初等数论中蕴含的数学思想
欧拉算法初等数论
欧拉算法初等数论欧拉算法是数学中的一种初等数论方法，被广泛地应用于密码学、编码理论、计算机科学等领域。
它的应用范围十分广泛，可以用来解决各种数学问题，例如欧拉定理、欧拉函数、欧拉路径等等。
欧拉算法最早是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它的主要思想是通过数学公式和分析来寻找数学规律。
欧拉算法的核心是欧拉定理，这个定理是指如果a和n互质，那么a的φ(n)次方与1模n 同余，其中φ(n)是n的欧拉函数。
欧拉函数是数论中的一个重要概念，它用来描述小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数的值可以通过公式计算得出，其中n=p1^k1 * p2^k2 * … * pn^kn表示n的唯一分解式，p1,p2,…,pn表示不同的质数，k1,k2,…,kn表示它们的次数。
欧拉函数的计算可以通过欧拉筛法来实现，这个算法可以高效地计算小于等于N的所有正整数的欧拉函数。
欧拉算法还可以用来求解欧拉路径问题。
欧拉路径问题是指在一个图中找到一条路径，它恰好经过每个边一次，但不一定经过每个顶点。
欧拉路径问题可以通过欧拉定理来解决，如果一个无向图中恰好只有两个奇数度的顶点，那么它一定存在欧拉路径。
欧拉算法还可以用来解决RSA加密算法中的问题。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于两个大质数的乘积难以分解。
欧拉函数在RSA加密算法中的应用非常重要，它被用来计算公钥和私钥。
欧拉算法是数学中的一种重要方法，它可以用来解决各种数学问题。
欧拉算法的应用范围十分广泛，不仅在数学领域中有重要的应用，而且在密码学、编码理论、计算机科学等领域也有广泛的应用。
欧拉算法的核心思想是通过数学公式和分析来寻找数学规律，这种思想对于解决各种数学问题都具有重要的启示作用。
初等数论中蕴含的数学思想
初等数论中蕴含的数学思想摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。
关键字：初等数论;数学思想方法;整除Mathematical Thinking in Elementary Number TheoryAbstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory.Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.例1 证明对于任意整数n ，数62332n n n ++是整数.证明 ()()()2161326623232++=++=++n n n n n n n n n又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n即62332n n n ++是整数.从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab得()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？ 解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++ ()()3m od 2119731972197128282726+≡++ ()3m od 1421428≡=， ()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2] 1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a ≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r a ar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni i a 1与∑-=11m i i 同余，由此找到证明的途径.例4 设n a a a 、、、 21和n b b b 、、、 21分别是模n 的一组完全剩余系，且n |2，求证：n n b a b a b a +++、、、 2211不是模n 的一组完全剩余系.证明 假设()i i b a +，n i ,,2,1 =是模n 的一组完全剩余系.n a a a 、、、 21是模n 的一组完全剩余系，则：()()n nn n n n i a n i ni i mod 222212111-≡-≡-≡=∑∑-== 同理有：()n nb ni i mod 21-≡∑=. ()()()n n n b a ni i mod 0mod ≡≡+∑.又()i i b a +，n i ,,2,1 =也是模n 的一组完全剩余系，则有： ()()n nn b a ni i mod 22≡≡+∑，又n n <<20，矛盾！证毕. 例5 设整数2≥n ，证明：()()n n i n i n i ϕ211,1=∑=≤≤，即在数列n ，， 2,1中，与n 互素的正整数之和是()n n ϕ21.证明 设在n ，，2,1中与n 互素的()n ϕ个整数是()n a a a ϕ,,,21 ，()1,=n a i ()()n i n a i ϕ≤≤-≤≤1,11则()1,=-n a n i ()()n i n a n i ϕ≤≤-≤-≤1,11，因此，集合(){}n a a a ϕ,,,21与(){}na n a n a n ϕ---,,,21 都是由n i ,,2,1 =中与n 互素的整数组成，即这两个集合中的元素完全相同，所以()()()()()n n a n a n a n a a a ϕϕ-++-+-=+++ 2121从而()()()n n a a a n ϕϕ=+++ 212 因此()()n n a a a n ϕϕ2121=+++ ，即证. 3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2] 欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列 12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2] 在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则 所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2] 在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m 的简化剩余系.例6 设p 是素数，证明：()()p p m od 1!1-≡-. 证明 当3,2=p 时结论显然成立，不妨设素数5≥p .对于23,2-p ，，中的每个整数a ，都存在唯一的整数k ，()22-≤≤p k ，使得()p ka m od 1≡ ()1因此，整数23,2-p ，，可以两两配对使得上式()1成立，于是有 ()()p p m od 1232≡-⋅⋅⋅从而()()()()p p p p p m od 111221!1-≡-≡-⋅-⋅⋅⋅=-此题的结论称为Wilson 定理，其证明过程蕴含了“配对”的思想方法. 