高中数学第三章不等式3.1不等关系习题精选北师大版必修5
高中数学 第三章 不等式 3.1.2 不等关系与不等式作业课件 北师大版必修5
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a>0，所以
1 a＋1<
1 ，故 a
1≥ a＋1
1 不成立；对于 a
D，a3－2＝a(a－m)2≥0，成立．
7．已知三个不等式 ab>0，bc－ad>0，ac－db>0(a，b，c，d∈
R)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组
成一个命题，则可组成的正确命题的个数是( D )
5．若 x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝(lnx)3，则( C )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
D．b<c<a
解析：因为1e<x<1，所以－1<lnx<0.令 t＝lnx，则－1<t<0，所以 a －b＝t－2t＝－t>0，所以 a>b.又因为－1<t<0，所以 0<t＋1<1，－2<t －1<－1，所以 c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)>0，所以 c>a，所以 c>a>b.故选 C.
(2)已知 a>b>0，则1a <
1； b
(3)已知 a∈R，则 a2＋a＋1 > 2a.
解析：作差、作商直接得结果；其中作差后注意配方法的应用．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
10．已知－π2<α<π2，－π<β<2π，则 2α－13β 的取值范围是
13．(13 分)设 a>0，b>0，试比较 aabb 与 abba 的大小．
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.1.1不等关系作业课件北师大版必修5 (1)
A．a>4b
B．(a＋4)(b＋4)＝200
a>4b C.a＋4b＋4＝200
D．a4>ab4＝b 200
8．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入 y 与销量 x 之间的 函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的 函数关系．(1)当销量为 x 时，该公司赢利；(2)当销量为 x 时，该 公司亏损．
x≥2，x∈N＋， y≥2，y∈N＋， 0.8×5x＋2×4y≤50，
x≥2，x∈N＋， 即y≥2，y∈N＋，
2x＋4y≤25.
11．如果[x]表示不超过 x 的最大整数，a＝[－3.1]，b＝[m]，c ＝[7.1]，且 a≤b≤c，那么实数 m 的取值范围是 －4≤m<8 .
解析：根据定义，可知 a＝－4，c＝7，所以－4≤b≤7，再根据定 义知，m 最小为－4，最大值也不能达到 8，因此 m 的取值范围是－ 4≤m<8.
解析：因购买的是全票，∴儿童的身高应超过 1.4 米．∴h>1.4.
10．某同学拿 50 元钱买纪念邮票，票面 8 角的每套 5 张，票 面 2 元的每套 4 张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述
x≥2，x∈N＋， y≥2，y∈N＋，
2x＋4y≤25
不等关系为
.
解析：设买票面 8 角的 x 套，买票面 2 元的 y 套， 由题意列不等式组，得
解析：设宿舍有 x 间，则学生有(4x＋19)人． 依题意有44xx＋ ＋1199<>66xx，－1， 解得129<x<225.又 x∈N＋， 故 x＝10 或 11 或 12.当 x＝10,11,12 时，4x＋19＝59,63,67.
15．(15 分)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家 ISP 公司可供选择，公司 A 每小时收费 1.5 元；公司 B 的收费规则 如下：在用户上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元(若超过 17 小时，按 17 小时计算)，如 图所示，假设一次上网时间 x 小时总小于 17 小时，那么，一次上 网在多长时间以内能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用 少？请用不等式写出其中的不等关系．
高中数学 3.1 不等关系练习 北师大版必修5
第三章 §1一、选择题1．(2014·四川理，4)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c[答案] D[解析] 本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bc cd ，cd>0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bd dc ，dc>0，由不等式的性质可知ac<bd ，所以选项D 成立．2．如果a ∈R ，且a2＋a<0，那么a ，a2，－a ，－a2的大小关系为( )A ．a2>a>－a2>－aB ．－a>a2>－a2>aC ．－a>a2>a>－a2D ．a2>－a>a>－a2[答案] B[解析] 因为a2＋a<0，所以a2<－a ，a<－a2，又由于a≠0，∴－a2<a2，即a<－a2<a2<－A ．故选B ．3．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a>0B ．a3＋b3<0C ．a2－b2<0D ．b ＋a>0[答案] D[解析] 利用赋值法：令a ＝1，b ＝0排除A ，B ，C ，选D ．4．若a>b>c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( )A ．ab>acB ．ac>bcC ．ab>bcD ．a|b|>c|b|[答案] A[解析] ∵a>b>c 且a ＋2b ＋3c ＝0，∴a>0，c<0.又∵b>c 且a>0，∴ab>aC ．选A ．5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( )A ．－2<α－β<0B ．－2<α－β<－1C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[答案] A[解析] 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A ．6．如果a ＞0，且a≠1，M ＝loga(a3＋1)，N ＝loga(a2＋1)，那么( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定[答案] A[解析] 当a ＞1时a3＋1＞a2＋1，y ＝logax 单增，∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．当0＜a ＜1时a3＋1＜a2＋1，y ＝logax 单减．∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，或对a 取值检验．选A ．二、填空题7．如果a>b ，那么下列不等式：①a3>b3；②1a <1b ；③3a>3b ；④lga>lgB ．其中恒成立的是________．[答案] ①③[解析] ①a3－b3＝(a －b)(a2＋b2＋ab)＝(a －b)[(a ＋b 2)2＋34b2]>0；③∵y ＝3x 是增函数，a>b ，∴3a>3b当a>0，b<0时，②④不成立．