边坡及挡土墙变形局部化分析

T
(8)
& = 0 ，由此可导出塑性乘子率表达式 f
& f T De ε f T De f + kH
&= λ
(9)
另外，考虑变形局部化时材料的大应变和有限转动效应时，当前位形下应力对空间变形率求Lie导数
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可得客观应力率，文献[6]对不同形式的客观应力率有精辟论述，Jaumann应力率 σ 通过Lie导数求得为
& + ωσ − σω T 1 2 (Lvσ 3 + Lvσ 2 ) = σ = σ
式中： σ 2 = σ j e ⊗ ei ;
i j
∇
(10a)
& −u & T )为旋率张 & 为Chauchy应力率； ω = 1 2 (u σ 3 = σ ij ei ⊗ e j ; e为坐标基矢； σ
&F −1 ,F为变形梯度。 &=F 量， u
&f (σ ) &p = λ ε
相应的加卸载条件为
(4)
&f (σ , k ) = 0 & ≥ 0 , f (σ , k ) ≤ 0 , λ λ
(5)
& 为塑性乘子率；f≡ ∂ f/ ∂ σ为屈服函数的 其中：ε为总应变；εp为塑性应变；De为材料的弹性刚度， λ
梯度，由此定义塑性流动方向。 软化损伤量κ反应塑性流动诱致材料微观结构的变化，其变化率一般与塑性应变率相关，可由以下形 式表示
由于莫尔-库仑和Druker-Prager模型比较简单，土料弹模、摩擦角、剪胀角和孔隙比在计算时被视为 常数。而事实上这些量与加荷条件、应力路径和孔隙水压力等是密切相关的，所以可应用次塑性 (Hypoplasticity)模型。该模型的基本特点在于不需人为定义屈服函数和塑性势，将弹性和塑性变形综合 在一起不区分开，它能很好体现土颗粒密度和土料结构张量随变形历史、应力状态而改变的基本性态，次 塑性的详细论述参见文献[7]。该模型相应的率表达形式为
1 非局部连续模型的基本形式及其边界条件
一般而言，非局部场变量可引入任意材料的本构模型中。在具有各向同性软化损伤内变量的标准塑性 [5] 流动理论中 ，屈服函数为以下形式 f(σ,κ)=F(σ)-σY(κ) 式中：σ为应力；κ为软化损伤量；F(σ)为等效应力；σY为当前屈服应力。 (1)
收稿日期：2003-10-14 作者简介：冯吉利(1963-)，男，博士，副教授，主要研究方向为应用力学、结构材料及岩土工程。 1
k * (x ) =
Vr (x ) ∫V
1
w( x )k ( x + x )dx
(11)
式中：x为所考察点的整体坐标；为局部坐标；w为一非局部权函数；Vr称为材料特征尺度体积，
Vr ( x ) = ∫ wx dx 。
V
权函数一般用钟型函数表达：
2 2 w(x ) = 1 − x / R 0
由于式(11)为卷积形式，具体计算将以数值离散形式实现。则某点i对非局部量κ 的贡献由下式给出：
**k源自w( x − x )k (x )V (x ) = ∑ ∑ w( x − x )V
nipt i j j i nipt i j j
j
(14)
式中：nipt为积分点数；Vj为积分点特征体积；xj为积分点j处的坐标。 上面看起来似乎很简单的数值积分加权运算，在具体实现 时还得有一些比较复杂的具体问题需要解决。其中最重要的一 点是边界条件的非局部处理，在物体边界发生软化损伤后，移 动卷积核运动到此位置时，将会遇到计算上的困难，这是因为 此时在变形体当前位形下找不到与卷积核中的加权系数相对 应的全部软化损伤项。换言之，某点的特征体积不完全被包括 在变形体内，卷积核悬挂在变形体边界上，只要变形体边界出 现非线性软化损伤，这种现象就必然存在。上述问题的解决方 案有多种，本文设计了一种新的简单有效的方法，即在变形体 边界上的积分点一旦有软化损伤出现，则在该点影响域内将有 部分量是从变形体内映射复制而来，复制的量位于该积分点在 变形体内的影响域内，以便使边界上的积分点影响域是完整
图1 变形体边界上积分点的 非局部内变量影响域
的。需要强调指出，只要积分点的材料特征尺度超出变形体边界，都可用这一方式进行处理，该方法的基 本思路参见图1所示。
2 边坡和挡土墙变形破坏分析
对于将有限元法用于边坡或堤坝的稳定分析问题，已有Griffiths [10] 等 和Loukidis等 分别进行了充分论述。 对于由复杂材料和几何边界 条件组成的土工结构物，传统极限平衡法和图表法很难适用，这时有 限元法可以非常容易的针对上述结构物计算得到相应问题的安全系数 和极限载荷，而且已经证明用有限元法计算所得安全系数在相应问题 [10] 的塑性极限平衡上、下限解的范围内 。另外，有限元法可以考虑水 的孔隙压力和土的应力变形特性，而传统极限平衡法和图表法则是以 刚体作为基本前提的。
