核反应堆物理分析r5

得到中子扩散方程
v 1 ∂φ (r , E , t ) v v v = −∇D∇φ (r , E , t ) − Σt (r , E )φ (r , E , t ) ∂t υ ∞ v v + ∫ Σ s (r , E ′ → E )φ (r , E ′, t )dE ′
0
v v v ′)Σ f (r , E ′)φ (r , E ′, t )dE ′ + S (r , E ′, t ) + χ (E)∫ ν (E
2
反射层的双群方程
v v − D1,r ∇ 2φ1,r (r ) + Σ r ,rφ1,c (r ) = 0 v v v − D2,r ∇ 2φ2,r (r ) + Σ a 2,rφ2,r (r ) = Σ1→2,rφ1,r (r )
双群方程的解
芯部方程的解析求解 由（5-19）式的快群中子通量密度： 1 v v v φ1,c (r ) = [− D2,c ∇ 2φ2,c (r ) + Σ a 2,cφ2,c (r )] Σ1→2,c 代入（5-18），得只含热群同量密度的方程： ′ 1 1 2 v v k∞ − 1 v 4 ∇ φ2,c (r ) − ( + 2 )∇ φ2,c (r ) − φ2,c (r ) = 0 τ c Lc τ c L2 c 为求解上述方程，对其进行因式分解得： (∇ 2 + µ 2 )(∇ 2 −ν 2 )φ2,c = 0
0 0
上式只是对于临界系统才是成立的，在一般情况下， 可采用在方程右端裂变源项中除以有效增值系数，从 而人为地使其达到临界状态。
v v v −∇D∇φ (r , E ) + Σt (r , E )φ (r , E ) =∫
∞ 0
χ (E) ∞ v v v v Σ s (r , E ′ → E )φ (r , E ′)dE ′ + ν ( E ′)Σ f (r , E ′)φ (r , E ′)dE ′ keff ∫0
二维差分方程的建立
(i, j + 1) j +1
∆yi
j+
4 1
(i − 1, j )
(i, j )
3
1 2
(i + 1, j )
∆y j −1
2
j−
∆xi −1
∆xi
(i, j − 1)
1 2
1 i −1 i − 2
i
i+
1 2
i +1
（i,j）网格示意图
针对网络节点图，将方程在节点附近区域积分得方程 中第一项表达式：
根据克莱姆法则，为使方程有非零解，必须有：
[X ] s [X ] ∆= 1 [ X ′] [Y ] s2 [Y ] [Y ′] −[ Z1 ] − s3[ Z1 ] − ρ 2 [ Z1′] 0 −[ Z 2 ]
0 ′ s1[ X ′] s2 [Y ′] − ρ 2 s3[ Z1′] − ρ 2 [ Z 2 ]
T1 = − ∫ ∂ ∂φ ( x, y ) D ( x, y ) dx y j −1/ 2 xi −1/ 2 ∂x ∂x y j +1/ 2 ∂φ ∂φ = −∫ [ D ( xi +1/ 2 , y ) |xi+1/ 2 − D( xi −1/ 2 , y ) |xi−1/ 2 ]dy y j −1/ 2 ∂x ∂x
方程（5-23）的解可以写成： v v v φ1,r (r ) = GZ 2 (r ) + s3φ1,r (r ) = GZ 2 (r ) + s3 FZ1 (r ) 把上式代入（5-23）得： v v Σ1→2,r v 2 2 s3∇ φ1,r (r ) − s3k2,r (r ) + φ1,r (r ) = 0 D2,r 其中： Σ1→2,r 1 s3 = 2 2 D2,r k2,r − k1,r
Σ1→2,c Σ1→2,c A′ 1 = s1 = = 2 2 A D2,c µ + 1/ Lc Σ a 2,c + D2,c µ 2 Σ1→2,c Σ1→2,c C′ 1 = s2 = = 2 2 C D2,c 1/ L −ν Σ a 2,c − D2,cν 2
得芯部中子通量密度的普遍解为： v v v φ1,c (r ) = AX (r ) + CY (r ) v v v φ2,c (r ) = s2 AX (r ) + s2CY (r ) 例如，对于芯部半径为R，高为H的侧面带有反射层的 圆柱形堆：
v
v
双群临界方程及中子通量密度分布
双群临界方程 前面求出的中子通量密度的解中有四个待定常数，它们 可以由边界条件来确定：
[φ1,c ] = [φ1,r ], [φ2,c ] = [φ2, r ] ′ ′ D1,c [φ1,c ] = D1,r [φ1,r ], ′ ′ D2,c [φ2,c ] = D2,r [φ2,r ]
