事件的独立性(二)
事件的相互独立性-PPT
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
事件的独立性
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)
事件的相互独立性 (2)
B)时同样应注意事件 A、B 是否互斥．对于“至多”，“至少” 型问题的解法有两种思路：①是分类讨论；②是求对立事件，利 用 P( A )＝1－P(A)来运算．
思考题 3
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情
况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为 2 3 1 合格)的概率分别为 ， ， ，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑 5 4 3 的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大． 思路分析 记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格”分别 为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，ABC 表示三人 都合格， A B C 表示三人都不合格，依题意即可求出(1)(2)，对 于问题(3)要明白“出现几人合格的概率”表示可能没有， 可能有 一个，可能有两个也可能有三个．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)三人都不合格的概率： P0＝P( A B C )＝P( A )· P( B )· P( C ) 3 1 2 1 ＝ × × ＝ . 5 4 3 10 (3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A 2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 BC)＝5×4×3＋5×4×3＋5×4×3＝60.
2.公式拓展 如果事件A1，A2，„，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概 率等于每个事件发生的概率的积．即P(A1A2A3„An)＝ P(A1)·P(A2)·„·P(An)． 3.判定相互独立事件的方法 (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A、B独立． (2)有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的 两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而 得出它们是否相互独立．
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般 定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”
高中数学 23 2.2 第2课时事件的独立性课件 新人教B版选修23
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027， 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路 能正常工作的概率是 1－P( A B C )＝1－0.027＝0.973.
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学法归纳总结
[分析] 依据相互独立事件的定义或直观解释判断．
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[解析] ①事件A与B是互斥事件，故A与B不是相互独立事 件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A与B相互独立．
③由于每次取球观察(guānchá)颜色后放回，故事件A的发 生对事件B发生的概率没有影响，
∴A与B相互独立． [说明] 相互独立事件是指两个实验中，一个事件的发生 与否对另一事件发生的概率没有影响．
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课堂互动探究
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下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正 面”，事件 B＝“第二枚出现反面”；
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③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个 (yī ɡè)小球，观察颜色后放回袋中，事件A＝“第一次取到绿 球”，B＝“第二次取得绿球”．
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甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率 分别(fēnbié)为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中，则飞机被击落 的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如 果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率．
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《事件的独立性》教学设计二
