人教版高中数学同步解析与测评学考练数学A版选修4-5不等式选讲1.1.2
2018年人教A版高中数学选修4-5全册同步检测试题
人教A版高中数学选修4-5全册同步检测题目录第一章不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质试题1.1.2基本不等式试题1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式试题1.2.1绝对值三角不等式试题1.2.2绝对值不等式的解法试题第1章不等式和绝对值不等式测评第二章证明不等式的基本方法2.1比较法试题2.2综合法与分析法试题2.3反证法与放缩法试题第2章证明不等式的基本方法测评第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题3.2一般形式的柯西不等式试题3.3排序不等式试题第3章柯西不等式与排序不等式测评第四章用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法试题4.2用数学归纳法证明不等式举例试题第4章用数学归纳法证明不等式测评选修4-5模块综合测评1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.aa-c >bb-cc<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故aa-c −bb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)>0.即aa-c >bb-c.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a²lg x>b²lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a²2x>b²2xa>b,当lg x≤0时,a²lg x>b²lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a²2x>b²2x,故D正确.3.若角α,β满足-π2<α<β<3π2,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-π<β<3π,所以-3π<-β<π.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A.1a >1bB.ba>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则m+n=3,m-n=-2,所以m=1,n=5.因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-b)≤152,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,1a,a2的大小关系是.(从小到大)a-1=(a+1)(a-1)<0,∴a<1.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<1.2<a<17.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=a2+(b+c)2,y=b2+(c+a)2,z=c2+(a+b)2,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,b2的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以1<12<1.又1<b<10,所以1<b2<10,即b2∈1,10.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较S3 a3与S5a5的大小.q=1时,S33=3,S55=5,所以S33<S55.当q>0,且q ≠1时,S 3a 3−S 5a 5=a 1(1-q 3)a 1q 2(1-q )−a 1(1-q 5)a 1q 4(1-q )=q2(1-q 3)-(1-q 5)q 4(1-q )=q 2-1q 4(1-q )=-q -1q 4<0,所以有S33<S55.综上可知有S33<S55.B 组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则( ) A.log a c<log b c B. 1 c< 1 cC.ab c <ba cD.a log c 1<b log c 1a=14,b=12,c=2,得选项A,B,C 错误.由0<a<b<1,c>1,则1a >1b >1,logc x 在定义域上单调递增.故a log c 1b <b logc 1a .2.已知a ,b ∈R ,则下列条件中能使a>b 成立的必要不充分条件是( ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.3a >3b 解析因为a>b ⇒a>b-1,但a>b-1a>b ,所以“a>b-1”是“a>b ”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b ”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b ”的既不充分也不必要条件;“3a >3b ”是“a>b ”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a ,b ,c 满足b+c=3a 2-4a+6,c-b=a 2-4a+4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b>a B.a>c ≥b C.c>b>a D.a>c>bc-b=a 2-4a+4=(a-2)2≥0易知c ≥b ,又由已知可解得b=a 2+1>a ,所以c ≥b>a.4.若a ,b ∈R ,且a 2b 2+a 2+5>2ab+4a ,则a ,b 应满足的条件是 .(ab-1)2+(a-2)2>0,则a ≠2或b ≠1.≠2或b ≠15.设x>5,P= x -4− x -5,Q= x -2− x -3,试比较P 与Q 的大小关系.P= x -4− x -5=x -4+ x -5,Q= x -2− x -3=x -2+ x -3,又 x -4+ x -5< x -2+ x -3,所以Q<P. 6.导学号26394002已知θ∈ 0,π6 ,且a=2sin 2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a 与b 的大小.θ∈ 0,π6 ,所以a=2sin 2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为a=2sin 2θ+sin2θ=2sin θ(sin θ+cos θ)=2sin θ,又θ∈ 0,π6 ,所以sin θ∈ 0,12 ,2sin θ∈(0,1), 即0<ab <1,故a<b.2.基本不等式 课后篇巩固探究A 组1.下列结论正确的是( ) A.若3a +3b ≥2 a b ,则a>0,b>0 B.若b+a≥2,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则1a +1b ≤1 D.若ab>0,则 ab ≥2aba +ba ,b ∈R 时,则3a >0,3b >0,所以3a +3b ≥2 a b (当且仅当a=b 时,等号成立),故选项A 错误.要使b+a≥2成立,只要b>0,a>0即可,这时只要a ,b 同号,故选项B 错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,则1a +1b=4ab.因为ab ≤ a +b 2 2=4,所以1a +1b=4ab ≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C 错误.