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能直接由实验测定，但通过对实验结果逆分析可间接推得。可靠的材料参数只有通过精心设计以反映材料 非局部效应的实验进行验证。材料特征尺度测定方面的相关实验目前仍不充分，特别是有关土料特征尺度 参数测定方法和结果的报道更为缺少。从物理直观的意义出发，局部剪切过程带至少应当包括两个材料参 2 2 数即宽度和长度， 而且宽度和长度应是独立的。 断裂力学中典型的Irwin参数rp＝K c/(πσ 0)便是反映弹塑 性断裂裂尖周围塑性区大小的特征尺度(其中Kc为断裂韧度，σ0为屈服应力)。行之有效的一种方法是拟合 试样名义强度的尺寸效应以确定材料的非局部特征尺度，换言之，将几何相似但具有不同尺寸的试样通过 [1] 实验来测定相应试样尺度的峰值荷载 (本文算例均按此方法反演确定土料特征尺度)。 为了检验本文所用非局部连续模型对网格 的敏感度，采用两种不同网格(单元数分别为400 和1600，采用4结点等参单元)进行计算。首先逐 步分段加载形成边坡的初始重力场，然后将所得 各点位移重新置零，接着开始模拟坡顶建筑物作 用下边坡的变形应力过程。随着外载的不断增 加，边坡沿某一部位逐渐产生软化损伤，最后形 成剪切局部化变形带，致使边坡失稳破坏，见图 3。从图3(a、c)可以发现，在非局部等效应变较 大部位可形成一条贯穿性剪切带；图3(b、d)给 出了边坡局部化破坏的可能形式和在局部、非局 部软化线性耦合条件下，非局部软化损伤的演化 方向。对非局部和局部连续模型的计算结果进行 比较后不难发现，非局部模型的结果对网格的划
图3 非局部等效塑性应变和变形演化矢量
分不敏感，因而结果显示出客观性；相反，局部连续模型应变软化随网格的精化，能量耗散趋于零，这在 物理上是不现实的(参见图4)。
图4 边坡顶部建筑物底竖向应力与竖向位移
图5 挡土墙尺寸及边界约束(单位：m)
下面检验局部与非局部连续模型计算分析挡土墙三维被动破坏问题的能力，事实上该问题可用平面问 题进行计算，这里主要是检验非局部连续模型能否在计算三维稳定破坏问题中发挥作用。挡土墙的形状尺 寸和边界约束条件如图5所示，左侧上半部水平向强制发生变形以模拟挡土墙后的土体产生被动土压力， 同样的几何尺寸用不同密度网格以检验结果对网格的敏感度。计算采用空间8结点等参单元，分别用两种 网格(1536和6566个单元)对局部连续和非局部连续模型进行计算。土本构关系采用次塑性模型，以说明非 局部连续模型对材料不同本构模型具有广泛适用性。土临界磨擦角φc＝31°(如果忽略土的黏结力，可近
&= ε &p k
或软化/硬化假设
(6)
& = σ Tε & p / F (σ ) k
将流动表达式(4)代入式(6)或式(7)，可得到
(7)
& = kλ & k
其中：k=‖f(σ)‖时，为应变软化；k=σ f(σ)/F(σ)时，为功软化。 在塑性屈服过程中，屈服函数必须满足等于零的条件，因此基本变量的变化率必须满足一致条件
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屈服应力的演化由下列软化损伤定律表示 σY(κ)=σ0+h(κ) 式中：σ0为屈服应力；h为软化损伤函数。导数H=dh/dκ称为软化塑性模量(一般为负)。 相关联弹塑性基本方程包括弹性应力应变关系： σ=De(ε-εp) 流动法则为 (3) (2)
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2004 年 12 月 文章编号: 0559-9350(2004)12-0021-06
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边坡及挡土墙变形局部化分析
冯吉利1，孙东亚2，丁留谦2，隋允康1
(1.北京工业大学，北京 100022；2.中国水利水电科学研究院 防洪减灾研究所，北京 100044) 摘要：本文将局部和非局部软化损伤线性结合在一起表示非局部软化损伤内变量，给出变形体边界上积分点非局 部内变量的复合映射方式。用非局部连续莫尔-库仑模型和次塑性模型(Hypoplasticity)，分别对边坡和挡土墙的 变形局部化破坏过程进行了模拟分析。二维、三维有限元计算结果表明，本文采用的软化损伤内变量非局部方式 和非局部边界的处理是行之有效的，反映材料微观性态的特征尺度以统计平均的方式表达，在材料本构关系中加 以体现，所得计算结果对有限元网格的划分具有不敏感性，因而用非局部连续模型模拟土工建筑物的变形破坏过 程具有可行性。 关键词：变形局部化；软化损伤；边坡稳定；次塑性模型；有限元 中图分类号：O347 文献标识码：A
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0≤ x ≤R R≤x
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