8．设m ＝2a2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m 、n 的大小关系是________．[答案] m≥n[解析] m －n ＝2a2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a2≥0.三、解答题9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：不等关系的不等式．[解析] 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧ 300x ＋150y≥2 000250 x ＋100 y≥1 500x≥0y≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋3y≥405x ＋2y≥30x≥0y≥0.10．(1)已知a>b ，e>f ，c>0.求证：f －ac<e －bC ．(2)若bc －ad≥0，bd>0.求证：a ＋b b ≤c ＋d d .[证明] (1)∵a>b ，c>0，∴ac>bc ，∴－ac<－bc ，∵f<e ，∴f －ac<e －bC ．(2)∵bc －ad≥0，∴ad≤bc ，又∵bd>0，∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d .一、选择题1．下列不等式：①x2＋3>2x(x ∈R)；②a3＋b3≥a2b ＋ab2(a ，b ∈R)；③a2＋b2≥2(a －b －1)中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 对于①，x2＋3－2x ＝(x －1)2＋2>0恒成立，对于②，a3＋b3－a2b －ab2＝a2(a －b)＋b2(b －a)＝(a －b)(a2－b2)＝(a －b)2(a ＋b)，∵a 、b ∈R ，∴(a －b)2≥0，而a ＋b>0，或a ＋b ＝0，或a ＋b<0，故②不正确，对于③，a2＋b2－2a ＋2b ＋2＝a2－2a ＋1＋b2＋2b ＋1＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴③正确，故选C ．2．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：( ) ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b ＞0；②若ab ＞0，c a －d b ＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab ＜0，又∵bc －ab ＞0， ∴1ab ·(bc －ad)＜0即c a －d b ＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b ＞0，∴ab(c a －d b )＞0，即：bc －ab ＞0，∴②正确；③∵c a －d b ＞0，∴bc －ad ab ＞0，又∵bc －ad ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．选C ．3．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x2＋1)≥lg2xB ．x2＋1>2xC ．1x2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥2[答案] C[解析] A 中x>0；B 中x ＝1时，x2＋1＝2x ；C 中任意x ，x2＋1≥1，故1x2＋1≤1；D 中当x<0时，x ＋1x ≤0.4．若a>b ，c>d ，则下列不等式中成立的一个是( )A ．a ＋d>b ＋cB ．ac>bdC ．a c >b dD ．d －a<c －b [答案] D[解析] ∵a>b ⇒－a<－bc>d ⇒d<c ⇒d －a<c －B ．∴选D ．二、填空题5．若1<a<3，－4<b<2，则a －|b|的取值范围是________．[答案] (－3,3)[解析] ∵0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a －|b|<3.6．已知1≤a ＋b≤4，－1≤a －b≤2，则4a －2b 的取值范围是________．[答案] [－2,10][解析] 令4a －2b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，∴4a －2b ＝(x ＋y)a ＋(x －y)B ．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ＋b≤4，－3≤3a －b ≤6.∴－2≤4a －2b≤10.三、解答题7．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解析] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤910×6x ＋6×8y≥3600≤x≤40≤y≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤95x ＋4y≥300≤x≤40≤y≤7.8．已知0<a ＋b<π2，－π2<a －b<π3，求2a 和3a －b 3的取值范围． [解析] ∵⎩⎨⎧ 0<a ＋b<π2－π2<a －b<π3，两式相加得－π2<2a<5π6.设3a －b3＝m(a ＋b)＋n(a －b)＝a(m ＋n)＋b(m －n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3m －n ＝－13，解得m ＝43，n ＝53.∴3a －b 3＝43(a ＋b)＋53(a －b)． ∴⎩⎨⎧0<43a ＋b <2π3－5π6<53a －b <5π9， 两式相加，得－5π6<3a －b 3<11π9.故2a ∈(－π2，5π6)，3a －b 3∈(－5π6，11π9)．。
(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y+的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．942．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．9-C ．92D ．92-4．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．45．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 6．若,x y 满足条件11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．8．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．59．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为（ ） A ．2B ．4CD．10．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 12．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0D ．11()()33ab<二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.15．