关于晶体衍射的劳厄方程和布拉格反射公式的关系
说明劳厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程之间关系
说明劳厄方程、布拉格方程、衍射矢量方程之间关系劳厄方程、布拉格方程和衍射矢量方程是物理学中重要的方程，它们在解释和描述物质波的衍射现象和晶体结构方面发挥着重要作用。
下面我将对这三个方程的关系进行详细阐述。
首先，我们先介绍劳厄方程。
劳厄方程是描述物质波经过衍射时的现象的方程，它表达了衍射角和衍射波长之间的关系。
根据劳厄方程，当一束光通过一道狭缝或物体表面时，光将向四面八方进行衍射，形成弯曲的波前。
劳厄方程的数学表达式为：d*sin(θ) = m*λ，其中，d表示衍射物体的周期性结构，θ表示衍射角，m表示干涉级，λ表示衍射波长。
劳厄方程是了解衍射现象的基础，通过它可以计算出不同波长的光在特定结构上的衍射情况，为进一步研究衍射现象提供了定量的依据。
接下来是布拉格方程。
布拉格方程是描述X射线或中子衍射的现象的方程，它与劳厄方程非常相似，不同的是其针对的是具有一定晶体结构的物体。
根据布拉格方程，当入射X射线或中子与晶体中的原子或点阵相互作用时，会发生衍射现象。
衍射波的干涉效应会形成衍射条纹，并且这些条纹之间会存在干涉最大值和最小值的位置差异。
布拉格方程的数学表达式为：n*λ = 2*d*sin(θ)，其中，n为衍射级数，λ为波长，d为晶格常数，θ为衍射角。
布拉格方程与劳厄方程的主要区别在于，布拉格方程侧重于描述晶体的结构和周期性，而劳厄方程侧重于描述物体的周期性结构。
最后是衍射矢量方程。
衍射矢量方程是一个更为复杂的方程，它综合了劳厄方程和布拉格方程的内容，并进一步描述了衍射的矢量性质。
根据衍射矢量方程，我们可以将衍射现象看作是一个矢量的相位干涉过程，即不同衍射波的矢量和决定了衍射的结果。
衍射矢量方程可以用于描述波导模式、光纤衍射和晶体衍射等各种情况。
衍射矢量方程的具体形式与具体问题的复杂性有关，其一般形式为：p + G = k，其中，p是衍射矢量，G是布拉格矢量，k是波矢量。
通过求解衍射矢量方程，我们可以得到衍射矢量的取值范围和衍射的特性，进一步深入了解衍射现象的本质。
晶体对X射线的衍射是所有原子的散射波发生相长干涉时产生的最大
当 k ' k 时，即入射方向与衍射方向接近相同时，
G0
原子散射因子：
sin(G ) 1 G
f j j ( )4 2 d Z
0
(Z为原子中电子数目)
§1.9 实空间中直接观测
扫描隧道显微镜 （STM）
• 1982年，发明了扫描隧道显微镜(STM)
* 宾尼(G. Binnig)与罗雷尔(H. Rohrer)
dV Gh 0
当 k ' k Gh(劳厄方程)时， 散射波的振幅为
k k k Gh
1 (G h )
( r ) e iG h r dV
F dV Gh (Gh )V
晶体对X射线的衍射是所有电子的散射波发生相长干涉时产
S Gh f j e
j
S
i 2 ( hu j kv j lw j )
f 1 e
i h k l
0, h k l 奇数 2 f ，h k l 偶数
—— 衍射面指数之和(h+k+l)为奇数的衍射相消， 不会出现(100)、(300)、(111)等衍射峰
* 人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质 表面的排列情况。 这是电子显微技术的一个重要
里程碑
* 1986获诺贝尔物理奖
• STM利用量子力学的隧道效应
* 将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，当
针尖与样品距离非常接近(0.1nm)时, 在外加电场作 用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描
电子产生的散射 )
第二章 晶体中的衍射part1
• 晶体中原子的周期排列，使得各原子的散 射波有固定的位相差，散射波之间将产生 相干迭加—晶体衍射。（劳厄方程、布拉 格反射）
• 晶体中衍射波的强度与晶体中原子的种类 及相对位置分布有关。（原子散射因子、 结构因子）
• 由衍射光产生的方向及强度的分布，可推 知晶体结构的信息—晶体结构分析。
2.2 晶体的倒格子与布里渊区
2.2.1倒格子
晶※ ※格坐 波的标 矢周空空期间间性（（描kr写空空方间间式））: 的的布倒正格拉格伐子子格表子示表示
Reason?