y j +1/ 2 xi+1/ 2
dy ∫
应用近似公式：
φi +1, j − φi , j ∂φ |xi +1/ 2 ≈ , ∂x ∆xi φi , j − φi −1, j ∂φ |xi −1/ 2 ≈ ∂x ∆xi −1
方程（5-64）中各项表达式
φi +1, j − φi , j 1 φi , j − φi −1, j 1 T1 = − [ D2 ∆y j −1 + D3 ∆y j ] + [ D1∆y j −1 + D4 ∆y j ] 2 2 ∆xi ∆xi −1
v φ1,c (r ) = [ AJ 0 ( µ r ) + CI 0 (ν r )]cos Bz z v φ2,c (r ) = [ s1 AJ 0 ( µ r ) + s2CI 0 (ν r )]cos Bz z
反射层方程的解
φ 方程（5-22）为齐次方程，其解为： 1,r (r ) = FZ1 (r )
少群常数 指能群的数目在2~4群以内。对压水堆最常用的就是双 群模型。
ENDF/B库
处理程序 NJOY
多群常数库
堆芯扩散计算
少群常数
栅元或组件多 群能谱计算
5.2 双群扩散理论
把堆内中子按能量大小划分为两群：热群 快群 热群和快群 热群 快群。 分界能：水堆为0.6~1eV，高温气冷堆为2.5eV。 双群扩散理论在一般情况下，需要应用数值方法近似 求解。在一些简单的情况下，双群扩散方程还是可以 解析求解的。这些解析求解的方法和所得的结果，对 核反应堆物理分析，尤其是从教学角度来说，是基本 的具有重要意义的。
分群扩散理论及多群中子扩散方程
分群扩散理论： 分群扩散理论：把中子能量的大小划分成G个能区， 每个能量区间称为一个能群。 在每个能群区间内对方程积分，可以消去方程中的能 量变量，即
−∇∫ D∇φ dE + ∫ Σtφ dE = ∫
∞ v v dE ∫ Σ s (r , E ′ → E )φ (r , E ′)dE ′ 0
0∞Βιβλιοθήκη 在稳态和无源情况下方程为v v v −∇D∇φ (r , E ) + Σt (r , E )φ (r , E ) ∞ ∞ v v v v = ∫ Σ s (r , E ′ → E )φ (r , E ′)dE ′ + χ ( E ) ∫ ν ( E ′)Σ f (r , E ′)φ (r , E ′)dE ′
在上述边界条件下得：
A[ X ] + C[Y ] − F [ Z1 ] = 0 s1 A[ X ] + s2C[Y ] − s3 F [ Z1 ] − G[ Z 2 ] = 0 A[ X ′] + C[Y ′] − ρ1 F [ Z1′] = 0 ′ s1 A[ X ′] + s2 C[Y ′] − s3 ρ 2 F [ Z1′] − G ρ 2 [ Z 2 ] = 0
双群方程
芯部双群方程
1 v v v v − D1,c ∇ φ1,c (r ) + Σ r ,cφ1,c ( r ) = [(νΣ f )1,c φ1,c (r ) + (νΣ f ) 2,c φ2,c (r )] keff v v v − D2,c ∇ 2φ2,c (r ) + Σ a 2,cφ2,c (r ) = Σ1→2,cφ1,c (r )
二维扩散方程的数值解法
不考虑中子自低能群的向上散射，方程（5-52）为：
v v v ( ( ( − Dg ∇ 2φgn ) (r ) + Σ r , gφgn ) (r ) = S gn ) (r ), g = 1, 2,L , G Σ r , g = Σt , g − Σ g − g S
(n) g
φi , j +1 − φi , j 1 φi , j − φi , j −1 1 T2 = − [ D4 ∆xi −1 + D3∆xi ] + [ D1∆xi −1 + D2 ∆xi ] 2 ∆y j 2 ∆y j −1
=0
中子通量密度分布
5.3 多群扩散方程的数值解法
源迭代法
在无外源情况下，反应堆多群扩散方程写成：
G χg v v v v −∇Dg ∇φg (r ) + Σt , gφg (r ) − ∑ Σ g ′→ gφg ′ (r ) = Q(r ) keff g ′ =1
g = 1, 2,L , G
第5章 分群扩散理论 章
5.1 与能量相关的中子扩散方程 分群扩散理论 与能量相关的中子扩散方程\分群扩散理论
与能量相关的中子扩散方 程 泄漏率 v
v v v L = divJ (r , E ) = −divD(r , E )gradφ (r , E ) v = −∇D∇φ (r , E )