论初等数论与小学数学的关系
“初等数论初步”简介“初等数论初步”简介
“初等数论初步”简介初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。
初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。
人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。
初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。
在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。
一、内容与课程学习目标本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。
通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。
体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。
3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。
会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。
4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。
探索公因数和公倍数的性质。
了解算术基本定理。
5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。
并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。
6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。
整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
初等数论 高等数论
1111
数论是一门研究整数性质的数学分支，它包括了初等数论和高等数论两个方面。
初等数论主要研究整数的基本性质，如整除性、质数、合数、最大公约数、最小公倍数等。
这些概念和性质在小学和初中的数学课程中就已经涉及到了，因此也被称为“小学数论”或“初中数论”。
初等数论的研究方法主要是通过观察、归纳和证明来得出结论，它的研究对象比较具体，结论也比较直观。
高等数论则是在初等数论的基础上，进一步深入研究整数的性质和结构。
它涉及到的概念和方法更加抽象和复杂，如素数分布、数的几何、代数数论、解析数论等。
高等数论的研究需要运用到高等数学的知识和方法，如微积分、线性代数、抽象代数等。
高等数论的研究成果不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、密码学等领域也有着重要的应用。
总的来说，初等数论是高等数论的基础，高等数论则是初等数论的延伸和深化。
无论是初等数论还是高等数论，它们都是数学中非常重要的分支，对于我们深入理解整数的性质和结构、推动数学的发展都有着重要的意义。
人教版小学数学五年级上册第五单元教材分析
人教版小学数学五年级上册第五单元教材分析班级学生情况分析本学期我接任五年级的数学教学任务。
在经过一段时间的接触后，发现大部分的学生对数学比较感兴趣，学习态度端正，有着良好的学习习惯，上课时基本上能积极思考，举手发言，少数学生能主动、创造性的进行学习。
但也有一部分男同学学习自觉性差，不能及时完成作业，对学习数学有一定困难。
所以在新的学期里，在重点抓好基础知识教学的同时，加强后进生的辅导和优等生的指导工作，全面提高合格率和优秀率。
一、教材分析：本册教材内容包括：小数乘法、小数除法、观察物体,简易方程、多边形的面积、统计与可能性、数学广角等。
（一）数与代数方面,精心安排了小数乘法，小数乘法和轻便方程。
并使学生在认知小数的意义和性质的基础上，在尚无科学知识基础上，自己积极探索出来小数乘法和乘法的计算方法。
并使学生会用“四舍五入法”撷取内积、商是小数的近似值。
并使学生认知整数乘法运算定律对于小数同样适用于，并可以运用这些定律展开一些小数的方便快捷排序（二）在空间与图形方面，安排了观察物体和多边形的面积两个单元。
在已有知识和经验的基础上，探索并体会各种图形的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式及公式之间的关系，渗透平移、旋转、转化的数学思想方法，促进学生空间观念的进一步发展。
（三）在统计数据与概率方面，使学生自学有关可能性和中位数的科学知识。
介绍什么叫做“中位数”，并可以找到“中位数”，可以区分“平均数”与“中位数”。
（四）在用数学解决问题方面，安排了“数学广角”的教学内容，通过观察、猜测、实验、推理等活动，培养他们探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识。
（五）本册教材根据学生所自学的数学知识和生活经验，还精心安排了两个数学综合应用领域的课堂教学活动，使学生通过小组合作的积极探索活动，运用所学科学知识解决问题，体会积极探索的快感和数学的实际应用领域，体会用数学的惬意，培育数学意识和课堂教学能力。
数论--5年级1
4.5米=4500毫米
2.75米=2750毫米