《事件的独立性》教学设计二教学设计一、导入新课前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，本节课我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.二、事件的独立性问题1 下列两个随机试验各定义了两个随机事件A和B：（1）试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A表示“第一枚硬币正面朝上”，事件B表示“第二枚硬币反面朝上”.（2）试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他不同，采用有放回地方式从袋中依次任意摸出两球.设事件A表示“第一次摸到球的标号小于3”，事件B表示“第二次摸到球的标号小于3”.你觉得事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？如果事件A不发生，会影响事件B发生的概率吗？师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答问题，教师关注学生如何解释自己的思考过程.对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A的发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回地摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A的发生与否也不影响事件B发生的概率.设计意图：选择两个符合独立性直观意义的试验，促进学生感悟事件的独立性.问题2上面两个随机试验中，事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率，其数学本质是什么？分别计算两个试验的(),(),()P A P B P AB，你有什么发现？师生活动：学生独立思考解决问题教师注意观察学生如何计算P A P B P AB，关注学生是否能用集合语言正确描述样本空间以及不同的随(),(),()机事件，并给予个别指导，选择学生代表表达与交流思维过程.在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}Ω=，包含4个等可能的样本点.而{(1,1),(1,0)},{(1,0),(0,0)}A B ==，所以{(1,0)}AB = .由古典概型概率公式，得11()(),()24P A P B P AB ===，于是()()()P AB P A P B =. 积事件AB 的概率()P AB 恰好等于()P A 与()P B 的乘积.在试验2中，样本空间{(,),{1,2,3,4}M N M N Ω=∈∣，而 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}A =，{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1) ,(4,2)}B =，所以11()(),()24P A P B P AB ===. 于是也有()()()P AB P A P B =.教师小结：这两个随机试验都满足：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，事件A 和B 同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积.对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们引入这种事件关系的一般定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即若事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.设计意图：让学生探索两个试验中事件A ，B 之间关系的共同数学本质属性()()()P AB P A P B =，在此基础上，教师给出两个事件相互独立的描述性定义以及两个随机事件相互独立的概率乘法公式.追问（1）：问题1的两个随机试验中的随机事件A 和B 是否都相互独立？ 师生活动：先让学生基于问题2中的师生活动，利用两个事件相互独立的定义判断.追问（2）：考虑两个特殊的随机事件与任意一个随机事件是否相互独立，即必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？请给出你的推理过程.由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生.师生活动：学生对“任意一个随机事件”的思考如果有困难，教师结合适当的例子来帮助学生推理与解释.设计意图：根据定义判断事件的相互独立性，进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性，以使知识完整化、系统化.问题3 相互对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系，如果事件A 与事件B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以问题1（2）的有放回摸球试验为例，分别验证事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B 是否相互独立？你有什么发现？请给出你的推理过程.师生活动：可以分组解决不同的问题，先独立思考，再合作交流教师应关注学生如何解释他们的判断，如何推理.由事件A 与事件B 相互独立，可以得到事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B 相互独立.由事件A 与事件B 相互独立，再次利用上述结果，可以得到事件A 与事件B 相互独立.（除了教材给出的证明过程，下面的证明过程教师可以参考）对于A 与B ，因为A AB AB =⋃，而且AB 与AB 互斥，所以()()()()()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB =⋃=+=+.所以()()()()()(1())()()P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=.由事件的独立性定义，A 与B 相互独立.类似的可以证明事件A 与,B A 与B 也都相互独立.教师小结：由事件的独立性定义可以证明事件A 与事件B 相互独立，事件A 与事件B ，事件A 与事件B ，事件A 与事件B 也都相互独立，即如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.这是事件的相互独立的一个性质.设计意图：类比事件A 与事件B 相互独立的间题，得出与事件,A B 相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题，既是知识的自然延伸，又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.三、利用事件的独立性计算概率例1、甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：（1）两人都译出密码的概率（2）两人都译不出密码的概率；（3）恰有一人译出密码的概率；（4）至多有一人译出密码的概率；（5）至少有一人译出密码的概率.分析：（1）由于甲、乙两人独立破译一个密码，所以“甲译出密码”和“乙译出密码”为相互独立事件，用两个相互独立的事件同时发生的概率乘法公式求解.（2）由于“甲译出密码”和“乙译出密码”为相互独立事件，所以“甲译不出密码”和“乙译不出密码”也是相互独立的，用两个相互独立的事件同时发生的概率乘法公式求解.（3）“恰有一人译出密码”可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件.