课堂小测试(2.2.1椭圆及其标准方程)
高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程课后知能检测 新人教B版选修21
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 椭圆的标准方程课后知能检测 新人教B 版选修2-1一、选择题1．若方程x 2m 2＋y 2m ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．m ＞3B ．m ＜－2C ．m ＞3或m ＜－2D ．m ＞3或－6＜m ＜－2【解析】 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＞m ＋6m ＋6＞0，∴m ＞3或－6＜m ＜－2.【答案】 D2．(2013·菏泽高二测试)已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对【解析】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝125. ∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1. 【答案】 A3．(2013·西安高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．4B ．2C ．8 D.32【解析】 由x 225＋y 29＝1，知a ＝5， 根据椭圆定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝10－2＝8.又O 为F 1F 2中点，N 为F 1M 中点，∴ON 为△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4. 【答案】 A4．已知A (0，－1)、B (0,1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B.y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0) D.y 24＋x 23＝1(y ≠0) 【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1，∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)．因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 【答案】 B5．(2013·吉林松原高二期末)已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3【解析】 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，∴mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12mn ＝1.设点M 到x 轴的距离为h ，则： 12×|F 1F 2|×h ＝1，又|F 1F 2|＝23，∴h ＝33. 【答案】 C二、填空题6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.【解析】 由椭圆的定义知：|F 2A |＋|F 1A |＋|F 2B |＋|F 1B |＝4a ＝20，∴|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＝20－12＝8.【答案】 8 7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m ＝________. 【解析】 当焦点在x 轴时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1，∴m ＝5；当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3.【答案】 3或58．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是________． 【解析】 ∵c 2＝9－4＝5， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1. ∵点(－3,2)在椭圆上，∴9a 2＋4a 2－5＝1，a 2＝15. ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 【答案】 x 215＋y 210＝1 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点．设椭圆C 上一点(3，32)到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4.∴2a ＝4，a 2＝4.∵点(3，32)是椭圆上一点， ∴32a 2＋322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．【解】 如图所示，连结AP ，∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |，∴|PB |＋|PA |＝|BP |＋|PC |＝4，∴P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. 11．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求P 点坐标．【解】 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2.且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，即2a ＝8，∴a ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23， ∴|y 0|＝3，y 0＝±3，代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23， ∴P 点坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3).。
高中数学 专题2.2.1 椭圆及其方程测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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椭圆及其方程（时间:25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．设F1,F2为定点,|F1F2|＝6，动点M满足｜MF1|＋｜MF2|＝6，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．圆D．线段［答案] D2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0）、(0，2）的椭圆方程为（) A.错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1［答案］D[解析］解法一：验证排除:将点(4，0）代入验证可排除A、B、C,故选D.解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m〉0,n>0），∴错误!，∴错误!，故选D。
3．椭圆ax2＋by2＋ab＝0（a〈b〈0）的焦点坐标是（)A．（±错误!，0）B．（±错误!，0)C．（0，±错误!）D．(0，±错误!)［答案］D［解析] ax2＋by2＋ab＝0可化为错误!＋错误!＝1,∵a〈b〈0,∴－a>－b>0，∴焦点在y轴上，c＝－a＋b＝错误!，∴焦点坐标为(0，±错误!)．4．“1<m〈2”是“方程错误!＋错误!＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案］C[解析] 方程错误!＋错误!＝1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴错误!，∴1<m<2，故选C。
选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程
实用文档 选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1、设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形2、若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是() A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x 26＝1C .y 24＋x 28＝1D .y 26＋x 210＝13、方程x 2|a|－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)实用文档4、椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，±66B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫±66，05、椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．46、设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线C ．圆D ．线段二、填空题7、“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．实用文档8、P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9、椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．三、解答题10、如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．11、已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M实用文档上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．12、根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.以下是答案一、选择题1、D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5.实用文档又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．]2、D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32验证即可．]3、B [|a |－1>a ＋3>0.]4、D5、B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.]6、D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|，∴动点M 的轨迹是线段．]二、填空题7、m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，实用文档则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n .8、4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )，因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴k max ＝4，k min ＝3.9、2 120°解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2.在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝实用文档 |PF1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.三、解答题10、解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20. ∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点．∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，实用文档去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1. 由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 3. 故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1. 即x 2900＋y 2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．11、解 ∵|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|PA |＝4，又∵|O 1A |＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，实用文档12、解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． ∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210， ∴a ＝10. 又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.实用文档。
