微专题21 利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题
椭圆中两直线斜率积专题
椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题定点问题是圆锥曲线中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了例题：过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．变式1若将上述试题中“椭圆C 的上顶点”改为椭圆上另一个定点(如右顶点)，直线MN 是否仍然过定点？若对于更一般的椭圆呢？变式2过椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于M ，N 两点，且两条直线的斜率之积为λ.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．串讲1(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ，设过点T(t ，m)的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0，设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．串讲2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2018·九章密卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A(0，－1)，右准线l ：x＝2，设O 为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q(均异于点A)，直线AP 交l 于M(点M 在x 轴下方)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于C ，D 两点，若CD ＝6，求圆H 的方程；(3)若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．如图，已知椭圆E1方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，圆E2方程为x2＋y2＝a2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k1的直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B ，C.设D 为圆E2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：直线BD 过定点(a ，0)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2－a 2a 2＋k 12（x ＋a ）2b 2＝0，所以x ＝－a ，或x ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，4分因为x B ≠－a ，所以x B ＝a （b 2－k 12a 2）b 2＋a 2k 12，则y B ＝k 1(x B ＋a)＝2ab 2k 1b 2＋a 2k 12.6分由⎩⎨⎧y ＝k 2（x ＋a ），x 2＋y 2＝a 2，得x 2－a 2＋k 22(x ＋a)2＝0，得x ＝－a ，或x ＝a （1－k 22）1＋k 22，8分同理，得x D ＝a （1－k 22）1＋k 22，y D＝2ak 21＋k 22，10分 当k 1k 2＝b 2a2时，x B ＝a （b 2－b 4a 2k 22）b 2＋b 4a2k 22＝a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22，y B ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22，k BD ＝2ab 2k 2a 2＋b 2k 22－2ak 21＋k 22a （a 2－b 2k 22）a 2＋b 2k 22－a （1－k 22）1＋k 22＝－1k 2，13分所以BD ⊥AD ，因为E 2为圆，所以∠ADB 所对圆E 2的弦为直径，从而直线BD 过定点(a ，0).14分例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 1＋4k 2，即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P ⎝⎛⎭⎫0，－35. 解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)， 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1. y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0， 化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1 答案：⎝⎛⎭⎫65，0.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2＋b 2x 0，－a 2－b 2a 2＋b 2y 0. 变式2答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋14λ－1S A ，4λ＋14λ－1y A ，其中x A ，y A分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫λa 2＋b 2λa 2－b 2x 0，－λa 2＋b 2λa 2－b 2y 0. 发现并强调注意，此时λ≠b 2a2.结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)． 证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (3)直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0.因为圆心H ⎝⎛⎭⎫1，m2，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋⎝⎛⎭⎫CD 22＝r 2，代入得m ＝±2.因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. (3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2， 由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b ＋1)(b ＋k －1)＝0， 由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ， 所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1， 所以直线PQ 过定点， 定点为(1，1)．。
2019高考数学二轮课件 利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题
求出点 Q 的坐标，然后将点 P 和 Q 坐标代入椭圆方程中即可求得
P74，3
8
5.
2．设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22＋y2＝1 上，过 M 作 x 轴的
Байду номын сангаас
垂线，垂足为 N，点 P 满足N→P＝ 2N→M，则点 P 的轨迹方程
是 x2＋y2＝2
.
解析：设出点 P，表示出点 M，代入椭圆方程即可求得 x2＋y2＝2.
利用椭圆中相关点法探求直线的斜率 问题
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知过椭圆 C：x42＋y32＝1 右焦点 F 的直
线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点(点 P 位于 x 轴上方)．若 QF＝2FP，
则点 P 的坐标为
74，3
8
5
.
解析：由 QF＝2FP 可知Q→F＝2F→P，设出点 P 的坐标，进而利用Q→F＝2F→P，
3
3 .
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C：x82＋by22＝ 1 经过点(b,2e)，其中 e 为椭圆 C 的离心率．过点 T(1,0)作斜率为 k(k ＞0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点(A 在 x 轴下方)． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M，N，求AMT·NB2T的值； (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若A→P＝25T→B，求直线 l 的斜率 k.
