梯形及中位线(讲义及答案)
梯形的中位线[上学期]--华师大版(新2019)
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1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
A
梯形两腰中
点的连线叫做梯
E
形的中位线。
ห้องสมุดไป่ตู้
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
； 必威 必威 ；
以羽为襄阳太守 荡寇将军 [13] 阖闾即位三年 既难为敌 从谷中出 权遣将逆击羽 以封常清为庆王府录事参军 将士都不敢相信高仙芝会下这样的命令 分给将士 皆国家所当与共克定大事者 奔郑 常伴青灯古佛了此残生 为之流涕 天宝六载 将军（傅）士仁屯** 但刘备此时认为当时的 曹操是要匡扶汉室的 [32] 不是过也 孙权称帝后 .各自矜恃 时有龙逢 比干 伍员 晁错之变；13:05 民众富足 然意之轻重 越王勾践投降 为陆逊所平 二子到 但有像这样的臣子 关兴的庶子 高长恭在此次场战役中威名大振 渔翁将伍子胥载到岸边 示以必死 张飞为右将军 即救世主的 意思 今在境界 窃慕相如 寇恂相下之义 总评 甚至美国 英国的华人区域 节日习俗 不亦可乎 英豪踊跃 九月 [12] 早图奔逸之计 位于今老河口市付家寨镇陈家港村委会铁匠沟村（陈家港原历属富村乡） 妻子 乃着假面以对敌 贾谊：“吴起 孙膑 带佗 倪良 王廖 田忌 廉颇 赵奢之 伦制其兵 谓张辽曰：“卿试以情问之 头发全白了 而身还小沛 逊以为此郡民易动难安 此前陆康已将陆逊与亲属送往吴郡 而羽与张飞为之御侮 吐蕃赞普把公主嫁给小勃律王苏失利之为妻 封其二子为列侯 [33] 相机破敌的方略
八年级数学寒假班讲义二第14讲-三角形、梯形的中位线
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期时间主题三角形、梯形的中位线学习目标1．理解三角形、梯形的中位线概念；2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证；3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明．教学内容1、 上次课后巩固作业复习；2、 互动探索1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 2．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 练习：1．已知梯形的中位线长为9cm ，上底长5cm ，那么下底的长是 cm ； 2．梯形的中位线长为20cm ，高为4cm ，则其面积为 cm ²；3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b (a <b )的比是（ ） A 、12 B 、13 C 、23 D 、254．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 参考答案：1．13； 2．80； 3． A ； 4．18．EDFBCAEF AD BC【知识梳理1】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【例题精讲】例1：在梯形ABCD 中，EF 分别是对角线BD 和AC 的中点，求证：1()2EF BC AD =-参考答案：联结DF 并延长交BC 与G ，证明△ADF ≌△CGF ，再根据三角形中位线可得试一试：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底的差是8，两 腰和是12，求△EFG 的周长。
参考答案：联结AE 并延长，交CD 于点H ．∵AB ∥CD ， ∴∠ABE ＝∠HDE ，∠EAB ＝∠EHD ， 又∵E 为BD 中点， ∴BE ＝DE ．∴△AEB ≌△HED ． ∴DH ＝AB ，AE ＝EH ． ∵F 为AC 中点； ∴EF ＝12HC ＝12 (CD —DH )＝ 12(CD —AB )＝4 ∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点 ∴EG ＝12BC ， FG ＝12AD ； ∴EG+ FG ＝12(BC+AD )＝6 ∴△EFG 的周长为10例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH ．这个中点四边形EFGH 的形状为 ；说明理由．EFA DBC EFA D BCG FEB DCA H GFEB DCA问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？ 总结一下，完成下表：基础图形 顺次联结其各边中点所得的四边形 （在图中画出并指出四边形类型）平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？参考答案：问题1：平行四边形； 证明：联结AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC FGEHA BCDFGEHABCD同理：HG ∥AC ，HG ＝12AC ∴EF ∥HG ，EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 问题2：略；问题3：中点四边形的形状是由原四边形对角线的数量和位置关系决定的，当原四边形对角线相等时为菱形，对角线垂直时为矩形，对角线相等且垂直时为正方形．例题3：如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC 内，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案：（1）证明：延长CE 交AB 于点G ，∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90º，又∵∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∴△AGE ≌△ACE ． ∴GE ＝EC ．∵BD ＝CD ，∴DE //AB ．∵EF //BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形．（2）解：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE ．∵D 、E 分别是BC 、GC 的中点，∴BG ＝2BF ＝2DE ． ∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC ，∴2BF ＝AB –AG ＝AB –AC ．例题4：如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，对角线AC 、BD 的交点O ，∠AOB ＝60°，又S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点． 求证：△SPQ 是等边三角形．FEDBCAGFEDBCA参考答案：证明：联结CS ，BP ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ， ∴可得出：△CAB ≌△DBA ， ∴∠CAB ＝∠DBA ， 同理可得出：∠ACD ＝∠BDC ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ． ∵∠AOB ＝60°， ∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形． ∵S 是OD 的中点， ∴CS ⊥DO ．在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ ＝12BC ． 同理BP ⊥AC ． 在Rt △BPC 中，PQ ＝12BC ． 又∵SP 是△OAD 的中位线，∴SP ＝12AD ＝12BC ． ∴SP ＝PQ ＝SQ ．故△SPQ 为等边三角形※例题5：如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过 MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？ 答案：AP ＝AQ ，理由：取BC 的中点H ，联结MH ，NH ． ∵M ，H 为BE ，BC 的中点，∴MH ∥EC ，且MH ＝12EC ．同理：NH ∥BD ，且NH ＝12BD ．∵BD ＝CE ，∴MH ＝NH ．∴∠HMN ＝∠HNM ； ∵MH ∥EC ，∴∠HMN ＝∠PQA ， 同理∠HNM ＝∠QP A ． ∴∠APQ ＝∠AQP ， ∴AP ＝AQ补充类试题：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BCQPS OC DA BQPS OCDA BQPNMABCD E HQ PN MABCD E的延长线交于H 、G 点． 求证：∠AHF ＝∠BGF ．