大学物理 第三章静电场中的导体
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大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
大学物理学 大作业参考解答
大学物理学
静电场中的导体和电介质
大作业参考解答
选择题1：当一个带电导体达到静电平衡时， （A）导体表面上电荷密度较大处电势较高； （B）导体表面曲率较大处电势较高； （C）导体内部的电势比导体表面的电势高； （D）导体内任一点与表面上任一点的电势差等于零。
NIZQ 第1页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
d a
a
E dx
x
d a d ln ln 0 a 0 a
0 q 1 C U U A U B ln d a
NIZQ 第18页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
计算题3：如图所示，在一不带电的金属球旁，有一点电荷 +q，金属球半径为R，点电荷+q与金属球球心的间距为d， 试求： （1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度。 （2）若取无穷远处为电势零点，金属球的电势为多少？
-σ1 σ1 σ2 -σ2
d1 (A) d2 (C) 1
d2 (B) d1 d2 (D) 2 d1
2
d1
d2
1 2 d1 d2 0 0
NIZQ 第8页
大学物理学
静电场中的导体和电介质
填空题1：如图所示，两同心导体球壳，内球壳带 电量+q，外球壳带电量 -2q . 静电平衡时，外球壳 的内表面带电量为 ；外表面带电量 -q 为 。 -q
q CU r C 0U r q 0
U E E0 d
1 1 1q 2 W qU CU r E0 2 2 2C
NIZQ 第16页
2
计算题1：两块相互平行的导体板a和b ，板面积均为S，
大学物理学
静电场中的导体和电介质
静电场中的导体和电介质
大作业参考解答
选择题1：当一个带电导体达到静电平衡时， （A）导体表面上电荷密度较大处电势较高； （B）导体表面曲率较大处电势较高； （C）导体内部的电势比导体表面的电势高； （D）导体内任一点与表面上任一点的电势差等于零。
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大学物理学
静电场中的导体和电介质
d a
a
E dx
x
d a d ln ln 0 a 0 a
0 q 1 C U U A U B ln d a
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静电场中的导体和电介质
计算题3：如图所示，在一不带电的金属球旁，有一点电荷 +q，金属球半径为R，点电荷+q与金属球球心的间距为d， 试求： （1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度。 （2）若取无穷远处为电势零点，金属球的电势为多少？
-σ1 σ1 σ2 -σ2
d1 (A) d2 (C) 1
d2 (B) d1 d2 (D) 2 d1
2
d1
d2
1 2 d1 d2 0 0
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大学物理学
静电场中的导体和电介质
填空题1：如图所示，两同心导体球壳，内球壳带 电量+q，外球壳带电量 -2q . 静电平衡时，外球壳 的内表面带电量为 ；外表面带电量 -q 为 。 -q
q CU r C 0U r q 0
U E E0 d
1 1 1q 2 W qU CU r E0 2 2 2C
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2
计算题1：两块相互平行的导体板a和b ，板面积均为S，
大学物理学
静电场中的导体和电介质
中国民航大学大学物理2第03章 静电场中的导体
QA QB
有
S
1 2 3 4
S
1 4 0 2 3 0 1 2 QA S 3 4 QB S
QA QB 2S Q Q 2 3 A B 2S
1 4
(电荷守恒)
A
B
第四章 静电场中的导体
物理学
于是
证明（1） ：在导体内部和表面任取 P，Q 和 R 各
Q R 点， Eint 0 , Eint dr Eint dr 0 E
P P
即： P Q R
邻
l
R S P
Q
证明（2） ：设 R 和 S 各为导体表面紧邻处的两点，
+ r Q --q + - O a + - + + + +
Qq 故，球心 O 的电势为 4 0 r 4 0 a 4 0b q q
例4 一导体球半径为R1 , 外罩一半径为R2 的 同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为, 而内 Q 球的电量为+q。 求此系统的电势和电场分 布。 Qq
4-4 有导体时静电场计算
和 QB，求：（1）两导体板之间及左右两侧的电场强度；（2）
解：设四个导体平面上面电荷密度分别为 1，2，3 和 4 。（1）每一面电荷单独存在时产生的场强为 i/20 ( i = 1, 2, 3, 4) ，取导体板 B 中任一点，利用静电平衡条件，有
1 2 3 4 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 0 取如图所示的高斯面 S’ ， E dS S 2 3 0 0
电荷： 1）导体内部无未抵消的净电荷存在，电荷只分布
大学物理习题答案 19 静电场中的导体(1)
与球外点电荷 + q 的作用力： F1
=
1 4πε 0
− q′ ⋅ q (r − b)2
，
由于 1 (r − b)2
>
1 r2
⇒
F1
=
1 4πε 0
− q′⋅ q (r − b)2
<
1 4πε 0
− q′⋅q r2
；
左侧电荷 Q
+
q′ 与点电荷 +
q 的作用力： F2
=
1 4πε 0
(Q + q′)⋅ q (r + a)2
50
大学物理习题解答
σ′ =
Q+q 4π R22
= 1.274 ×10−5 C
m2
，金属球外表面场强大小： E
σ′ =
ε0
= 1.44 ×106 V
m.
