理论力学万能解题法(运动学)

理论力学万能解题法（未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学2009级学生参考）郑慧明编华中科技大学理论力学教研室序言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。

但其解题方法众多，不易掌握。

有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。

有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。

解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。

因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。

正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。

若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。

虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。

我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。

大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。

理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。

故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解题方法遵循如下原则：（1）一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。

那些只对此道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。

这一点可能与以往一些理论力学教材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。

本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。

因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧的读者，提请读者注意。

（2）对同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。

（3）优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。

前几年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考验宝典，并引起一些批评。

我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的目光，也许你因此发现本书正适合你。

正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。

同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，特此说明。

本书许多内容是材料李智宇、机械李梦阳、能源海腾蛟等同学根据本课堂内容整理的,武汉科技大学力学系李明博士提供宝贵意见，在此表示感谢。

因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。

郑慧明2011 年于华工园前言：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则：尽量用同一种方法解题，优先考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。

其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量（对于动力学问题，用一个方程即可求出一个待求量是不可能的。

）。

采用此方法，即可容易将不同的复杂的机械系统看成一个类似系统，采用同一种思路分析，这是本书解题思路与众不同的根源。

第5章 点的运动学和刚体的基本运动一 问题问题1：点的运动的主要知识点是什么？答：直角：22)()(yx y x y x a a a a a v v t y y t x x +=⇒⇒⇒⎩⎨⎧== 矢径：dt rd V =弧坐标：222)(,)(t n t n t a a a pV a dt t dv a dtdsV +=⇒===问题2：点的运动难点是什么？答：⑴如何由X(t),Y(t)求t 时刻曲率半径。

⑵切向加速度，全加速度问题3 刚体简单运动1）平动：在同一瞬时，各点a v,一样，且0,0==εw ，在其他任意时刻，尽管a v ,可能与上一时刻不同，但在同一时刻，各点a v,一样，且0,0==εw ，机构特点为平行四边形。

而瞬时平动，仅在此瞬时，各点v一样，且0=w 。

机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行，且与两点连线不垂直。

2）定轴：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=2Rwa R a w R V n t ε矢量表示法A r W A V ⨯=（A r起点必须为为 向量上任一点）W二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】由X(t),Y(t)求t 时刻曲率半径。

哈工大第6版例题6-5.[解法提示]：利用全速度和加速度无论在直角和弧坐标下均相等的桥梁即可。

注意222)(,)(t n t n t a a a pV a dt t dv a +=⇒==【说明】哈工大第6版例题6-6解法与此类似。

通过该题，可深入了解在静止地面作纯滚动轮子的与地面接触点的速度和加速度特点。

该点是理论力学中难点，建议多加注意。

【例2】平动问题何锃课后习题7.2在图示两机构中，212, OA O B AB O O ==，请就所给结果作出判断（正确的在括号里画“√”，错误的画“×”）图a ：（1）0=AB ω（√ ）；（2）0=nBA a （√ ）； （3）0AB α=（√ ）；（4）0=τBA a （√ ）； （5）ττB A a a =（√ ）。

图b ：（1）0=AB ω（√ ）；（2）0=nBA a （√ ）； （3）0AB α=（× ）；（4）0=τBA a （× ）； （5ττ【例3】哈工大第6版例题7-2.[解法提示] 矢量表示法A r W A V ⨯=（A r 起点必须为为 向量上任一点）b ） a ω 2 α2(ω2 α2(W第6章 点的合成运动一 问题问题1：动点动系问题存在哪些难点？答：㈠ 动点、动系和静系的选择原则1）动点、动系和静系必须分别属于不同的三个物体，否则绝对,相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动2）动点相对于动系的相对运动轨迹易于直接判断，一般为直线或圆周，否则，求速度可能是正确的，但求加速度时，由于仅相对加速度r a 就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。

因为r a 的切向分量一般未知，法向分量与相对速度和曲率半径有关，相对速度肯定可求出，故只要相对运动为直线或圆周，曲率半径也确定，故在加速度关系矢量方程中垂直r a 的切向分量即可贡献一个有用方程。

3）一定要说明动点是在哪个物体上 ㈡具体方法一、1）构件A 、B 的接触点是构件A 上不变的点D ，则选取A 上不变的点D 为动点，动系为B2）构件A B 的接触点，不是构件A 或B 上不变的点，则一定不能选接触点作为动点。

一般选取其中一圆盘的圆心为动点。

㈢ r e a V V V +=大小 ？ ？ ？ 方向 ？ ？ ？ 知道任意4个由于只有3个矢量，任意知2个可用几何法（平行四边形法则） 对于多于3个矢量的加速度合成时尽量用解析法。

㈣1）动系作平动 r e a V V V+=T r n r r e T e n a T a a a a a a a +++=+r e a a a a+=？ RV a 2？ 已知 ？ 已知故只有3个未知量2）动系作转动k e r a a a a a ++=㈤牵连速度㈥科氏加速度k ak r e a a a a a ++=∆用r e a V V V +=求出W 动系，r V 后，若为负数，应在图中将动系w,r V 方向修正为实际方向。

此时，W 动系，r V 为正数，并由r V w ⨯动系确定出k a方向问题2：动点动系有几种题型，如何选取动点动系？答：六种题型： ①AB 上A 点为接触点 作法：选取接触点A 为动点 ②两刚体无固定的接触点作法：该接触点不能为动点，原因是若取接触点为动点，求V ，有时也能得到正确结果，这是因为求速度问题只是研究瞬时问题，与下一时刻如何运动无关，即与相对运动轨迹无关。

但求加速度时，由于仅相对加速度r a 就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。

③套筒滑杆问题①在动系上（∞平面） ②与动点重合 ③相对于静系作法：选取轨迹明确的杆件或套筒为动系，轨迹一般为平动或定轴圆周运动。

另一个构件上已知信息较多的点或构件上待求点为动点。

这是因为还要兼顾牵连速度方向已知（求速度问题）和牵连加速度不至于引入两个未知量（求加速度问题）。

④套环（或称交点）问题作法：取套环为一个动点，分别选取多个动系。

⑤多动点、多动系作法：为体现刚体间的所有联系，应多次选取不同的动点、动系。

⑥一个动系、多个动点作法：该方法可转化为一个动点、多个动系。

实际上，此问题可选取一次动点动系，再应用同一刚体上两点关系的平面运动章节的问题来求解。

那样，分析思路更清晰，易想到。

二典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】何锃课后习题6.7半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅垂导轨滑动，在图示位置时，凸轮有速度v和加速度a，求该瞬时推杆AB的速度和加速度哈工大第6版例题6-5. √⊥[解法提示]：①作法：1）选取AB上A点为动点，动系为o.[求速度]则V a= V e + V r大小？√？方向√√√(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Va,Vr 大小，若只求Va，则⊥Vr投影。