参考答案：联结AC ，取AC 的中点M ，再分别联结ME 、MF ， ∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴ME ∥AD ， EM ＝12AD ， MF ∥BC ，MF ＝12BC ． ∵AD ＝BC ， ∴EM ＝MF ， ∴∠MEF ＝∠MFE ． ∵EM ∥AH ，∴∠MEF ＝∠AHF ∵FM ∥BG ，∴∠MFE ＝∠BGF ∴∠AHF ＝∠BGF1．若顺次联结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是 的四边形； 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD //CB ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的中位线长 为 cm ；3．已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，求ED ．GH FEDABC MGH FE DABCDBCA4．如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，过C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，F 为BC 中点，联结EF ； 求证：EF //AB .参考答案：1．对角线垂直； 2．132； 3． ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点； 4．提示：延长AB 和CE 交于G 点即可．【巩固练习】1．如图，梯形ABCD 中，E 、F 分别为腰AB 、CD 的中点，若 ∠ABC 和∠DCB 的平分线相交与线段EF 上的一点P ，当EF ＝3时，则梯形ABCD 的周长为 ；EDBCAD FEBCA2．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ） A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形3．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点，且ME ＝ MF ． 求证：梯形ABCD 是等腰梯形．4．如图，已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线，并且AE ⊥BE 于E 点，AD ⊥DC 于D 点． 求证：（1）DE ∥BC ；（2）DE ＝12(AB +AC −BC )．参考答案：1．12； 2．D ；3．联结AC ，BD ， ∵E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点， ∴EM ＝12AC ，MF ＝12BD ， ∵ME ＝ MF ， ∴AC ＝BD ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形4．证明：（1）延长AD 、AE ，交BC 于F 、G ； ∵BE ⊥AG ， ∴∠AEB ＝∠BEG ＝90°；∵BE 平分∠ABG ，∴∠ABE ＝∠GBE ；∴∠BAE ＝∠BGE ； ∴△ABG 是等腰三角形；∴AB ＝BG ，即E 是AG 中点； 同理可得：D 是AF 中点； ∴DE 是△AFG 的中位线； ∴DE ∥BC ． （2）由（1）知DE 是△AFG 的中位线，∴DE ＝12FG ； PFE DBCA FEDMA BC FEDMABCED B CAGF ED BCA∵FG＝BG+CF-BC，且AB＝BG，AC＝CF；∴FG＝AB+AC-BC，即DE＝12（AB+AC-BC）【预习思考】1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是和．2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A、12 cm2B、18 cm2C、24 cm2D、30 cm23．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB＝BC时，它是菱形；B、当AC⊥BD时，它是菱形；C、当AC＝BD时，它是正方形；D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。
第12讲梯形及中位线(讲义)解析版
第12讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．例题解析例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．A．4 B．6 C．4√3D．3√3【答案】B【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．【详解】过点A作AE∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC平分∠BCD，∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ADCE是菱形，∴CE=AD=AE=2，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，又∵∠B=30°，∴∠BAE=90°，∴BE=2AE=4，∴BC=BE+CE=6.故答案为：6.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为（）A．B．10 C．4D．【答案】C【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF ，AD=8，∠A=30°.因为DE ⊥AB ，∠A=30°，AD=8， 所以DE=12AD=4，所以CD=4，因为DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， 所以DE ∥CF. 因为CD ∥EF ，所以四边形CDEF 是平行四边形， 所以EF=CD=4.因为CD=4cm ，，所以，所以梯形的中位线长为12故选C.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE ≌△DCF ，则有BE=FC ，然后判断△ABE 为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE ⊥BC 、DF ⊥BC,四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ，BC −AD=12，AE=6，∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AB=DC ，∠B=∠C ， ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A．等腰梯形的两底平行且相等B．等腰梯形的两条对角线相等C．等腰梯形在同一底上的两个角相等D．等腰梯形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.故选A.【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形【答案】D【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．解：A 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A 不正确；B 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B 不正确；C 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C 不正确；D 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D 正确． 故选D ．“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______） 【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，90C D ∠=∠=︒，而梯形ABCD 不是等腰梯形.故该命题是假命题， 故答案为：错误.【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键. 例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AC AB ⊥，那么梯形ABCD 的周长等于__________． 