()()10f x f ³=.【小问3详解】证明：不妨取曲线 e x y =上的一点 ()11e ,x B x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是 ()exh x =在B 处的切线，则 ()()10101e x g x h x x ¢¢===，得 101ln x x =，则 B 的坐标 0011ln x x æöç÷èø，，由于()0001ln 1x x x -=+，所以0001ln 1x x x +=-，则有()()2000000000002000000000011111ln ln 111111ln ln 11ABx x x x x x x x x x k g x x x x x x x x x x x ++-----======++--¢++-，综上可知，直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率，所以直线AB 既是曲线ln y x =在点()00n ,l A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19. 如果函数 F (x )的导数为()()F x f x ¢=，可记为()()d f x x F x ò= ，若 ()0f x ³，则()()()baf x dx F b F a =-ò表示曲线 y =f (x )，直线 x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：22d x x x C ò=+，其中 C 为常数； ()()222204xdx C C =+-+=ò，则表 0,2,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.（1）若 ()()()e 1d 02xf x x f =ò+=，，求 ()f x 的表达式；（2）求曲线 2y x =与直线 6y x =-+所围成图形的面积；（3）若 ()[)e 120,xf x mx x ¥=--Î+，，其中 R m Î，对 [)0,a b ¥"Î+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >òò，求 m 的取值范围.【答案】（1）()e 1xf x x =++（2）1256（3）12m £【解析】【分析】（1）根据新定义及()02f =计算得解；（2）根据新定义，构造函数()26g x x x =-+-即可得出面积；（3）根据所给条件可得()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，转化为()0f x ³在 [)0,¥+恒成立，就导数的符号分类讨论后可求参数的取值范围.【小问1详解】()()e 1d e x xf x x x C =ò+=++，其中 C 为常数.而 ()02f =，即 102C ++=，所以 1=C ，所以()e 1xf x x =++.【小问2详解】联立 26y x y x ì=í=-+î，解得 123,2x x =-=，当32x -<<时，26x x -+>，令 ()26,g x x x =-+-()()2311d 623F x g x x x x x C =ò=-+-+，则围成的面积()()()2389125d 23212189326S g x x F F -æöæö==--=-+----+=ç÷ç÷èøèøò【小问3详解】令 ()()d F x f x x =ò，由题意可知，[)0,a b a b ¥"Î+>，，，满足()()()()00F a F F b F ->-，即()()F a F b >，即()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，进而()0f x ³在 [)0,¥+恒成立，e 120x mx --³在 ()0,¥+恒成立.()e 2,0x f x m x =->¢，若12m £，则()0f x ¢>在()0,¥+上恒成立，故()f x 在[)0,¥+上为增函数，故()()00f x f ³=；若12m >，则0ln 2x m <<时，()0f x ¢<，故()f x 在[]0,ln 2m 上为减函数，故[]0,ln 2x m "Î时，()()00f x f £=，与题设矛盾；故12m £.【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用a b >，都满足()()0d d abf x x f x x >òò，得出函数()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.。

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高三数学调研考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-x 4 B.ｙ=x 4 C.ｙ=3xD.ｙ=x 21log 2.设α、β为钝角且sin α=55,cos β=-10103,则α+β的值为A.π43 B. π45 C. π47 D. π45或π473.对于直线a 、b 和平面α、β，a ∥b 的一个充分条件是A.a ∥α,b ∥αB.a ∥α,b ∥β,α∥βC.a ⊥α,b ⊥β,α∥βD.α⊥β,a ⊥α,b ∥β4.函数f (x )=ctg wx (w ＞0)图象的相邻两支截ｙ=8π所得线段长为4π.则f (8π)的值是 A.0 B.-1 C.1 D. 4π5.今有一组实验数据如下t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121S 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S -1=2t -3B.S =t 2log 23C.2S =t 2-1D.S =-2t -2 6.已知A （0，0），B （a ，b ），P 1是AB 中点，P 2是BP 1中点，P 3是P 1P 2中点，…，P n +2是P n P n +1 中点，则P n 点的极限位置A.)2,2(b aB.)3,3(b aC.)32,32(b aD.)43,43(b a 7.函数f (x )=x 2+x 1 (x ≤-21)的值域是 A.]47,(--∞ B. ]223,(3--∞ C.),47[+∞- D. ),223[3+∞- 8.