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.16．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 17．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为______.18．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________． 19．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？23．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 24．已知函数()()231f x x a x b =-++.（1）当1a =，5b =-时，解不等式()0f x >；（2）当222b a a =+时，解关于x 的不等式()0f x <（结果用a 表示）.25．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．C解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b +的最小值. 【详解】由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根， 由韦达定理可得220a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数， 所以，()14114141495522222a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝.当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到： 4164164416(1)216(1)161111111a a a ab a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．8．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．9．B解析：B 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值． 【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=，表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上， 故220a b --+=，即22a b +=，∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++， 当且仅当22b aa b=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．10．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 12．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
新高中数学(北师大版,必修5)同步练习：3.1.1-3.1.2不等关系与不等式(含答案解析)
1.2 不等关系与不等式1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ； 如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b>0⇔a____b ； a －b ＝0⇔a____b ； a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b ⇔b____a(对称性)； (2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)； (3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ； (5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ； (7)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒a n ____b n ； (8)a>b>0，n ∈N ，n≥2⇒na____n b.一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a|c|>b|c| 2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a>a b 2D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a<b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b<ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b 4．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a 5．设a ，b ∈R ，若a －|b|>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a>0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a>0 6．若a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab>ac B ．ac>bc C ．a|b|>c|b| D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f(x)＝3x 2－x ＋1，g(x)＝2x 2＋x －1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 10．设n>1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a>b>0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．12．设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b>0⇔a>b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立； 对于C ，∵a<b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab ＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a －b≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x2＋x 2＝－－2＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数， ∴A>B.11．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b ＝＋2－b 2－－2＋b 22＋b 2＋＝－＋2－2＋b22＋b 2＋＝－＋2＋b 2∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴－＋2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝＋2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x ＜43时，f(x)＜g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f(x)＞g(x)．13．A [特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.] 14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y)2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。