12.375米=12375毫米
[4500，12375]=49500
[2750,12375]=24750
49500÷4500=11（秒）24750÷2750=9（秒）
数
论
例：有三个数字能组成 6个不同的三位数，这6 个三位数的和是2886， 求所有这样的6个三位 数中最小的三位数．
数
论
例：一个5位数，它的 各位数字之和为43，且 能被11整除，求所有满 足条件的5位数。
数
论
例：一个5位数，它的各数数字之和为43，且能被11整除 ，求所有满足条件的5位数。
设：奇数位数字之和为A，偶数位数字之和为B
数
论
例：有12张卡片，其中有三 张上面写着1，三张写着3， 三张写着5，三张写着7。问 ：能否从中选出五张，使它 们上面的数字之和为20？为 什么？
数
论
例：有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是 前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
除以5得到的余数列： 1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、 4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、 1、1、2、3、0……
数
论
例：一个数减去100 是一个平方数，减去 63也是一个平方数 ，问这个数是多少？
数
论
例：有几个四位数满足 以下条件：它的各位数 都是互不相同的奇数； 它的每个数字都能整除 它本身。
数
论
例：有几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相 同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。
（1、3、5、7） • 不能被3整除。 （1、3、5、9） • 个位为5即可 （1、3、7、9） • 不能被3整除 （1、5、7、9） • 不能被9整除 （3、5、7、9） • 不能被9整除
小学数学教学内容分析可以从一一﹣三个方面进行。
小学数学教学内容分析可以从一一﹣三个方面进行。
一、教材分析本册教材包括下面一些内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。
因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册的重点教学内容。
在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加减法。
因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数与合数。
教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加减法，结合约分教学公因数，结合通分教学最小公倍数。
在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。
促进学生空间观念的进一步发展。
在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。
在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加减法，长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动想学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。
本册教材根据学生所学的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。
二、教学目标1、理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练的进行约分和通分。
2、掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的公因数和最小公倍数。
3、理解分数加减法的意义，掌握分数加减法的计算方法，比较熟练的计算简单的分数加减法，会解决有关分数加减法的简单实际问题。
026.对小学教育专业数学课程设置及整合的几点思考
第19 卷第5 期数学教育学报Vol.19, No.5 2010 年10 月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Oct., 2010对小学教育专业数学课程设置及整合的几点思考李雪梅（天津师范大学初等教育学院，天津300387）摘要：高等师范教育要适应基础教育改革,为基础教育服务．小学教育专业数学课程的设置应以高等数学思想方法为主线；应压缩重复内容，精简整合必修课程；应发展专业特长，精选选修课程；应兼顾职业技能，加强实践课程．关键词：小学教育专业；课程设置；课程整合教育部颁发的《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）以提高学生的综合素质为目标，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，体现了崭新的课程观、教材观、教学观和学习观．这也对小学教育专业的数学课程建设提出了新的要求．