量子力学总复习.
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习题
3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
F Cn n C d
2 2 n
EX１ 求在能量本征态 n ( x) 量和动能的平均值 Solve
L * n
2 n x sin( ) 下，动 L L
ˆx, p ˆy, p ˆ z 彼此对易，它们有共同的 Ex.1 动量算符 p
本征函数完备系 i pr 3 2 (r ) (2) p e ( r ) 描述的状态中， px , p y , pz 同时有确定值。 在 p
ˆ ,L ˆ2 ] 0 ˆ2 和 L ˆ 对易，即 [ L Ex.2 角动量算符 L z z
( 2a 0 )
2
e
e
i pr cos
r 2 sin drdd
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
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r drd cos
2 i pr
p (2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼 此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都 同时具有确定值。 ˆ, B ˆ ] =常数，A ˆ 能否有共同本征态。 ˆ 和B （4）若 [ A ˆ 和L ˆ （5）角动量分量 L 能否有共同本征态。 x y
北京化工大学本科生----量子力学复习题
北京化工大学本科生——量子力学复习题第一章绪论1. 基尔霍夫热辐射定律的使用条件是？使用条件是：热平衡辐射态，即单位时间，单位面积上发射和吸收的能量相等。
2. 假定一个人的体温37度，身高170厘米，直径为35厘米的圆柱体。
在平衡热辐射的前提下视为黑体。
问该人单位时间内向外界辐射的能量是多少？3．一个黑体在1000K时处在平衡热辐状态，在黑体表面单位时间、单位面积上发射的能量为多少？4．人们在地球表面探测到火星表面的温度为300K，人们利用何种波长的电磁波，观测火星时比较理想？5．请用量子观点解释光电效应实验中发现的规律。
6．一束单色x 射线射向某物质，人们在某一散射角ϕ进行观察时发现了波长变长的数值为2c λ，问人们观察ray x -散射的角度为多少？7．卢瑟福的原子有核模型和经典理论相矛盾的地方是什么？为什么？8．Bohr 的氢原子理论的三个假定。
9．求出氢原子玻尔理论的轨道半径的表达式。
10．求出氢原子处于定态时其能量表达式。
11．计算氢原子中电子由1-→n n 状态跃迁时谱线频率，证明∞→n 时这个频率恰好为电子在量子数为n 的圆轨道上绕转的频率。
12．根据德布罗意假定和驻波条件得出玻尔的轨道量子化假定。
13．假定地月距离为m 8104⨯，月亮围绕地球的轨道为圆形，Kg M 24106⨯=地，Kg M 22107⨯=月，2211107.6--⋅⋅⨯=Kg m N G 估算其德布罗意波长。
14．利用Bohr 理论讨论月亮围绕地球旋转时月亮的可能轨道半径和其能量。
15．设电子枪枪口直径为0.01cm ，对电子的加速电压为U =10KV ，求电子枪射出电子的横向不确定?∆V=x16．设原子线度为m1010-，求原子中电子速度的不确定量。
17．设原子核线度为m1510-，试判断，原子核是否由电子和质子所组成，一般情况下中等质量原子核的平均结合能小于8Mev。
（轻核和重核一般为2 Mev）18．试由不确定关系来估算电子等微观粒子的自旋不是电子的机械自转。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些p2量子的概念是如何引进的p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程p32什么是束缚态p37什么情况下量子系统具有分立能级p37什么是基态p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出p55 写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L η+= ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L η= 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离00.52A a =o( 3分) 113.6eV E =( 3分)可见光的能量不超过, 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
P92什么是Q 表象p108久期方程带来的好处是什么p113写出两个表象中的力学量和态矢量之间的变换公式。
《量子力学》复习题参考答案
1 《量子力学》练习题一练习题第1套一、基本概念及简要回答1. p - 和 p- 是否相等？为什么？2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ φψ； )()(t t φψ； w v u λ； w Fu ˆ。
3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
4．为什么既不能把ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？5. 设ˆˆA A +=，ˆˆB B +=，ˆˆ0A B ⎡⎤≠⎣⎦，。
试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i=- ; (2)ˆˆˆG AB = ; (3)ˆˆˆC A iB =+ ; (4)ˆˆˆD A B =-。
二．质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态， 若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)三．已知二维谐振子的哈密顿算符为()22220212ˆˆy x p H ++=μωμ，在对其施加微扰xy Wˆλ-=后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=第一激发态能量至一级修正。
提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ，其中， μωα=，而n ϕ为线谐振子的第n 个本征矢。
四. 已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 五． 一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。
六． 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的几率分布及平均值。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
量子力学复习题
量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。
2. 波尔的量⼦化条件为。
3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。