北师大版高中数学必修五同步练测：3.1不等关系(含答案解析).docx
高中数学学习材料唐玲出品§1 不等关系（数学北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分） 1.如果c ＜b ＜a ,且ac ＜0，那么下列不等式中不一定成立的是（ ）A.ab ＞acB.c (b -a )＞0C. ＜D.ac (a -c )＜02.若1a <1b<0，则下列不等式：①a +b <ab ； ②|a |>|b |；③a <b ；④a 2<b 2中，正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A. 1a <1bB.a 2>b 2C. 21a c +>21b c + D.a |c |>b |c |4. 已知1，2∈(0，1)，记M ＝12，N12-1，则M 与N 的大小关系是( )A .M ＜NB .M ＞NC .M =ND .不确定二、填空题(每小题5分，共20分)5.若1＜α＜3， ＜β＜2，则α |β|的取值范围是_____________.6．已知a >b >0，c <d <0，则b ac -与a b d-的大7．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc ad >0，则c a db>0； ②若ab >0，c a db>0，则bc ad >0； ③若bc ad >0，c a db>0，则ab >0.其中正确命题的个数是 .8.设命题p ：若a ＞b ，则1＜ 1，q ：若1＜0，则ab ＜0.给出以下三个复合命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧q .其中真命题有 ____________ (填序号). 三、解答题(共60分) 9．（12分）已知f （x ） ，若1≤f （1）≤2，2≤f （2）≤3，求f （3）的范围.10．（12分）已知实数,,满足，，试比较,,的大小.11.（12分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：12．(12分) 已知，，.求证：，，不能都大于14.13.（12分）若二次函数y=f（x）的图像关于y轴对称，且1≤f（1）≤2，3≤f（2）≤4，求f（3）的范围.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§1 不等关系（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1 .C 解析：∵ c ＜b ＜a ，ac ＜0，∴ c ＜0，a ＞0.∴ b ＞c ⇒ab ＞ac ，∴ A 正确. ∵ b -a ＜0，∴ c (b -a )＞0，∴ B 正确. ∵ a ＞c ，∴2＜2；又当b =0时22，∴ C 不一定成立.∵ ac ＜0，a -c ＞0，∴ ac (a -c )＜0.2.B 解析：∵ 1a <1b<0，∴ b <a <0，∴ a +b <0<ab ，|b |>|a |，∴ a 2<b 2，故①④正确. 3.C 解析：∵ a >b ，c 2+1>0，∴ 21a c +>21bc +.4. B 解析：M N121211121 ，∵1，2∈(0，1)，∴1121)＞0，∴ M ＞N .二、填空题5.-3＜α-|β|＜3 解析：∵ -4＜β＜2，∴ 0≤|β|＜4.∴ -4＜-|β|≤0.∴ -3＜α-|β|＜3.6.b ac - a b d- 解析：由题意知 a >b >0， c > d >0， ∴ a c b d 0，∴ 0 1a c - 1b d -.∵ a b 0，∴ b a c - ab d-.7. 3 解析：由bc ad 0得bc ad ，又ab 0，∴ bc ab ad ab ，即c a d b，∴0，故①正确；由 ，，得ab( ) 0，即bc-ad 0，故②正确；由 >0，得bc ad ab->0，∵ ，∴ ，故③正确.8. ② 解析：∵ p 为假命题，q 为真命题，∴ p ∨q 为真命题.三、解答题9. 解法1：整体代换令f （3）=9a +b = ，则49,1,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得5,38.3m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即.因为1≤a +b ≤2，2≤4a +b ≤3， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193]. 解法2:巧妙换元令a +b =x ，4a +b =y ， 则a =y x -，b =4x y-，1≤x ≤2，2≤y ≤3.因为f （3）=9a +b =853y x-，6≤8y 5x ≤19， 所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].解法3：增元换元 令2,01,34,01,a b t t a b s s =++≤≤⎧⎨=++≤≤⎩解得1,3453t s a t s b -+⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩.因为0≤t ≤1，0≤s ≤1，且f （3）=9a +b =58143t s -+，所以2≤f （3）≤193，即f （3）的范围是[2，193].10.解：4 42= 2 2≥0，∴ c ≥b .又6 4 3 2，①4 4 2，②由①-②得2 2 22，即12.∵ 12= 12 234 ＞0，∴ 12＞a ，∴ b ＞a ，∴ c ≥b a .11．证明：∵ （b-c ）2≥0，∴ b 2+c 2-2bc ≥0，即b 2+c 2≥2bc.又a >0，∴ a （b 2+c 2）≥2abc .同理b （c 2+a 2）≥2abc ，c （a 2+b 2）≥2abc .∵ a ，b ，c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号. 故12. 证明：假设（1-a ）b14，（1-b ）c 14，（1-c ）a 14， 由（1a - b ）2≥0，展开得(1)2a b -+≥(1)a b ->12. 同理可得(1)2b c -+>12，(1)2c a -+>12.∴ (1)2a b -++(1)2b c -++(1)2c a -+>32，即32>32，矛盾. ∴ 原结论成立.13. 解：设f （x ）=ax 2+c （a ≠0），又∵ f （3）=9a +c ，故设λ1f （1）+λ2f （2）=f （3），则有121249,1,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得125,38,3λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ f （3）=8(2)5(1)3f f -.∵ 1≤f （1）≤2，3≤f （2）≤4， ∴ 5≤5f （1）≤10，24≤8f （2）≤32. ∴ 14≤8f （2） 5f （1）≤27. ∴143≤8(2)5(1)3f f -≤9，即143≤f （3）≤9.。