如何使我们培养的师范生走出校门后，能适应基础教育数学课程改革的发展要求，能切实解决教改中出现的各种问题，一个重要方面就是改进和优化小教专业的数学课程．1 以高等数学思想方法为主线设置主要课程基础教育从应试教育向素质教育转变，要求小学数学教师不仅要有广博的文化知识积累，还要有较强的后继发展潜力，不仅要有提高数学教学质量的能力，还要有启迪学生创造思维的能力．《标准》在总体目标中也提出，要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”，这里所提及的数感的知识背景是基数理论、序数理论．而符号感又涉及深厚的数学内涵，这也就是要求小学数学教师能用所学的高等数学知识指导小学数学教学．因此，小学教育专业的数学课程改革要由高深性向基础性和综合性发展．在设置必修课程时，首先要从小教专业的培养目标出发，要重视基础性，通过必修课程使学生切实掌握现代数学主干课程的基础理论、基本知识和基本技能，学会运用数学的观念和意识去观察、解释和表示事物的数量关系，形成良好的思维品质，还要能居高临下地运用现代数学的思想方法思考和处理小学数学中的有关问题．目前很多高师院校在小学教育专业本科的课程设置上分文科方向和理科方向，其中理科方向的学生大部分会成为小学数学教师，因此，对理科方向的主要课程应从下述宏观意义上的高等数学思想方法为主线来设置．（1）极限思想：极限思想是高等数学思想的实质，是不同于初等数学的主要体现，它渗透了无限与有限互相转化的辩证统一、静态与动态的对立统一，有了极限理论作为基础，才有高等数学的蓬勃发展．（2）符号化语言和变元思想：使用符号化语言和在其中引进变元是高等数学高度抽象的要求，它能使数学研究的对象更加具体、简明、直观、形象、准确，更易于揭示研究对象的本质，极大简化和加速思维过程，主干课程应注重体现符号化和变元思想．（3）函数和方程思想：函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想，也可以说是一个集合到一个集合的一种映射思想，方程思想则是变量与变量相互制约的条件，它反映了变量之间的内在联系，它们对于解决数学问题具有方法论的意义．（4）概率统计思想：未来信息社会的公民应该具备一定的处理信息的能力，应能够阅读和解释复杂的有时甚至是矛盾的信息，增强对数据的收集、整理、分析和解释的意识和方法，小学数学教师当然应该首先具备这种能力和相关科学知识，这就要求在课程设置中对这一方面有所体现．（5）逻辑推理思想：数学是思维的科学，是使人变聪明的科学，原因就在于学习数学能够锻炼人的思维习性．对抽象的数学对象借助符号和逻辑系统进行严格的推理和论证，是数学研究的一种良好习性，也是科学发现的一种重要方法．因此，课程设置也要处处体现和强调这一点．（6）数学史思想：数学史本身就是数学的一部分，是一部数学概念的发展史，是历史上的数学．课程设置体现数学史，不仅可以将同一概念在古代和在现代的情况进行比较，找出二者的异同，借以展现数学发展演变的过程，启发学习数学的思路，而且可以通过数学家的事迹来影响和感染学生，激发他们的求知欲，将人文精神教育、德育育人教育在数学课程中自然而然地顺利贯彻．2压缩重复内容精简整合必修课程数学不断发展，我们不可能一切都从基础学起，事实上许多数学家已经为我们建立了坚实的基础，如“ 几何基础”、“实数理论”等等，我们只要了解它的基本原理，然后在这基础上继续向前，不必再花大力气去开课．在课程的设置上通过精选和压缩部分陈旧老化的内容，从而充分体现教学内容的基础性，以此减轻师生教与学的负担，使灌输授课型教学模式转变为数学问题解决的操作学习与体验学习型教学模式．例如，将微积分学、空间解析几何和线性代数等内容整合成一门综合性数学必修课程——高等数学基础，这样的课程虽然从内容和数量上看，比几门单独的基础课要少，却并不意味着学生学到的东西少了，它不仅体现了每部分内容各收稿日期：2010–05–15作者简介：李雪梅（1963—），女，重庆人，副教授，主要从事数学教育研究．第5 期李雪梅：对小学教育专业数学课程设置及整合的几点思考97 自的独立地位，而且也体现了各部分内容之间的相互联系，加强了基础性与专业性的兼顾、系统性与灵活性的协调，并突破不同内容不同体系，在整体观下渗透数学的发展史、数学的方法论及多种应用实例，使学生对数学的基本概念、思想方法、历史知识和实际应用有比较系统的认识，能更好地培养学生洞察、剖析、整合和迁移的能力，真正将数学知识转化为智慧．实施这样“教少学多”的必修课程，去构建更为精简、和谐、富有活力的数学课程体系，只有这样才能适应基础教育课程改革的发展需要．又如，对于数学分析，可将其核心内容极限理论、微积分和级数理论进行认真的选择与组织，基本理论的讲授要紧密结合应用，同时穿插反映微积分发展历史的数学家传记介绍，在保证数学基本训练的基础上，要大胆删繁就简，对传统知识也要尽量用现代数学方法表现，如级数的展开等．对有关联的数学课程，可适当加强数学领域的综合学习，如可将高等代数与解析几何两门课程进行整合，使其灵活变通、相互渗透、相互为用．整合后的课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间、欧氏空间放在前几章，以便充分利用线性代数工具解决几何问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时感到很深奥，难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，也便于对代数知识的理解．