课时作业10：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2．2.1 椭圆及其标准方程(二)一、基础过关1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝10，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．不存在C ．圆D ．线段 答案 B解析 由于动点M 到两定点的距离之和等于8且小于|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹不存在．2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 D解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.3．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32B. 3C.72D ．4答案 C解析 不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25.∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4. 故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点． 6．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 A解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)．又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.7．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．解 利用中垂线的性质，我们知道|P A |＝|PB |，|PB |＋|PF |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2>1，结合椭圆的定义，我们知道点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆．a ＝1，c ＝12，∴b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1. 二、能力提升8．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1] 答案 B 解析 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27. 由P A 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34. 数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.9．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.答案 6解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2，∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6.10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．答案 ②③解析 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2 (a >1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．∵点P (x ，y )在曲线C 上，∴点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．11．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2. 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1， 即x 2＋y 2＝36，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1， 即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 三、探究与拓展13.如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.∵A (1,0)，C (－1,0)，∴点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题 新人教A版选修21
2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。
高中数学选修2-1课时作业6：2.2.1 椭圆及其标准方程(二)
2.2.1 椭圆的标准方程（二）1．已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 [解析]选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6C ．7 D ．8[解析]选D.∵a ＝5，|PF 1|＝2.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×5－2＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 [解析]选A.c ＝1，a ＝12()2＋12＋0＋2－12＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1[解析]选B.由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]选C.mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m ＋y 21n ＝1，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n，因此椭圆焦点在y 轴上，反之亦成立．6．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值是________． [解析]当焦点在x 轴时，m －15＝1，m ＝16；当焦点在y 轴时，15－m ＝1，m ＝14.[答案]16或147．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．[解析]原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，因表示焦点在y 轴上的椭圆．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，2k ＞2.解得0＜k ＜1. ∴k 的取值范围是(0,1)．[答案](0,1)8．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．[解析]由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[答案]x 24＋y 23＝1 9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3,2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又点P (3,2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16,2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，即c ＝5.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1代入P (3,4)， 得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45，a 2＝5(舍去)．∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y P |＝5×4＝20. 能力提升1．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[解析]选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．2．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．[解析]当△PF 1F 2面积取最大时，S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. [答案]x 225＋y 29＝1 3．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1， 即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1， 解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 4. 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，如下图，求圆心P 的轨迹方程．解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|P A|＝10－r，即|P A|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，∴|P A|＋|PB|＞|AB|，∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.。
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1自我小测 2.2.1椭圆的标准方程
自我小测1．化简方程x 2＋(y ＋3)2＋x 2＋(y －3)2＝10为不含根式的形式是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 225＋y 29＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 29＋y 225＝1 2．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 是坐标原点)的值是( )A ．4B ．2C ．8 D.323．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m ＝( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．85．设F 1，F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的焦点，P 为椭圆上的一点，则△PF 1F 2的周长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．不确定6．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m ＝__________. 8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上任意一点，F 1，F 2是焦点，那么∠F 1PF 2的最大值是__________． 9．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为______．10．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝1及圆B ：(x －3)2＋y 2＝81，动圆P 与圆A 外切，与圆B 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．11．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程．12．如图，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．参考答案1．解析：由题意可知，方程表示点(x ，y )与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，6＜10，它符合椭圆的定义，即2a ＝10,2c ＝6，从而可求得b 2＝16.答案：C2．解析：设另一个焦点为F 2，则|MF 1|＋|MF 2|＝10，又|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8.而ON为△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4. 答案：A3．解析：因为|AC |＋|BC |＋|AB |＝18，所以|CA |＋|CB |＝10＞|AB |＝8.所以点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程为x 225＋y 29＝1，且y ≠0. 答案：D4．解析：因为焦点在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2>0，10－m >0，m －2>10－m⇒6＜m ＜10.又焦距2c ＝4，所以m －2－10＋m ＝22⇒m ＝8.答案：D5．答案：B6．答案：C7．解析：分两种情况：焦点在x 轴上或焦点在y 轴上．答案：3或58．解析：当点P 为(0，3)或(0，－3)时∠F 1PF 2最大，此时|PF 1|＝|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝2，故△PF 1F 2为等边三角形．答案：60°9．解析：因为点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1， 所以点P 在椭圆内且不过原点，所以2c ≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a .又因为a 2＝2，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，即c ＝1，所以2≤|PF 1|＋|PF 2|＜2 2.答案：hslx3y3h2,22)10．分析：利用椭圆的定义先判断出动圆圆心P 的轨迹是椭圆，再求其方程． 解：设动圆P 的半径为r .由所给圆的方程知，A (－3,0)，B (3,0)，由题意，可得|PA |＝r ＋1，|PB |＝9－r ，故|PA |＋|PB |＝r ＋1＋9－r ＝10＞|AB |＝6.由椭圆的定义知动点P 的轨迹是椭圆．其中2a ＝10,2c ＝6，即a ＝5，c ＝3，所以b 2＝16.故动圆圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 11．解：设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)，利用中点公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .因为Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 所以x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1. 故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4y 2＝1. 12．解：由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， 所以|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.②把②代入①解得|PF 1|＝65. 所以12PF F S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是353.。
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
∵y1≠0，∴y≠0.已知点 P 在椭圆上，将上面结果代入已知椭 3x2 圆方程，有 ＋(3y)2＝1 (y≠0)， 9
2.2.1
1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是
2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
跟踪训练 1 已知圆 A： (x＋3)2＋y2＝100， 圆 A 内一定点 B(3， 0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．
解
如图，设圆 P 的半径为 r，又圆 P 过
点 B，∴|PB|＝r. 又∵圆 P 与圆 A 内切， 圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2 y 2 ∴点 P 的轨迹方程为25＋16＝1.
