数学选修4-5不等式选讲教案
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ⇒a>c 。
③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c 。
推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．⑤、如果a>b >0，那么n nba >(n ∈N ，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。
三、典型例题：例1、已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．例2已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >。
四、练习：五、作业：课 题： 含有绝对值的不等式的证明目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b baba 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b baba 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+ 如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明 c b c a b a -+-≤-。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）2,2c b y c a x <-<- ， ∴c cc b y a x =+<-+-22 （2）由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()( 例5、已知.6,4ay a x <<求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x << ，∴23,22ay a x <<，由例1及上式，a aa y x y x =+<+≤-223232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：四、练习：1、已知.2,2cb Bc a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。
2、已知.6,4cb yc a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、作业：课 题： 含有绝对值的不等式的解法目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。
a - 图1-1 a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。
设a 为正数。
根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。
如图1-2所示。
–a a 图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：例1、解不等式213+<-x x 。
例2、解不等式x x ->-213。
方法1：分域讨论★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？）例3、解不等式52312≥-++x x 。
例4、解不等式512≥-+-x x 。
解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。
原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5。
因为1，2的距离为1，所以x 在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）)2÷；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2。
这就是说，4≥x 或.1-≤x例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
三、小结：四、练习：解不等式1、 .1122>-x2、01314<--x3、 423+≤-x x .4、 x x -≥+21.5、 1422<--x x6、 212+>-x x .7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x 9、 21<++x x 10、 .24>--x x五、作业：链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。
关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。
我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
1．解不等式121+≤-+-x x x 。
题意即是在数轴上找出到11=ξ与22=ξ的距离之和不大于到点13-=ξ的距离的所有流动点x 。
首先在数轴上找到点11=ξ，22=ξ，13-=ξ（如图）。
3ξ 1x 1ξ 2ξ 2x x-1 0 1 2 3从图上判断，在1ξ与2ξ之间的一切点显示都合乎要求。
事实上，这种点到1ξ与2ξ的距离和正好是1，而到3ξ的距离是)21(1)1(2≤≤+=-+x x x 。
现在让流动点x 由点1ξ向左移动，这样它到点3ξ的距离变，而到点1ξ与2ξ的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于13-=ξ与11=ξ之间的某一个点1x 。
由),1()2()1(111--≤-+-x x x 可得.321≥x 再让流动点x 由点2ξ向右移动，虽然这种点到1ξ与2ξ的距离的和及到3ξ的距离和都在增加，但两相比较，到1ξ与2ξ的距离的和增加的要快。
所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点2x 而止。
由),1()2()1(222--≤-+-x x x 可得.42≤x 从而不等式的解为.432≤≤x 2．画出不等式1≤+y x 的图形，并指出其解的范围。
选修4-5不等式选讲学案
选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。
怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。
当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。
选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列4
课 题： 第4课时 指数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式)1(332)21(22---<x x x 解：原不等式可化为：)1(332222----<x x x ∵底数2>1∴)1(3322--<--x x x 整理得：062<-+x x解之，不等式的解集为{x |-3<x <2}例2、解不等式2931831>⋅+-+x x 。
解：原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即：0)233)(93(>-⋅-x x 解之：93>x 或323<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 例3、解不等式：)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且(当a >1时),4()1,(+∞⋃--∞∈x 当0<a <1时)4,1(-∈x )例4、解不等式：x x -->4)21(32 (-1<x <3) 三、小结：四、练习：五、作业：课 题： 第4课时 对数不等式的解法三维目标：重点难点：教学设计：一、引入：二、范例分析：例1、解不等式2)1(log 3≥--x x 。