已知|a |≠|b |,m =ba b a n ba b a ++=--,,则m 、n 之间的关系是A.m ＞nB.m ＜nC.m =nD.m ≤n9.如图在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A —BCD 的体积是A.122 B. 242C. 123D. 24310.在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx +1与曲线x =12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是A.-22kB.-2＜k ＜-1C.1＜k ＜2D.k ＜2或k ＞2 12.某厂有一批长为2.5 m 的条形钢材，要截成60 cm 长的A 型和43 cm 长的B 型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）A.A 型4个B.A 型2个，B 型3个C.A 型1个，B 型4个D.B 型5个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，F 为左焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tg BDC =__________.14.已知（x +1）6²(ax -1)2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为______________.15.（理）已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1222t y t x (t 为参数)，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为______________.（文）函数ｙ=sin x -|sin x |的最小值为______________. 16.在△ABC 中A ＞B ，下列不等式中正确的是①sin A ＞sin B ;②cos A ＜cos B ;③sin2A ＞sin2B ;④cos2A ＜cos2B 其中正确的序号为______________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知集合A ={x |62)21(--x x ＜1＝,B ={x |l og 4(x +a )＜1＝,若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数z 满足(z +1)(z +1)=|z 2|,且11+-z z 是纯虚数; (Ⅰ)求z ; (Ⅱ)求arg z .19.（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点，（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD .20.（本小题满分13分）已知抛物线C ：ｙ=-21x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一艘机艇以40 km/h 的速度从A 港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax +b 的点（x ,ｙ）不在ｙ=ax +b 的下方）.（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底．获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底．，这一个体户有现款多少元？（1.0812≈2.5）22.（本小题满分13分）（理）若{a n }是正项递增的等差数列，n ∈N ,k ≥2,k ∈N ,求证：（Ⅰ）kk k k a a a a 112+++; (Ⅱ)k nk nk nk k k k k k k kk k n a aa a a a a a a a a a 2212132312221211)1(++++++++++++⋅⋅⋅⋅; （文）已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{ｙn }满足ｙn ²l og xn a =2(a ＞0且a ≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.(Ⅰ)求数列{ｙn }的前多少项和最大，最大值为多少？（Ⅱ）试判断是否存在自然数M ，使当n ＞M 时，x n ＞1恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令a n =l og xn x n +1(n ＞13,n ∈N ),试判断数列{a n }的增减性？答案一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A 11.B 12.B 二、13.-33 14. -1或6 15.(理)22(文)-2 16.①②④ 三、17.解：由(62)21--x x ＜1得x 2-x -6＞0，解得x ＞3或x ＜-2A ={x |x ＞3或x ＜-2} 由log 4(x +a )＜1得0＜x +a ＜4∴B ={x |-a ＜x ＜4-a } 8分∵A ∩B =∅, ∴⎩⎨⎧≤--≥-342a a ∴1≤a ≤2 即a 的取值范围是：{a |1≤a ≤2} 12分 18.解：(Ⅰ)(z +1)(z +1)=|z |2, ∴z z zz +++1=|z |2∵zz =|z |2∴z +z +1=0 设z =x +ｙi (x ,ｙk ∈R ),则z =x -ｙi∴x =-21,z =-21+ｙi 5分又∵yi yi z z ++-=+-213211且是纯虚数 ∴ｙ2-43=0且ｙ≠0 7分 ∴ｙ=±23 ∴z =-21±23i 10分(Ⅱ)当z =-21+23i 时，arg z =32π 当z =-21-23i 时，arg z =34π 12分 19.(Ⅰ)证明：∵ABCD 是矩形 ∴CD ⊥AD又∵PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在平面ABCD 上的射影由三垂线定理：CD ⊥PD 3分 (Ⅱ)证明：取CD 中点N ，连结EN 、FN ∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点 ∴FN ∥PD ,EN ∥AD .