材料力学第7章讲解
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学第七章知识点总结
p
σα
α
τα
)
(−
B
各边边长,
d x d y
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
（2) 应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力
都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力
等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。
空间应力状态：三向应力状态
简单应力状态：单向应力状态。
复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。
纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
y
x
σx
σy
σz
τxy τyx
τyz
τzy τzx
τxz
x
y
σx
σy
τyx
τxy
τ第一个下标表示微面元方向,第二个下标表示面元上力的方向
空间问题简化
为平面问题
α——由o
c
b
σττ
σ
ττ
τ
max τ
min
τα
D
A
H
3040MPa
7.27422
)
7.27(=−−
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
y
x
z。
材料力学第七章知识点总结
p
σα
α
τα
)
(−
B
各边边长,
d x d y
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
（2) 应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力
都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力
等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。
空间应力状态：三向应力状态
简单应力状态：单向应力状态。
复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。
纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
y
x
σx
σy
σz
τxy τyx
τyz
τzy τzx
τxz
x
y
σx
σy
τyx
τxy
τ第一个下标表示微面元方向,第二个下标表示面元上力的方向
空间问题简化
为平面问题
α——由o
c
b
σττ
σ
ττ
τ
max τ
min
τα
D
A
H
3040MPa
7.27422
)
7.27(=−−
σ
x
σ
y σ
z
τ
xy
τ
yx
τ
yz
τ
zy
τ
zx
τ
xz
y
x
z。
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
材料力学第七章
若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
工程力学-材料力学-第7章 刚体的基本运动(唐学彬)
=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s
材料力学-第七章-强度理论
脆性断裂,最大拉应力准则
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
r1 = max= 1 [] 其次确定主应力
ma xx 2y 1 2 xy2 4x 2y 2.2 9 M 8 P
m inx 2y 1 2 xy2 4x 2y 3 .7M 2 P
1＝29.28MPa,2＝3.72MPa, 3＝0
r113M 0 Pa
根据常温静力拉伸和压缩试验,已建立起单向应力状态下的弹 性失效准则;
考虑安全系数后，其强度条件
根据薄壁圆筒扭转实验,可建立起纯剪应力状态下的弹性失 效准则;
考虑安全系数后，强度条件
建立常温静载复杂应力状态下的弹性失效准则: 强度理论的基本思想是:
确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一 共同力学原因的假设;
像铸铁一类脆性材料均具有 bc bt 的性能，
可选择莫尔强度理论。
思考题:把经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅 中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。
答:经过冷却的钢质实心球体,放入沸腾的热油锅中, 钢 球的外部因骤热而迅速膨胀,其内芯受拉且处于三向均 匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。
思考题: 水管在寒冬低温条件下,由于管内水结冰引起体 积膨胀,而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知,水 管与冰块所受的压力相等,试问为什么冰不破裂,而水管 发生爆裂。
局限性:
1、未考虑 2 的影响，试验证实最大影响达15%。
2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象, 此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则
4. 畸变能密度理论（第四强度理论） 材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度;
无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到 与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。
具有屈服极限 s
铸铁拉伸破坏
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根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
衡方程： Fx 0
-FR + F2 F1 0
A
1 B 2C
FR=F2-F1=50-20=30kN
（2）计算各段轴力，研究AB段，假想
FR
1
2
F F N1
N2
F2
1-1截面将杆件分为两部分，取左端为研
A
究对象，画受力图，列方程：
1
2C
Fx 0 FN1-FR=0 FN1=FR=30kN
30kN