对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了．这种整合的优势还在于：（1）高等代数中的理论在解析几何中寻找模型．高等代数的中心问题是向量空间，主要是由解析几何推广抽象而来，解析几何学为抽象的向量提供了一个具体的模型与背景，例如高等代数中向量空间的概念表述就是以解析几何的二维几何空间为实例模型，解析几何中采用了向量概念，不但使其自身的问题表述特别简单和清楚，也使代数的理论变得简单和清楚．几何中的向量是由3 个数给出的，它们就是这个向量在各坐标轴上的射影．反之，任给3 个实数组成的有序数组也可以看成是几何空间上的一个向量．（2）解析几何中的内容依靠高等代数中的理论来解决．解析几何主要是在空间建立了坐标系之后，使空间的点与坐标有了一一对应的关系，这样几何问题就可以用代数方法来解决．例如，向量的加、减、数乘运算，可以使用代数中向量的知识来给予解决；向量的外积，可以使用行列式解决；向量共线与共面，可以用向量的线性相关性来表示；二次曲线（曲面）的代简可用代数中的正交变换来解决；空间直线、平面、曲线、曲面等方程的建立及其性质的讨论等等．不仅如此，当我们从几何空间抽象出一般的向量空间后，又可以将其中的结论和方法应用于解决几何问题．如混合积的分量表示，就是用高等代数上的行列式来表示．除此之外，还可将复变函数、常微分方程合并为函数论基础．将数学史和数学文化这两门课整合为数学史与数学文化．将小学教育科研方法课与小学数学教学论课程中有关教学研究及改革的部分整合，介绍小学数学教学改革内容．总之，课程设置要有统整的结构，可以将多门科目实行整合，建立综合性课程．3发展专业特长精选选修课程小学教育专业选修课程的设置，应结合专业特点，围绕该专业的培养目标进行，满足小学数学基础教育改革的需要，适应小学数学教育的现状和发展，围绕“以人文本”、“以学生发展为本”的基本理念展开．小学教育本科高等数学的学习对学生加深理解中小学数学中所蕴含的思想方法、内容的理论背景及数学价值提供数学基础，使小学数学教师对数学的历史、发展以及今日的状况有一个比较全面的综合的了解．在课程的设置上，应避免照搬数学专业课程设置的模式，开设一些过难、过深、数学专业化强的课程．而重在加强学生的数学素养的提高方面，使学生获得作为小学教师的数学选修课程是小学教育专业课程内容的重要组成部分，是在数学必修课程基础上的拓宽和提高，是发展学生专业特长的重要途径．在精简整合数学必修课程的同时，增加数学选修课程，可以拓宽学生的知识面，培养他们的数学素养，发挥他们的潜力，培养他们的特长，提高他们走上工作岗位后的适应能力．数学选修课程的设置必须防止杂、散、乱的倾向，要从专业培养目标出发，与基础教育课程改革相适应，与小学数学教材紧密联系，与基础教育改革密切相关，与数学前沿内容适当结合，与人文科学相互渗透，精选内容，统整规划，充分体现以学生发展为本的原则．例如，可开设现代数学选讲作为一门数学选修课程，主要介绍现代数学一些主要分支的形成过程、重要史例、主要思想和方法、发展趋势，以及这些知识在实际中的应用问题，这对学生了解和运用现代数学的一些基本知识，客观合理地认识数学科学在人类社会生活中的地位和作用，以及提高他们的数学素养都非常有价值．又如，在开设了高等数学基础后，可开设数学史和数学教育史, 这不仅使学生了解数学的发展和应用，而且是学生理解与掌握数学的一个有效途径，从而提升学生的数学素养，使学生对人类认识数学的历史、现状和新的发展趋势有所了解，有助于全面深刻理解数学知识，有助于正确处理教材，寻求有效的教学方法，有助于了解数学界先辈们刻苦钻研的精神，有助于充分利用数学史料，并结合教材与学生思想实际，对学生进行爱国主义教育、思想品德教育．通过数学文化这门选修课，向学生阐明数学作为一种文化，其符号语言、思维、方法、美学观等的内涵特征，使学生能从数学文化的角度去认识、理解有关素质教育、大众数学、数学课程标准等新的教育理念和教改动态．还有，如数学推理与联想、小学数学竞赛辅导等，都是富有拓展性和实用性的数学选修课程．数学选修课程还可以打破学科间的界限，建立统整的知识结构，比如整合数学专业课程与教育专业课程，使数学专业知识充分应用于教育专业知识的研究，可开设小学数学教学研究、教育统计与测量等课程．数学课程改革提出以数学思想方法为主线，构成了新的数学课程的基本框架，《标准》在“总体目标”中明确提出，通过义务教育阶段的数学学习，要使学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题”．倡98 数学教育学报第19 卷导学习有价值的、必需的数学知识、技能和思想方法．强调要注重知识发生过程中数学思想方法的教学，通过揭示知识发生与解决问题的方法、规律的抽象过程，使学生学会运用正确的思维方法．目前，我国义务教育小学数学教学内容中，已有意识地渗透了集合、函数、统计、图形变换、转化与归纳法等数学思想方法．所以在选修课的开设上可整合数学理论课程与方法训练课程，注重学习过程和方法，改变学生缺乏基本方法的现状，可开设数学方法论、数学思维教育等课程．在课程结构中加大选修课比重，同时必须正确处理好分化与整合、增加与精简的关系，本着循序渐进的原则，在加宽、加深学生数学知识的同时，重点加强学生的数学修养，力图从总体上提高学生的综合素质．4兼顾职业技能强化实践课程由于小学教育专业的特殊性，在课程的设置上不仅要求注重对学生数学基础知识和基本技能的训练，还要兼顾职业技能，强化实践课程，培养学生解决数学问题的综合能力．