解：原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x 解之得：4<x≤5∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}例2、解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省）当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ； 当0<a <1时不等式的解集为{}42<<x x 。
北师大版高中数学选修4-5不等式选讲教案
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
人教版高中数学选修4-5《不等式选讲》教案全集(表格版,38页)
选修 4--5不等式选讲一、课程目标解读选修系列 4-5 专题不等式选讲，内容包含：不等式的基天性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个有名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。
经过本专题的教课，使学生理解在自然界中存在着大批的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起侧重要的作用；使学生认识不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提升学生的逻辑思想能力和剖析问题解决问题的能力。
二、教材内容剖析作为一个选修专题，固然学生已经学习了高中必修课程的 5 个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的表现上保持了相对的完好性．整个专题内容分为四讲，结构以以下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完好性，教材回首了已学过的不等式 6 个基天性质，从“数与运算”的思想出发，重申了比较大小的基本方法。
回首了二元基本不等式，突出几何背景和本质应用，同时推行到n 个正数的情况，但教课中只需求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。
对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，研究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。
经过议论两种特别种类不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。
第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材经过一些简单问题，回首介绍了证明不等式的比较法、综合法、剖析法，反证法、放缩法。
此中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教课中的内容。
这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完好性，对于新增的放缩法，应经过本质本质例子，使学生明确不等式放缩的几个简单门路和方法，比方舍掉或加进一些项，在分式中放大或减小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教课方案）。
本讲内容也是本专题的一个基础内容。
高中数学：不等式选讲教案北师大版选修4-5
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
学习总结报告-苏教版选修4-5不等式选讲教案
学习总结报告-苏教版选修4-5 不等式选讲教案一、教学目标本次教学内容主要针对苏教版选修4-5 不等式选讲教案，通过对学生学习不等式的基本概念、性质和解不等式的方法进行深入地讲解，提高学生对不等式知识的理解和应用能力，提高学生的数学思维能力。
二、教学重点1.不等式基本概念的认识和理解；2.不等式的性质及相关定理的掌握；3.解不等式的方法及其应用。
三、教学难点1.对不等式的性质进行深入讲解，让学生理解不等式的本质；2.解决不等式组、绝对不等式和含有分式的不等式。
四、教学步骤和内容1. 引入（10min）首先，引导学生回忆单元前面所学过的知识，包括不等式符号的含义、如何解一元一次不等式等内容。
从而为进一步讲解不等式打下基础。
2. 不等式基本概念的讲解（20min）介绍不等式的定义和性质，严格阐述“不等式”这一概念，这是后续学习不等式的基础。
3. 不等式的性质及相关定理的掌握（30min）介绍不等式相关的定理，包括不等式传递律、相反数性质、等式加减原理等内容。
教师应深入逐一讲解每个定理及其推论，让学生从定义上理解每个定理的意义，并给出实例加深印象。
4. 解不等式的方法及其应用（40min）这一部分是本次教学的重点，由于时间较长，对教师提出了较高的要求。
详细讲解解不等式的方法，并围绕“求解环节”中常见的不等式类型加强训练。
根据实际情况，可以分为以下几个小节分别讲解：•一元一次不等式的解法（10min）•一元绝对值不等式的解法（10min）•含有分式的一元不等式的解法（10min）•一元二次不等式的解法（10min）5. 总结（10min）教师应在上述几部分的讲解过程中，时不时地留下一些思考题，引发学生思考，将理解得到的知识应用于实际问题中。
同时，教师应作一个小结，回顾一下今日所学过的知识，以便学生更好地消化、理解所学内容。
五、教学反思本次教学虽然讲授时长较长、知识点繁多，但通过对不等式基本概念、性质及解题方法的深入讲解，学生在学习后对这一部分的知识有了一个更深刻的理解。
选修4-5：《不等式选讲》全套教案系列11
选修4_5 不等式选讲课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 三维目标： 重点难点： 教学设计： 一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。
这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba ，其中等号当且仅当n n a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
数学选修45不等式选讲教学设计
数学选修45不等式选讲教学设计教学目标本次教学的核心目标是梳理和讲解高中数学选修四、五阶段中关于不等式的基本知识点和常见解题思路，让学生掌握该领域中的常规算法，进一步提高数学思维和解题能力。
在具体的教学过程中，我们将通过讲解、习题演示、自主练习三个部分来达成教学目标。
具体的内容安排和教学策略会在下面的章节中逐一给出。
教学内容本次教学内容大致包括以下几个部分：•不等式的基本定义•不等式的基本性质•不等式的基本解法•常见解题思路教学步骤第一步：讲解讲解环节是本次教学的基本步骤，我们将通过简明易懂的语言，对不等式的基本知识点展开讲解，包括但不限于以下几点：不等式的基本定义在讲不等式的基本定义时，我们将强调在学习高中数学不等式知识点时，不等式的定义是最为基础且最重要的内容。
同时，我们还会指出，不等式定义中的“符号”是不等式学习中最核心的部分，是后面内容理解的基础。