例7 求证：4，8，16，28，32，44，52，56是模15的简化剩余系.证明 在142,1,0，， 中与15互素的数有8个：14131187421，，，，，，，，所以()815=ϕ.因此与模15互素的剩余类为14131187421,,,,,,,K K K K K K K K .又()15m od 44≡，()15m od 88≡，()15m od 116≡，()15m od 1328≡，()15m od 232≡，()15m od 1444≡，()15m od 752≡，()15m od 1156≡，44K ∈,88K ∈,116K ∈,1328K ∈,232K ∈,1444K ∈,752K ∈,1156K ∈,所以4,8,16,28,32,44,52,56是模15的简化剩余系. 例如下面的简单事实都是配对的基础:()1若d 是正整数n 的正因数，则d 与d n 同为正整数n 的正因数.()2二次剩余定理的证明.例8 若p 为素数，()4m od 1≡p ，证明011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=p r p r ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p r 是r 对模p 的Legendre 符号.证明：()4m od 1≡p ，11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p ，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p r p r p .因此，r 与r p -同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余.令14+=n p ，则对模p 而言有n 2个平方剩余及n 2个平方非剩余.据此，对任一r ()11-≤≤p r ，将r 与r p -配对，则n 2个平方剩余可配成n 对，n 2个平方非剩余也可配成n 对，故011=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=np np p r p r .值得注意的是，配对思想方法实质上是通过配对把局部补成整体的一种方法，因此也可以说是整体化思想的一种变形.数论解题中运用整体化的思想方法较为普遍，体现了数论解题思维的灵活性，利用整体化思想方法或配对思想，可以另辟蹊径获得巧妙简捷的解（证）题效果. 4 群论思想方法数论的问题以其抽象且难度大而著称，而抽象恰恰也是近世代数的最大特点.近世代数思想方法一直都被用到数论问题的处理中.下面我们通过对初等数论的定理的证明来介绍群论的思想方法在数论中的应用[4].Fermat 定理 设p 是一个素数且a 是一个不能被p 整除的自然数，那么()p a p mod 11≡-. 证明 考虑模p 的非零剩余组成的乘法群{}1,,2,1-=p G .若a 是一个不能被p 整除的自然数，则()111==--p p a a .所以 ()p a p mod 11≡-.5 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5]. 利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()n m ij a A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421dA a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕）推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100 例9求40,38,72的最大公因数.解 作矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10042012191002)3()2()1()2()19()1(1002110014382)3()2()2()1()1()2(100010001723840A 所以()272,38,40=初等数论解题过程中除了以上探讨的整体化、配对、化归、群论思想方法，还涉及其他的思想方法（如：环论思想，构造思想，分类思想及模方法在素数判断中的应用等）.值得注意的是，初等数论解（证）题往往是多种思想方法相互交织、渗透、化归的综合应用过程.如：在例2中，首先是将问题化为()23123⨯==+c b a ，在a ，b ，c 均为整数的情况下，只有1=c ，进而简化了问题，再运用代入法解决该题.初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.参考文献[1]王丹华,杨海文.初等数论中蕴涵的数学思想方法[J].井冈山学院学报.2007.04.13（4）：11-13.[2]张文鹏.初等数论[M].西安：陕西师范大学出版设,2007.4.（1）： 54-56.[3]王丹华,杨海文等.初等数论[M].北京：北京航空航天大学出版社，2008.3.（1）：65-66.[4]张清,唐再良.近世代数思想方法在数论中的应用[J].绵阳师范学院学报,2007,26(5):12-14.[5]陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用[J].南通工学院学报.2004.3.3（1）：01-04.[6] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社,2003.12.（3）：08-15.。
初等数论 同余
注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
我喜欢数学
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现
本科毕业论文论文题目：指导老师：学生姓名：学号：院系：网络教育学院专业：毕业时间：20 年2月原创承诺书我承诺所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。
若本论文及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任。
毕业论文作者签名：___________________日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (Ⅱ)引言(导言\绪论) (Ⅲ)一、整体化思想方法 (1)（一）同余理论的定义的提出就是整体化思想的的体现 (1)（二）什么是整体化思想方法 (2)（三）案例分析解题过程中整体化数学思想方法 (2)（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (3)二、配对思想方法 (4)（一）Wilson定理证明过程蕴涵了“配对思想方法” (4)（二）什么是配对数学思想方法 (4)（三）初等数论中有许多配对的情形存在 (4)（四）在数学教学工作中应该注意的问题 (4)三、化归思想方法 (5)（一）初等数论解题过程中反映“化归”思想方法的内容 (5)（二）什么是化归数学思想方法 (5)（三）案例分析“化归”在解题过程中的具体表现 (5)(四) 教学过程中应注意的问题 (8)参考文献 (9)致谢 (10)摘要（内容要手写）摘要：初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识形成和问题解决的过程中。
