最新论初等数论与小学数学的关系
初等数论知识在小学数学中的渗透
初等数论知识在小学数学中的渗透
赵艳;李凤清
【期刊名称】《四川职业技术学院学报》
【年(卷),期】2022(32)3
【摘要】本文通过案例分析的形式介绍初等数论知识在小学数学中如何渗透,通过突出整数以及整除特性、明确整除特征、发掘教材内容、重视整数标准分解、拓宽素数知识面等措施,扩宽学生视野,增强其解决问题能力,同时渗透数学思想方法,让学生感受数学文化,强化学习动机与学习兴趣。
【总页数】5页(P50-54)
【作者】赵艳;李凤清
【作者单位】蓬溪县实验小学;四川职业技术学院教师教育学院
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
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2.用初等数论知识巧解小学数学题
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4.浅谈小学数学教学中如何渗透思想方法--以《圆的面积》教学为例浅谈小学数学教学中如何渗透思想方法——以《圆的面积》教学为例
5.试析小学数学教学中如何渗透数学史知识
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整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
数论--5年级1
4.5米=4500毫米
2.75米=2750毫米
12.375米=12375毫米
[4500，12375]=49500
[2750,12375]=24750
49500÷4500=11（秒）24750÷2750=9（秒）
数
论
例：有三个数字能组成 6个不同的三位数，这6 个三位数的和是2886， 求所有这样的6个三位 数中最小的三位数．
数
论
例：一个5位数，它的 各位数字之和为43，且 能被11整除，求所有满 足条件的5位数。
数
论
例：一个5位数，它的各数数字之和为43，且能被11整除 ，求所有满足条件的5位数。
设：奇数位数字之和为A，偶数位数字之和为B
数
论
例：有12张卡片，其中有三 张上面写着1，三张写着3， 三张写着5，三张写着7。问 ：能否从中选出五张，使它 们上面的数字之和为20？为 什么？
数
论
例：有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是 前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
除以5得到的余数列： 1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、 4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、 1、1、2、3、0……
数
论
例：一个数减去100 是一个平方数，减去 63也是一个平方数 ，问这个数是多少？
数
论
例：有几个四位数满足 以下条件：它的各位数 都是互不相同的奇数； 它的每个数字都能整除 它本身。
数
论
例：有几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相 同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。
（1、3、5、7） • 不能被3整除。 （1、3、5、9） • 个位为5即可 （1、3、7、9） • 不能被3整除 （1、5、7、9） • 不能被9整除 （3、5、7、9） • 不能被9整除
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。
尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。
较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。
另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。
本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。
二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。
基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。
三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。
学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。
初等数论与小学数学
人类从学会计数开始就一直和自然数 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了， 自然数打交道了， 由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整 数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0），它 们合起来叫做整数 们合起来叫做整数。 整数。 人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐 步熟悉了整数的特性. 步熟悉了整数的特性.而利用整数的一些基本性质， 可以进一步探索更多趣味复杂的数学规律。这门学 科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 确切的说，数论就是一门研究整数性质 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 研究整数性质的学科
初等数论& 初等数论&小学数学 The Relation