新版高中数学北师大版必修5习题第三章不等式3.1
§1不等关系课时过关·能力提升1.已知a<0,1<b<0,则()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a2 D.ab>ab2>a1<b<0,∴1>b2>0>b>1,即b<b2<1,在两边同乘a(a<0),∴ab>ab2>a.2.已知x>0,y>0,M=x+y2,N=2xyx+y,则M与N的大小关系为()A.M>NB.M≥NC.M≤ND.M<NMN=(x+y)2-4xy2(x+y)=(x-y)22(x+y).∵x>0,y>0,∴x+y>0.又(xy)2≥0,∴MN≥0,即M≥N.3.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式表示就是()A.{x≥95,y≥380,45B.{x≥95,y>380,z≥45C.{x>95,y>380,z>45D.{x≥95,y>380,z>454.已知a,b,c均为实数,有下列命题:①a<b<0,则a2<b2;②ab<c,则a<bc;③a>b,则c2a<c2b;④a>b,则1a <1b.其中,正确的个数是()B.2C.3D.4特殊值法.令a=2,b=1,则4>1,故①错;②当b<0时,有a>bc,故②错;③当a>b时,有2a<2b,从而c2a<c2b,故③正确;④当a>0,b<0时,显然有1a >1b,故④错.综上可知,只有③正确,故选A.5.已知a,b,c∈R,且c≠0,则下列命题正确的是()A.如果a>b,那么ac >bcB.如果ac<bc,那么a<bC.如果a>b,那么1a <1bD.如果a>b,那么ac2>bc2,取a=2,b=1,c=1,满足A,B,C中的条件.对A有ac <bc,故A错;对B有a>b,故B错;对C有1a >1b,故C错;对于D,∵c≠0,∴1c2>0,由不等式的性质知,选项D正确.6.已知0<a<1,x=log a√2+log a√3,y=12log a5,z=log a√21log a√3,则()A.x>y>zB.z>y>xD.z>x>yx,y,z变成同底数的式子,再比较真数的大小,利用对数函数的单调性来分析:.x=log a√2+log a√3=log a√6,y=12log a5=log a√5,z=log a√21log a√3=log a√7,由0<a<1知,函数f(x)=log a x为减函数,故y>x>z.7.已知x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)g(x).(x)g(x)=3x3(3x2x+1)=(3x33x2)+(x1)=3x2(x1)+(x1)=(x1)(3x2+1).∵x≤1,∴x1≤0.又3x2+1>0,∴(x1)(3x2+1)≤0.∴f(x)≤g(x).8.已知1<2x1<1,则2x1的取值范围是.+∞)9.设角α,β满足π2<α<β<π2,则αβ的范围为.,要注意α<β这个条件.∵π2<α<π2,π2<β<π2,∴π<αβ<π.∵α<β,∴αβ<0.故π<αβ<0.π,0)10.某商城的某店准备在“双十一”期间进行商品降价酬宾活动,酬宾方案如下:(1)购买100元以下的商品打九折;(2)购买超过100元(含100元)但不超过500元的商品,前100元部分打九折,超过100元部分打八折;(3)购买超过500元(含500元)的商品,前500元部分按方案(2)打折,剩余部分打七五折.某人打算在该店购买x元商品,且希望得到至少200元的优惠,则x所满足的条件是.100元最多优惠10元,不超过500元最多优惠10+80=90元,因此要得到200元的优惠,肯定要超过500元,因此x所满足的条件是90+0.25(x500)≥200.+0.25(x500)≥20011.若a≠1,且a∈R,试比较11+a与1a的大小.因为11+a (1a)=a21+a,所以当a>1,且a≠0时,11+a>1a;当a<1时,11+a<1a;当a=0时,11+a=1a.★12.已知三个不等式:①ab>0,②ca >db,③bc>ad.以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,写出所有能成立的不等式命题,并证明.,然后再证明每个命题是否正确.,余下的一个作为结论,共有三个命题,依次是①②⇒③;②③⇒①;①③⇒②.(1)∵ca −db=bc-adab>0,ab>0,∴bcad>0,即bc>ad.故命题①②⇒③是正确的.(2)∵ca −db=bc-adab>0,且bc>ad,∴ab>0.故命题②③⇒①是正确的.(3)∵ca −db=bc-adab,且ab>0,bc>ad,∴bc-adab >0,即ca−db>0,即ca >db.故命题①③⇒②是正确的.综上所述,命题①②⇒③,②③⇒①,①③⇒②都是正确的.。
北师大版数学高二-必修5试题 3-1-1不等关系与不等式(一)
第三章 不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 不等关系与不等式（一）双基达标 (限时20分钟)1．设M ＝4＋x 2，N ＝4x ，则M 与N 的大小关系为 ( )．A ．M ≥NB ．M ＝NC ．M ≤ND ．与x 有关解析 ∵M －N ＝4＋x 2－4x ＝(x －2)2≥0.∴M ≥N .答案 A2．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为 ( )．A ．v ≤120(km/h)或d ≥10(m.)B.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120(km/h )d ≥10(m ) C ．v ≤120(km/h)D ．d ≥10(m)解析 最大限速与车距是同时的，故选B.答案 B3．若a ∈R ，且a 2＋a ＜0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是 ( )．A ．a 2＞a ＞－a 2＞－aB ．－a ＞a 2＞－a 2＞aC ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2解析 由a 2＋a ＜0得－a 2＞a 可排除A 、C 、D ，故选B.答案 B4．若a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b 与1a ＋b的大小关系是________． 解析 ∵1a ＋1b －1a ＋b ＝(a ＋b )2－ab ab (a ＋b )＝a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )＞0， ∴1a ＋1b ＞1a ＋b. 答案 1a ＋1b ＞1a ＋b5．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T (吨)满足的关系为________．解析 由生活常识易知：T ≤40.答案 T ≤40.6．已知a ＞0，b ＞0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小． 解 ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝ a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(a －b )ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab， ∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a b ＋b a≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 综合提高（限时25分钟）7．