材料力学--第七章
材料力学第7章讲解
根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
《材料力学》第七章
等直杆拉伸时，设轴向拉力为P 轴横截面的面积为A 等直杆拉伸时，设轴向拉力为P，轴横截面的面积为A。 横截面B 上的应力为: 横截面B-B上的应力为:
σ=
P A
K-K面的正应力σα和切应力τα: 面的正应力σ 和切应力τ
1 τ α = σ sin2α 2
σ α = σ cos α
第七章 应力和应变分析 强度理论
基本要求: 基本要求: 1.熟悉应力状态的概念 熟悉应力状态的概念； 1.熟悉应力状态的概念； 2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力 掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、 2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主 应力及最大最小切应力； 应力及最大最小切应力； 3.了解三向应力状态，会计算最大切应力； 3.了解三向应力状态，会计算最大切应力； 了解三向应力状态 4.了解广义胡克定律 了解广义胡克定律； 4.了解广义胡克定律； 5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算 会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。 5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。 重点： 重点： 1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力 主应力； 解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、 1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力； 2.四种强度理论及其应用。 2.四种强度理论及其应用。 四种强度理论及其应用 难点： 难点： 1.应力状态的概念 应力状态的概念； 1.应力状态的概念； 2.解析法和图解法 解析法和图解法； 2.解析法和图解法； 3.强度理论的讨论 强度理论的讨论。 3.强度理论的讨论。 课时： 课时： 8学时
§7.1 应力状态概述
一、一点处的应力状态 二、原始单元体 主单元体、 三、主单元体、主应力
FXQ-材料力学-第7章
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无裂纹体
含裂纹体
7
强度失效判据与设计准则概述
屈服准则 最大切应力准则 形状改变比能准则 断裂准则 无裂纹体的断裂准则—最大拉应力准则 应用举例
TSINGHUA UNIVERSITY
7
屈服准则
最大切应力准则
TSINGHUA UNIVERSITY
刚度失效
7
构件失效概念与失效分类
失效分类
TSINGHUA UNIVERSITY
屈曲失效 —由于平衡构形的突然转 变而引起的失效.
7
构件失效概念与失效分类
TSINGHUA UNIVERSITY
构件失效概念与失效分类
7
失效分类
TSINGHUA UNIVERSITY
7
第7章 强度失效分析与设计准则
构件失效概念与失效分类 强度失效判据与设计准则概述
屈服准则
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断裂准则
强度失效判据与设计准则的应用 结论与讨论
7
第7章 强度失效分析与设计准则
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构件失效概念与失效分类
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7
失效—由于材料的力学行为而使 构件丧失正常功能的现象.
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7
强度失效
TSINGHUA UNIVERSITY
1989年，前苏联乌拉尔山，输气管爆裂，死伤 1024人
7
构件失效概念与失效分类
失效—由于材料的力学行为而使
构件丧失正常功能的现象.
7
构件失效概念与失效分类
材料力学第七章组合变形
P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az
b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
故
h
5 21 z
34
ay
iz2 yP
az
iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
cmax
B
Fp A
MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力
t
max
Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
《材料力学》第七章课后习题参考答案
题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
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材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
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材料力学--第七章
7-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的角限于范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的
正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力为许
用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？
解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：
按切应力强度条件求得的荷载以表示，则
即：
当时，，，
时，，，
时，，
时，，
由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。
若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算
则
即：
，
则
故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。
返回
7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：
=
由应力圆得
返回
7-3(7-8)各单元体面上的应力如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；
（2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a）
，，，
，
（b）
，，，，
（c）
, ,
,
（d）
，，，，，
返回
7-4(7-9) 各单元体如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：
（1）主应力的数值；
（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a）
，，，
（b）
，，，
（c），，，
（d）
，
，
，
返回
7-5(7-10)已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。
试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间
的夹角值。
解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交
轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得
（或由
得
半径）
（1）主应力
（2）主方向角
（3）两截面间夹角：
返回
7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。
试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。
已知钢板的弹性常数E=206GPa，=0.28。
解：
所画的圆变成椭圆，其中
（长轴）
（短轴）
返回
7-7(7-15)单元体各面上的应力如图所示。
试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。
解：（a）由xy平面内应力值作a，b点，连接ab交轴得圆心C（50，0）
应力圆半径
故
（b）由xz平面内应力作a，b点，连接ab交轴于C点，OC=30，故应力圆半径
则：
（c）由图7-15（c）yz平面内应力值作a，b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得
返回
7-8(7-18)边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。
已知=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。
试求立方体各个面上的正应力。
解：（压）
（1）
（2）
联解式（1），（2）得
（压）
返回
7-9(7-20) D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩，如图所示。
在轴的中部表面A点处，测得与其母线成方向的线应变为。
已知材料的弹性常数，，试求扭转力偶矩。
解：方向如图
返回
7-10(7-22)一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。
设钢球的E=210GPa，=0.3。
试问其体积减小多少？
解：体积应变
=
返回
7-11(7-23)已知图示单元体材料的弹性常数。
试求该单元体的形状改变能密度。
解：主应力：
形状改变能密度：
=
=
返回
7-12(7-25) 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。
已知钢
材的许用应力为。
试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上的点a的强度。
注：通常在计算点a处的应力时近似地按点的位置计算。
解：
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过的5.3%尚可。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
（3）在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度
超过的3.53%，在工程上是允许的。
返回
7-13(7-27) 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A（图a）处的应力状态如图b所示。
当容器承受最大的内压力时，用应变计测得。
已知钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3，许用应力。
试按第三强度理论校核A点的强度。
解：
，，根据第三强度理论：
超过的7.64%，不能满足强度要求。