正棱台的侧面展开图
变式：想一想,你能求
出切割之前的圆锥的表
O`
面积吗?试试看！ O
思考：圆柱、圆锥、圆台三者的表 面积公式之间有什么关系？
2.有一根长为3πcm，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上 缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆 柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长 度为多少？
学习交流
例1.设计一个正四棱锥形冷水塔
塔顶高是3m , 底面的边长是8m ,
制造这种塔顶需要多少平方米铁
板?
S
O
E
35
练习
一个圆锥底面半径分别为20，母线与 底面的夹角为60°，求圆锥的表面 积.
变式： 对于上题的圆锥如果用一个平行于
底面的平面去截，截得的圆台的上底面 半径为10，求圆台的表面积。
2、对应的面积公式
S三
棱
锥＝
1 2
ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
C’=C
S直 棱 柱＝ch' ch
S圆台侧=π（r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl
当堂检测
时间：五分钟
练一练
一个圆台，上、下底面半径分别为10、 20，母线与底面的夹角为60°，求圆 台的表面积.
这样，求它们的侧面积的问题就 可转化为求平行四边形、三角形、梯 形的面积问题。
基础知识梳理1
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式
S 直棱柱侧＝ ch .
S正棱锥侧＝
1 2
ch′
.
1
S正棱台侧求法：
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱侧＝ cl = 2πrl .
思考
正方体是特殊的四棱柱，其侧面展 开图是什么？如何计算它的侧面积？
自主探究
棱柱、棱锥、棱台也是由多个 平面图形围成的几何体，它们的展 开图是怎么样的？你能否计算它们 的表面积？
正棱柱的侧面展开图
正棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的侧面积？
h
棱柱的 表面积 等于它 的侧面 积加底 面积
正棱锥的侧面展开图
探究圆柱的侧面积的求法：
圆锥的侧面 展开图是扇 形
2r l
S圆锥侧=__12_c_l__=_r12__2O_π__rl__=_π__r_l ___
探究圆台的侧面积的求法：
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的 侧面展开图是什么 ．
圆台的侧 面展开图 是扇环
2r'
r'O’
2r
l
rO
S圆台侧＝_12__(c_＋__c_′_)l__=12_(_2_π_r_′＋__2_π__r)_l
S正棱台侧＝12(c＋c)h (c，c－上、下底面周长，h－斜高)
S圆柱侧＝cl＝2rl (c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
S圆锥侧＝
1 2
cl＝rl
(c－底面周长，l－母线长 ，r－底面半径)
S圆台侧＝
1 2
(c＋c)l＝(r＋r)l
(c，c －上、下底面周长，r，r －上、下底面半径)
学习目标
柱、锥、台的表面积计算公式． 正棱柱、正棱锥、正棱台等定义． 会求一些简单几何体的表面积 体会“数”与“形”的完美结合，
感受数学的美。
预习检查
1.简单几何体的相关概念 直棱柱 正棱柱 正棱锥 正棱台
2.在初中我们已经学过了正方体和 长方体的表面积以及它们的展开图， 你觉得它们的展开图与其表面积有 关系吗？
h'
h'
正棱台的侧面展开图
侧面展开
h'
h'
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
C1 A1
C A
P
B1
A1
C1
A
C
B
B OD
B1 D1 C
O D
B
A
棱柱的侧面展开图是由平行四边 形组成的平面图形，棱锥的侧面展开 图是由三角形组成的平面图形，棱台 的侧面展开图是由梯形组成的平面图 形。
l r’＝
rO
0 上底缩小
l
rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
知识梳理
平面展开图 侧面展开图
——表面积(全面积) ——侧面积
S直棱柱侧＝ch
( c－底面周长，h－高 )
S正棱锥侧＝12ch
( c－底面周长，h－斜高 )
学习交流
例2.一个直角梯形上底、下底和 高之比为 2 : 4 : 5 ，将此直角梯 形以垂直于底的腰为轴旋转一周 形成一个圆台，求这个圆台上底 面积、下底面积和侧面积之比．
OB
O CA
思考：
(2010年山东青岛模拟)若正三棱锥 的斜高是高2 3 的倍，求棱锥的侧
3
面积是底面积的多少倍？
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
=_π_l_(r_′_＋__r)___
基础知识梳理2
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
S圆柱侧＝ cl = 2πrl .