∵晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子 的相互作用 → 都是在波矢空间进行描写的 晶格振动形成的格波，X 射线衍射均用波矢来表征
∴需要学习倒格子和布里渊区！
倒格子点阵
在倒格子中，以某个倒格点为原点，作出它到其他所有倒格点 的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成由内至外体积相 等的区域，即为布里渊区（缩写为B.Z），最中心的一个区域， 称为第一布里渊区，其他以此类推。
2.与晶体中一族晶面相 对应； 3.是与真实空间相联系的 傅里叶空间中点的周期性 排列； 4.线度量纲为[长度]-1
已知晶体结构如何求其倒格呢？
晶体 结构
正格
正格 基矢
倒格 基矢
倒格
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 ,a2 ,a3 b1 ,b2 ,b3
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
其中 a1 , a 2 , a 3是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点的
第二章晶体的X射线衍射知识分享
电子衍射
1954 化学
鲍林Linus Carl Panling
化学键的本质
1962 化学
肯德鲁John Charles Kendrew 帕鲁兹Max Ferdinand Perutz
蛋白质的结构测定
1962
生理医学
Francis Maurice
H.C.Crick、JAMES h.f.Wilkins
d.Watson、
函数，仍可将波矢 q 限制在简约区或第一布里渊区中
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 面上周期对应的两点间应满足关系：
Kh q qKh q
q
q
0
Kh
2
2
qKh q
2
2q•Kh Kh 0
q•
Kh
2
Kh
Kh
—— 布里渊区边界面方程
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。
布里渊区的几何作图法： ❖ 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一
简约区
sc
a
sc
2
a
4
bcc
a
fcc
a
由6个{100}面 围成的立方体
由12个{110}面 围成的正12面体
fcc
a
4
bcc
a
由8个{111}面和6个 {100}面围成的14面体
体心立方晶格的倒格子与简约区
面心立方晶格的倒格子与简约区
§2-3 晶体的衍射条件
1 劳厄方程(衍射方程)
两个基本假设：
不同方向的反射线。 θ—布拉格角（入射线与晶面） 半衍射角
§2-4 原子散射因子和几和结构因子
1 原子散射因子： 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散 射波的振幅之比f，是原子散射能力的度量，其大小依赖 于原子内电子的数目及分布（r）。
第二章 晶体衍射
( a 2 a 3 ) [ a 3 ( a 1 a 2 )] a 1 [ a 1 ( a 1 a 2 )] a 3 { 3 ( 2 ) 3 [ a 1 ( a 2 a 3 )]
X射线在相邻两个晶面上的反射
所以
2 d sin n
（2.1.2）
这就是布拉格定律，其中 n 是衍射级数，它表示同一族晶面，在不同入 射角下的衍射。
2. 布拉格定律成立的条件
反射角是受到严格的限制，只有满足式（2.1.2）的那些反射 角才能观察到强的反射束。布拉格定律成立的条件是
2 d
ij 1
（i,j=1,2,3）
R l l1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
G h R l ( h1b1 h 2 b 2 h3 b3 ) ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3 ) 2 ( h1l1 h 2 l 2 h 3 l 3 )
在固体中，X 射线与原子的电子壳层相互作用，电子吸收并重新 发射X射线，重新发射的 X 射线可以探测得到，而原子核的质量相对 较大，对这个过程没有响应。X射线的反射率大约是10-3~10-5量级，在 固体中穿透比较深，所以 X 射线可以作为固体探针。
1. 布拉格定律的表述
1912年劳厄（ue）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，
在数学上，可以由正格子定义倒格子。根据基矢 定义三个新的矢量
a1 , a 2 , a 3
2 b1 2 b2 2 b3
(a2 a3 )
( a 3 a1 )
（2.2.2）
( a1 a 2 )
是正格子原胞体积，称 b1 , b 2 , b3
晶体X射线衍射学衍射原理
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反射级数
n为反射级数。
● 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsinθ有可能为波长的两倍或者三
倍，甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。所以，对于一个固定 波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够 大。
这样，把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d， n(hkl)晶面间距是d/n。因此，反射级数是针对实际晶面（hkl） 而 言，对于虚拟晶面，例如n(hkl)，只有一级反射。
共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个
参数之间还存在着一个函数关系：