小学教学与初等数论关系密切（尤其 体现在小学奥数中）最基本的问题包 含：数的整除，余数问题，奇数与偶 数，质数与合数，约数与倍数，完全 平方数的整除 接下来将挑选以上内容的一部分，给 出小学例题进行实际说明。
一、余数问题
例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5 例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5倍， 请求此三位数。 解法： ①设此三位数是“abc” ①设此三位数是“abc”=100a+10b+c ② 根据题意：100a+10b+c =5abc， 根据题意：100a+10b+c =5abc， 推理可知c整除5且不可为0 推理可知c整除5且不可为0，∴ c=5 ③将c=5带入，25ab= 100a+10b+5 c=5带入，25ab= 得5ab=20a+2b+1;可知5∣（1+2b） 5ab=20a+2b+1;可知5 1+2b） b是0~9之间一位的整数， ∴ b=2或7 0~9之间一位的整数， b=2或 ④ b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=7时，a=1；合理，可取 b=7时，a=1；合理，可取 结论：推得此数为175 结论：推得此数为175
数论在小学数学学习中的应用探讨
数论在小学数学学习中的应用探讨数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系。
虽然数论在高等数学中有着广泛的应用，但是它在小学数学学习中的应用却相对较少。
然而，数论作为一门富有挑战性和趣味性的学科，可以为小学生提供一种全新的学习方式和思维方式。
本文将探讨数论在小学数学学习中的应用，以及如何将数论的概念融入到小学数学教学中。
首先，数论可以帮助小学生提高他们的逻辑思维能力。
数论中的许多问题都需要学生进行推理和证明，这对于培养他们的逻辑思维能力非常有帮助。
例如，让学生证明一个数是否为素数，需要他们运用到素数的定义和性质进行推理。
这样的问题可以激发学生的思考，培养他们的逻辑推理能力。
其次，数论可以帮助小学生理解数学中的一些基本概念。
例如，学习最大公约数和最小公倍数的概念时，数论可以提供一种直观的理解方式。
通过数论中的算法，如欧几里得算法和辗转相除法，学生可以更好地理解这些概念，并能够熟练地应用它们解决实际问题。
另外，数论可以帮助小学生培养他们的问题解决能力。
数论中的许多问题都需要学生进行探索和发现，这可以培养他们的问题解决能力和创造力。
例如，让学生找出一组满足某个条件的整数，这样的问题可以激发学生的兴趣，让他们主动思考和探索。
通过解决这些问题，学生可以培养他们的问题解决能力，并提高他们的数学思维能力。
此外，数论还可以帮助小学生发展他们的数学直觉。
数论中的一些问题和定理往往具有直观的几何意义，可以帮助学生形成数学直觉。
例如，费马小定理可以帮助学生理解模运算的性质，进而应用到解决实际问题中。
通过数论的学习，学生可以培养他们的数学直觉，提高他们的数学思维能力。
最后，数论可以帮助小学生培养他们的数学兴趣。
数论中的一些问题往往具有趣味性和挑战性，可以激发学生对数学的兴趣。
例如，学生可以尝试证明哥德巴赫猜想，这是一个数论中的经典问题。
通过解决这样的问题，学生可以感受到数学的美妙和乐趣，从而激发他们对数学的兴趣。
综上所述，数论在小学数学学习中的应用具有重要的意义。
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用
浅谈初等数论知识在小学数学教学中的应用作者：黄咏华来源：《成长·读写月刊》2017年第09期【摘要】随着教育制度改革不断实施，越来越多的人开始重视学生教育，特别是小学阶段。
作为小学数学教师，其要能够在实际教学中注重对学生在解决问题的能力。
关于初等数论，其作为学校为培养学生儿开设的课程，不仅能够在一定程度上培养学生扎实的数学基础知识和给课程特有的思想方法，还进一步的提高学生学习数学的综合能力。
对此，本文就对当前初等数论知识在小学数学教学中的应用进行重点探讨和分析。
【关键词】初等数论；小学数学；应用关于初等数论，其是研究数学中整数的最基苯性质，同时也是一门非常重要的数学基础课程。
在当前小学数学教学中开展这门课程，既能够进一步的加深学生对数的性质了解和掌握，还更好的理解其他与之相关的学科。
但是，在现阶段，由于大多数教师在初等数论课程教学内容上过于陈旧，且使用的教学方法也较为单一。
对于这种情况，已经严重影响整个小学数学在内初等数论的教学质量。
一、小学初等数论知识在教学中的相关概况及其作用在当前的小学数学教学过程中，初等数论知识和思想是最为常见的，因而作为小学数学教师，要给予足够的重视[1]。
在现阶段，随着新课程改革的不断深入，初等数论知识，不仅出现在正常的数学教学中，还会以小学数学竞赛的形式出现。
在通常情况下，都是以在数学教学中出现更为突出。
在实际数学教学中，教师开展初等数论知识课程，主要是为了能够进一步的提高学生的数学素养，同时在其内容上也在一定程度上反应某些特别重要的数学思想方法，这能够更好的帮助学生提高数学基础能力和实际应用意识。
总之，在小学数学教学中开展这么课程不仅极大的扩展学生的数学视野，还提高的学生对数学科学价值和文化价值的认识。
对于在小学数学教学中应用初等数论知识，有以下几个方面的作用；一是，激发学生学习数学的兴趣。
在目前的小学数学教学中，多数教师还在使用传统的教学模式和方法，这种教学方式严重影响学习学习的兴趣，对此，教师要能在教学中合理的运用数论知识，提高学生学习兴趣；二是，有助于培养学生在学习中的创造思维能力。
初等数论与小学数学
数就是 的因b数, 反之, 的因数b也就是 与
的公因0 数.b
. (ii) ( 0 , b) = b
定理2 设 a , b是, c任意三个不全为 的整0 数, 且
其中 是a非= b零q +整c, 数, 则 q与 有相同的公因a , b
数,b因, c而
( a , b)= ( b , c) .