（4）思路1：“至多有一人译出密码”可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件.思路2：“至多有一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，可以用对立事件的公式求解.（5）思路1：“至少有一人译出密码”可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件.思路2：“至少有一人译出密码”的对立事件为“两人都译不出密码”，可以用对立事件的公式求解.解：记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且11 (),()34 P A P B==.（1）设事件C表示“两人都译出密码”，则C AB=.因为A与B相互独立，所以111()()()()3412P C P AB P A P B ===⨯=. 即两人都译出密码的概率是112. （2）设事件D 表示“两人都译不出密码”，则D AB =.因为A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，因此，()()()()[1()][1()]P D P AB P A P B P A P B ===--11111342⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 即两人都译不出密码的概率是12. （3）设事件E 表示“恰有一人译出密码”，事件E 可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E AB AB =⋃，且两个事件AB 与AB 彼此互斥，因此()()()()P E P AB AB P AB P AB =⋃=+()()()()P A P B P A P B =+()[1()][1()]()P A P B P A P B =-+-1111113434⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 512=. 即恰有一人译出密码的概率为512. （4）设事件F 表示“至多有一人译出密码”.方法1：事件F 可以看作事件“两人都译不出密码”与恰有一人译出密码”的并事件，所以F D E =⋃，且D 与E 彼此互斥，因此1511()()()()21212P F P D E P D P E =⋃=+=+=， 即至多有一人译出密码的概率为1112. 方法2：事件F 的对立事件为“两人都译出密码”，所以F C =，因此111()1()1()11212P F P F P C =-=-=-=.即至多有一人译出密码的概率为1112. （5）设事件G 表示“至少有一人译出密码”. 方法1：事件G 可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G C E =⋃，且C 与E 彼此互斥，因此151()()()()12122P G P C E P C P E =⋃=+=+=. 即至少有一人译出密码的概率为12. 方法2：事件G 的对立事件为“两人都译不出密码”，所以G D =，因此11()1()1()122P G P G P D =-=-=-=. 即至少有一人译出密码的概率为12. 跟踪训练 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶. 师生活动：先分析随机试验，用集合语言表示随机事件由于涉及较多的符号推理与运算，应给予学生充分的时间独立研究，并鼓励学生表达交流运算与推理的过程.分析：设事件A 表示“甲中靶”，事件B 表示“乙中靶”.从要求的概率可知，需要先分别求事件A ，B 的对立事件,A B 的概率，并利用,,,A B A B 构建相应的事件.解：设事件A 表示“甲中靶”，事件B 表示“乙中靶”，则事件A 表示“甲脱靶”事件B 表示“乙脱靶”.由于两人射击的结果互不影响，所以事件A 与事件B 相互独立.由已知可得，()0.8,()0.9,()0.2,()0.1P A P B P A P B ====.（1）事件AB 表示“两人都中靶”，由事件相互独立的定义，得()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=.（2）“恰好有一人中靶”为事件AB AB ⋃，且AB 与AB 彼此互斥，根据概率的加法公式和事件相互独立定义，得()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B ⋃=+=+()()0.80.10.20.90.26P A P B =⨯+⨯=.（3）“两人都脱靶”为事件AB ，所以()()()(10.8)(10.9)0.02P AB P A P B ==--=.（4）方法1：“至少有一人中靶”为事件AB AB AB ⋃⋃，且,,AB AB AB 两两互斥，所以()()()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB ⋃⋃=++=+⋃0.720.260.98=+=.方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1()10.020.98P AB -=-=.设计意图：利用两个事件相互独立的性质，计算较复杂事件的概率.小结：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积.例2、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”和事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件.解：设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭. ()()212214242,33939P B P B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭. 设A 表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则1221A A B A B =⋃，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 分别相互独立.所以()()1221()P A P A B P A B =+()()()()1221P A P B P A P B =+349458916912=⨯+⨯=. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512. 归纳总结复杂事件概率的转化方法和求解步骤：（1）转化方法：①将所求事件分解成一些彼此互斥的事件的和； ②将所求事件分解成一些彼此相互独立的事件的积；③尝试先求对立事件的概率.（2）求解步骤：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②厘清各事件之间的关系，列出关系式；③准确运用概率公式进行计算.