权重信息不完全的区间直觉模糊数多属性决策方法研究

权重信息不完全的区间直觉模糊数多属性决策方法研究卫贵武1, 21.西南交通大学经济管理学院，四川成都 （610031）2.川北医学院数学系，四川南充 (637007)E-mail：weiguiwu@摘要：针对权重信息不完全的区间直觉数多属性决策问题，首先引入了区间直觉模糊数的一些运算法则、区间直觉模糊数的得分函数和精确函数。

然后对权重信息不完全的区间直觉模糊数的多属性决策方法进行了研究，给出了一个基于最大偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于IIWAA算子对区间直觉模糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序。

最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。

关键词：区间直觉模糊数，运算法则，区间直觉模糊数加权算术平均(IIWAA)算子，不完全权重中图分类号：C931 文献标志码: A1. 引言自从1965年Zadeh教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。

1986年保加利亚学者Atanassov进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。

1993年Gau和Buehrer定义了Vague集[4]，Bustince和Burillo指出Vague 集的概念与Atanassov的直觉模糊集是相同的[5]。

由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。

因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。

2006年Xu教授对直觉模糊集环境下的几何集结算子进行了研究，提出了直觉模糊加权几何(IFWGA)算子，直觉模糊有序加权几何(IFOWGA)算子和直觉模糊混合几何(IFHG)算子，并且基于IFHG算子，给出了相应的决策方法[6]。

2007年Xu教授对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA算子和IFWAA 算子，给出了相应的群决策方法[7]。

Atanassov 等对直觉模糊集进一步推广，提出了区间直觉模糊集的概念[8]。

Atanassov定义了区间直觉模糊集的一些基本运算法则[9]。

Xu教授对区间直觉模糊信息的集成方法进行了研究，提出了区间直觉模糊数算术平均(IIAA)算子和区间直觉模糊加权算术平均(IIWAA)算子，区间直觉模糊数几何平均(IIGA)算子，区间直觉模糊数加权几何平均(IIWGA)算子，并将其应用于决策中[10]。

文献[11,12] 对区间直觉模糊数信息集结算子做了进一步研究,提出了区间直觉模糊有序加权平均(IIOWA)算子和区间直觉模糊数混合集结(IIHA)算子，并将其应用于决策中。

本文对权重信息不完全的区间直觉模糊数的多属性决策方法进行了研究，给出了一个基于最大偏差的目标规划模型，从而获得相应的属性权重，基于IIWAA算子对区间直觉模糊数信息进行集结，进而根据得分函数和精确函数对方案进行排序，最后进行了实例分析。

2. 区间直觉模糊集基本理论直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)由Atanassov提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。

直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。

定义1[2-3] 设X 是一个非空经典集合，()12,,,n X x x x =L ，X 上形如()(){},,AA A x x x x Xµν=∈的三重组称为X 上的一个直觉模糊集。

其中[]:0,1A X µ→和[]:0,1A X ν→均为X 的隶属函数，且()()01A A x x µν≤+≤，这里()(),A A x x µν分别是X 上元素x 属于A 的隶属度和非隶属度，表示为支持元素x 属于集合A 的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素x 属于集合A 的证据所导出的否定隶属度的下界。

例如()()[],0.5,0.2A A x x µν=⎡⎤⎣⎦，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞成，2人反对，3人弃权。

对于X 上的每一个直觉模糊集，称()()()1A A A x x x πµν=−−为直觉模糊集A 中元素x 的直觉指数，表示元素x 属于A 的犹豫度。

显然，()01A x π≤≤，x X ∈。

由于客观事物的复杂性和不确定性，()A x µ和()A x ν的值往往难以用精确的实数值来表达，而用区间数比较合适，因此Atanassov [8-9]等对直觉模糊集进行了拓展，提出了区间直觉模糊集。

定义2[8-9] 设X 是一个给定的论域，则X 上的一个区间直觉模糊集A 定义为()(){},,AAA x x x x X µν=∈%%其中：[]:0,1A X µ→%和[]:0,1A X ν→%，且对于A 上所有x X ∈，满足()()()()0sup sup 1A A x x µν≤+≤%%。

为方便，将区间直觉模糊集A 记为()()()(){},,,,LU L UAA A A A x x x x x x X µµνν⎡⎤⎡⎤=∈⎣⎦⎣⎦在实际计算中，可将区间直觉模糊数简记为：[][](),,,a b c d 其中：[][][][],0,1,,0,1,1a b c d b d ⊂⊂+≤。