不等式的基本性质在讲不等式的基本性质时，我们将重点强调以下几个方面：1.不等式的加、减、乘、除操作规律2.不等式的两边平方规律3.不等式的倒数规律4.不等式的反向性不等式的基本解法在讲不等式的基本解法时，我们将系统讲解以下几点：1.常规不等式的解法2.二次函数不等式的解法3.绝对值函数不等式的解法4.根号函数不等式的解法常见解题思路在讲常见解题思路时，我们将讲解一些常用的解题思路和技巧，包括但不限于以下几点：1.通过图像来理解不等式2.通过移项来理解不等式3.通过恒等变形来理解不等式第二步：习题演示通过习题演示，我们将重点呈现一些基础题和典型题，让学生感受到不等式知识点的实际应用和习题技巧。
本次习题演示的具体安排如下：1.基础题：从前几章的知识入手，给予学生足够的演示题量，帮助他们熟悉和掌握基础题解题思路。
2.典型题：挑选两到三道典型题，涉及不同类型的不等式，帮助学生理解和掌握不等式知识点的具体应用。
第三步：自主练习最后一个环节是自主练习，在自主练习环节，我们将配合教学案例和习题演示，提供足够的自主练习时间，让学生通过练习，巩固和提高对不等式知识点的理解和掌握程度。
数学选修45不等式选讲教学设计 (3)
数学选修45不等式选讲教学设计选修课程背景本课程是数学选修模块中的一个重要部分，旨在通过对不等式的深度探究和研究，帮助学生掌握不等式的基本性质、方法和应用，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学目标本课程的教学目标主要有以下三项：1.掌握不等式的基本概念和基本性质。
2.掌握不等式的求解方法，并能够灵活运用。
3.掌握不等式在各种问题中的应用方法。
教学内容第一部分：不等式的基本概念和基本性质1.不等式的定义和表示方法。
2.不等式的基本性质及其证明。
3.不等式的常见类型和特殊形式。
第二部分：不等式的求解方法1.不等式的变形和化简。
2.不等式的分析法和代数法求解。
3.不等式的图像法和几何法求解。
第三部分：不等式在问题中的应用1.利用不等式解决实际问题。
2.利用不等式证明数学定理。
3.利用不等式进行数学游戏和思维拓展。
教学方法1.讲授法：通过板书、示例和解题过程，使学生理解不等式的定义、性质和求解方法。
2.练习法：通过习题解析和课堂练习，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧和能力。
3.探究法：通过引导学生自主思考、探究不等式的性质和应用，提高学生的创新性和独立思考能力。
4.案例法：通过案例分析，让学生了解不等式在实际问题中的应用，培养学生的实际解决问题的能力。
教学评价1.写作评价：要求学生在课后完成一篇题目相关的论文或报告，对所学知识进行总结和归纳，并提出自己的思考和建议。
2.课堂测验：每节课结束时进行小测验，测试学生对所学知识的掌握情况和解题能力，并在下节课回顾和分析小测验，让学生真正理解知识点和解题技巧。
3.期末考试：期末考试主要考查学生对不等式知识的理解、运用和综合能力，包含理论分析和实际解题两部分。
教学资源1.教材：使用教育部最新出版的选修45数学教材，包含了不等式相关的所有知识点和例题。
2.资料：收集整理相关的教学资料和习题集，供学生参考和练习。
3.工具：利用计算机提供的各种工具和软件进行图像展示和数学计算，提高教学效率和趣味性。
选修4-5 不等式选讲 复习教案
第一节绝对值不等式考纲下载1．理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c．②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[例1](2014·江西高考节选)对任意x，y∈R，试求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．[听前试做] |x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3.方法规律两数和与差的绝对值不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以只需a ≤3即可． 故a 的取值范围为(－∞，3]．[例2] (1)(2013·江西高考节选)在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． (2)(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[听前试做] (1)依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. (2)①因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. ②因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.方法规律绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略(1)直接求解不等式．主要利用绝对值不等式、不等式的性质想办法去绝对值号求解． (2)已知不等式求参数值．利用绝对值不等式或函数求解析式的最值，然后再求参数的取值范围．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎨⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的点的集合．(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解.1.(2013·重庆高考改编)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围．解：|x －5|＋|x ＋3|＝|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 2．(2015·福州模拟)已知a>0，b>0，求证：a b ＋ba≥a ＋ b. 解：由于a b ＋ba a ＋b ＝a a ＋b bab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.又a>0，b>0，ab>0. ∴a b ＋ba≥a ＋ b. 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x<12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x>1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎤－1，43. 4．(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}． (2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)， 则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.5．(2015·长春模拟)设函数f(x)＝|x －a|＋x. (1)当a ＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x ＋1|，求不等式g(x)－2>x －f(x)恒成立时a 的取值范围．解：(1)由题意得，当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥2，2，x<2.∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)的值域为[2，＋∞)．(2)由g(x)＝|x ＋1|，不等式g(x)－2>x －f(x)恒成立， 有|x ＋1|＋|x －a|>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a|)min >2.