当a>0,b>0时,a+b ≥2 ab ,所以2aba +b ≤2 ab = ab .而当a<0,b<0时,显然有 ab ≥2ab a +b ,所以当ab>0时,一定有 ab ≥2aba +b(当且仅当a=b ,且a ,b>0时,等号成立),故选项D 正确.2.若a<1,则a+1a -1的最大值是( )A.3B.aC.-1D.2 aa -1a<1,所以a-1<0,所以a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2 (1-a ) 1-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,取最大值-1,故选C .3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +13y 的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 3lg 2x +lg 8y =lg 2,∴lg(2x ²8y )=lg 2,∴2x+3y =2,∴x+3y=1. ∵x>0,y>0,∴1x +13y =(x+3y ) 1x +13y=2+3y +x ≥2+2 3y ·x=4, 当且仅当x=3y=12时,等号成立.故选C .4.函数f (x )=x+4-1的值域是( ) A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)x>0时,x+4x -1≥2 x ·4x-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+4x -1=- (-x )+ -4-1≤-2 (-x )· -4-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f (x )的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).5.若正数x ,y 满足x+4y=4,则xy 的最大值为 .x+4y ≥2 =4 xy (当且仅当x=4y 时,等号成立),又x+4y=4,所以4 xy ≤4,即xy ≤1,故xy 的最大值为1.6.(2017山东高考)若直线xa +yb =1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 .直线xa +yb =1过点(1,2),∴1a +2b =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b ) 1a +2b =4+ b a +4a b ≥4+2 b a ·4ab=8. 当且仅当b=2a 时“=”成立.7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+600³6=4 x +900≥4³2 900=240,当且仅当x=900,即x=30时等号成立.8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x²lg y的最大值.x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,所以lg x²lg y≤lg x+lg y22=lg xy22=lg100022=322=94,当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立, 故lg x²lg y的最大值等于9.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证1+1x 1+1y≥9.=1+11+1 =1+x+y1+x+y=2+yx 2+xy=5+2yx+xy≥5+4=9,当且仅当yx =xy,即x=y=12时,等号成立,所以1+1x1+1y≥9.10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?x米(0<x≤5).由题意可得,总造价y=32x×150+12×400+5 800=900 x+16+5 800(0<x≤5).由基本不等式可知y=900 x+16+5 800≥900³2x×16x+5 800=13 000(元),当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.由上可知,当侧面的长度为4米时,总造价最低.B组1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab≤1B.ab≥1C.a2+b2≥4D.a2+b2≤4ab≤a+b2=1(当且仅当a=b时,等号成立),而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab ≥2,故选项A正确.2.爬山是一种简单有趣的户外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇),则甲、乙两人上山下山所用的时间t 1,t 2的关系为( )A.t 1>t 2B.t 1<t 2C.t 1=t 2D.不能确定h ,则依题意有t 1=ℎ1+ℎ2=h ²v 1+v212>h ²2 v 1v 212=h ²v v , t 2=2ℎv 1+v 22=h ²412<h ²2v v =h ²v v ,故t 1>t 2.3.(2017天津高考)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为.a ,b ∈R ,且ab>0,∴a 4+4b 4+1≥4a 2b 2+1=4ab+1≥4 当且仅当 a 2=2b 2,4ab =1ab ,即 a 2= 2,b 2=2时取等号 .4.导学号26394006已知关于x 的二次不等式ax 2+2x+b>0的解集为x x ≠-1a,且a>b ,则a 2+b2a -b的最小值为 .x 的方程ax 2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以a 2+b2a -b =(a -b )2+2ab a -b =(a-b )+2a -b ≥2 (a -b )·2a -b=2 2 当且仅当a -b =2a -b时,等号成立 ,故a 2+b 2a -b的最小值为2 .25.已知a>2,求证log (a-1)a>log a (a+1).log (a-1)a-log a (a+1)=lg a lg (a -1)−lg (a +1)lg a =lg 2a -lg (a -1)lg (a +1)lg a lg (a -1),而lg(a-1)lg(a+1)< lg (a -1)+lg (a +1)2= lg (a 2-1)22<lg a 222=lg 2a ,即lg 2a-lg(a-1)lg(a+1)>0. 又a>2,∴lg a lg(a-1)>0,∴lg2a-lg(a-1)lg(a+1)lg a lg(a-1)>0,即log(a-1)a-loga(a+1)>0,∴log(a-1)a>loga(a+1).6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为n+1元,进行技术革新投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=(10+n)100n+1-100n(n∈N+).(2)由(1)知f(n)=(10+n)100n+1-100n=1 000-80n+1n+1≤520.当且仅当=n+1,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A 组1.若a>0,则2a+12的最小值为( )A.2 2B.3 23C.1D.3a+12=a+a+12≥3 a ·a ·123=3,当且仅当a=12,即a=1时,2a+12取最小值3.2.设x ,y ,z ∈R +,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( )A.