2015年山东省威海市乳山市高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年山东省威海市乳山市高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|a≤x≤b}，集合B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若A ∩B=φ，A∪B=U，则a，b的值分别是（）A．﹣1，2 B．2，﹣1 C．﹣1，1 D．﹣2，22．（5分）命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是（）A．∃x∈R，2x≥0 B．∃x∈R，2x＜0 C．∀x∈R，2x≥0 D．∀x∈R，2x＜0 3．（5分）将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A．B．C．D．4．（5分）如图，阴影部分是由y=x2，x=2及x轴围成的，则阴影部分的面积为（）A．8 B．C．D．5．（5分）设a＞0，b＞0．若2a•2b=2，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．6．（5分）已知函数f（n）=其中n∈N*，则f（6）的值为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）已知等比数列{a n}的前n项积为Πn，若a2•a4•a6=8，则Π7等于（）A．512 B．256 C．81 D．1288．（5分）若实数x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）A．8 B．﹣8 C．﹣6 D．69．（5分）若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b10．（5分）已知=ad﹣bc，则++…+=（）A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣2016二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为．12．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=．14．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=28，则k=．15．（5分）设a＞1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为．三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[﹣，2]}，B={x||x﹣m|≥1}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|+3a（Ⅰ）当a=0时，写出不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积．19．（12分）奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，求实数k的取值范围．20．（13分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，等差数列{b n}的前n项和为{S n}，s4=20，b4=a3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）证明（a2+1）xlnx≥x﹣1，在区间[1，+∞）恒成立；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．2014-2015学年山东省威海市乳山市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|a≤x≤b}，集合B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若A ∩B=φ，A∪B=U，则a，b的值分别是（）A．﹣1，2 B．2，﹣1 C．﹣1，1 D．﹣2，2【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0，得x＜﹣1或x＞2，∴B={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，又∵A={x|a≤x≤b}，且A∩B=∅，A∪B=U，∴a=﹣1，b=2．故选：A．2．（5分）命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是（）A．∃x∈R，2x≥0 B．∃x∈R，2x＜0 C．∀x∈R，2x≥0 D．∀x∈R，2x＜0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是：∀x∈R，2x＜0．故选：D．3．（5分）将函数（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=f（x）=2sin（3x+），将f（x）=2sin（3x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得：y=f（x+）=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+），再将y=2sin（3x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式为y=2sin（x+），故选：B．4．（5分）如图，阴影部分是由y=x2，x=2及x轴围成的，则阴影部分的面积为（）A．8 B．C．D．【解答】解：阴影部分是由y=x2，x=2及x轴围成的，则阴影部分的面积为==；故选：B．5．（5分）设a＞0，b＞0．若2a•2b=2，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为2a•2b=2，所以2a+b=21，所以a+b=1，因为a＞0，b＞0．则=（a+b）（）=2+≥2+2=4，当且仅当即a=b=时等号成立；故选：B．6．（5分）已知函数f（n）=其中n∈N*，则f（6）的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由函数的解析式可得f（6）=f[f（11）]=f（8）=f[f（13）]=f（10）=10﹣3=7，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项积为Πn，若a2•a4•a6=8，则Π7等于（）A．512 B．256 C．81 D．128【解答】解：由等比数列的性质得，a2•a4•a6==8，解得a4=2，所以Π7=a1•a2…a7==27=128，故选：D．8．（5分）若实数x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）A．8 B．﹣8 C．﹣6 D．6【解答】解：在同一坐标系中，分别作出直线x+y﹣2=0，x=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由z=y﹣x，得y=x+z，此关系式可表示斜率为1，纵截距为z的直线，当直线y=x+z经过区域内的点A时，z最小，此时，由，得，即A（4，﹣2），从而z min=y﹣x=﹣2﹣4=﹣6．故选：C．9．（5分）若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=20.3＞1，c=log0.32＜0，∴c＜a＜b．