初等数论中蕴含的数学思想

初等数论中蕴含的数学思想

摘要：通过对初等数论中的某些问题的解决思路的总结概括，以及对其中重要定理或引理的证明过程的回顾，探讨了数论中蕴含的几类数学思想方法，即：转化、整体、配对、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用。

关键字：初等数论;数学思想方法;整除

Mathematical Thinking in Elementary Number Theory

Abstract:By elementary number theory problems in some of the ideas summed up. And we review the proof process of some important theorems or lemmas. It is discussed that several mathematics thought way in Elementary theory. That is, conversion, overall, matching materials, groups and group representations thinking method and integer matrix in the application of elementary number theory.

Key words: elementary theory ,mathematical way of thinking，division

数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.

在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.

数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法.本文以初等数论中重要的定理的证明为据，配以具体的数论问题，谈谈初等数论中蕴含的转化、整体、归纳、群论思想方法及整数矩阵在初等数论中的应用. 1 转化思想方法

转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.

整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.

例1 证明对于任意整数n ，数6

233

2n n n ++是整数.

证明 ()

()()216

1

326623232++=++=++n n n n n n n n n

又由于两个连续整数的乘积是2的倍数，三个连续整数的乘积是3的倍数，并且()13,2=，所以有

()()21|2++n n n 和()()21|3++n n n ()()21|6++n n n

即6

233

2n n n ++是整数.

从历史上来看，不定方程问题的求解是推动数论发展的最主要课题.有的不定方程问题直接求解或证明比较困难，因而常常转化为整除问题解决.

例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程

⎩

⎨

⎧=+=+2344

bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .

a ,

b ,

c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab

得

()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满

足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .

这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.

例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？ 解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++ ()()3m od 2119731972197128282726+≡++ ()3m od 1421428≡=， ()()3m od 22128≡+

282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法

Euler 定理[2] 1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a ≡φ.

这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：

若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()

()m r r r a ar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.

Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].

在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，

1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=n

i i a 1

与

∑-=1

1

m i i 同余，由此找到证明的途径.

例4 设n a a a 、、

、 21和n b b b 、、、 21分别是模n 的一组完全剩余系，且n |2，求证：n n b a b a b a +++、、、 2211不是模n 的一组完全剩余系.

证明 假设()i i b a +，n i ,,2,1 =是模n 的一组完全剩余系.n a a a 、、

、 21是模n 的一组完全剩余系，则：

()()n n

n n n n i a n i n

i i mod 2222121

1

1-≡-≡-≡

=∑∑-== 同理有：()n n

b n

i i mod 2

1

-

≡∑=. ()()()n n n b a n

i i mod 0mod ≡≡+∑.

又()i i b a +，n i ,,2,1 =也是模n 的一组完全剩余系，则有： ()()n n

n b a n

i i mod 22≡≡

+∑，又n n <<2

0，矛盾！证毕. 例5 设整数2≥n ，证明：

()()n n i n i n i ϕ2

1

1

,1=

∑=≤≤，即在数列n ，， 2,1中，与n 互素的正整数之和是()n n ϕ2

1

.

证明 设在n ，，

2,1中与n 互素的()n ϕ个整数是()n a a a ϕ,,,21 ，()1,=n a i ()()n i n a i ϕ≤≤-≤≤1,11则()1,=-n a n i ()()n i n a n i ϕ≤≤-≤-≤1,11，因此，集合

(){}n a a a ϕ,,,2

1

与(){}n

a n a n a n ϕ---,,,21 都是由n i ,,2,1 =中与n 互素的整数组成，即这