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.1
探究点二 相关点法求轨迹方程 例 2 如图，在圆 x2＋ y2＝ 4 上任取一点 P， 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足． 当 点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？
解 设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， y0 则 x＝x0，y＝ 2 .从而得 x0＝x，y0＝2y
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.2.1
x2 2 4．椭圆 ＋y ＝1 上有动点 P，F1，F2 是椭圆的两个焦点， 9 求△PF1F2 的重心 M 的轨迹方程．
解 设 P，M 点坐标分别为(x1，y1)，(x，y) 9－1＝2 2. ∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝
课时作业25：2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2.1 椭圆及其标准方程A 组 基础巩固练一、选择题1．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．22B ．23C ．2 5D ．422．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A ．x 24＋y 22＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D ．x 26＋y 22＝1 3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线5．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1 B ．x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对二、填空题6．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．三、解答题9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)，B (－23，1)；(2)与椭圆x 23＋y 2＝1有相同焦点且经过点M (2，1)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|P A |，求动点P 的轨迹方程．B 组 素养提升练1．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．222．如图所示，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．4．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________．5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．参考答案 A 组 基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】由椭圆的定义可得P 到两焦点距离之和为2a ＝25．2．【答案】D【解析】由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6．∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1． 3．【答案】B【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B ． 4．【答案】B【解析】|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．] 5．【答案】C【解析】直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1． 当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1． 二、填空题6．【答案】⎝⎛⎭⎫0，±320 【解析】由25x 2＋16y 2＝1知焦点在y 轴上，且a 2＝116，b 2＝125，c 2＝116－125＝916×25，∴c ＝320． ∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320． 7．【答案】3【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3．8．【答案】(x ＋1)2＋y 2＝16【解析】如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a ．由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1．∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16．三、解答题9． 解：(1)设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝115，n ＝15，∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1． (2)由椭圆x 23＋y 2＝1，知焦点在x 轴上， 则a 2＝3，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3－1＝2，∴c ＝2，∴椭圆的两个焦点分别为(－2，0)和(2，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－2＝1(a 2>2)， 把(2，1)代入方程，得2a 2＋1a 2－2＝1， 化简，得a 4－5a 2＋4＝0，∴a 2＝4或a 2＝1(舍)，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1． 10．解：因为|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4，所以|PO 1|＋|P A |＝4，又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1．所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1． B 组 素养提升练1．【答案】B【解析】因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1．根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4．2．【答案】x 28＋y 22＝1 【解析】设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a ．∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b ． ∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3， 解得b 2＝2，则a ＝2b ＝22．∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1． 3．【答案】132【解析】易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132．] 4．【答案】23【解析】设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝23，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1，所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝23．5．解：由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ，∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3，∴m ＝2a 2－c 22a ＋c． 在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c， 所以2a 2－c 22a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ， 可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4． 由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1．。
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章 2.2 2.2.1请同学们认真完成练案[11]A 级 基础巩固一、选择题1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 2225＋y 2100＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 2100＋y 2225＝1[解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4.5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．53B ．103C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4.设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415.故选D ．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1. B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N是MF 1的中点，则|ON |的长为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝|MF 2|2＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D )A ．x 225＋y 29＝1B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ．3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a >3B ．a <－2C ．－2<a <3D ．－6<a <－2[解析] 由题意得a 2>a ＋6>0， 解得a >3或－6<a <－2，故选AD ．4．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1.故选AB ．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；③点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填③.6．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为__15__.[解析] 由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2a －|PF 2|＝10＋(|PM |－|PF 2|)≤10＋|MF 2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM |＋|PF 1|的最大值为15. 三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。