6. 题目有误！
7. 点电荷 − Q 位于空腔导体内，静电平衡后，空腔导体内表面感应电荷的电量为 + Q ，空腔导体原来电中性，
不带电，则空腔导体外表面感应电荷的电量为 − Q ；所以空腔导体外表面的净余电荷总量是 − Q ，空腔导体内表
− VC
=
E2
⋅d
=
σ2 ε0
d2 ；
B
A
C
σ1 σ2
−σ1 −σ2
由于 B 和 C 板用导线相连，电势相等，即VB = VC ⇒ VA −VB = VA −VC
即
σ1 ε0
d1
=
σ2 ε0
d2
⇒ σ1 = d2 . σ 2 d1
（第 10 题图）
11. （1）金属平板静电平衡后，金属平板 A 和 B 相邻两表面电荷电量等量异号，设电荷面密度分别为 σ 和 − σ ；
大学物理 导体和电介质中的静电场
x
(1 2)S q (3 4)S q
1
2
3
4
q S
q S
0
1 4 0
2 3
ⅠⅡ Ⅲ
2 q / S
3 q / S
----电荷分布在极板内侧面
2020/1/14
由场强叠加原理有:
E1
2 2 0
3 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
2 0
q1 q2
2 0 S
E3
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 20/1/14
导体和电介质中的静电场
例: 点电荷 q = 4.0 × 10-10C, 处在不带电导体球壳的 中心，壳的内、外半径 分别为: R1=2.0 × 10-2m , R2=3.0 × 10-2m．
0
+ +
+
+ -
-
-q
+
+ -
+
Q
+
+
q
-+
+q
-
－-q-
S
+
++
qi 0
S内
结论
空腔内有电荷q时，空腔内表面感应出等值异号 电量-q，导体外表面的电量为导体原带电量Q与感应 电量q的代数和.
2020/1/14
导体和电介质中的静电场
3. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系
3. 导体的静电平衡条件 导体内电荷的宏观定向运动完全停止.
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
静电场中的导体
孤立导体处于静电平衡时，它的表 面各处的面电荷密度与各处表面的 曲率半径有关，曲率越大的地方， 面电荷密度越大。 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小
电风实验
++ ++
+ +
+ +
32
小结： 静电平衡导体的电荷分布 1、实心导体内部无电荷。
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
场强分布：
A 板左侧
A
B
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
两板之间
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压 带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。
正误题：
1、导体放入电场中，自由电荷要重新分布。两端感应 出的正负电荷一定相等。此时，导体两端的电势相等， 但符号相反。 E 2、带电导体表面附近的电场强度 方向总是与表面 0 垂直，与外部是否存在其它带电体无关； 3、将带+Q的导体A移近不带电的孤立导体B时，B的电势将 升高；如果B是接地的，则B的电势就保持不变，且UB=0 4、导体静电平衡时，内部场强必为零。
静电场中的导体和电介质
主要内容： 导体静电平衡条件和性质
▲
电场中导体和电介质的电学性质 有电介质时的高斯定理 电容器的性质和计算 静电场的能量
▲ ▲
▲
静电场中的导体
Effects of Conductor in Electrostatic Field
一、静电感应
电风实验
++ ++
+ +
+ +
32
小结： 静电平衡导体的电荷分布 1、实心导体内部无电荷。
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
场强分布：
A 板左侧
A
B
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
两板之间
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压 带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。
正误题：
1、导体放入电场中，自由电荷要重新分布。两端感应 出的正负电荷一定相等。此时，导体两端的电势相等， 但符号相反。 E 2、带电导体表面附近的电场强度 方向总是与表面 0 垂直，与外部是否存在其它带电体无关； 3、将带+Q的导体A移近不带电的孤立导体B时，B的电势将 升高；如果B是接地的，则B的电势就保持不变，且UB=0 4、导体静电平衡时，内部场强必为零。
静电场中的导体和电介质
主要内容： 导体静电平衡条件和性质
▲
电场中导体和电介质的电学性质 有电介质时的高斯定理 电容器的性质和计算 静电场的能量
▲ ▲
▲
静电场中的导体
Effects of Conductor in Electrostatic Field
一、静电感应
大学物理-8.5静电场中的导体
1 2
3 4
1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0
在右边导体中任取一点，则该点
1 2 3 4 E 0 2 0 2 0 2 0 2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 3
相对两面带等量异号电荷.