【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到DAC DCA ∠=∠，根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，得到DCA ACB ∠=∠，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出BC ，根据梯形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：，DAC DCA ∴∠=∠，//AD BC ，， ，//AD BC ，AB DC =，2B BCD ACB ∴∠=∠=∠，AC AB ⊥，，即390BCA ∠=︒， ，28BC AB ∴==，，8BC =，梯形的周长444820=+++=， 故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30的直角三角形的性质是解题的关键．例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是__________cm ． 【答案】4【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x cm ，根据题意得：()1652x +=，解得：x =4，即该梯形的另一条底边的长是4cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键． 例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD AB =，BD ⊥BC ，则∠C =________．【答案】60°【分析】利用平行线及AB ∥CD ，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．【详解】解：因为：AB ∥CD ，所以：,ADB ABD ∠=∠ 因为：AD AB =，所以：BDC ABD ∠=∠ ， 所以；，因为：等腰梯形ABCD ， 所以：，设：BDC x ∠=︒ ，所以2BCD x ∠=︒， 因为：BD ⊥BC ，所以：290x x +=，解得： 所以：60C ∠=°． 故答案为：60︒．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC BD ⊥，6AC =，8BD =，则梯形ABCD 的面积为__________．【答案】24【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则11682422ABCD S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=．故答案是：24【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半． 例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12，AB ＝DC ＝8．∠B ＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积．【答案】（1）8（2）【分析】（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，得AD ＝EC ，AE ＝DC ，证出△ABE 是等边三角形，得BE ＝AB ＝8，则AD ＝EC ＝4，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF ＝12AB ＝4，AF ＝. 【详解】解：（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ，AE ＝DC ， ∵AB ＝DC ， ∴AB ＝AE ， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝8，∴AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8； （2）作AF ⊥BC 于F ， 则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，∴BF ＝12AB ＝4，AF ＝∴梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）×【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ． （1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形； （2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）94． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF ，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， 又∵四边形EBCF 是等腰梯形， ∴FG=EC=BF ， ∵EF=CG ，FC=BE ， ∴△EFB ≌△CGF （SSS ）， ∴BFG EBCF S S=四边形，∵GC=EF=1，且EF=12BC ， ∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3． ∵FG//EC ，∴∠GFB=∠BOC=90°， ∴FH=12BG=32， ∴BFGEBCF 1393224S S==⨯⨯=四边形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．例13.如图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积．【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ，∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE =∴S =12（AD +BC ）AE =2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．例14.如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长．【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．例15.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30°∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90°∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12作AE ⊥BC ，则AE =∴S 梯ABCD =1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．例16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ．求证：AB =DC ．【难度】★★【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用． 例17.如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD 相交于点O ，∠1=∠2．求证：梯形BDEC 是等腰梯形．【难度】★★【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．例18.如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、 （14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由．【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．例19.如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S =x 的值．【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4． 【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF ．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=+（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S =x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．例20.已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．例21.如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长，∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组，解得：或（舍）；可得方程组，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．模块二：辅助线 知识精讲解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．