下文我将例谈初等数论解题过程中所反映出来的整体化、配对、化归等三大数学思想方法。
教师要注重在基础知识的教学中进行渗透,在解题教学中进行提炼和深化。
关键词：数学思想方法整体化配对化归数学教学Abstract (内容要手写)Abstract:The primary theory of numbers apparents simply, but grasps is not the easy matter truly, its content rigorous succinct, method marvelous changeable, has contained the rich mathematics thinking method, its mathematics thinking method often conceals, in mathematics knowledge forms with in the question solution process. As follows I the example discussed in the primary theory of numbers problem solving process reflects integration, pair, reduction and so on three big mathematics thinking method. The teacher wants to pay great attention in the elementary knowledge teaching to carry on the seepage, carries on the refinement and the deepening in the problem solving teaching.Key words:Mathematics thinking method Integration Pair Reduction Mathematics teaching浅谈在初等数论的数学思想方法与如何在教学中体现引言当今的数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。
初等数论心得体会初等数论心通用范文
初等数论心得体会初等数论心通用范文写学习心得并不是什么难事，从不同的方面来写内容也有很大区别，初等数论是数学中的一个重要分支，它主要研究自然数及其性质，包括质数、因数分解、最大公约数、同余等，能让人感受到数学的美妙和深奥，那么今天我们就一起来看看初等数论心得体会。
要写学习心得并不是什么难事，不过我觉得这一次的学习心得又有些不太一样的地方。
在选课的时候，我并不盲目跟随，不仅仅是为了拿学分，我有自己的想法。
因为，作为一个即将走向教师讲台的师范类数学专业的毕业生，如果连一些比较基本的东西都不了解，那怎么能够在学生面前讲解呢。
基于此，我选择了《初等数论》这门课程，并希望能在此收获一些东西。
虽然之前就了解过一些关于数论的知识，但仅仅是皮毛上的了解，再说也不能系统地接触到这门课程。
不过，通过这几节课的学习，我对初等数论》这门课程有了进一步的了解和认识。
通过一个多星期的学习，我了解到这门课程主要研究的一些内容。
一、整除理论。
引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。
这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
二、同余理论。
主要出自于高斯的《算术研究》内容。
定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。
主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
三、连分数理论。
引入了连分数概念和算法等等。
特别是研究了整数平方根的连分数展开。
主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
四、不定方程。
主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。
也包括了4次费马方程的求解问题等等。
五、数论函数。
比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
六、高斯函数。
在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起着重要作用。
我知道一个星期的时间是不可能把《初等数论》这门课程学得很好的，只能大致的了解它的全貌或者说是对其中一部分的内容进行研究。
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
《初等数论》课程渗透数学文化教学研究与实践
（ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ／ Ｂ ｉ ｎ ｇ ｔ ｕ ａ ｎ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｓ ｈ ｉ ｈ ｅ ｚ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｓ ｈ ｉ ｈ ｅ ｚ ｉ ， Ｘ ｉ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ８ ３ ２ ０ ０ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
在计算方法 、 代数编码 、 组合论 、 信息安全 与密码学 应把它作为一种理念 、 一种价值取向体 现到数学教 等 方 面有着 广 泛 的应 用 ， 并 且 该 课 程 包 含 了 现行 基 学 的设计 之 中 ， 渗透 到数 学教 学 的过 程之 中 ， 并 贯穿
摘
要： 数学课程是实施数学文化教育 的主渠道 和主阵地 ， 是学生触摸 、 体悟数 学本质 ， 感受、 体 验数学 内在 文
化气息 的畅享地 。本文重点从课程 导言 、 核心概念 、 符 号语 言及命题 、 定理 、 法则教学等方面来 探讨数学 文化 在《 初 等数论》 课程教学 中的渗透和实施。
关键词 ： 数学文化 ； 渗透 ； 初 等数 论 ； 整除 ； 同余
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ ９—１ ５ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ３ ９— ０ ５
ＸＩ Ｅ Ｈｏ ｎ ｇ —ｍ ｅ ｉ