＝－1＋1－＋1－＋42k4k222kk＋22＋41k＋212k＋－22k－242k22 ＝－－ －41＝－4(定值)．
6．已知椭圆x42＋y32＝1，动直线 l 与椭圆交于 B，C 两点(B 在第一象限)，
与椭圆相关的直线斜率问题探究
课后练习：1. 在平面直角坐标系xOy 中，设经过点()1,0C -的直线交椭圆()2222=10x y a b a b+>>于A B ，两点，且满足2CA BC =u u u r u u u r ，若椭圆的离心率e =，则椭圆的长轴长为 ． (用直线的斜率()0k k ≠表示).2.如图,已知椭圆()22122:=10x y E a b a b +>>,若椭圆()22222:=10,1x y E a b m ma mb +>>>,则称椭圆2E 与椭圆1E “相似”．(1)求经过点，且与椭圆221:=12x E y + “相似”的椭圆2E 的方程；(2)若4m ＝，椭圆1E 的离心率为2，点P 在椭圆2E 上，过点P 的直线l 交椭圆1E 于,A B 两点，且AP AB λ=u u u r u u u r.①若点B 的坐标为()0,2，且2λ=，求直线l 的方程； ②若直线,OP OA 的斜率之积为12-，求实数λ的值.1. 答案：2a =.解析：设c =，(0)a t =>，则b t ==，故椭圆方程222213x y t t+=，即22233x y t +=，将直线:(1l y k x =+）代入并整理可得22222(13)6330k x k x k t +++-=，则由根与系数的关系可得222121222633,1313k k t x x x x k k-+=-=++； 设直线:(1)l y k x =+与椭圆的两个交点1222(,),(,)A x y B x y ，则1122(1,),(1,)CA x y BC x y =+=---u u u r u u u r，故由题设2CA BC =u u u r u u u r 可得121(1)x x +=--,即1232x x =--，代入2122613k x x k+=-+，可得2221223333,1313k k x x k k +-==++，代入221223313k t x x k -=+，可得42223(1)13k k t k --=+，则42442222223(1)3333131313k k k k k t k k k k -+-++=-==+++，则长轴长2a ==2. 答案：(1)22142x y +=；(2)①直线l 的方程为210y x =±+；②52λ=.解析：(1)设椭圆2E 的方程为2212x y m m +=，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22142x y +=. (2)因为椭圆1E 的离心率为22，故222a b =，所以椭圆2221:22E x y b +=， 又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2222:28E x y b +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，① 解法1：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+代入椭圆221:28E x y +=，得22(12)80k x kx ++=.解得1228,012kx x k -==+，故212224,212k y y k -==+，所以222824(,)1212k k A k k --++. 又2AP AB =u u u r u u u r ，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k +++， 代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k++=++， 即4220430k k +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以10k =±，所以直线l的方程为210y x =±+. 解法2：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=，设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆方程得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得12y =，故2x =±，所以k =l的方程为2y x =+. ② 解法1：由题意得，22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=u u u r u u u r ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=， 则222222001100112(1)(1)24(1)2(1)x x x x y y y y λλλλ+-+-++-+-=222222222000101112(2)2(1)(2)(1)(2)2b x y x x y y x y b λλλλ++-++-+=，所以222228(1)22b b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=. 解法2：不妨设点P 在第一象限,设直线:(0)OP y kx k =>,代入椭圆2222:28E x y b +=,解得0x =则0y =,因为直线,OP OA 的斜率之积为12-,则直线1:2OA y x k=-, 代入椭圆2221:22E x y b +=,解得1x =则1y =.由AP AB λ=u u u r u u u r,则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩.所以2220101(1)(1)22x x y y b λλλλ+-+-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则222222001100112(1)(1)24(1)2(1)x x x x y y y y λλλλ+-+-++-+-=222222222000101112(2)2(1)(2)(1)(2)2b x y x x y y x y b λλλλ++-++-+=,所以2222282(1)(1)22b b b λλλ⎡⎤⎛⎫+-++-⋅= ⎝ 所以222228(1)22b b b λλ+-⋅=,即224(1)λλ+-=,所以52λ=.。
椭圆中和斜率相关的五个结论
椭圆中和斜率相关的五个结论
椭圆是一种包含有两个焦点和两个轴的椭圆形状。
它可以在几何图形中发现，并且在数学
中得到广泛的应用。
当椭圆被看作曲线时，椭圆的斜率将会发挥重要作用。
什么是斜率？斜率是一种量度，用以衡量椭圆曲线上两点之间的倾斜程度。
它可以定义为
沿曲线方向的变化率，可以通过两点构成的对应示意线段的斜率来定义。
在了解了斜率的定义之后，我们就可以研究椭圆上斜率的性质了。
以下是椭圆中关于斜率
的五个结论：
第一，椭圆曲线的斜率通常与形状相关。
通常情况下，椭圆曲线越长板和越扁，斜率更大。
第二，椭圆曲线的斜率会在椭圆弧的极点处取最大值。
第三，椭圆曲线的斜率在椭圆的中心点处最小。
第四，椭圆曲线的斜率会在曲线的两个焦点处取最小值。
第五，两个具有相同长轴长度的椭圆的曲线的斜率是一样的，并且它们之间的斜率总是有
上下文趋势的。
从上述结论可以看出，椭圆非常重要，它包含了许多数学性质，其中斜率是最重要的一个。
熟练掌握椭圆曲线斜率的结论，有助于研究椭圆曲线的性质，从而提高数学知识和解决实
际问题的能力。
椭圆中巧设坐标参数与斜率参数处理问题常见方法