理论依据
(a, m，) 则1
a(m) 1(mod m)
5.不定方程（组）
问题5.1 （“百鸡问题”） ：“鸡翁一, 值 钱五, 鸡母一, 值钱三, 鸡雏三, 值钱一.百钱 买百鸡.问鸡翁母雏各几何?”
问题5.2 （“搬砖问题”） ：“三十六块 砖，三十六人搬，男人搬三块，女人搬一 块，三个小孩抬一块。问男人、女人、小 孩各多少人？”
就说a,b对模m不同余,记作
. a b(mod m)
定义2 设 m是大于1的整数，且 不m 能整除a，则
ax b(m称od m为) 模 的一m次同余方程；若整数c满足上述
方程，则称
是x一 c次(m同od m余) 方程
ax b(m的od一m)个解.
理论依据
定理1（大衍求一术） 设 m是大于1的整数，
n n n
n
p(n!)
p
p2
p3
r 1
pr
3.韩信点兵与鬼谷算
问题3.1:测算某同学的年龄?
问题3.2（“物不知数”或“韩信点兵”）： “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数 之剩三, 七七数之剩二, 问物几何?”
设 是x 所求物数, 则依题意
x 2(mod 3)
个5，有些数含3个5，有些数含4个5，当然没有含5
个5的数，于是
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论初等数论与小学数学的关系
——“同余”在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号：15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。
初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：
整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）
余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用
奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算
质数合数：重点是质因数的分解
约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则
可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。
其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前，我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
在小学中主要体现在余数的运用上，余数是小学数学中的重要概念，也是数学竞赛的热门话题，其中有关概念多，方法性强。
在小学，关于余数问题我们知道：如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm+r，其中q与r都是自然数，并且0≤r＜m.而现在我们学的同余知识是：如果两个正整数a,b被非零自然数m除时所得的余数相同，a=qm+r,b=pm+r，那么就说a与b关于模m同余,记为a≡b（mod m）.此时a与b的差能被m整除，记为a-b ≡0（mod m）.因此同余问题常常转化为整除问题求解。
下面，我以一个例题来反应同余在小学数学教学中的应用：
例题、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？
这道题目出现在小学奥数中，小学生一般的解答方法是：
方法一：凑数法。
取a为6，取b为9，这样a.b满足了条件a除以5余1，b除以5余4，3a-b=9,9/5余数为4。
方法二、设a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1
3a－b除以的余数是4 a=5x+1 （x为正的整数）b=5y+4（y为正的整数）(3a-b)/5 =(15x+3-5y-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5
根据x,y均为正的整数,并且3a>b，所以余数为4。
而在初等数论中的解法：
解：∵a≡1（mod5），
∴3a≡3（mod 5），
或者3a≡8（mod 5）．（1）
又∵b≡4（mod 5），（2）
∴（1）－（2）得：
3a－b≡8－4≡4（mod 5）．
因此，3a－b除以5余4．
在小学生解法中我们可以看出，两种方法，尤其是第二种，都是以同余知识出发去处理问题，只是在形式表达上相对于大学里初等数论练习中较为简单化。
在小学的奥数思维训练中，同余思想的应用更是数不胜数，如“抽屉原理”是同余应用中最典型的例子，可以说，同余理论是近世代数中一个很重要的数学模型。
除此之外，其他很多数学知识都涉及到了同余，比如像欧拉函数，它也是初等数论中的重要函数之一，在证明过程中就大量地体现了同余的思想。
学过初等数论的人应该都知道，小学数学和初等数论之间最大的不同在于小学数学在于如何应用定理、法则，而初等数论则要明白为什么这么应用。
显然，初等数论是更为深层次的学习，在难度上有了一个跨越。
那么数论部分在小学数学考试题型中占据什么地位呢？可以说，翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
有专家在小学各类数学竞赛中研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题中，这一分值比例更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔性考试中成绩的好坏。
综上所述，初等数论作为一门为小学教育专业的学生开设的课程，在培养学生扎实的数学基础之外，更多的是有利于师范生更好地将初等数论的理论灵活地应用于小学教育中，进一步培养科学的人生观、价值观。