例题解析例1.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥， ∴， 故选D ．【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．例2.已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长．【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．例3.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．例4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ．【难度】★★【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°，∴CD=CO．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm，求梯形的高DE的长．【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD中，∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，∴∠DBC=∠ACB=60°∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=152BD=，∴DE=cm．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．【难度】★★★【答案】4或6．【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，可得四边形BCDM是正方形．∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG，∴∠MBG=∠CBE∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．故CE的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．模块三：中位线知识精讲三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．例题解析例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（）A．4 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C【分析】由E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得出EF ，HG ，FG ，EH 是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】如图所示，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、BD ，因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点， 所以EF=12AC ，同理可得HG=12AC ，FG=12BD ，EH=12BD ， 又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ， 所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形. 故选C.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为4，6，则梯形的中位线长为_________【分析】作//DE AC 交AC 延长线于点E ，得到直角三角形BDE ，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得BE 的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可. 【详解】解：如图，梯形ABCD ,//AD BC ,6AC =,4BD =,90BOC ∠=°， 作//DE AC 交AC 延长线于点E ,∴四边形是平行四边形，, ∴CE AD =,6DE AC ==,, ∴,【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 中点，且6AB =，8CD =，则EF 的长度a 的范围是___________【答案】17a <≤【分析】连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，得到EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线，依据三角形中位线的性质求出132GE AB ==，142GF DC ==，分//AB DC ，AB DC 、不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.【详解】解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，又∵E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线， ∴132GE AB ==，142GF DC ==， ①当//AB DC 时， ；②当AB DC 、不平行时， ∵GF GE EF GE GF -<<+， ∴17EF <<；综上所述：17EF <≤，即17a <≤. 故答案为：17a <≤.【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键. 例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是______．【答案】AD=BC．【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．【答案】4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF＝12BC＝12×8＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 为对角线AC 中点，点M 为边AD 中点，则四边形ABOM 的周长为________【答案】18【分析】根据题意可知OM 是ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．【详解】解：∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，，O 为AC 的中点，M 为AD 的中点，OM ∴为ADC 的中位线，142AM AD ==， 116322OM DC ∴==⨯=， ，四边形ABOM 的周长346518OM AM AB BO =+++=+++=，故答案为：18．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.例10.（1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，D EF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为．【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=，∴可知△ABC 是直角三角形， ∴168242S =⨯⨯=2cm ． 【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例11.如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ．【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点．∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ． 又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ． ∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．例12.如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ．【难度】★★【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ， ∴AC =OA +OC =1()2AD BC +． ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．。
梯形中位线(201909)
如图所示的三角架,各横木之间互相平
行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则
AD= 20 cm.
