衍射概念与布拉格方程
用布拉格定律描述X射线在晶体中的衍射几何时，是把晶 体看作是由许多平行的原子面堆积而成，把衍射线看作是 原子面对入射线的反射。
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布拉格公式的导出
几项假定： 晶体是理想完整的。即不考虑晶体中存在的缺陷和畸变； 忽略晶体中原子的热振动。即认为晶体中的原子静止在空 间点阵的结点上； 原子中的电子皆集中在原子核中心； 入射X射线束严格平行并有严格的单一波长； 晶体有无穷多晶面。
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布拉格公式
When x-rays are scattered from a crystal lattice, peaks of scattered intensity are observed which correspond to the following conditions:
The angle of incidence = angle of scattering. The pathlength difference is equal to an integer number of wavelengths.
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衍射的概念 与布拉格方程
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X射线衍射
1912年，劳厄想到，如果晶体中的原子排列是有规则 的，那么晶体可以当作是X射线的三维衍射光栅。 X射线波长的数量级是10-8cm ,这与固体中的原子间距 大致相同。果然试验取得了成功，这就是最早的X射 线衍射。
劳厄
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X射线衍射
晶体产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子分布规 律。概括地讲，一个衍射花样的特征，可以认为由两个 方面的内容组成:
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布拉格公式的导出
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布拉格公式的导出
一个原子面的反射
n θ a
m θ b
δ =nb-ma=abcosθ -abcosθ =0
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布拉格公式的导出
多个原子面的反射
P1
θ
O’ θ
θθ B
A P2
d
O
δ =OA+OB=2dsinθ=nλ
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布拉格公式的导出
布拉格公式（ Bragg's Law ）
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X射线衍射
X-rays interact with the atoms in a crystal.
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波的干涉
波的干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振 动加强，某些区域的振动减弱，而且振动加强和振动 减弱的区域相互隔开的现象叫做波的干涉．
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波的干涉
如图两个 个波的位相相同，两个波相互加强，合成波振幅增大，合成波振幅 等于两个波原振幅的叠加。
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Bragg equation
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Bragg equation
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Bragg equation
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Applications of Bragg's Law
In X-ray diffraction (XRD) the interplanar spacing (d-spacing) of a crystal is used for identification and characterization purposes. In this case, the wavelength of the incident X-ray is known and measurement is made of the incident angle (Θ) at which constructive interference occurs. Solving Bragg's Equation gives the d-spacing between the crystal lattice planes of atoms that produce the constructive interference.