椭圆中巧设坐标参数与斜率参数处理问题常见方法一．真题再现2017年江苏高考第17题如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222E :1(＞＞0)x y a b a b+=的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点PE 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,F 2作直线PF 2的垂线l 2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 解析：（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c=②.联立①②得2,1a c ==，∴b =E 的标准方程为22143x y +=. 解法1：设坐标参数（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ①直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ②由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为. 解法2：设斜率参数二．例题赏析例1 已知椭圆E 标准方程为： 221189x y += ，B 、C 、M 是椭圆上不同的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角θ 使cos sin OM OB OC θθ=+ 。
探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质
探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质1. 引言1.1 椭圆的定义椭圆是平面上所有点到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数2a称为长轴长度。
椭圆还有一个重要的属性是其离心率，定义为焦距长度与长轴长度的比值。
在平面几何中，斜率是描述直线的一个重要概念。
斜率代表了直线上的两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率为定值的两条直线是指这两条直线的斜率相等。
通过这篇文章，我们将探讨斜率和为定值的两条直线与椭圆的关系，以及这种直线在椭圆中的性质。
希望通过对这一问题的深入探讨，我们能够更好地理解椭圆和直线之间的相互作用，以及斜率和为定值的直线在椭圆中的重要性。
1.2 斜率和为定值的两条直线椭圆是一个几何图形，其定义为平面上所有到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆通常由两个焦点和一个不等于两者距离和的实数称为常数的总长度来确定。
斜率和为定值的两条直线是指两条直线的斜率之和为一个固定的数。
在平面几何中，两条直线的斜率和为定值的情况会经常出现，并且有着重要的几何性质。
斜率和为定值的两条直线与椭圆之间存在着密切的联系。
在椭圆中，当两条直线的斜率和为定值时，它们与椭圆的位置和性质有着一定的规律。
斜率和为定值的两条直线的性质可以分为多个方面来探究。
这两条直线与椭圆的交点的性质值得研究。
这两条直线在椭圆内部的走向和关系也是一个重要的问题。
这两条直线与椭圆的切线和法线的关系也会牵扯到斜率的问题。
斜率和为定值的两条直线在椭圆中的性质和关系具有很大的研究价值。
通过深入探讨这一问题，我们可以更好地理解椭圆的几何特性和直线的性质，进一步推动相关数学理论的发展。
2. 正文2.1 斜率和为定值的两条直线与椭圆的关系椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和等于常数2a(a>0)的动点P的轨迹。
斜率和为定值的两条直线是指在平面直角坐标系中，两条直线的斜率之和为一个固定值k。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
对椭圆中若干斜率问题的一点探究
48
数学教学研究
第38卷第4期 2019年7月
点评 4,5,6,7这4个结论，形变神不变,
读者可细细体会其中关联.
2
2
&已知MN为椭圆务+务=l(a>b>0)
ab
过右焦点F的弦，B为椭圆的右顶点，则kBM
* b bn = — (1+^)2.
2
2
9.已知 MN 为椭圆^ + ~=lCa>b>0)
若MN直线斜率存在，不妨设为苏则直
线MN ：y=k^-t),联立椭圆写+ £=l(a ab
>b>0),得到 b2x2 ~\~a2k2 (jc—t)2 =a2b2. (62 ~\~a2k2 )jc2 —2a2k2tx ~\~a2k2t2 —a2b2 =0, 2a2kzt q+孔=/+/尹
_a2 k212 —a2 b2 W2=宀椒2 ，
率），进一步求出kMN= tan a. 点评X,e,k这3个关键元素在解题中相
得益彰，和谐共处，而知二求一就是常规考查的
方向.
斜率探究之二：二龙戏珠
2
2
4. 已知A 为椭圆务+書= l（a>6>0）
ab
收稿日期:2019-03-06
7.已知P为椭圆珀+ % = l(a>6>0)上 ab
异于的点，连AP并延长与在B点处的 切线交于M,连BP ,OM（如图4）,则kOM・kBP
ab
过定点T(t,0)的弦，B为椭圆的右顶点，则
起着积极的作用.
2
2
10.已知MN为椭圆3 +务= l(a>b>
ab
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微专题21 利用椭圆中相关点法探求直线的斜率问题
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知过椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1右焦点F 的直线l 与椭圆C
交于P ，Q 两点(点P 位于x 轴上方)．若QF ＝2FP ，则点P 的坐标为________．
2．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22
＋y 2
＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →
，则点P 的轨迹方程是________．
3．过点M(1，－1)的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1相交于A ，B 两点，若点M 恰好是线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的离心率为3
2，左、右焦
点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的
圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1，P
为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.则OQ
OP
的值为________．
5．已知直线l 经过椭圆C ：x 22＋y 2
＝1
的左焦点F ，且交椭圆于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，且满足PA →＝λAF →，PB →＝μBF →
.则λ＋μ＝________．
6．已知椭圆x 24＋y 2
3＝1，动直线l 与椭圆
交于B ，C 两点(B 在第一象限)，设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，且3y 1＋y 2＝0，当△OBC 面积最大时，直线l 的方程为________．
7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
3，C
为椭圆上位于第一象限内的一点．
(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，5
3，求a ，b 的值；
(2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →＝12
OC →
，求直线AB 的斜率．
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2
b 2＝1经过点(b ，
2e)，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT·BT
MN 2
的值；
(3)记直线l 与y 轴的交点为P.若AP →＝
2
5TB →
，求直线l 的斜率k.。