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是 ( )．A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200解析 依题意得50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200.答案 D8．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )．A.1a ＜1bB ．a 2＞b 2 C.a c 2＋1＞b c 2＋1D ．a |c |＞b |c |解析 (1)特值法 令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入A ，B ，C ，D 中，可知A ，B ，D 均错．故 选C.(2)直接法 ∵a ＞b ，c 2＋1＞0，∴a c 2＋1＞bc 2＋1. 答案 C9．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器不小于B 容器的容积．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为________；________；________.解析 由题意易知三个不等关系用不等式可分别表示为a ＜b ，a ＞b ，a ≥b .答案 a ＜b a ＞b a ≥b10．下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R )；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R )；③a 2＋b 2≥2(a ＋b －1)中正确不等式的序号为________．解析 ①中，∵x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2＞0，∴x 2＋3＞2x ，故①正确．②中，∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )，虽然(a －b )2≥0，但a ＋b 的正负无法确定，故②不正确．③中，∵a 2＋b 2－2(a ＋b －1)＝a 2＋b 2 －2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故③正确．答案 ①③11．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需消耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需消耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．写出满足上述所有不等关系的不等式．解 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0.12．(创新拓展)已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a.试将A ，B ，C ，D 按大小顺序排列．解 ∵－12＜a ＜0，∴不妨取a ＝－14， 则A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜想：D ＜B ＜A ＜C .只需证明C －A >0，A －B ＞0，B －D ＞0即可．∵B －D ＝(1－a 2)－11－a ＝a 3－a 2－a 1－a＝a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122－541－a， 又－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又－1＜a －12＜－12， ∴14＜⎝⎛⎭⎫a －122＜1，故⎝⎛⎭⎫a －122－54<0， ∴a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122－541－a＞0，∴B ＞D . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B .∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝ －a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a， 又1＋a ＞0，－a ＞0，⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0， ∴－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a＞0，∴C ＞A . 综上可得A ，B ，C ，D 四个数的大小顺序是C ＞A ＞B ＞D .。
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§1不等关系
课后篇巩固探究
A组
1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量
T(吨)满足关系为()
B.T>40
A.T<40
D.T≥40
C.T≤40
答案:C
2.把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是()
A.如果a=b,c=d,那么a-c=b-d
B.如果a=b,c=d,那么ac=bd
C.如果a=b,c=d,且cd≠0,那么
D.如果a=b,那么a3=b3
解析:由不等式性质知只有D选项仍然成立,即若a<b,则a3<b3.
答案:D
3.若a>b,则下列各式正确的是()
B.ax2>bx2
A.a lg x>b lg x
D.a·2x>b·2x
C.a2>b2
解析:对任意的x,2x>0.又因为a>b,所以a·2x>b·2x.
答案:D
4.若a>b>c,则的值为()
B.负数
A.正数
D.非负数
C.非正数
解析:因为a>b>c,所以b-c>0,c-a<0,b-a<0.
所以>0.
答案:A
5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是()
A.-π≤2α-β<0
B.-π<2α-β<π
C.-<2α-β<
D.0<2α-β<π
解析:由-<α<β<,得-π<α-β<0,-<α<.
所以-<α+(α-β)<,
即-<2α-β<.
答案:C
6.若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是.
解析:因为-4<b<2,所以0≤|b|<4,
所以-4<-|b|≤0.
又因为1<a<3,所以-3<a-|b|<3.
答案:(-3,3)
7.已知1<a<b,比较大小:log a b log b a(填“>”“<”或“=”).
解析:log b a=,因为1<a<b,所以log a b>1.
所以log b a<1,
所以log a b>log b a.
答案:>
8.导学号33194055已知a>b>c>d>0,且a,b,c,d成等差数列,则lg,lg,lg的
大小顺序为.
解析:因为a,b,c,d成等差数列,
所以2b=a+c,2c=b+d.
所以=-<0.
所以.
同理,所以0<,
所以lg<lg<lg.
答案:lg<lg<lg。