定义3[10] 设[][]()11111,,,a a b c d =%和[][]()22222,,,aa b c d =%为任意两个区间直觉模糊数，则：(1) [][]()12121212121212,,,a a aa a ab b b bc cd d +=+−+−%%;(2) [][]()12121212121212,,,a a a a b b cc c cd d d d ⋅=+−+−%%;(3) ()()()1111111,11,,,0a a b c d λλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−>⎣⎦⎣⎦%; (4) ()()()()11111,,11,11,0a a b c d λλλλλλ⎡⎤⎡⎤=−−−−>⎣⎦⎣⎦%.根据定义3，可得如下运算法则[10]：(1) 1221a a a a +=+%%%%; (2) 1221a a a a ⋅=⋅%%%%(3)()1212,0;a a a a λλλλ+=+≥%%%%(4) ()1212,0a a a a λλλλ⋅=⋅≥%%%%;(5)()1212,0;a a a a λλλλ+=+≥%%%%(6) ()1212,0a a a a λλλλ⋅=⋅≥%%%% 定义 4[10] 设[][](),,,a a b c d =%为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的得分函数为()2a cb dS a −+−=%，()[]1,1S a ∈−% (1)如果()S a %的值越大，则相应的区间直觉模糊数[][](),,,aa b c d =%也越大。

定义 5[10] 设[][](),,,aa b c d =%为一个区间直觉模糊数，则该区间直觉模糊数的精确函数为()2a b c dH a +++=%，()[]0,1H a ∈% (2)如果()H a %的值越大，则相应的区间直觉模糊数[][](),,,aa b c d =%的精确度也越高。

定义6[10] 设[][]()11111,,,aa b c d =%和[][]()22222,,,a a b c d =%为两个区间直觉模糊数，那么(1) 如果 ()()12S a S a <%%，那么有12a a <%%；(2) 当()()12S a S a =%%时，如果()()12H a H a =%%，则12a a =%%；如果()()12H a H a <%%，则12a a <%%。

为方便记Q 为区间直觉模糊数集合。

定义7[10] 设()(),,,1,2,,j j j j j a a b c d j n ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%L 为一组区间直觉模糊数，令:n IIWAA Q Q →，若()()()1211111,,,11,11,,j j j j nn j jj n n n n j j j j j j j j IIWAA a a a a a b c d ωωωωωω======⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−−−−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠∑∏∏∏∏%%%%L (3)其中：()12,,,Tn ωωωω=L 为()1,2,,j a j n =%L 的属性权重，满足[]0,1j ω∈和11njj ω==∑。

则称函数IIWAA 为n 维区间直觉模糊数加权算术平均(IIWAA)算子。

特别地，当属性权重取值为()1,1,,1Tn n n ω=L ，则IIWAA 算子就退化为IIAA 算子，记为 ()1211,,,nn j j IIAA a a a a n ==∑%%%%L .例1.设[][]()10.1,0.3,0.5,0.6a =%，[][]()20.4,0.5,0.3,0.4a =%,[][]()30.6,0.8,0.1,0.2a =%和[][]()40.5,0.6,0.2,0.4a =%为四个区间直觉模糊数,()0.2,0.3,0.4,0.1Tω= 为()1,2,3,4j a j =%的属性权重，那么有 ()()()(4121444411110.20.30.40.10.20.30.40.10.20.30.40.10.2,,,11,11,,10.90.60.40.5,10.70.50.20.40.50.30.10.2,0.60.4j j j j n j jj j j j j j j j j IIWAA a a a a a b c d ωωωωωω======⎛⎞⎡⎤⎡⎤=−−−−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎝⎠⎡⎤=−×××−×××⎣⎦××××∑∏∏∏∏%%%%L )[][]()0.30.40.10.20.40.4567,0.6375,0.2056,0.3288⎡⎤××⎣⎦= 定义8[13]设()()()()()()()11111,,,1,2,,j j j j j a a b c d j n ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%L 和()()()()()()()22222,,,1,2,,j j j j j a a b c d j n ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦%L 为两组区间直觉模糊数，则该两组区间直觉模糊数间的加权海明距离为()()()()()()()()()()()121212121211,4nj jj j j j j j j j j j d a a w a a b b c c d d =⎡⎤=−+−+−+−⎣⎦∑%% (4)3. 权重信息不完全的区间直觉模糊数的多属性决策方法基于IIWAA 算子，提出了一种属性权重信息不完全，属性值为区间直觉模糊数的多属性决策方法。