F(α，β，γ)＝0 例如当α，β，γ相互垂直时，则有
α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方
程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。
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为了获得衍射图必须增加一个变量
● 可采用两种办法：
1 一种办法是晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 固定），只 让X射线波长改变（λ改变）； 即：变λ，晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 不变）
干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射 线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍 射看成反射，是布拉格方程的基础。 ●但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。X射线的原 子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角 度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反
射并不是任意的，只有当θ 、λ、d三者之间满足布拉格
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● 根据图示，光程差：
● 干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整
布拉格方程
一、劳厄方程：波长为λ的一束X射线，以入射角α投射到晶体中原子间距为a的原子列上（图1）。
假设入射线和衍射线均为平面波，且晶胞中只有一个原子，原子的尺寸忽略不计，原子中各电子产生的相干散射由原子中心点发出，那么由图1可知，相邻两原子的散射线光程差为：若各原子的散射波互相干涉加强，形成衍射，则光程差必须等于入射X射线波长λ德整数倍：式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。
入射X射线的方向S0确定后，则决定各级衍射方向α/角可由下式求得：由于只要α/角满足上式就能产生衍射，因此，衍射线将分布在以原子列为轴，以α/角为半顶角的一系列圆锥面上，每一个H值对应于一个圆锥。
在三维空间中，设入射X射线单位矢量S0与三个晶轴a，b，c的交角分别为α，β，γ。
若产生衍射，则衍射方向的单位矢量S与三个晶轴的交角α/，β/，γ/必须满足：a（COSα/－COSα）= Hλb（COSβ/－COSβ）= Kλc （COSγ/－COSγ）= Lλ式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴方向的晶体点阵常数。
上式由劳厄在1912年提出，称为劳厄方程，是确定衍射方向的基本方程。
由于S 与三晶轴的交角具有一定的相互约束，因此，α/，β/，γ/不是完全相互独立，也受到一定关系的约束。
图1 一维原子列的衍射二、布拉格方程：X射线在传播途中，与晶体中束缚较紧的电子相遇时，将发生经典散射。
晶体由大量原子组成，每个原子又有多个电子。
各电子所产生的经典散射线会相互干涉，使在某些方向获得加强，另一些方向则被削弱。
电子散射线干涉的总结果被称为衍射。
可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。
如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的必要条件是：这些波或具有相同的波程（周相），或者其波程差为波长的整数倍（相当于周相差为2π的整数倍）。
排列在一直线上无穷多的电子称为电子列。
早期的研究指出，当X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些力向上获得加强。
固体物理重点知识点总结——期末考试、考研必备!!
固体物理概念总结——期末考试、考研必备！！第一章1、晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。
晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。
金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。
晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。
2、晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。
3、单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。
4、基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。
倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
5、原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。
6、晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。
7、原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。
8、布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。
9、简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。