2dsinθ=nλ
derived by the English physicists Sir W.H. Bragg and his son Sir W.L. Bragg in 1913 to explain why the cleavage faces of crystals appear to reflect X-ray beams at certain angles of incidence (Θ, λ). The variable d is the distance between atomic layers in a crystal, and the variable lambda is the wavelength of the incident X-ray beam ,n is an integer.
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波的干涉
在B方向上，波程差ΔB = (n +1/ 2)λ (n = 0,1,2,3…)，两波的位相不同，一 个波的波峰与另一个的波谷重叠，合成波振幅为零。如图b。
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X射线的衍射
1912 年英国物理学家布拉格父子从X 射线被原子面“反 射”的观点出发，提出了非常重要和实用的布拉格定律。
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X射线衍射与可见光反射的区别
X射线衍射具有“选择反射”特性。即只有当λ、θ、 d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射；可见 光可以在任何入射角反射。 X射线衍射光束是晶体中深层全体原子散射线的干 涉结果；可见光的反射只在表面进行。 X射线衍射光束的强度远较入射光束微弱；约1%。 而可见光的镜面反射效率很高，对铝、铜、银可达 50-80%。
需要注意的是X射线的反射角不同于可见光的反射 角，X射线的入射线与反射线的夹角永远是2θ。
衍射线在空间的分布规律。------由晶胞的大小、形状 和位向决定; 衍射线束的强度。------取决于原子的种类和它们在晶 胞中的位置。
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与 体结构之间建立起定性和定量的关系。 我们将首先讨论衍射光束按方位分布的规律，即找出 衍射线束在哪些方位上能够出现的规律。
x射线衍射的原理及应用
X射线衍射的原理及应用1. 原理介绍X射线衍射是一种利用X射线与物质相互作用的方法，通过测量X射线在晶体上的衍射现象来研究物质的晶体结构和晶体中原子的排列方式。
X射线由于其波长与普通光的波长相比非常短，因此能够穿透物质，将晶体的信息衍射出来。
X射线衍射的原理主要包括布拉格方程和结构因子。
1.1 布拉格方程布拉格方程是X射线衍射的基本方程，它描述了X射线的衍射现象。
布拉格方程的数学表达式为：$n\\lambda = 2d \\sin \\theta$在这个方程中，n表示衍射级数，$\\lambda$表示X射线的波长，d表示晶体中的晶面间距，$\\theta$表示X射线与晶面的夹角。
1.2 结构因子结构因子是描述晶体中原子排列和结构的一个重要参数。
结构因子的大小和复数形式代表了晶体中的原子的位置和分布。
结构因子的数学表达式为：$F_{hkl} = \\sum f_j e^{2\\pi i (hx_j + ky_j + lz_j)}$在这个方程中，Fℎkl表示晶体中ℎkl晶面的结构因子，f j表示第j个原子的散射因子，x j,y j,z j表示第j个原子在晶体中的坐标。
2. 应用介绍X射线衍射具有广泛的应用领域，主要包括材料科学、结晶学和生物学等。
2.1 材料科学在材料科学中，X射线衍射可以用来研究材料的晶体结构、晶格畸变以及晶体的组成成分等。
通过测量X射线衍射图样的特征峰，可以确定材料的晶体结构和晶面间距，从而了解材料的物理性质和化学反应。
2.2 结晶学结晶学是研究晶体的科学，而X射线衍射是结晶学研究中最常用的方法之一。
借助X射线衍射，可以确定晶体的晶胞参数、空间群和晶胞对称操作等。
2.3 生物学在生物学中，X射线衍射可以用来研究生物大分子（如蛋白质和核酸）的结构。
通过对生物大分子晶体的X射线衍射图样进行分析，可以获得生物大分子的高分辨率三维结构信息。
这对于了解生物大分子的功能和生物化学过程具有重要意义。
X射线衍射分析原理
X射线衍射分析原理X射线衍射分析是一种重要的材料表征技术，其原理基于X射线与晶体相互作用时发生的衍射现象。
这种技术可以用来确定物质的结晶结构、晶体畸变、晶粒尺寸、相对结晶取向以及晶体缺陷等信息。
下面我将详细介绍X射线衍射分析的原理。
1.X射线衍射的基本原理X射线是一种电磁波，其波长比可见光短得多，因此它能够穿透晶体射出到另一侧。
当X射线穿过晶体时，会与晶体内的原子相互作用，发生散射。
如果晶体具有周期性排列的原子结构，那么经过散射后的X射线将会发生衍射现象。
2.布拉格衍射原理布拉格衍射原理是X射线衍射分析的基础。
根据布拉格方程，当入射光束与平行晶面之间的入射角等于出射角时，X射线会以构成等边三角形的一系列角度散射出来。