4. 德布罗意关系为。
5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。
6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。
8. 波函数的统计解释为。
9. 隧道效应是指__________________________________。
10. 波函数的标准化条件为。
11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。
12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。
13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。
14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。
15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。
16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。
17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。
18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。
19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。
20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。
21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。
22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。
原子物理量子力学主要知识点复习
1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？答：爱因斯坦关系：⎪⎩⎪⎨⎧========k n n h n c h n c E p h hv Eλπλνπω22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波粒二象性。
2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？ 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。
出于定态时，原子不发生电磁辐射。
（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式12E E hv -=决定（3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件： n r m = υ 局限性：（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。
4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？答：类氢体系量子化能级的表示：()22202442nZ e E n πεμ-= 波数与光谱项的关系 ,4,5.3,3,5.2,121ˆ22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n R v5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是nh q p =⎰d空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。
、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系）碱金属的选择定则：1,0,1±=∆±=∆j l碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。
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2
2 V (r ,t)
t 2m
2
（2）定态： 2 V (r ) E
2m
8、判断定态与非定态、判断束缚态与非束缚态
定态：（1）
(r,t)
(r
)e
i
Et
（2）E具有确定值
判断束缚态与自由态
1、由粒子受到的势场决定
在处，V与E 哪个大：V>E束缚态；V<E自由态
2、波函数
在处，0束缚态； 在处，不趋于0自由态；
9、不确定度关系的物理意义。
[Fˆ ,Gˆ ] ikˆ
(F )2 (G)2 k 2 4
(1)不确定度关系是波粒二象性的必然反映
(2)不确定度关系是用经典力学方法描述微观粒子的限制
(3)不是所有的力学量可以同时有确定值。
二、量子效应
4、全同性原理：全同粒子所组成的体系中，二全同粒 子互相代换不引起体系物理状态的改变。 5、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。 对称：玻色子 ，遵循玻色统计规律 反对称：费米子，遵循费米统计规律
6、如何用单粒子表示全同粒子体系波函数
ni !
玻色子：
S n1
nN
i
N!
P[k1 (q1)
波函数的两个特性：常数因子不定性、位相因子不定性;
6、几率流密度矢量
j i [ * * ]
2m
j 0 （概率守恒的微分表示式）
t
d t
S
jndS（概率守恒的积分表示式）
——各项的物理意义
7、薛定谔方程
两种类型：（1）含时：i
量子力学的基本假定
微观体系的状态用一个波函数完全描述。
体系的状态波函数满足薛定谔方程。
力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密 算符表示，它们的本征函数组成完全系，当体系 处于波函数 时，可用某力学量算符的本征函数 展开( cnn cd )，测量力学量所
(r1, s1; ; rN , sN ) (r1, , rN )(s1, , sN )
对两个电子体系，
A
A S
S A
(1) s
1 (S1z ) 1
(S2z )
2
2
(2) s
1 (S1z )1 (S2z )
2
2
(3) s
1 2
[
(r, sz )
(r, )
2
(r , )
2
在 Sˆ 2 , Sˆz 表象中
sˆx
2
0
1
1 0
sˆy
0
2
i
i
0
sˆz
1
2
0
0 1
sˆ2
32 4
1
0
0
1
3、全同粒子的特点：（1）固有性质完全相同； （2）不可区分性。
1、零点能： 2、能量量子化： 3、隧穿效应 三、力学量 1、量子力学中力学量的特点：多值性、制约性 2、量子力学中力学量如何用算符表示 Fˆ (rˆ,i) 3、力学量算符满足的条件：线性厄密算符
4、线性厄密算符的特点： （1）本征值必为实数（证明）； （2）本征函数组成正交归一完全系（证明）； （3）有共同本征函数系，则 [Fˆ ,Gˆ ] 0 ； （证明） （4）有关厄密算符的证明
P
kN (qN )]
费米子： A k1k2
kN (q1, q2 ,
, qN )
k1 (q1) 1 k2 (q1)
N!