设计意图：让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯.巩固练习：教材第213~214页练习第1，2题.四、课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下列问题：通过本节课的学习，你能说说，事件A 与事件B 相互独立的含义是什么？如何判断事件A 与事件B 是相互独立的？如何判断事件A 与事件B 是互斥的？你能一一说出二者的区别吗？师生活动：在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”.教师小结：事件的相互独立是事件之间一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系事件的独立性需要用概率来定义，而互斥的两个事件A与B是指事件A与B不能同时发生，其实质为P AB P A P B=.P AB P A B P A P B A B=⋃=+相互独立()()()()0,()()();,设计意图：一方面引导学生反思本节课的重点—概括判断事件A与B相互独立的方法，另一方面为了促进学生对容易混淆的事件的互斥与独立性概念进行比较、澄清.五、布置作业教材第214页习题7—4A组第1，2，3，4，5，6题.板书设计教学研讨本案例结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个事件是否相互独立，即如果两个事件相互独立，则事件A和事件B的发生互相不受影响，那么把其中一个换成它的对立事件.事件A和事件B是相互独立的，否则事件A和事件B不相互独立.然后计算(),()P A P B和()P AB，发现共性=，进而给出两个事件相互独立的一般定义.本案例提供了不同P AB P A P B()()()背景的随机试验，让学生直观判断给定的两个事件是否相互独立，对于古典概型，还可以进行计算验证.这样既突出了重点，又能有效克服难点.例题的设计利用事高中数学11 / 11件独立的性质，计算较复杂事件的概率.对例1，甲乙两人能否独立破译密码相互不影响，在跟踪训练中，甲是否中靶与乙是否中靶相互不受影响，因此可以直观判断两题中事件A 和事件B 相互独立.解题的关键（也是难点）是用事件A ，,,B A B 来表示相关事件，可以借助树状围完成这个任务.例2的设计是利用事件的独立性计算两个事件的积事件的概率.但由于问题比较复杂，教师可根据学生的情况，解题时借助表格，进行表述.。
关于事件独立性的两种判断
关于事件独立性的两种判断{|"复习指津-关于事件独立性的两甘肃镇原中学(744500)路兴平事件的独立性是概率中十分重要的基本概念,也是学生较难正确理解的重要概念,在概率论及数理统计问题中,有不少关于事件间独立的要求.因此,判断事件独立性成为概率问题中十分重要的事情.对具体问题,通常有以下两种判断方法:(--)定义法定义:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件就叫做相互独立事件.(二)公式法:定理一:对两个事件A与B,若P(AB)一P(A)P(B)成立,则称事件A与B相互独立.对个事件,也有下面两个定理:定理二:对个事件A-,Az,…,AJ,若对于任意的(1<k≤"),任意的l≤<2<…<≤",都有P(A一】Ai2…A)=P(Ail)P(A2)…P(A)成立,则称事件A,A2,…,A,相互独立.定理三:对个事件A,Az,…,A,若对于任意的A,A(i=/=j,i,一1,2,…,"),有P(AA,)一P(A)P(A,)成立,则称事件At,A,…,A两两独立.推论1:若事件A与事件B相互独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立.在实际应用中,往往用定义判断(通常是根据实际问题的意义来判断)较为简单的事件的独立性,这种方法叫做"直接法".例如,甲,乙二人同射击一个目标,则"甲打中目标"与"乙打中目标"是相互独立的. 现实生活中,凡遇到种子发芽,元件寿命,机床运转, 电路开关等问题,在不加特殊限制的情况下,种子,元件之间都是相互独立的.一般情况下,取后放回的试验,每次的结果之间都是相互独立的,而取后不放回的试验,各结果之间不具有相互独立性.为了使试验种封断满足独立性,对于取后不放回试验,只要总数很大,而取做试验的样本数却又很小时,也可看作相互独立. 对于比较复杂的事件,特别是判断"个事件相互独立性,若都用"直接法"不但太繁,而且容易出现错误.这时就可以按照上面三个定理来判断,这种方法叫做"公式法".需要注意的是,使用定理---N断个事件事件相互独立需要验证的等式总数为C:++…+a一2一n一1个,而使用定理三判断n个事件两两独立则只需验证Ci个式子.【例】有四张卡片,一张涂红色,一张涂黄色,另一张涂红,黄,蓝三色.设A表示事件"从三张卡片中摸出一张有红色",B表示事件"从三张卡片中摸出一张有黄色",C表示事件"从三张卡片中摸出一张有蓝色".(1)判断事件A,B,C是否两两独立;(2)判断三个事件A,B,C是否独立.解:(1)显然P(A)一号,P(B)一2,P(c)一手,且P(AB)=1,P(A)P(B)一百2x2一1,有P(AB)一P(A)P(B).同理P(AC)一P(A)P(C),P(BC)一P(B)P(C).即A,B,C三个事件两两独立.而P(A)P(B)P(c)一丽8,即P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),所以A,B,C三个事件不相互独立.从这个例子可以看出,n个事件相互独立,必有这个事件两两独立,反之不一定成立.因此,对于比较复杂的事件,特别是判断个事件的相互独立性,必须用"公式法"验证,若只凭直觉则容易出现错误.。
课件7：2.2.2 事件的相互独立性
方法归纳 解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障 易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要 其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某 段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段 时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合 分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也 没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二 相互独立事件同时发生的概率 典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”． 则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.