1
S圆锥侧=__2_c_l__=_π__rl____
S圆台侧＝
1 2
(c＋c′)l
＝ πl(r′＋r)
．
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式 之间的关系。
r O
l
O
r’
上底＝扩大r
r'O’
合集下载
高中数学必修2《简单几何体的侧面积》
积求法
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱 长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬 到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是 一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开 图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积 公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图 形围成的几何体，它们的侧面展开图是什 么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积 等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理， 每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与 母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零 件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
V
A
C
D
B
O
四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm，高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1 O1 B1 D1
C1
A
C O E
27 3 cm 2 2
D
B
五、课堂练习
练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30°，求正四棱锥的侧面积.
P
答案:32(cm2)
其中c为底面周长，h为高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱锥的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S正棱锥侧
1 ch 2
其中c为底面周长, h 为 斜高,即侧面三角形的 高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
二、提出问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧 ch
S圆柱侧 2 rh
1 S圆锥侧 cl rl 2 1 S圆台侧 (c c)l 2
l
r
O
三、概念形成
概念3.球的表面积
怎样求球的表面积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面 图形，怎样求球的表面积呢？
A
C
D
B
O
四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm，高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1 O1 B1 D1
C1
A
C O E
27 3 cm 2 2
D
B
五、课堂练习
练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30°，求正四棱锥的侧面积.
P
答案:32(cm2)
其中c为底面周长，h为高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱锥的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S正棱锥侧
1 ch 2
其中c为底面周长, h 为 斜高,即侧面三角形的 高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
二、提出问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧 ch
S圆柱侧 2 rh
1 S圆锥侧 cl rl 2 1 S圆台侧 (c c)l 2
l
r
O
三、概念形成
概念3.球的表面积
怎样求球的表面积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面 图形，怎样求球的表面积呢？
高中数学第1章1.1.2棱柱棱锥和棱台的结构特征课件新人教B必修2.ppt
跟踪训练 3 正四棱锥 S－ABCD 的高为 3， 侧棱长为 7. (1)求侧面上的斜高； (2)求一个侧面的面积； (3)求底面的面积．
解：(1)如图所示，在正四棱锥 S－ABCD 中， 高 SO＝ 3，侧棱 SA＝SB＝SC＝SD＝ 7， 解 Rt△SOA，得 OA＝2，则 AC＝4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2. 作 OE⊥AB 于 E，则 E 为 AB 的中点， ∴OE＝12BC＝ 2. 连接 SE，则 SE 为斜高．
5 10)·2(
3
3－
63x)，
解得 x＝2 15.
∴上底面的边长为 2 15.
【点评】 在正棱台的有关计算中， 要注意寻 找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线， 相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面 中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成 一个直角梯形． 跟踪训练4 已知正四棱台的上、下底面面积分 别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的 斜高、高、侧棱长．
如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅 垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥 的高． 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面． 思考感悟
1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 几何体是棱锥吗？ 提示：不一定．如图：
(2)棱锥的分类 ①按底面边数分类 底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别 叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又 叫__四_面__体______． ②正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它 的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个 棱锥叫做正棱锥． 正 棱 锥 侧 面 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 高 ，正叫棱做 __锥_的__斜__高 ________________．
1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)多面体的元素 ①围成多面体的各个_多__边__形____叫做多面体的面． ②相邻的两个面的__公__共__边_____叫做多面体的棱． ③棱和棱的_公__共__点____叫做多面体的顶点． ④连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体 的__对__角__线_____．
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的体积
( ).
. .
【悟】
决利二 问用是 题正把
棱正 锥棱 的台 有还 关原 知成 识正 来棱 解锥
形一
常
中是
用
解把
两
决基
种
问本
解
题量
题
；转
思
化
路
到
：
直
角
梯
面棱求
边台解
长的正 、五棱 高个台 、基的 斜本体 高量积 、上时 侧、， 棱下注
底意
棱柱、棱锥、棱台的体积
1 【练2】如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为__3__.
证明：V棱台
V大棱锥
V小棱锥
1 3
S(h
x)
1 3
S'x
1 [Sh 3
(S
S')x]
又
S' S
x2 (h x)2
S'
x
x
S h x
S'h S S'
V棱台
1 3
h[ Sh
(S
S')
S' ] 1[S S S' 3
SS' S' ]h
A
P
x
A
D
S
C
B
D
h
S
C
V棱台
1 3
(S'
S'S S )h
积时不考虑漏斗的厚度).
