量子力学讲义 第八章
张永德教授量子力学讲义 第八章
k 0, 1, 2,
(8.3)
列出不同 k 值的方程就得到一个线性联立方程组。 方程组(8.3)中，未知数列是 cn ，未知本征值是 E 。方程组(8.3) 就是定态微扰论的基本方程组， 它们是下面进行各阶微扰近似计算的 出发点。注意，至此还未做任何近似。
179
通常，微扰项 H 中总含有一个小参量，以表示此项是一个微扰。 在下面进行逐阶近似时， 为便于鉴别及合并含有这个小参量同一幂次 的同阶近似，不失一般性，可设想对此小参量乘以无量纲数 。将
n
k 1, 2,
乘开此式后，为近似计算的自恰性，仍然略去二阶小量，只保留到一 阶小量，得
E E
0 m 0 k
mk
mn H km ck Em mk H kn
1 1 n
当 k m ，得
1 0 * 0 m 0 H m 0 m Em H mm H m dr
(8.4)
1 2 其中， E 1 和 c n 含 一次幂项，为一阶小量； E 2 和 c n 含有 2 ，为二
0 的一阶和二阶修正，等等。 阶小量。它们分别表示微扰 H 对 E 0 和 c n
0 , m 0 上， 系统处于 H 0 的某个定态 E m 这里 m 假定 H 扰动之前，
0 1 2 Em Em Em Em 0 1 2 c n c n c n c n ,
(8.12)
代入基本方程组(8.3)式，保留到二阶小量，得：
E E c c c E c c E c H c c
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
量子力学 第8章-2-(第23讲)
北京大学量子力学教材 第八章 下
ˆ 与 t 有关，体系原处于 H ˆ (r, P ˆ ) ，随 t 加一微动 V( t ) H 0
第八章
量子力学中的近似方法
第八章
§8.2 变分法 2
目 录
(1) 定理 3 (2) Ritz 变分法 ............................... 3
§8.3 量子跃迁 .............................. 5
(1) 含时间的间的微扰论 (2) 跃迁几率
............................ 6
（这里 ( ) 是已归一化的）
* ( )(
2 2 e 2 2 2 e 2 1 2 ) ( )d r1d r 2 2 r1 2 r2 e 2 z e 2 z e 2 ) ) ( ( ( )d r1d r 2 r1 r 2 r2 r1
由此类推
1 t t t (m) ak (t) ( )m t 0 dt m t 0m dt m 1 t 02 dt1 n i m1m 2 m m 1
Vnn m1 ( t m )e
i nn m 1 t m i n1k t 1
Vn m1n m2 ( t m 1 )e
z 5 16
E 0 H ( z
5 5 e 2 ) ( z ) 2 16 16 a 0
(实验值为 78.86eV)
量子力学曾谨言第八章第九章习题详解
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态 （解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是： λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是： βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ 前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi e c 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi e c 212-=最后得x σˆ的本征函数： )(21βαδ+=i e x 对应本征值1)(22βαδ-=i e x 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi e x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn 是),(ϕθ方向的单位矢。
量子力学讲义第八章概要
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。
1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =±；(2)、每个电子具有自旋磁矩s μ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mcμ=-，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±=± 2B e mcμ=为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l（1） 无经典对应量 有经典对应量（2） 2z s =±22(1)l l l =+，z l m = （3） szz e s mcμ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。
如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。
§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数ˆˆˆˆ(,)FF r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆss i s ⨯= 轨道角动量ˆl 自旋角动量s ˆˆˆl l i l ⨯= ˆˆˆss i s ⨯= ˆˆˆ[,]x y zl l i l = ˆˆˆ[,]x y z s s i s = ˆˆˆ[,]y z xl l i l = ˆˆˆ[,]y z x s s i s = ˆˆˆ[,]z x yl l i l = ˆˆˆ[,]z x y s s i s = 2ˆˆ[,]0i l l = 2ˆˆ[,]0i ss = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±ħ/2 两个值， 所以(1)ˆˆˆ,,x y z ss s 三个算符的本征值都是有两个2±； (2)它们的平方就都是22224x y z s s s ===；(3)2ˆs 的本征值为：222223ˆˆˆˆ4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+， ,2,1,0=l 2223(1)4s s s =+= 21=⇒s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2z s s m =±= z l m =， ,2,1,0±±=m 21±=⇒s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写(,)z r s ψψ=由于 s z 只取 ±ħ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量12()(,)2()(,)2r r r r ψψψψ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 写成列矩阵(,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭规定列矩阵第一行对应于s z = ħ /2， 第二行对应于s z = - ħ /2。
量子力学第八章绝热近似与Berry相因子
|Ψptqy
“
|my
e´
i ℏ
; Emt
`t ě 0˘
2 / 32
绝热过程：
所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程.