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1 P( A B C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
例3 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知
甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的
1 概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 2 品的概率为 。 9
甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4、 0.5、0.8。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如 果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中， 则飞机一定被被击落。求飞机被击落的概率。
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
P( A) P( B)
P( A B A B A B)
1
1 P( A) P( B)
4 例1 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ， 5 3 7 乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 。 5 10 （1）求恰有一名同学当选的概率；
（2）求至多有一名同学当选的概率。
引申：
答案：1、 P= 2、 P=
0.79 0.81 0.404
2 2
0.04 0.95 0.96 0.05 0.086 8 6 4 6 1 3、 P 。 12 12 12 12 2
五、教学反思：
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) [1 P( A)][ P( B)][ P(C )] 1 1 (1 0.7)(1 0.7)(1 0.7) 0.027
小结：
求 较 复 杂 事 件 概 率 正向
( 互斥事件)
分类
分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
课外作业:
1、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些 机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是 0.79，第3台是0.80，第4台是0.81， 且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在 这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率. 2、制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床 的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件， 其中恰有1件废品的概率是多少？ 3、甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球， 6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色 的概率是多少？
北师大版高中数学选修2-3 第二章《概率》
一、教学目标： 1、知识与技能：理解两个事件相互独立的概 念。 2、过程与方法：能进行一些与事件独立有关 的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析， 会进行简单的应用。 二、教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程：
A B
C
C 42 7.在100件产品中有4件次品. C 41· 31 C 2 C100 ①从中抽2件, 则2件都是次品概率为___ C1001· 991 C ②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___ (不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取) C 4 1· 41 C C1001· 1001 C
P( A1 A2 +...+An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
注：1）求积事件的概率必须注意事件的独立性，事件 和的概率必须注意事件是否互斥。 2）明确事件中的关键词，如，“至少有一个发 生”“至多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都 发生”“都不发生”，“不都发生”。
常见类型如下：
A、B互斥
A、B独立
P( A B)
P( A B)
P( A) P( B) 1 P( A)P(B)
0
1 [ P( A) P( B)]
P( A) P( B)
P( A) P( B)
P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
P( A B)
P( A B A B)
练习：
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 14 则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______ 15
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 3 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___ 5
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 m+n- mn 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_______
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记 第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的 分布列。
例5（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进
复习回顾
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为： P(AB)= P(A)P(B) .
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
3、如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A， B中有一个发生）的概率：P(A+B)= P(A)+P(B) .
一般地，如果事件 A、A2、...An ，彼此互斥，那 1 么事件 A1 A2 +...+An 发生（即 A、A2、...An 中 1 恰有一个发生）的概率：
不是一等品的概率为 12 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的 概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一 个一等品的概率。
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾 的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1， 乙、丙都需要照顾的概率为0.125. （1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 顾的概率分别为多少？ （2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的 概率。
行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两 部分都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理 论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考 核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否 合格相互之间没有影响。
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）
P(A+B)=P(A· B)+P(A· +P(A· B) B)=1- P(A· B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 13 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__. 6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. P+P2则系统正常工作的概率为____P3