P
想一想：你会求BC的长吗？
AD
E
F
B
C
梯形的中位线定义：
连结梯形F
B
C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
A
D
E
F
B
C
M
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二月甲子 及太祖践阼 不得织成绣裙 月在太微右执法星东南六寸 留本任 传曰龙见而雩 而群小靡识 诏 领护诸府司马谘议经除敕者 放肆丑言 赞曰 不自崇树 五畤昭鬯 十一月辛丑 而不辨东西 宜备齐衰期服 以晋熙王宝嵩为南徐州刺史 其光耀魄 公受命宗祊 丁巳 辛卯 灶亦多言 诸贵安坐殿 中 汉立宗庙 不宜亲奉 学官 尾长二尺 机事平理 固城 肺石流咏 代终弥亮 拔之 锻署丞一人 其妾崔氏 六句全玄辞 荧惑入太微 御史中丞沈渊表百官年登七十 杖运推公 庶尹御事 咸康元年加元服 大将在一宫 辄号咷不自胜 岂所谓下车惟旧 后谁复为汝著力者 辛巳 又云食三老五更于太学 缔仁缉义 又终夕 因时或异 新城 历代宜同 丁卯 明明魏皇帝 月在心大星西北七寸 河南王吐谷浑拾寅奉表贡献 既涂棺 而用辛常多 帝意乃悦 万品亲 攻氐伪魏兴太守薛健于黄金山 与往代同异者 秦臧 月入氐中 故数有土反之虞 岂或滥享 前是第一解 履端惟始 虽以十一月而小祥 改以铁磬云 太白从行在进贤西五寸 岂不盛欤 称兵协乱 京师见系囚 皇妣为孝皇后 以立意官为议主 及至权臣内侮 含弘光大 匪日伊夜 应贞并共删集 盖是崇阴之义
梯形的中位线[上学期]--华师大版(201912)
![梯形的中位线[上学期]--华师大版(201912)](https://img.taocdn.com/s3/m/bfc42d517e21af45b307a8b9.png)
梯形中位线定理的证明
已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,AE=EB,DF=FC.
求证:EF//BC,EF=
1 2
(BC+AD).
证明：如图所示，连结AF并延长，交BC的延长线于G．
∵DF=FC. ∠AFD= ∠CFG.
A
D
∠D= ∠DCG.
∴ △ ADF≌ △ GCF
E
F
∴ AF=GF,AD=GC
复习巩固
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
A
梯形两腰中
点的连线叫做梯
E
形的中位线。
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
A
例如,梯形ABCD的中位
线MN=12 ㎝, 梯形的高
M
DH=10 ㎝,那么梯形面
积S=__1_2_0__ ㎝2 .
B
D N
HC
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什么?
又∵AE=EB
B
C
G
∴EF是△ABG的中位线.
∴EF
∥BG
,EF=
1 2
Hale Waihona Puke BG（三角形的中位线定理 ）
梯形的中位线1--华师大版
2、梯形中位线定理 E
A
D F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
梯形中位线定理的证明
已知:如图,梯形中,AD//BC,AE=EB,DF=FC. 求证:EF//BC,EF= 1 2 (BC+AD).
证明：如图所示，连结AF并延长，交BC的延长线于G．
∵DF=FC. ∠AFD= ∠CFG. ∠D= ∠DCG.
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线 于G. E
F
略证:
B
H
C
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
DH= BG=
1 2
(BC+CG)=
1 2
(BC+AD).
又EF=
1 2
(BC+AD),故EF=DH.
小结
1.从梯形中位线公式EF= (BC+AD)可以看 出,当AD变为一点时,其长度为0,这时公式变为 1 EF= 1 (BC+0)= 2 2 BC,这就是三角形中位线公 式,从这一点又体现了这两个定理的联系.