初等数论是理论与实践相结合得最完美的数学必修课程，初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数性质和不定方程，小学数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是从整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识和问题解决的过程中．初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，所以在课程设置上应加大课时比例，并结合小学教学实际将部分内容与小学数学竞赛辅导课程整合，在深入研究数论过程中，不仅要仔细体会构造性和技巧性的证明思想而且要与小学数学问题解决的实际应用相结合．又如，小学数学教学论课程，虽然概括了数学教学的基本理论知识，但随着基础数学教育教学的改革，特别是基础数学课程的改革，小学数学教学无论在内容、教学方法、教学评价、教学模式等方面都发生了很大的变化，这就要求小学数学教学论课程要进行适当地调整和改革，增设基础数学教学改革的有关内容，加强数学教学实践方面的知识内容，让学生真正懂得如何写教案，如何恰当地运用教学方法进行教学，如何科学地评价一节课，如何获得实用的教学艺术，还应补充介绍基础数学教学改革的最新动态，以便为将来顺利走上工作岗位奠定良好的基础．为了扩大学生的知识面，适应小学数学活动课的教学，还可开设生活中的数学（如水中的数学、商场中的数学等）、游戏中的数学（如扑克牌中的数学、魔术中的数学等）．此外，教师职业技能是师范生未来职业的基础，职业技能训练课程是教育实践课程的重要组成部分，小学数学教师职业技能训练课程除包括一般的语言文字表达、课堂教学基本功、现代教育技术技能课程外，还应包括计算技能、徒手作图技能、判断推理技能、命题解题技能等针对小学数学教育学科的职业技能训练课程．［参考文献］[1]曾良友．西南联合大学数学系课程设置及启示[J]．高等数学研究，2007，（1）：8–11．[2]王蕾．优化课程结构,培养综合能力[J]．师范教育，2004，（5）：5–6．[3]詹紫．高素质专业型小学数学教师的培养[J]．甘肃高师学报，2006，（2）：83–84．[4]王万良．小学数学教育与小学教育专业数学课程设计[J]．课程·教材·教法，2006，（1）：77–80．Thinking of Mathematical Curriculum and Integration in Elementary Education SpecialityLI Xue-mei(College of Elementary Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)Abstract: Higher teachers’ education needs to fit and to serve the elementary education reformation. The mathematical curriculumis based on the advanced mathematical thoughts and methods: reducing the overlap and aging contents to refine and integrate therequired courses; selecting the elective courses to strengthen the speciality; and enhancing the practice courses to give consideration to vocational skills.Key words: elementary education speciality; curriculum; courses integration[责任编校：陈隽]。
《初等数论》课程标准
《初等数论》课程标准1.课程说明《初等数论》课程标准课程编码〔14060051〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月12日〕审核〔专业指导委员会〕审核日期〔〕批准〔二级学院（部）院长〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是小学教育专业的核心课程，是专业选修课程。
（2）课程任务：本课程主要针对小学教育专业数学方向学生开设，主要任务是培养学生在小学数学教师，教育培训机构数学辅导员等岗位所必需的理性思维能力和创新实践能力，要求学生掌握熟练应用理论知识解决实际问题、课堂教学中动手操作等方面的基本技能。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《大学数学》，后续课程有《概率论》、《数学实践》。
2.学习目标通过对本课程的学习，提高的数学素养与数学能力。
通过引领的项目活动，使学生成为具备从事小学教育职业的高素质劳动者和小学教育专业的高级技术人才，同时培养学生敬业爱岗思想、团结协作精神。
在数论学习过程中，能熟练使用数论的基本概念、公式、定理、法则以及其它基础知识。
能熟练应用初等数论的数学方法与数学思想。
能熟练运用数论中的逻辑推理、演绎等方法。
同时要求有独立研究学习，查阅资料，重视交流等能力。
会熟练使用数论知识解决相关的初等数学问题。