这些出射角对应的散射光将相干地叠加在一起，形成衍射图样。
布拉格方程可以表示为：n·λ = 2d sinθ其中，n为衍射级别，λ为入射X射线的波长，d为晶体面间的距离，θ为入射角。
根据布拉格方程，通过测量入射角和衍射角的大小，可以计算出晶格的间距d。
3.X射线衍射仪器为了进行X射线衍射分析，需要使用特殊的仪器。
其中最常见的是X射线粉末衍射仪（X-ray powder diffraction, XRD）。
它通过将样品制成粉末并均匀散布在载体上，然后用X射线照射样品，测量出射的衍射波，进而得到衍射图案。
X射线衍射仪由X射线管、样品支架、光学系统、检测器和计算机等组成。
X射线管产生X射线，经过光学系统聚焦后通过样品。
样品中的晶体结构会散射入射的X射线，散射波经过光学系统再次聚焦到检测器上，通过检测器的信号可以得到衍射图案。
根据衍射图案，可以通过相关数据分析获得样品的结晶结构和特征。
4.衍射图案分析衍射图案是X射线衍射分析的核心结果。
通过衍射图案的分析，可以获取材料的晶格常数、晶体结构、晶格取向和晶体畸变等信息。
衍射图样的主要特征是峰（peak），峰对应于衍射波的散射角度。
每个峰的位置、强度和形状都包含了样品的结构信息。
x射线衍射原理
s0 、 s 及R*HKL构成等 腰三角形， s0 的终点 是倒易原点， s 的终点
是R*HKL的终点，即倒 易点， s0 与 s 夹角为 2，为衍射角。
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－ X射线衍射原理 第一节 衍射方向
厄瓦尔德图解步骤
具体步骤见书P.71。下图为某晶体(001)*倒易面 上倒易点与反射球相交截情形
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的各种问题，必须在 衍射现象与晶体结构之间建立关系。
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－ X射线衍射原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程
反射线光程差： ＝ ML +LN= 2dsin
干涉一致加强的条件为： ＝ n
得到了“选择反射”的结 果
3、产生衍射的极限条件：由布拉格方程可知，晶体中只有满足d> /2的晶面才产生衍射，所以产生的衍射线时有限的，利用此条件可判 断出现衍射线条的数目。
4、布拉格方程反映晶体结构中晶胞大小及形状，而对晶胞中原子的 品种和位置并未反映，d相同， 相同。
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－ X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度
根据汤姆逊的工作，一个电子对入射
强度为I0的偏振X射线（电场矢量E0只沿 一个固定方向振动）的散射强度Ie为：
Ie
I0
e4 R 2m 2c4
sin2φ
对于非偏振X射线，将其电场矢量E0分解为垂直的两束偏振光，如 图，E0x和E0z，且 I0 = E02 = E0x2 + E0z2。对于完全非偏振光有： E＝ E0z，所以E0x2 ＝ E0z2＝ E02 /2 ，即I0x=I0z= I0 /2。因而有：
固体化学X射线衍射布拉格方程
金属Fe的立方晶胞参数 的立方晶胞参数a=2.860 Å，求 例5: 金属 的立方晶胞参数 ， d110， d200， d211。 当 CuKα1 辐射 （ 辐射（ ， ， 。 λCuKα1 = 1.5406 Å）入射到该晶体时，计算 ）入射到该晶体时， 衍射面110, 200, 211对应的 对应的Bragg角。 衍射面 对应的 角
−1
干涉面 干涉面指数 = 1 1 0 干涉面指数= 2 2 0 干涉面指数 干涉面 干涉面指数 = 3 3 0 干涉面指数 干涉面指数= 4 4 0 干涉面 干涉面指数 = 5 5 0
2d(hkl)sinθn=nλ θ λ
2dHKL sin θ = λ
(110) n=5 (110) (110) n=3 (110) n=2 n=1 (110) n=4
2θ θ
550 n=1 110 220 330 440
2θ θ
（4）布拉格方程的应用 ） 布拉格方程 2dsinθ = n λ 表达了反射线 ( 或入射线）与晶面的夹角（ 或入射线）与晶面的夹角（ θ ）、晶面间 ）、入射线波长 距（d）、入射线波长（ λ）的相互关系。 ）、入射线波长（ ）的相互关系。
+ k2 + l2 1 h = d2 a2
2
立方晶体，任何平面 立方晶体， 间距公式: 组(hkl)的d间距公式 的 间距公式
已知 a=2.860 Å，则 d110 = 2.022 Å ， d200 = 1.430 Å d211 = 1.168 Å
已知λ 已知λ=1.5406Å, d110=2.023Å， ⇒ θ110 = 22.38° ， ° d200=1.430Å，⇒ θ200 = 32.58° ， ° d211=1.168Å，⇒ θ211 = 41.26° ， ° 2θ=44.77° θ ° d=2.023Å 110 hkl=110 2θ=82.53° θ ° d=1.168Å hkl=211 2θ=65.17° θ ° d=1.430Å 200 hkl=200
一文看懂X射线衍射仪XRD基本原理