故选：B．10．（5分）已知=ad﹣bc，则++…+=（）A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣2016【解答】解：∵=2n（2n+6）﹣（2n+2）（2n+4）=﹣8．又2012=4+8（n﹣1），解得n=252．∴=（4×10﹣6×8）+（12×18﹣16×14）+…+（2012×2018﹣2014×2016）=﹣8×252=﹣2016．故选：D．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程为．【解答】解：∵y=lnx，∴y′=，∴曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y﹣1=（x﹣e），整理，得．故答案为：．12．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cosB==，故答案为：．13．（5分）设向量，若向量与向量共线，则λ=2．【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为214．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=28，则k=6．【解答】解：由题意可得S k﹣S k=a k+1+a k+2=28，+2∴a1+kd+a1+（k+1）d=28又∵a1=1，公差d=2，∴1+2k+1+2（k+1）=28解得k=6故答案为：615．（5分）设a＞1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a[2，+∞）．【解答】解：当1≤x≤e时，g'（x）=1﹣=≥0，∴g（x）是增函数，最大值为g（e）=e﹣1；∵f'（x）=1﹣==，∴①当1＜a＜2时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最小值为f（1）=1+，令1+≥e﹣1，得2≤a＜2；②当2≤a≤e时，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（a）=，令≥e﹣1，解得a≥（e﹣1），取2≤a≤e；③当a＞e时，f（x）在区间[1，e]上是减函数，最小值为f（e）=e+，令e+≥=e﹣1，解得a2＞﹣e，取a＞e；综上，实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[﹣，2]}，B={x||x﹣m|≥1}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：先化简集合A，由，配方得：，∵，∴，∴．化简集合B，由|x﹣m|≥1，解得x≥m+1或x≤m﹣1．∴B={x|x≥m+1或x≤m﹣1}，∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B．∴，解得，则实数．17．（12分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|+3a（Ⅰ）当a=0时，写出不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，，∴由f（x）≥6，解得x≤﹣1，x≥2，∴不等式的解集是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；（Ⅱ）∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，当且仅当2x+1=3﹣2x，即取等号，∴要使不等式f（x）≥a2恒成立，则4+3a≥a2，解得：﹣1≤a≤4．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵ccosB，acosA，bcosC成等差数列，∴2acosA=ccosB+bcosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C）．又B+C=π﹣A，所以有2sinAcosA=sin（π﹣A），即2sinAcosA=sinA．而sinA≠0，所以，由及0＜A＜π，得A=．（Ⅱ）由，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在直角△ABC中，，面积为．若，在直角△ABC中，，面积为总之有面积为．19．（12分）奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=a x（a＞0，a≠1），则a2=4，∴a=2，∴．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，整理得m（2x+1）=2x+1，∴m=1，∴；（Ⅱ）∵，∴y=f（x）在R上单调递减．也可用为R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0解集非空，即对任意的t∈[0，5]，f（t2+2t+k）＞﹣f（﹣2t2+2t﹣5）解集非空．∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2t+k）＞f（2t2﹣2t+5）解集非空，又∵y=f（x）在R上单调递减，∴t2+2t+k＜2t2﹣2t+5，当t∈[0，5]时有实数解，∴k＜t2﹣4t+5=（t﹣2）2+1当t∈[0，5]时有实数解，而当t∈[0，5]时，1≤（t﹣2）2+1≤10，∴k＜10．20．（13分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，等差数列{b n}的前n项和为{S n}，s4=20，b4=a3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q．由已知得2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28可得a3=8．于是a2+a4=20．故，解得或．又数列{a n}为递增数列，故，∴，设等差数列{b n}首项为a1，公比为d．则有得b1=2，d=2，∴b n=2n．（Ⅱ），，两式相减得=∴．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）证明（a2+1）xlnx≥x﹣1，在区间[1，+∞）恒成立；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：．（Ⅰ）由已知，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即上恒成立，又∵当，∴a≥1．即a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅱ）∵a≥1时，f（x）在区间[1，+∞）单调递增，∴在区间[1，+∞）单调递增，，即，整理得（a2+1）xlnx≥x﹣1，（Ⅲ）当a≥1时，∵f'（x）＞0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）min=f（1）=0，当，∵f'（x）＜0在（1，e）上恒成立，f（x）在[1，e]上为减函数，∴，当时，令．又∵，∴，综上，f （x ）在[1，e ]上的最小值为 ①当时，；②当时，．③当a ≥1时，f （x ）min =0．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==><〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。