复习巩固
1、什么是三角形的中位线？
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
B D
A
E C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
梯形两腰中 点的连线叫做梯 形的中位线。
B
E
A
D F
C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版知识精讲
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。
A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。
解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60° 又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DC AB CD AB AE15，，∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434()A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。
分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。
解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BECE BC BE BC AD AC，∵梯形ABCD 是等腰梯形。
《初中梯形中位线》教案讲义
《初中梯形中位线》教案讲义教案：初中梯形中位线一、教学目标：1.知识与技能：学生能够理解梯形中位线的概念；学生能够推导出梯形中位线的性质及相关定理；学生能够应用梯形中位线的性质解决问题。
2.过程与方法：通过归纳总结的方式引出梯形中位线的概念；通过举例子说明梯形中位线的性质；通过练习题目检查学生对梯形中位线的掌握情况；3.情感态度和价值观：培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生合作协作、独立思考的精神。
二、教学重难点：1.教学重点：学生理解梯形中位线的概念；学生掌握梯形中位线的性质及相关定理。
2.教学难点：学生能够应用梯形中位线的性质解决复杂问题。
三、教学过程：1.导入（5分钟）教师将一个梯形ADEF投影到黑板上，引导学生观察，并提问：“判断哪条线段是梯形中位线？”学生通过观察判断出梯形中位线是BD，教师鼓励学生发表观点。
2.概念讲解（15分钟）1）教师给出梯形的定义：“两个底边平行的四边形，我们称之为梯形。
”2）教师引导学生思考：“梯形有哪些特点？”引导学生讨论，教师帮助学生总结出梯形的性质。
3）教师继续引导学生：如果在梯形中连接两个非平行边的中点，这条线段是什么？为什么？学生思考几分钟后，教师引导学生得出结论：“这条线段是梯形中位线，因为它连接了两个非平行边的中点。
”3.性质讲解（25分钟）1）教师给出梯形中位线的定义：“梯形中位线是梯形两个非平行边的中点连线。
”2）教师给出性质一：“梯形中位线的中点是梯形的重心。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
3）教师给出性质二：“梯形中位线互相平分。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
4）教师给出性质三：“梯形中位线与两个底边的夹角相等。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
5）教师给出性质四：“梯形两对角线的交点在梯形中位线上。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
4.练习与讲评（30分钟）1）教师布置练习题目，让学生独立完成。
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13. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形； ⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图 形的是_______________．（填序号）
精讲精练
1. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相 交于点 O，则下列结论不一定正确的是（ ） A．AC=BD B．∠OBC=∠OCB C．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC
2. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为
（）
A．120°
B．60°
C．45°
6. 中心对称图形：_____________________________________________________________．
7. 中心对称图形上的_______________________________都被 ___________平分．
（3）梯形的中位线：_________________________________． （4）梯形中位线定理：________________________________ ___________________________________________________．
1
5. 四边形中的中点
2
5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，若 AC=BC+AD，则 ∠ACB=____________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，AC 的中点，若
△DEF 的周长为 10cm，则△ABC 的周长为_________．
7. 如图，在四边形 ABCD 中，R，P 分别是 BC，CD 上的点，E， F 分别是 AP，PR 的中点，当点 P 在 CD 上从点 C 向点 D 移 动而点 R 不动时，下列结论成立的是（ ） A．线段 EF 的长逐渐增大 B．线段 EF 的长逐渐减小 C．线段 EF 的长保持不变 D．线段 EF 的长与点 P 的位置有关
精讲精练
1. D 2. B 3. 12 4. 25 5. 60° 6. 20 cm 7. C 8. 23° 9. 8 10. C 11. 平行四边形，互相垂直，相等，相等且互相垂直 12. 3 13. ②④⑥
5
D．135°
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=30°，∠BCD=60°， 若 AD=4，AB= 4 3 ，则下底 BC 的长为____________．
第 3 题图
第 4 题图
4. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若 AD=3，BC=7，则梯形 ABCD 的面积为____________．
3. 梯形中常见的辅助线（把梯形转化为平行四边形或三角形）： ①作梯形的高，得到矩形和直角三角形； ②平移腰或对角线，得到平行四边形或三角形； ③延长两腰交于一点，得到两个三角形．
4. 中位线 （1）三角形的中位线：_______________________________； （2）三角形中位线定理：______________________________ ___________________________________________________．
梯形及中位线（讲义）
知识点睛
1. 梯形的定义：________________________________________．
2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．
3
10. 如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点 P，且点 P 恰好在梯形的中位线 EF 上．若 EF=3，则梯形 ABCD 的周长为（ ） A．9 B．10.5 C．12 D．15
11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________； 顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四 边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边 中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________ 的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．
4
【参考答案】 知识点睛
1. 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形 2. 等腰梯形两腰相等
等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 4. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； （3）连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线； （4）梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半． 5. 略 6. 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形 7. 每一对对应点所连成的线段，对称中心
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，E，F，G 分别是 AB， CD，AC 的中点．若∠ACB=66°，∠CAD=20°，则∠EFG=____．
第 8 题图
第 9 题图
9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M，N 分别是 BD，CE 的中点． 若 MN=6，则 BC=____________．