k1 (q2 ) k2 (q2 )
kN (q1) kN (q2 )
k1 (qN ) k2 (qN )
kN (qN )
在无自旋-轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略 时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：
2、氢原子核外电子的几率分布
nl (r) Rn2l (r)r 2
nl(r)称为径向位置几率分布或径向分布函数。 使 nl(r)取最大值的半径称为最可几半径 。
lm ( ) Ylm ( ,) 2 ——角分布几率
角分布与无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。
(1)、旧量子论与量子力学中关于描述氢原子核外电 子分布问题的区别和联系。
n
得数值，必是算符的本征值之一。
全同性原理。
另外，在非相对论量子力学中，自旋也是作为一假 定引进的。
基本概念：
一、波函数
1、为什么要用波函数描述微观粒子的运动状态？
2、如何完全描述体系的运动状态？
3、几率波和经典波，经典粒子和量子力学中的微观 粒子的异同？ 4、波函数的统计解释？
5、波函数的标准条件：有限、单值、连续
三维 Hˆ x Hˆ y Hˆ z ~ nx (x) ny ( y) nz (z) E ;0时
能量本征值：En
2
e4
2
1 n2
e2 2a
1 n2
相应本征函数： nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 4
(Fˆ )2 F 2 F 2
两力学量同时有确定值的条件：
（1）对易；
（2）体系恰好处在其共同本征态上。
7、一维 Hˆ x ~ n (x)
En
二维 Hˆ x Hˆ y ~ nx (x) ny ( y)
E Enx Eny
dt
六、微扰
定态微扰： (1)、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰 后能级发生移动，上升或下降；
(2)、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后 能级发生分裂（部分或全部分裂）。
能级简并部分或全部消除
七、自旋与全同粒子 1、自旋的两个基本假定
（1）sz 2
（2）
s
e mc
s
2、考虑自旋后，描述电子运动状态的波函数由下表示
4、分析三大体系的本征值、本征函数、简并度。
5、 rˆ, pˆ,lˆ,lˆ,lˆ2, sˆi,ˆi 的对易关系运算
6、已知，求F 的可能取值、平均值、几率；
7、微扰论基础
8、给定一波函数，判断是否是 Fˆ 的本征函数。 9、微扰理论要分清是简并还是非简并，灵活运用公式。 11、正确写出全同粒子体系的波函数。
1 2
(
S1z
)
1 2
(S2
z
)
1 2
(S1z
)
1 2
(
S2
z
)
]
(4) A
1 2
[
1 2
(
S1z
)
1 2
(
S2
z
)
1 2
(
S1z
)
1 2
(S2
z
)]
基本类型： 1、简述/简答/填空 2、解薛定谔方程，写出通解，利用标准条件。
3、已知波函数，求归一化常数、几率密度, max,
n 1,2,3,; l 0,1,2,, n 1; m 0,1,,l
2
玻尔半径：a
e2
Hˆ nlm (r, ,) En nlm (r, ,)
lˆ 2 nlm (r, ,) l(l 1)
2 nlm (r, ,)
lˆznlm (r,,) m nlm(r,,)
（5）氢原子简并度为n2，考虑自旋后简并度为2n2，考虑
自旋－轨道耦合后，简并度？
5、力学量F与算符 Fˆ 的关系：
6、力学量算符之间的对易关系
（1） [Fˆ ,Gˆ ] 0 必然存在一组构成完成系的本征函数。
6、力学量算符之间的对易关系 （1） [Fˆ ,Gˆ ] 0 必然存在一组构成完成系的本征函数。 （2）[Fˆ ,Gˆ ] ikˆ
(2)、氢原子的玻尔半径a ，从量子力学几率分布的观 点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比 较。
(3)、常用公式的Dirac符号表示
波函数归一化条件： | 1 平均值公式： A | Aˆ |
本征方程： Fˆ | |
薛定谔方程： i d | Hˆ |