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ａ ｃ ｉ ｔ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｐ ｅ ｎ ｅ ｔ ｒ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｉｃ ｔ ａ ｌ Ｃｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ｅ ｉ ｎ Ｅｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙ Ｎｕ ｍｂ ｅ ｒ Ｔｈ ｅ ｏ ｒ ｙ
兵 团 教 育 学 院 学 报
初中数学教材中体现出的基本数学思想
初中数学教材中体现出的基本数学思想数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，只有充分掌握领会，才能用效地应用知识，形成能力。
那么，什么是数学思想呢？数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系不反映到人的意识之中，经过思维活动而产生结果，是对数学事实与理论的本质认识。
初中数学整套教材涉及的数学思想三十多种，这里就几种主要的数学思想作一总结。
一、用字母表示数的思想，这是基本的数学思想之一在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。
例如：设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
实中数学教材中下列内容体现了这种思想。
1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。
2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。
3、函数式与图像之间的关系。
4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。
5、解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。
6、“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。
7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。
实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。
实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。
三、转化思想在整个初中数学中，转化（化归）思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，它是数学基本思想方法之一。
下列内容体现了这种思想：1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解，这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解，体现了转化思想。
2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题。
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初等数论中蕴含的数学思想摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。
关键字：初等数论;数学思想方法;整除Mathematical Thinking in Elementary Number TheoryAbstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory.Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.例1 证明对于任意整数n ，数62332n n n ++是整数.证明 ()()()2161326623232++=++=++n n n n n n n n n又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n即62332n n n ++是整数.从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab得()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？ 解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++ ()()3m od 2119731972197128282726+≡++ ()3m od 1421428≡=， ()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2] 1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a ≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r a ar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni i a 1与∑-=11m i i 同余，由此找到证明的途径.例4 设n a a a 、、、 21和n b b b 、、、 21分别是模n 的一组完全剩余系，且n |2，求证：n n b a b a b a +++、、、 2211不是模n 的一组完全剩余系.证明 假设()i i b a +，n i ,,2,1 =是模n 的一组完全剩余系.n a a a 、、、 21是模n 的一组完全剩余系，则：()()n nn n n n i a n i ni i mod 222212111-≡-≡-≡=∑∑-== 同理有：()n nb ni i mod 21-≡∑=. ()()()n n n b a ni i mod 0mod ≡≡+∑.又()i i b a +，n i ,,2,1 =也是模n 的一组完全剩余系，则有： ()()n nn b a ni i mod 22≡≡+∑，又n n <<20，矛盾！证毕. 例5 设整数2≥n ，证明：()()n n i n i n i ϕ211,1=∑=≤≤，即在数列n ，， 2,1中，与n 互素的正整数之和是()n n ϕ21.