一文看懂X射线衍射仪XRD基本原理X射线衍射仪（X-ray diffraction，简称XRD）是一种用于研究物质结构的仪器。
它基于X射线和物质晶体间的相互作用，通过测量晶体对入射X射线的衍射现象，可以推断出晶体结构的信息。
XRD的基本原理可以概括为以下几个方面：1.X射线的产生：X射线是由高速运动的电子通过高能电压加速器加速而产生的。
当电子的速度足够高时，电子与原子核的相互作用会产生特定能量的X射线。
2.X射线的衍射：当入射X射线与晶体相互作用时，X射线会发生衍射现象。
晶体的晶格结构决定了入射X射线的衍射角度和强度分布，衍射实验可以通过观察衍射图样来分析晶体的结构信息。
3. 布拉格方程：布拉格方程是描述衍射现象的数学关系。
它可以表示为2dsinθ = nλ，其中d为晶胞间距，θ为衍射角度，n为衍射级数，λ为入射X射线的波长。
根据布拉格方程，通过测量衍射角度和已知入射X射线的波长，可以确定晶胞间距d。
4.衍射图样解析：通过观察衍射图样，可以得到衍射峰的位置和强度信息。
每个衍射峰对应一个特定的晶面族，通过解析衍射峰的位置和强度分布，可以确定晶格参数和晶体的结构。
5.数据处理：XRD实验通常会得到一系列衍射峰的位置和对应的强度数据。
为了获得更准确的晶体结构信息，需要进行一系列的数据处理和分析。
常用的处理方法包括数据平滑、背景减除、衍射峰拟合等。
XRD广泛应用于材料科学、物理学、化学等领域，通过分析物质的晶体结构，可以了解材料的晶格参数、晶体缺陷、晶体取向和结晶度等重要信息。
同时，XRD还可以用于粉末衍射、薄膜衍射、单晶衍射等不同类型的实验，以满足不同应用的需要。
总之，X射线衍射仪是一种基于X射线的仪器，通过测量晶体对入射X射线的衍射现象来研究物质的结构。
它的基本原理包括X射线的产生、X射线的衍射、布拉格方程、衍射图样解析和数据处理等方面。
XRD在材料科学和相关领域中具有重要的应用价值。
晶体X射线衍射学衍射原理
26
反射级数
n为反射级数。
● 当晶面间距（d值）足够大，以致2dsinθ有可能为波长的两倍或者三
倍，甚至以上倍数时，会产生二级或多级反射。所以，对于一个固定 波长的入射线，能不能发生二级或多级反射，依赖晶面间距是否足够 大。
这样，把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间 距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。如果（hkl）的晶面间距是d， n(hkl)晶面间距是d/n。因此，反射级数是针对实际晶面（hkl） 而 言，对于虚拟晶面，例如n(hkl)，只有一级反射。
共交线。另外，α，β，γ不是完全彼此独立，这三个
参数之间还存在着一个函数关系：
F(α，β，γ)＝0 例如当α，β，γ相互垂直时，则有
α，β，γ共计三个变量，但要求它们满足上述的四个方
程，这在一般情况下是办不到的，因而不能得到衍射图。
19
为了获得衍射图必须增加一个变量
● 可采用两种办法：
1 一种办法是晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 固定），只 让X射线波长改变（λ改变）； 即：变λ，晶体不动（即α 0 ，β 0 ，γ 0 不变）
干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射 线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。将衍 射看成反射，是布拉格方程的基础。 ●但是，衍射是本质，反射仅是为了使用方便。X射线的原 子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角 度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反
射并不是任意的，只有当θ 、λ、d三者之间满足布拉格
22
● 根据图示，光程差：
● 干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整
x射线衍射的原理。布拉格方程的物理意义。
x射线衍射的原理。
布拉格方程的物
理意义。
X射线衍射原理：
X射线衍射是指X射线在经过金属表面时被这个表面上晶体结构中的原子所反射。
它可以用来分析表面上原子结构，如原子尺寸，形状和排列模式。
X射线在金属物体表面会受到晶体晶界的局部作用而发生衍射, 由布拉格方程可计算衍射角和衍射线方向。
《布拉格方程》（Bragg equation）是X射线衍射定量测量技术的主要指标，也是测量晶体结构大小、密度和排列方式的主要方法之一。
布拉格方程的物理意义：
布拉格方程（Bragg equation）物理意义是指：在作用于正交晶体的X射线发生衍射的情
况下，衍射角和X射线的波长的各种参数之间的关系，即nλ=2dsinθ。
即n表示晶格极
化面的编号，λ表示X射线的波长，d表示晶格常数，θ表示衍射角，2d表示晶格周期。
这个方程可以用来测量晶体的晶格结构。
综上所述，X射线衍射原理是指X射线在经过金属表面时被金属表面上晶体结构中的原子
反射。
而布拉格方程是X射线衍射定量测量技术的主要指标，也是测量晶体结构的主要方
法之一，物理意义是指，在作用于正交晶体的X射线发生衍射的情况下，衍射角和X射线
的波长的各种参数之间的关系。
第14章 X射线的衍射_布拉格方程汇总
A0
sin
a
sin
a sin
P点合振动振幅为:
cos
2r0 t