而|x ＋1|＋|x －a|≥|(x ＋1)－(x －a)|＝|1＋a|， ∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.第二节 不等式证明的基本方法考纲下载1．了解下列柯西不等的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.(3)（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2(通常称为平面三角不等式)． 2．会用向量递归方法讨论排序不等式． 3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题． 4．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n >1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立．5．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．6．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．1．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：a －b >0⇔a >b ． (2)作商法：ab >1⇔a >b (a >0，b >0)．2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这是一种执果索因的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤；(1)验证：当n取第一个值n0(例如n0＝1，2等)时结论正确；(2)假设当n＝k时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．[例1]设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．[听前试做]由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)≥0；当a<b时，a<b，从而(a)5<(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)>0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．方法规律作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．设不等式|2x －1|＜1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1， 解得0＜x ＜1， 所以M ＝{x |0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0，[例2] (2014·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． [听前试做] (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.方法规律综合法证明不等式的技巧综合法证明不等式，主要从目标式的结构特征探索思路．如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始，通过“倒推”探索解题思路．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.解：法一：1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥3·3abc ·3·31abc＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立. 法二：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.[例3] (2014·福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[听前试做] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.方法规律柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值．依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明.若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值． 解：由柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，①得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————2个方面——证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.1.(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y>0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy. 2．已知x 、y 、z 均为正数，求证： 33⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2.证明：由柯西不等式得(12＋12＋12)⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z 2， 则3× 1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z ， 即33⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2. 3．(2013·江苏高考)已知a ≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b)＝2a(a 2－b 2)＋b(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b)＝(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)．因为a ≥b>0，所以a －b ≥0，a ＋b>0，2a ＋b>0.从而(a －b)(a ＋b)(2a ＋b)≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.4．设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13(12＋12＋12)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ≥13⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1×⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋1×⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2＝13[1＋(a ＋b ＋c)(1a ＋1b ＋1c )]2≥13×(1＋9)2＝1003.即该不等式成立． 5．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2， 即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取得最小值1.。