1 绝热过程：
假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy，
ÿ | nptqy x nptq| “ 1
n
因此，含时薛定谔方程
iℏ
B Bt
|Ψptqy
“
Hˆ ptq
|Ψptqy
的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加：
ÿ |Ψptqy “ ˜cnptq |
n
ÿ nptqy “ cnptq |
n
nptqy
exp
„ ´
i ℏ
żt
0
Enp
qd
ȷ
5 / 32
Enptq ´ Emptq
所以，cmptq 服从的微分方程表达为：
pm ‰ nq
c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9mptqy
´ ÿ cnptq x
n‰m
mptq|Hˆ9 ptq| nptqy Enptq ´ Emptq
e´
i ℏ
şt
0
rEn
p
q´Emp
qsd
到此为止，cmptq 满足的方程是精确的.
绝热近似：
›
›
ℏ
x
›
› ›
En
ptq
´
Em
ptq
量子力学第八章微扰论
(1) mn
准确到一阶微扰的体系能量：
( 0) ( 0) ( ( ˆ ( 1) ( 0 ) En En0 ) En1) En n | H | n
(1) (0) (0) (1) ˆ (1) akn [ Ek En ] mk H mn En mn
(1 ( ( ( ˆ (1 amn) [ Em0 ) En0 ) ] H mn) En1) mn
考虑两 种情况
1. m = n 2. m ≠ n
a
( ( ( ˆ (1 ˆ En1) H nn) n0 ) | H (1) | n0 )
左乘 <ψm (0) |
考虑到本征基矢的正交 归一性：
k 1
(1 ( ( ( ( ( ( ( ˆ akn) [ Ek( 0) En0) ] m0) | k( 0) m0) | H (1) | n0) En1) m0) | n0)
k 1
微扰论
§1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论
§1
精确解析解：
引
言
（一）近似方法的重要性
（1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）中心力场问题。
实际物理问题，通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的，薛定 谔方程能有精确解的情况很少。
因此，在处理复杂的实际问题 时，近似解方法就显得特别重要。
n
= 0。
|
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（8-7）
h 6.623 10 34 J s 为普朗克常量； 式中， h / 2 为约化普朗克常量， 2 v 为角频率； k 2 / 为波数，（8-7）式是德布罗意关系。
基本原理
微观粒子的量子属性
不确定原理
•对于微观粒子有些物理量不能同时测定。 最
经典的是，粒子不可以同时具有精确的位置和 • 动量，如果同时测量粒子的坐标和动量的精度分 别为 r , p ，那么：
概述
1905年爱因斯坦和斯莫路霍夫斯基证明布朗 运动是由于液体分子无规则撞击所产生的涨落 不定的力作用的结果。
随后，他们还提出一种准热力学方法来计 算围绕平均值的涨落。这种方法的优点是可以 计算那些没有微观量对应的宏观量的涨落。
概述
19世纪末，热力学与经典统计物理学在 处理黑体辐射问题上陷入困境。为了摆脱这 一困境，1900年普朗克提出量子论，引入了 能量不连续的量子假说。普朗克的量子论成 功解释了黑体辐射能谱曲线，并最终促成量 子力学的建立。随着量子力学的建立，人们 也将统计方法应用于量子系统，即遵从量子 力学规律的系统。这种以量子力学为基础而 建立的统计物理学称为量子统计物理学。
粒子运动状态的经典描述