∵FN ⊄平面PAD ，EN ⊄平面PAD ∴FN ∥平面PAD ，EN ∥平面PAD 5分 ∵FN ∩EN =N ∴平面EFN ∥平面PAD ∵EF ⊂平面E F N ，∴EF ∥平面PAD 7分(Ⅲ)解：当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥平面PCD ∵AB ∥CD ∴CD ⊥AD ,PD ⊥CD ,即∠PDA 就是侧面PCD 与底面ABCD 所成二面角的平面角.连结PE ，EC 又∠PDA =45° ∴PA =AD =BC ,又AE =EB ∴Rt △PAE ≌Rt △CBE ∴PE =EC 10分 ∵F 为PC 的中点 ∴EF ⊥PC ，又FN ∥PD ,EN ∥AD ∴CD ⊥FN , ∴CD ⊥EN ∴CD ⊥平面EFN ∴CD ⊥EF ∵CD ∩PC =C ，∴EF ⊥平面PCD 12分20.解：(Ⅰ)易知点P 在抛物线C 上，设PA 的斜率为k 则直线PA 的方程是ｙ-4=k (x -2)代入ｙ=-21x 2+6中，整理得：x 2+2kx -4(k +1)=0 此时方程应有根x A 及2，由韦达定理得：2x A =-4(k +1) ∴x A =-2(k +1)∴ｙA =k (x A -2)+4=-2k 2-4k +4 ∴A (-2(k +1),-2k 2-4k +4) 由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 方程的斜率为-k .同理可得：B (-2(-k +1),-2k 2+4k +4) ∴k AB =2 6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB 的方程为：ｙ=2x +b ,b ＞0，代入方程ｙ=-21x 2+6消去ｙ得： 21x 2+2x +b-6=0 |AB |=2)216(52)]6(24)[21(b b 2-=--+ 9分分12 9364)3216( )216(5)216(5221213=++-≤⋅⋅-=⋅-⋅==∴b b b b b b b b d AB S此时方程为：ｙ=2x +31613分 21.(理)解：建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿OP 方向前进m 到P 处，然后向北前进n 到达Q ，设∠XOP =θ，Q (x ,ｙ)可知20,sin cos =+⎩⎨⎧+==n m m n y m x θθ4分∴|AQ |2=x 2+ｙ2=m 2+n 2+2m nsin θ≤(m +n )2=400∵机艇中途左拐 ∴x 2+ｙ2＜400 7分又∵x +ｙ=m (sin θ+cos θ)+n =)4sin(2πθ+²m +n ≥m +n =20即⎩⎨⎧≥++2040022y x y x 根据题中的提示及对称性，结合上述不等式组，可得营救区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点. 12分(文)解：设第n 月月底所得现款a n 万元，依题意a n +1=a n (1+20%)-a n (1+20%)10%-0.3=1.08a n -0.3 化为a n +1-415=1.08(a n -415) 则{a n -415}为等比数列，其中a 1=1.08³10-0.3=(10-415)³1.08+415 8分∴a n -415=(10-415)1.08n 即a n =(10-415)1.08n +415 10分∴a 12 =(10-45)²1.0812+415 代入1.0812≈2.5,得a 12=19.375 12分22.解：(Ⅰ)∵a k +1=a k +1+d ,a k =a k +1-d ∴a k +2²a k =21221++-k k a d a又∵a k +1＞0,a k +2＞0,a k ＞0 ∴kk k k a a a a 112+++4分 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论可得1112-+++mk mk mk mk mk mk a a a a a a 令A =12122212++++++⋅⋅⋅nk nk k k k k a a a a a a ，从而有 A k＞11)1()1(1)1(231212222222312+++++++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k n k n k n nk nk nk nk k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a 9分又A k=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++++++121342312122212)()()(k k k k k nk nk k k k k k k a aa a a a a a a a a a a a 22122)1(3)1(1)1(2)1(a a a a a a a a nk nk nk k n k n k n k n ++++-+-+-+-=⋅⋅⋅⋅从而knk kk k n a a A a a 2211)1(++++ 13分 (文)(Ⅰ)ｙn =2log a x n ，设{x n }的公比为q (q ≠1) ∵ｙn +1-ｙn =2(log a x n +1-log a x n )=2log ann x x 1+=2log a q ∴{ｙn }为等差数列，设公差为d ∵ｙ3=18,ｙ6=12, ∴d =-2, ∴ｙn =ｙ3+(n -3)(-2)=24-2n 设前k 项为最大，则121101≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤+k y y k k 4分∴前11项和前12项和为最大，其和为132 5分(Ⅱ)x n =a 12-n ,n ∈N * 若x n ＞1，则a 12-n＞1 当a ＞1时，n ＜12，显然不成立 7分当0＜a ＜1时，n ＞12， ∴存在M =12，13，14，…，当n ＞M 时，x n ＞1 9分 (Ⅲ)a n =1211log log )1(12121--==+--+n n a x n na n x n 10分 ∵0)12)(11(1121111101 ---=-----=-+n n n n n n a a n n 12分 ∴a n +1＜a n ∴n ＞13时数列{a n }为递减数列 13分。