D’
C’
解：由题意知，
A’
B’
D
C
V长方体ABCD-A'B'C 'D' 11 0.5 0.5(m3 ),
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课堂小结
1、棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式 2、数学思想：空间问题转化为平面问题
作业
28页 练习 A B
例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为30。，求正四棱锥 的侧面积及全面积。
P
D
A
O
E
C
侧面展开
正棱台的侧面展开图
h'
h'
S正棱台侧
1 (c c) h 2
c,c’分别为上下底面周长， h’为斜高，即侧面等腰梯 形高。
概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它 们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
S A B D C
a
应用举例
例2.已知正三棱锥V-ABC，如图，VO为高， AB=6，V0= 6 求表面积。 V
A
C
D
B
O
课堂练习
1.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm, 高与斜高的夹角是30°，求正四棱锥的 P 侧面积.
D
答案:32(cm2)
A
C
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
复习引入
前面我们学习了柱、锥、台、球的有关概念和 结构特征，怎样计算一些简单几何体的表面积呢？
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知 道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
提出问题
思考：如何求几何体的表面积？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
概念形成
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l cπ==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l cπ==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S =上时即为锥体的体积公式；②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：BCC 1四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？DCBA 解：展开后使其成一线段AC cm =考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
棱柱、棱锥、棱台的表面积(王永亮 莒县一中)
已知正四棱锥底面正 方形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为 35°(如图),求正 四棱锥的侧面积与全 面积(单位:cm2, 精确到0.01).
C
答
案
P D O B E C
解:正四棱锥的高,斜高, 底面边心距组成直角POE. OE=2cm OPE=35 因为OE=2cm,∠OPE=35° 所以 斜高PE=OE/sin35° A =2/0.574≈3.49(cm) 因此 S棱锥侧=1/2ch' =1/2×4×3.49×4=27.92(cm2) S棱锥全=27.92+16=43.92(cm2)
直棱柱的表面积
设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c, 则得到直棱柱的侧面面积计算公式:
S直棱柱侧面积 =ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面周 长和高的乘积.
* 棱柱的表面积是正三棱锥的展 开图. 正棱锥的侧面展开图 是一些全等的等腰三 角形,底面是正多边 形,如果设它的底面 边长为a,底面周长 为c,斜高为h' .
*
棱台的表面积或全面积等于侧面积与 底面积的和.
思考题
联系棱柱,棱锥,棱台的几 何图形间的转化过程,思考 是否能由棱台的侧面积公式 得到棱柱,棱锥的侧面积公 式.
想一想
观察圆柱,圆锥,圆台的展开图,思考计 算圆柱,圆锥,圆台侧面积公式.
圆柱展 开图
圆锥展 开图
圆台展 开图
例
题
P D O A B
正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯 形,设棱台下底面边长为a,周长为c , 上底面边长为a',周长为c',斜高为 h',可以得出正n棱台的侧面积公式: S 正棱台侧 =n·1/2(a+a')h'=1/2(n a+na')h'=1/2(c+c')h'
用1.1.4 柱、锥、台、球的结构特征(棱台)
典 型 例 题
例1.下面有四个命题： (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； (4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心, 又是外心的棱锥必是正棱锥. 其中，正确命题的个数是（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
棱台的两个重要特征： （1）两底面互相平行； （2）各侧棱延长后相交于一点。
2.棱台的元素
上底面 底面 侧面
侧棱
底面 下底面
3．棱台的分类： （1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
正棱锥
正四棱台
4．正棱台的性质： （1）各侧棱相等； （2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形； （3）正棱台的斜高相等. （4）棱台的两底面及平行于底面的截面是相似的正多边形；
D
C
B
A
数学运用
(2)画一个三棱台
S
A B
A
①画一个三棱锥
C C
②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面 对应边平行的线段 ③将多余的线段擦去
B
数学运用
练一练：以三角形ABC为底面画一个三棱柱.
C
A B
C
C
C
A
A
B
A
B
B
题型一、对多面体概念的理解与应用 2.下列三种说法，其中正确的是( A ) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：对于（1）、如图：三棱锥A-BCD中，AB=AC=b，AD=CD=BC=BD=a， 其每个侧面是等腰三角形，但不是正三棱锥，故（1）错误； 对于（2）、对于正三棱锥，底面必须是正三角形，故（2）错误； 对于（3）、对于正三棱锥，三条侧棱长必须相等，故（3）错误； 对于（4）、该棱锥的底面多边形的内心与外心重合，则其底面为正多边形， 则其内心（外心）为底面多边形的中心，则顶点在底面上的射影是底面多边形 的中心，符合棱锥的定义，故（4）正确． 只有一个命题正确；故选A．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
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【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
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探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S=上时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段ACcm考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。