在概述里说过，统计物理学从宏观物质系统是 由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏 观特性是大量微观自理行为的集体表现，宏观物理 量是相应微观物理量的统计平均值。 首先，介绍如何描述粒子的运动状态。这里说 的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元。例如： 气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等 等。
2 1 p p A 2 m 2 x 2 x 2m 2 2m 2 2
（8-23）
粒子运动状态的经典描述
（3）转子 几个具体的例子
质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O 时所作的运动。
2 2 p L 1 2 p 2 2I 2I sin
ˆ 2 s s 1 2 S s s
ˆ z s s S
（8-17） （8-18）
基本原理
微观粒子的量子属性
全同粒子
在量子力学中，由于物质的波动性，依靠跟踪轨 迹的办法来辨认同类粒子是不可能的。全同粒子具有 完全不可分辨性。对于全同粒子体系，交换任意两个 粒子所得到的量子态都是相同的。
概述
在统计物理学中，物质的宏观性是组成物质 的大量微观粒子运动的平均性质。因此，物质的 宏观性质必然会出现涨落现象。这种涨落现象可 以在光的散射和布朗运动等现象中观察出来。 1881年瑞利利用分子密度的涨落引起分子散射 解释了天空呈现蓝色的原因；
1827年英国植物学家布朗发现悬浮在水中的花 粉（布朗粒子）在不停地做无规则运动（布朗运 动）；
基本原理
宏观物体的统计规律
可见，系综是系统的集合，系综中每一个 系统都是相同的。
例如：由纯气体组成的 系统构成的系综；由混 合气体组成的系统构成 的系综
微观量的统计平均值就是它的系综的平均 值，而系统按微观状态的分布函数（即概率） 就是系综的分布函数。
基本原理
宏观物体的统计规律
证明统计物理学给出的规律是完全可靠的
概述
热力学和统计物理学都是关于热现象的理论的 科学，但研究方法却截然不同。热力学不涉及物 质的微观结构，只是从它的基本定律出发，通过 严密的逻辑推理研究物质的宏观热性质。统计物 理学则从物质的微观结构出发，应用微观粒子运 动的力学定律和统计方法研究物质的热性质。因 此，热力学理论具有高度的普遍性和可靠性；统 计物理学则可深入热现象本身，使热力学理论获 得更深刻的意义，两者相辅相成。
，一个表征宏观物体的物理量 相对涨落的大小与此 宏观物体所含粒子数N的平方根 同数量级，即
u
u
2
1
N
（8-5）
基本原理
宏观物体的统计规律
证明统计物理学给出的规律是完全可靠的
由此可见，物理量的相对涨落随着其所表征的宏 观物体的尺寸增加而迅速减少。例如，对1mol物质有
N 10 ,
23
u
几个具体的例子
利用薛定谔方程研究微观粒子的几中基本运动形式 （1）自由粒子
2 2 d 1 d ˆ H 2 2 m dx 2m i dx 2
（8-14）
基本原理
微观粒子的量子属性
几个具体的例子
（2）线性谐振子
p 1 H m 2 x 2 2m 2
2
（8-15）
u
2
10 11
（8-6）
这个值是及其微小的。这就是为什么在充分长的时间 间隔内，实验上观察到的任何一个表征宏观物体的物 理量实际上都是常数（等于它的平均值），而极少表 现出任何明显偏差的原因。所以，统计物理学给出的 规律是完全可靠的。
基本原理
微观粒子的量子属性
微观粒子的 波粒二象性
经典理论中，物质存在的两种形式：粒子和波。 微观粒子这种同时具有波动和粒子双重性的特点 称为微观粒子的波粒二象性。 波有波长和频率，粒子具有能量和动量，它们的 h 关系如下：E =hv , p k
（8-25）
粒子运动状态的量子描述
（2）转子
几个具体的例子
l
l l 1 2I
2
l 0,1, 2
（8-26）
粒子运动状态的量子描述
（3）自旋角动量 电子在 外磁场中的能量为
几个具体的例子
e B B 2m
（8-27）
粒子运动状态的量子描述
（4）自由粒子
一维自由粒子能量的可能值为
（8-24）
粒子运动状态的量子描述
在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