再研究BC段，假想2-2截面将杆件分为两部分， 取右端为研究对象，画受力图，列方程：
8
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例题 试作此杆的轴力图。
40KN
55KN 25KN
20KN
解： 1、为求轴力方便，先求
出约束力 ∑Fx=0
-FR-F1+F2-F3+F4=0 FR=10KN
FR
取横截面1－1左边为分
A 600
B
C
300
500
D
E
400
1800 1 F1=40KN 2 F2=55KN3 F3=25KN 4 F4=20KN
截面法求内力 1）假想沿 m-m 横截面将杆切开，如图a。
2）杆件横截面 m-m 上的内力是一个分布的力系，其合力为 FN
3）由于外力的作用线沿杆的轴线，同二力平衡公理，FN的作用线 也必定沿杆的作用线。
4） FN 为杆件在横截面 m-m 上的轴力。取左半部分为研究对象图b。
Fx 0
FN F
FN F 0 图a F
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力 （1）轴向拉（压）时横截面上的应力
用任一横截面将杆一分为二， 取一部分研究，可得横截面上的内
力FN=F。
杆件拉伸变形后（虚线），纵 向线被拉长；横向线仍为直线，只 是两线分别移动了一定的距离。
F
F
F
FN
1. 平面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆
AB段 Fx 0
F1
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0
F1
FN 2 + F2 F1 0
F1
FN
2
F1
F2
10 20 10kN
CD段 Fx 0 FN 3 F4 25kN
FN kN
2、绘制轴力图。
1 F2 2 F3 3 F4 FN1
FN2
F2
FN3
F4
10
+
25
+
x
10
同样取右半部分为研究对象图c。
m
F
m
列平衡方程同样可得：FN F
当轴力方向与截面外的法 线方向一致时，杆件受拉，轴 力为正，反之轴力为负 。
图b F 图c FN
FN
F
3
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
计算轴力时通常按正向假设（设正法），若得负号则表明杆件受压。
若沿杆件轴线作用有多少个力，则杆件不同部分横截面上的轴力不尽 相同，为形象地表示轴力随横截面位置的变化情况，通常画出轴力图。
FN
画受力图，列方程：
A
Fx 0
-FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
（2）再研究1-1、2-2截面段，将杆件分为 三部分，取中端为研究对象，画受力图，列
方程： Fx 0
FN1′-F1+FN2′=0 FN1=30kN
（3）求约束力。列杆的平衡方程：
Fx 0 FR=FN1=30kN
（4）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
第二篇 材料力学
1
第七章 拉伸、压缩、与剪切
§7-1 轴向拉伸与压缩的概念
作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形 是沿轴线方向的伸长或缩短。
拉伸
压缩
F
FF
F
工程中的运用实例
2
第七章 拉伸、压缩、与剪切
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
研究构件的强度与刚度，必须研究构件的内力及应力。
例7.1 柱状活塞在F1、F2和堪作用下处于平衡状态，如图，设 F1=60kN，F2=35kN，F3=25kN，试画出该杆的轴力图。
F1
1
F2 2
F3
A
1
B
2C
解：（1）先研究AB段。为此，沿1—1截面假想将活塞分为两部分，取 左段为研究对象，画受力图，列平衡方程：
Fx 0
F N1 F1 0 F N1力为拉力，得
FN1=FR=10 kN(拉力)
FR
A 11 FN1
B2
C3
D4
3 F3
FN3
E
F4
横截面2－2
A1
FN2=50 kN(拉力)
FR
取截面3－3右边
FN3=-5 kN （压力）
同理，FN4=20 kN (拉力)
10
2、绘制轴力图。
3
F1
2
FN2
50
5
D
E
4
F4
FN4
4E
20
9
第七章 拉伸、压缩、与剪切
Fx 0 -FN2-F2=0 FN2=-F2=-20kN
（3）根据上述轴力值，画出活塞的轴力图。
20 kN
6
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
对于一端固定的杆件，既可以
先求出固定端的约束反力，再求各 FN
段的内力，也可从杆件的自由端开 A
始，逐一求得各段的内力。
（1）先研究BC段，假想2-2截面将杆 件分为两部分，取右端为研究对象，
F1
F 1 N1
A
1
4
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
（2）再研究BC段。为此，沿22截面假想将活塞分为两部分，取右段为
研究对象，画受力图，列平衡方程：
Fx 0
F1
1
F2 2
F3
F N2 + F3 0
A
F N2 -F3 -25kN（压力）
F1
（3）根据上述轴力值，画
A
出活塞的轴力图。
1
1
F1 2 F2
1 1 FN1
B FN2
22
C F2
1 1 FN1
2C
F1
2 FN′2
1 B 2C
30kN
207kN
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例：如图，已知:F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆
件的轴力图。
解：1、计算各段的轴力。
A 1 B 2 C 3D
F 1 N1
1
B
2
FN2 2
2
C
F3
C
当轴力方向与截面外
的法线方向一致时，杆件 受拉，轴力为正，反之轴 力为负 。
65kN
25kN
5
§7-2 轴向拉（压）时横截面上的内力
例7.2 如图所示左端固定杆，已知F1=50kN，F2=20kN，试画出
该杆的轴力图。
解：（1）求约束力。列杆的平
FR
1
F1 2 F2
且仍相互平行，仍垂直于轴线，只是各横截面间沿杆轴相对平移。
2. 假设杆件是由无数根纵向纤维所组成，由平面假设可知，任意两截面间 无数根纤维的变形相同，由于材料是均匀连续的，因此所有纵向纤维的力学性
能相同，可以推想各纵向纤维的受力是一样的。
10
§7-3 轴向拉（压）时横截面及斜截面上的应力
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。