1 2
3 4
• 电场
导体内部场强处处为零 表面场强垂直于导体表面
• 电 势
导体为一等势体
导体表面是一个等势面
金属球放入前电场为一均匀场
E
++ + + + ++
E
金属球放入后电力线发生弯曲电场为 一非均匀场
二、导体上的电荷分布
2.1 实心导体
电荷分布在导体表面，导体内部场强处处为零。
2.2 空腔导体 （1）腔内无带电体： 电荷分布在导体表面，
1 4
相背两面带等量同号电荷.
证毕.
三、 空腔导体内外的静电场 1. 空腔导体内外的静电场 (1)腔内无带电体 内表面电荷代数和为零。 假设内表面一部分带正电，另一部分带等量的负 电，则必有电场线从正电荷出发终止于负电荷。 取闭合路径L，一部分在空腔，一部分在导体中。
L
L E dl 沿电场线 E dl 导体内 E dl 0
根据静电平衡时导体内部电场处处为零的特点， 利用空腔导体将腔内外的电场隔离，使之互不影响。
q
E 0
q
-q
a. 腔内无带电体：
腔外电场不能穿入腔 内，腔内电场恒为零。
b. 腔内有带电体：
导体接地，可 屏蔽内电场。
四
有导体存在的静电场场强与电势的计算
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荷分布如图所示， 由于球A接地，电势U’A=0，即
U 'A
q'A
4 0R1
q'B内
4 0R2
q'B外
4 0R3
0
解得 qA' 2.1108C
为
A
S
V
C
d 2
E1
E2
B
d 2
E1
E2
0
d UCB (E1 E2 ) 2 E1d E2d V qd
2 2 2 40S
例题10
10、如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两 块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带电荷总面 密度为 1.3105 C / m2 。求每块板的两个表面的电荷面 密度各是多少？（忽略边缘效应）
4 0R 4 0r
解得
QR
R R
r
Q
R
r Qr R r Q
r
U Q
4 0 (R r)
例题13
13、一带电量为Q的导体球壳，内、外半径分别R1、R2， 将一点电荷q放置在球壳的球心o处，以无限远处为电势
零点，求（1）距球心r（r<R1）处的电势;（2）当 R1
趋近R2（这时的球壳称为薄金属球壳）时，（1）的结 论如何;
R
r
q
解：(1)由于q的放置，使得导体球表面上将感应出电量
大小相等而符号相反地电荷 q’和 –q’，感应电荷在球心
处产生的电势为
q'
q'
U'
0
4 0 R 4 0 R
(2)导体球是等势体，其上任意一点的电势就是整个球
的电势。球心的电势亦即球的电势为
U q' q' q q
为[ ]。
(A)
2 0
2
(B)
0
(C)
0
d
(D)
2 0
例题4
4、两个同心的薄金属球壳，半径为R1，R2（R1<R2)，
若分别带上电量 q1 和 q2 的电荷，则两者的电势分别 为 U1 和 U（2 选择无限远处为电势零点）。现用细导线
将两球壳连接起来，则它们的电势为[ ]。
(A) U 1
例题9
9、如图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相
距为d，分别维持UA=V，UB=0不变。把一块带电量为q 的导体薄片C插入两极板的正中间，导体片面积也是S，
求薄片C的电势UC？
A
S
V
d
C2
d
B2
0
解：如图所示，仅有A、B两板时，两板间的电场为
均匀电场，电场强度为E1，方向有A指向B。当仅有 C板，因为C板较薄，可以当做电荷为q、面积为S的
的电荷分布?(3)再将金属球A接地， 金属球A和球壳的B内、外表面上各
R1
R3
带有的电量qB内和qB外，以及球A、 球壳B的电势？
R2
解：（1）导体静电平衡时电荷分布如图所示
qB内 qA 3.0108C
qB外 qA qB 5.0108C
球A的电势为
UA
qA
4 0R1
第三章 静电场中的导体 教学基本要求 基本概念 例题分析
第三章 静电场中的导体
一、教学基本要求
了解静电平衡状态及平衡条件。
二、基本概念
静电平衡 静电平衡 静电平衡条件
状态
条件
下的电荷分布
导体的静电平衡状态 ： 导体内部及表面上的电荷都无宏观定向运动的状
态，称为导体的静电平衡状态。
导体的静电平衡条件： (1)导体内部任一点场强为零； (2)导体表面附近任一点场强方向与表面垂直。 根据静电平衡条件可推出： (1) 导体是等势体；(2)导体表面是等势面。 静电平衡下导体的电荷分布： (1)导体内部没有净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 (2)导体外，靠近导体表面附近某点的电场强度大小为