粒子运动状态的量子描述
（1）线性谐振子
几个具体的例子 角频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为 1 n n 2
n 0,1, 2,
粒子运动状态的经典描述
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运 动的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运 动的描述称为量子描述。
粒子运动状态的经典描述
设粒子的自由度为r。 粒子在任意时刻的力学 运动状态由粒子的r个广 义坐标 q1 , q2 , , qr 和与之共轭的r个广义动量 p1 , p2 , , pr 在该时刻的数值确定。 粒子能量 是其广义坐标和广义动量的函数 ： q1 , , qr ; p1 , , pr ，如果存在外场， 还是 描述外场参量的函数。
基本原理
宏观物体的统计规律
统计物理学认为，所有宏观上可测量的物理量 都是相应微观量的统计平均值，即若一个系统 有n个微观状态，每个微观状态出现的概率是 i 那么一个微观量u的统计平均值为
u i ui
i 1
n
（8-1）
即宏观上所测量到的值。
基本原理
宏观物体的统计规律
统计物理学的一个基本任务就是确定任何 依赖于热力学系统微观状态的物理量取不同值 的概率（或统计权重）。在计算物理量的统计 平均值时，为了方便起见，常引入一大群系统 ，它们有着相同的宏观条件，但处在不同的微 观状态。所有这样的系统所组成的集合称为统 计系综或系综。
r p
（8-8）
式（8-8）叫做不确定（或测不准）关系式
基本原理
微观粒子的量子属性
波函数 算符 薛定谔方程
微观世界的量子理论导致了对物质运动一种完全 不同的描写。在量子力学的数学表述中，有几个基本 的假定： （1）量子系统的状态用波函数描写 一个量子 系统的状态（量子态）由一个单值、 连续、有界、一般是平方可积德函数 r , t 描写， 此函数模量平方代表系统在空间的概率分布。称为 系统的波函数，
概述
与经典粒子的可区分性不同，量子力学中， 相同粒子是不可区分的（粒子的全同性）。自 然界的微观粒子有两类：费米子和玻色子。它 们遵守不同的统计规律。1924年玻色与爱因斯 坦创立了适用玻色系统的统计法。1926年费米 与狄拉克创立了适用费米系统的统计法。它们 是近独立全同粒子组成的系统所遵从的基本统 计规律。尔后，人们又把量子场论技巧移植到 统计物理中，使量子统计理论更臻完备。
由于统计物理学给出的只是表征宏观物体性质的 物理量的平均值，因此，在某一个时刻观测到的值与 平均值之间有可能存在偏差，这一偏差叫做这个量的 涨落或起伏。 一个量u的线性偏差的平均值为零，即
u u u u u 0
（8-2）
因此，应该取二次偏差的平均值（均方涨落）作 为偏差大小的度量，即
n
基本原理
微观粒子的量子属性
波函数 算符 薛定谔方程
（2）量子系统的力学量用算符表示 力学量f在状态中的平均值定义为 ˆ d f f
（8-10）
在量子力学中，两个最基本的算符是坐标与动 量所对应的算符，即
ˆr r
ˆ P i
i
j k （8-11） x y z
粒子运动状态的经典描述
（1）自由粒子 几个具体的例子
自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子
1 2 2 2 p p p x y z 2m
（8-22）
粒子运动状态的经典描述
（2）线性谐振子 几个具体的例子
质量为m的粒子在弹性力F的作用下，将沿x轴 在原点附件做简谐振动，称为线性谐振子。
量子力学与统计物理
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第八章 量子统计物理基础
概述
统计物理学是从物质的微观结构出发 ， 即从组成它们的原子、分子等微观粒子 的运 动及其相互作用出发，研究宏观物体 热性质 的科学。 热力学与统计物理学都是研究物质热性 质和物质热运动规律的科学。热力学是关于 热现象的宏观理论，而统计物理学是关于热 现象的微观理论。