5.6几何证明举例(5)HL

D
D
C
E
C
E
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧， 交射线CE于点A; M B
D
⑷ 连接AB.
M B
D
C
A
E
C
A
E
△ABC就是所求作的三角形.
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中
D E B
AB ^ BD, ED ^ BD, C是BD上一点 1、已知： 且AC = EC , AC ^ EC 求证：BD = AB + ED
A
E
B
C
D
已知一直角边和斜边作直角三角形
a
c
已知：线段a、c 求作Rt∆ABC使直角边BC=a斜边AB=c
⑴ 作直线DE，在直线DE上任 取一点C,过点C作射CM⊥DE M ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M B
1
2
4
3
C/
AA/
定理： 如果一个直角三角形的斜边
和一条直角边与一个直角三角形的斜 边分别相等，那么这两个直角三角形 全等。
简单的用“斜边、直角边”或“HL”表示
符号语言：在Rt∆ABC和Rt∆DEF中 AB=DE A AC=DF ∴ Rt∆ABC ≌ Rt∆DEF （HL）
D
B
C
E
F
课堂练习
如图：已知ＡＣ＝ＢＤ，∠C= ∠D=90°， 求证(1)Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆BAD
证一证
已知：如图，在Rt△ＡＢＣ和 Rt△Ａ‘Ｂ’Ｃ‘中，∠ＡＣ Ｂ=∠Ａ‘Ｃ’Ｂ‘=90°，Ａ Ｂ＝Ａ‘Ｂ’，ＡＣ＝Ａ‘Ｃ’B/ 求证Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆A/B/C/Ａ‘（Ａ）
A/
A
C/
C
B
,
Ｂ ‘
Ｃ‘（Ｃ）
ＢLeabharlann 将两个直角三角形的斜边重合在 一起，你能证明两个直角三角形 全等吗？
C B(B/)
按照下面的步骤画Rt△A´B´C´ ⑴ 作∠MC´N=90°;
A
∟
B
C A´ N
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. M B´
∟
C´
练习
已知：AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC ,CE=BF, 求证：CD‖AB
C F A
A
{
B
P D
C
∴△ABC≌△DEF (ASA)
{
∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
E
Q
F
小结：
• 1、应用斜边直角边（H.L.）公理判定两个 三角形全等，要按照公理的条件，准确地 找出“对应相等”的边和角； • 2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注 意充分利用图形中的隐含条件，如“公共 边、公共角、对顶角等等”； • 3、要认真掌握证明两个三角形全等的推理 模式。
复习提问
1.你现在了解几种全等 三角形的判定方法
• • • • 1.边边边 2.两边夹角 3.两角夹边 4.两角及对边 简称 简称 简称 简称 “SSS” “SAS” “ASA” “AAS”
2. 两边及其中一边的对角对应 相等的两个三角形全等吗？
当 AB=A’B’ AC=A’C’ 成立吗? ∠B=∠B’ △ABC≌△A’B’C’
(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF BD＝CD ∴ △BED≌△CFD(H.L)
∴∠B=∠C
∴AB=AC ∴ △ABC是等腰三角形。
(第 1 题)
例4
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。 再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
作业：
• 课本P186 练习第1、2题
D
O
C
(2)OA =OB
A
B
证明：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０° ∴ ∆ABC 与∆BAD都是直角三角形 在Ｒt∆ABC 与Ｒt ∆BAD中 ∵ＡＢ＝ＢＡ， ＡＣ＝ＢＤ， ∴Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆BAD（Ｈ.Ｌ.).
例3
1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB，
DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF， 求证：△ABC是 等腰三角形。