3.课程设计按照“以能力为本位，以职业实践为主线，以项目课程为主体的模块化专业课程体系”的总体设计要求，以工作任务模块为中心构建的教学项目课程体系。
彻底打破学科课程的设计思路，紧紧围绕项目任务完成的需要来选择和组织课程内容，突出工作任务与知识的联系，让学生在职业实践活动的基础上掌握知识，增强课程内容与职业岗位能力要求的相关性，提高学生的就业能力。
项目一数的整除性参考学时26项目二同余参考学时14项目三数论函数参考学时8项目四不定方程参考学时64.教学设计项目一数的整除性学习目标能够熟练使用奇偶分析法，质因数分解定理。
会正确使用求最大公约数方法及裴蜀恒等式。
能用所学知识解决相关习题。
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论初等数论与小学数学的关系
——“同余”在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号：15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。
初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：
整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）
余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用
奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算
质数合数：重点是质因数的分解
约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。
其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉
定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前，我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
在小学中主要体现在余数的运用上，余数是小学数学中的重要概念，也是数学竞赛的热门话题，其中有关概念多，方法性强。
在小学，关于余数问题我们知道：如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm+r，其中q与r都是自然数，并且0≤r＜m.而现在我们学的同余知识是：如果两个正整数a,b被非零自然数m除时所得的余数相同，a=qm+r,b=pm+r，那么就说a与b关于模m同余,记为a≡b（mod m）.此时a与b的差能被m整除，记为a-b ≡0（mod m）.因此同余问题常常转化为整除问题求解。
下面，我以一个例题来反应同余在小学数学教学中的应用：
例题、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？
这道题目出现在小学奥数中，小学生一般的解答方法是：
方法一：凑数法。
取a为6，取b为9，这样a.b满足了条件a除以5余1，b除以5余4，3a-b=9,9/5余数为4。
方法二、设a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1
3a－b除以的余数是4 a=5x+1 （x为正的整数）b=5y+4（y为正的整数）(3a-b)/5 =(15x+3-5y-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5
根据x,y均为正的整数,并且3a>b，所以余数为4。
而在初等数论中的解法：
解：∵a≡1（mod5），
∴3a≡3（mod 5），
或者3a≡8（mod 5）．（1）
又∵b≡4（mod 5），（2）
∴（1）－（2）得：
3a－b≡8－4≡4（mod 5）．
因此，3a－b除以5余4．
在小学生解法中我们可以看出，两种方法，尤其是第二种，都是以同余知识出发去处理问题，只是在形式表达上相对于大学里初等数论练习中较为简单化。
在小学的奥数思维训练中，同余思想的应用更是数不胜数，如“抽屉原理”是同
余应用中最典型的例子，可以说，同余理论是近世代数中一个很重要的数学模型。
除此之外，其他很多数学知识都涉及到了同余，比如像欧拉函数，它也是初等数论中的重要函数之一，在证明过程中就大量地体现了同余的思想。
学过初等数论的人应该都知道，小学数学和初等数论之间最大的不同在于小学数学在于如何应用定理、法则，而初等数论则要明白为什么这么应用。
显然，初等数论是更为深层次的学习，在难度上有了一个跨越。
那么数论部分在小学数学考试题型中占据什么地位呢？可以说，翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
有专家在小学各类数学竞赛中研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题中，这一分值比例更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔性考试中成绩的好坏。
综上所述，初等数论作为一门为小学教育专业的学生开设的课程，在培养学生扎实的数学基础之外，更多的是有利于师范生更好地将初等数论的理论灵活地应用于小学教育中，进一步培养科学的人生观、价值观。