证明 设在n ，，2,1中与n 互素的()n ϕ个整数是()n a a a ϕ,,,21 ，()1,=n a i ()()n i n a i ϕ≤≤-≤≤1,11则()1,=-n a n i ()()n i n a n i ϕ≤≤-≤-≤1,11，因此，集合(){}n a a a ϕ,,,21与(){}na n a n a n ϕ---,,,21 都是由n i ,,2,1 =中与n 互素的整数组成，即这两个集合中的元素完全相同，所以()()()()()n n a n a n a n a a a ϕϕ-++-+-=+++ 2121从而()()()n n a a a n ϕϕ=+++ 212 因此()()n n a a a n ϕϕ2121=+++ ，即证. 3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2] 欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列 12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2] 在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则 所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2] 在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m 的简化剩余系.例6 设p 是素数，证明：()()p p m od 1!1-≡-. 证明 当3,2=p 时结论显然成立，不妨设素数5≥p .对于23,2-p ，，中的每个整数a ，都存在唯一的整数k ，()22-≤≤p k ，使得()p ka m od 1≡ ()1因此，整数23,2-p ，，可以两两配对使得上式()1成立，于是有 ()()p p m od 1232≡-⋅⋅⋅从而()()()()p p p p p m od 111221!1-≡-≡-⋅-⋅⋅⋅=-此题的结论称为Wilson 定理，其证明过程蕴含了“配对”的思想方法. 例7 求证：4，8，16，28，32，44，52，56是模15的简化剩余系.证明 在142,1,0，， 中与15互素的数有8个：14131187421，，，，，，，，所以()815=ϕ.因此与模15互素的剩余类为14131187421,,,,,,,K K K K K K K K .又()15m od 44≡，()15m od 88≡，()15m od 116≡，()15m od 1328≡，()15m od 232≡，()15m od 1444≡，()15m od 752≡，()15m od 1156≡，44K ∈,88K ∈,116K ∈,1328K ∈,232K ∈,1444K ∈,752K ∈,1156K ∈,所以4,8,16,28,32,44,52,56是模15的简化剩余系. 例如下面的简单事实都是配对的基础:()1若d 是正整数n 的正因数，则d 与d n 同为正整数n 的正因数.()2二次剩余定理的证明.例8 若p 为素数，()4m od 1≡p ，证明011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=p r p r ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p r 是r 对模p 的Legendre 符号.证明：()4m od 1≡p ，11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p ，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p r p r p .因此，r 与r p -同为模p 的平方剩余或同为平方非剩余.令14+=n p ，则对模p 而言有n 2个平方剩余及n 2个平方非剩余.据此，对任一r ()11-≤≤p r ，将r 与r p -配对，则n 2个平方剩余可配成n 对，n 2个平方非剩余也可配成n 对，故011=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑-=np np p r p r .值得注意的是，配对思想方法实质上是通过配对把局部补成整体的一种方法，因此也可以说是整体化思想的一种变形.数论解题中运用整体化的思想方法较为普遍，体现了数论解题思维的灵活性，利用整体化思想方法或配对思想，可以另辟蹊径获得巧妙简捷的解（证）题效果. 4 群论思想方法数论的问题以其抽象且难度大而著称，而抽象恰恰也是近世代数的最大特点.近世代数思想方法一直都被用到数论问题的处理中.下面我们通过对初等数论的定理的证明来介绍群论的思想方法在数论中的应用[4].Fermat 定理 设p 是一个素数且a 是一个不能被p 整除的自然数，那么()p a p mod 11≡-. 证明 考虑模p 的非零剩余组成的乘法群{}1,,2,1-=p G .若a 是一个不能被p 整除的自然数，则()111==--p p a a .所以 ()p a p mod 11≡-.5 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5]. 利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()n m ij a A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421dA a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕）推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100 例9求40,38,72的最大公因数.解 作矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10042012191002)3()2()1()2()19()1(1002110014382)3()2()2()1()1()2(100010001723840A 所以()272,38,40=初等数论解题过程中除了以上探讨的整体化、配对、化归、群论思想方法，还涉及其他的思想方法（如：环论思想，构造思想，分类思想及模方法在素数判断中的应用等）.值得注意的是，初等数论解（证）题往往是多种思想方法相互交织、渗透、化归的综合应用过程.如：在例2中，首先是将问题化为()23123⨯==+c b a ，在a ，b ，c 均为整数的情况下，只有1=c ，进而简化了问题，再运用代入法解决该题.初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.参考文献[1]王丹华,杨海文.初等数论中蕴涵的数学思想方法[J].井冈山学院学报.2007.04.13（4）：11-13.[2]张文鹏.初等数论[M].西安：陕西师范大学出版设,2007.4.（1）： 54-56.[3]王丹华,杨海文等.初等数论[M].北京：北京航空航天大学出版社，2008.3.（1）：65-66.[4]张清,唐再良.近世代数思想方法在数论中的应用[J].绵阳师范学院学报,2007,26(5):12-14.[5]陈碧琴.矩阵初等变换在初等数论中的应用[J].南通工学院学报.2004.3.3（1）：01-04.[6] 闵嗣鹤,严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社,2003.12.（3）：08-15.。