1
(B)U 2 (C) 2 (U1 U 2 )
(D)U1 U 2
例题5
5、在半径为R的金属球内偏心地挖出一个半径为r的球
形空腔，如图所示，在距空腔中心点d (r<R)处放一点电
荷q，金属球带电-q，则O’点的电势为[ ]。 （A） q q
4 0d 4 0 R
od o
r
R
（B）
解：导体处于静电平衡时电荷分布如图所示，
Q+q -q
R r
q
根据电势叠加原理得 U q q qQ
4 0r 4 0R1 4 0R2
（2）当 R1 趋近R2（这时的球壳称为薄金属球壳）时 根据电势叠加原理得
Q+q -q
R r
q
q
q qQ
U
4 0r 4 0R 4 0R
无限大的均匀带电平面，C板在它的两侧产生的电
场强度大小相等，都为E2
图所示。
2 0
q
2 0 S
，方向如
A
S
V
C
d 2
E1
E2
B
d 2
E1
E2
0
A、B、C三板同时存在时的电场强度为两电场强度
的叠加。结果为C、B间的电场强度ECB=E1+E2；A、 C间的电场强度为ECA=E1-E2；C、B两板间的电势差
8.0cm 5.0cm
解：如图所示，设各板两侧的电荷面密度分别
为1、 2、 3、 4、 5和 6 。
根据电荷守恒得 3 4 1.3105
1 2 5 6 0
导体板达到静电平衡特征时 2 3 5 4
1 2 3 4 5 6
所示
此时内球壳的电势
得 q' R1 q
q'
q
U1 4 0R1 4 0R2 0
R2
此时外球壳的电势
U2
q'q
4 0R2
(R1 R2 )q
4 0R22
因此外球壳电势改变量为
R1
R2
q’
U
U2
0
(R1 R2 )q
4 0R22
-q
例题17
17、半径为R1=0.06m的金属球A外同心地套有一个球壳 B，已知球壳B的内、外半径分别为R2=0.08m和 R3=0.10m ，设球A的带电量为qA=3.0×10-8C ，球壳总的 带电量为qB=2.0×10-8C ，求（1）球壳B的内、外表面上 各带有的电量qB内和qB外，以及球A、球壳B的电势？（2） 球壳B接地后断开，球壳B内、外表面
4 0 R 4 0 R 4 0r 4 0r
例题12
12、如图所示，半径为R和r的两个导体球用一根很长的 细导线连接起来，使这个导体组共带电量为Q，求（1） 两球上分别具有的电量QR和Qr（2）两球的电势U？
R
r
解：根据题意得 QR Qr Q
UR Ur 即 QR Qr
(D) 表面曲率较大处电势较高。
例题2
2、在一个不带电的金属球壳的球心处，放一点电荷 ，
若将 q此点电荷偏离球心，该金属球壳的电势[ ]。
(A)升高； (B) 不变； (C) 降低； (D)不能确定
例题3
3、厚度为d的无限大带电导体板，两表面的电荷均匀
分布，面密度皆为 ，则板外两侧的电场强度的大小
（2）A的电势UA？ B
AC
d1
d2
解：如图所示，设A板两侧的电荷面密度分别为 1 和 2，A、B板和A、C板间电场强度分别为 E1和 E2 。
导根B体据板电达荷到守静恒1A电得2平衡C1 特 S征时因 2为E1SB和Cq01板A 均E2接地，02 所以
d1
d2
E1
q
4 0d
q
4 0r
（C）0
（D）因q偏离球心而无法确定
例题6
6、如图所示,一无限大均匀带电平面附近设置一与之
平行的无限大平面不带电导体板。已知带电平面的电
荷面密度为 ，则导体板两表面的感应电荷面密度分 别 1 为= ， 2 = 。
1 2
p
解：在无限大导体板内任选一点p ，则
q
Q
4 0r 4 0R
例题14
14、如图所示，带电为Q的导体薄球壳 A，半径为R， 壳内中心放一点电荷 q，已知球壳电势为 UA，求球壳 内任一点P(r<R)的电势 。
解：根据电势叠加原理，球壳的电势UA由点电荷和薄
球壳上的电荷Q共同产生，U A
q
4 0R
Q
4 0R
R
qrP
E2
U AB U AC
即 E1d1 E2d2
1 0
d1
2 0
d2
（1）B和C板上的感应电荷
qB 1S 1.0107 C
qC 2S
（2）A板的电势 U A
B
1A 2
2.0107 C
E1d1
1 0
d1
C
2.3
103V
d1
d2
E1
E2
根p两点据方的电程场荷联强守立为恒解0E得.得p即1210222100
2 2 0
2
0
2
例题7
7、如图所示，三个面积为S、带电量为q的导体板平行
放置。现将A、B板用极细的导线连接，C板用极细的
导线接地（大地为零电势）。达到静电平衡后，六个
平面中电荷分布面密度为0的
Ur
qA
4 0R2