sin a sin
A A0
a sin
A0
sin u
u
P点光强为:
I
I0
sin u 2
u
其中:
u a sin
补充二、 由光强公式讨论明纹和暗纹
用振幅矢量法（见后）可导出单缝衍射的
光强公式：
I
I
0
sin
2r0
t
上式对整个缝宽作积分,就得到P点的合振动为:
E
a2 a 2
A0
dx a
cos 2
x sin 2r0
t
A0 a 2 dx cos 2 x sin cos 2r0 t
a a 2
A0 a 2 dx sin 2 x sin sin 2r0 t
a a 2
2
其中 π a sin ，
1、主极大（中央明纹中心）位置 0 处， 0 sin 1 I I0 Imax
2、极小（暗纹）位置
当 k π（k 1,2,3）时，
sin 0 I 0
由
π a sin kπ
此时应有 asin k
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
W.K.Röntgen (1845-1923)
Ｘ射线管
冷却水
X 射线
K
A
K——热阴极，发射电子。A——阳极（钼、钨、 铜等金属）。A——K间数万伏的电压，阴极发射 的电子在强电场作用下飞向阳极，高速电子撞击阳 极时，x射线就从阳极发射出来。
世界上第一张x光照片
伦琴夫人的手的X光照片
XRD的原理及应用
XRD的原理及应用X射线衍射（XRD）是一种分析材料晶体结构的重要技术。
它基于X射线入射晶体表面后，通过与晶体内部原子发生相互作用而发生散射的现象进行分析。
XRD技术被广泛应用于材料科学、地质学、生命科学等领域，以揭示物质的结构和性质。
1.布拉格方程：布拉格方程是XRD技术的基本方程，用于计算散射光线的衍射角。
其数学表达式为：nλ=2dsinθ，其中n为整数，λ为入射光的波长，d为晶格间距，θ为衍射角。
当入射角等于衍射角时，散射光束会产生最大衍射强度，形成衍射峰。
通过测量这些衍射峰的位置和强度，可以推断晶体的晶格结构和晶胞参数。
2.结晶性质：晶体具有有序的内部结构，在X射线的入射下，晶体原子与入射光线发生相互作用。
根据散射光线的衍射形式（如洛仑兹衍射），可以推断晶体内部的结晶性质和原子位置。
XRD的应用：1.材料科学：XRD广泛用于材料科学研究中，可用于分析材料的晶体结构、相纯度、晶格参数等。
通过分析材料的XRD图谱，可以确定材料的晶相、晶体结构及取向特征，进而优化材料设计和制备工艺。
2.地学领域：XRD可以被用于分析地球内部的岩石和矿物成分、晶体结构及其演化历史。
通过对地质样品进行XRD分析，可以揭示地球内部的构造和组成，研究地质过程和地球演化。
3.生命科学：XRD可以被用于研究生物大分子的结构，如蛋白质和核酸。
通过XRD分析，可以确定生物大分子的原子构型和相互作用，揭示其功能和生物学过程。
4.质量控制与品质检测：XRD可用于分析材料的相纯度、晶格畸变和晶体缺陷等，以评估材料的质量和性能。
在工业生产中，XRD常用于合金的检测和质量控制，以确保产品的一致性和品质。
5.文化遗产保护：XRD可以用于分析文物的材料成分、特征和变化趋势。
通过对文物的XRD分析，可以帮助保护和修复文物，以及研究文化古物的历史和背后的故事。
总结：XRD是一种重要的材料分析技术，通过衍射现象分析材料的晶格结构和晶体参数。
XRD技术在材料科学、地质学、生命科学等领域具有广泛的应用，为研究和开发新材料、揭示地质过程和研究生物大分子提供了有力工具。
衍射的概念与布拉格方程
晶体和X射线的衍射
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散射 波互相干涉的结果，每种晶体所产生的衍射花样都反 映出晶体内部的原子分布规律。
衍射花样的特征有两方面来定义：
1）衍射线在空间的分布规律（衍射方向）
它由晶胞的大小、形状、和位向所决定。
多级衍射现象示意图
Bragg方程
2-4 Bragg方程讨论
产生衍射的条件： 根据布拉格方程，sin不能大于1，因此：
n sin 1，即n 2d
2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可 观测的衍射角下，产生衍射的条件为<2d。
三结论
1）在晶体中产生衍射的X射线波长是有限度的， 产生衍射的条件为λ<2d。
面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为 了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面 称为干涉面。干涉面的面指数称为干涉指数。
反射级数和干涉指数
晶面的多级衍射与衍射面的一级衍射示意图。
Bragg方程实例
2d sin n
Example: La2CuO2
2*theta
d
(hkl)
7.2
12.1
(001)
14.4
6.1
(002)
22
4.0
(003)
(00l)
c=12.2 A
Bragg方程实例
c 12.2 A
CuO2 LaO LaO CuO2
Bragg 方程的应用
（1） X射线光谱分析
已知晶格常数d及亮斑的位置，可求x射线的波长。
（2） X射线晶体结构分析
衍射的概念
衍射的概念： 衍射是由于存在某种位相关系的两个或两个以上 的波相互叠加所引起的一种物理现象。 这些波必须是相干波源(同方向、同频率、位相差 恒定) 相干散射是衍射的基础，而衍射则是晶体对X射 线相干散射的一种特殊表现形式。