(-∞,lg 6]B.(-∞,3lg 2]C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)x ,y ,z ∈R +,所以6=x+y+z ≥3 xyz 3,即xyz ≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz ≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).3.已知x+2y+3z=6,则2x +4y +8z 的最小值为( ) A.3 63B.2 2C.12D.12 532x >0,4y >0,8z >0,所以2x +4y +8z =2x +22y +23z ≥3 x 2y 3z 3=3 x +2y +3z 3=3³4=12.当且仅当2x =22y =23z ,即x=2y=3z ,即x=2,y=1,z=2时,等号成立.4.若a ,b ,c 为正数,且a+b+c=1,则1a +1b +1c 的最小值为( ) A.9B.8C.3D.13a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1+1+1=a +b +c +a +b +c +a +b +c=3+b +c +a +c +a +b ≥3+6 b a ·c a ·a b ·c b ·a c ·bc6=3+6=9 当且仅当b a =c a =a b =c b =a c =b c, 即a =b =c =1时,等号成立 .5.用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长³宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( ) A.2³5 B.2³5.5 C.2³6.1 D.3³5长方体水箱长、宽、高分别为x m,y m,z m,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x ²4+2y ²4=xy+8+8≥3 xy ··3=12当 且仅当xy =8y=8x,即x =y =2,z =1时,等号成立 .故要制作容积为4 m 3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12 m 2,所以选项A,B 排除,而选项C,D 均够用,但选项D 剩较多,故选项C 正确.6.若a ,b ,c 同号,则b a +c b +ac ≥k ,则k 的取值范围是 .a ,b ,c 同号,所以b a ,c b ,a c >0,于是b a +c b +ac ≥3 b a ·c b ·ac 3=3(当且仅当a=b=c 时,等号成立),因此k 的取值范围是k ≤3.≤37.若x<0,则2-x 2的最大值为 .2=- x 2-2x =- x 2+ -2x ,因为x 2+ -2x =x 2+ -1x + -1x≥3 x 2· -1 · -13=3 当且仅当x 2=-1,即x =-1时,等号成立 ,所以2-x 2≤-3,即2-x 2的最大值为-3.38.若a>b>0,则a+1(a -b )b 的最小值为 .a>b>0,所以a-b>0,于是a+1(a -b )b =(a-b )+b+1(a -b )b ≥3 (a -b )·b ·1(a -b )b3=3,当且仅当a-b=b=1(a -b )b ,即a=2,b=1时,a+1(a -b )b的最小值为3.9.已知实数a ,b ,c ∈R ,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值,并求出取最小值时a ,b ,c 的值.-几何平均不等式,得4a +4b +4c 2≥3 4a ·4b ·4c 23=3 4a+b+c 23(当且仅当a=b=c 2时,等号成立).∵a+b+c=1, ∴a+b=1-c.则a+b+c 2=c 2-c+1= c -12 2+34,当c=12时,a+b+c 2取得最小值34. 从而当a=b=14,c=12时,4a +4b +4c 2取最小值,最小值为3 2. 10.导学号26394008已知x ,y 均为正数,且x>y ,求证2x+1x 2-2xy +y 2≥2y+3.x>0,y>0,x-y>0,所以2x+1x 2-2xy +y 2-2y=2(x-y )+1(x -y )2=(x-y )+(x-y )+1(x -y )2≥3 (x -y )·(x -y )·1(x -y )23=3,所以2x+1x 2-2xy+y 2 ≥2y+3当且仅当x -y =1(x -y )2时,等号成立.B 组1.若log x y=-2,则x+y 的最小值为( )A.3 232B.2 333C.3 32D.2 23log x y=-2得y=1x 2,因此x+y=x+1x 2=x 2+x 2+1x 2≥3 x 2·x 2·1x 23=3 232 当且仅当x2=1x 2,即x = 23时,等号成立 .2.设x>0,则f (x )=4-x-12x 2的最大值为( ) A.4- 2B.4- 2C.不存在D.5x>0,∴f (x )=4-x-12=4- x +x +12≤4-3 x 2·x 2·12x 23=4-32=52 当且仅当x2=12x 2时,等号成立 .3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V ,则下列不等式正确的是( ) A.V ≥πB.V ≤πC.V ≥πD.V ≤π,设圆柱的半径为R ,高为h ,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S ²h=πR 2²h=π²R ²R ²h ≤π R +R +ℎ 3=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.4.设三角形的三边长为3,4,5,P 是三角形内的一点,则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ,y ,z ,三角形的面积为S ,则S=12(3x+4y+5z ). 因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=12³3³4=6,所以3x+4y+5z=2³6=12,所以12=3x+4y+5z ≥3 3x ·4y ·5z 3=3 60xyz 3,所以xyz ≤16,当且仅当3x=4y=5z ,即x=4,y=1,z=4时,等号成立.5.导学号26394009设x ,y ,z>0,且x+3y+4z=6,求x 2y 3z 的最大值.6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z ≥6 2·2·y ·y ·y ·4z 6=6 x 2y 3z 6,所以x 2y 3z ≤1. 当且仅当x 2=y=4z ,即x=2,y=1,z=14时,等号成立,所以x 2y 3z 的最大值为1. 6.导学号26394010设a 1,a 2,…,a n 为正实数,求证a 1n +a 2n +…+a n n+1a 1a 2…a n≥2 n .a 1,a 2,…,a n 为正实数,∴a 1n +a 2n +…+a n n ≥n a 1n a 2n …a n n n=na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 又na 1a 2…a n +1a 1a 2…a n≥2 n ,当且仅当na 1a 2…a n =1a 1a 2…a n时,等号成立,∴a1n+a2n+…+a n n+1≥2n.a1a2…a n1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=|a|-|b||a-b|,n=|a|+|b||a+b|,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴|a|-|b||a-b|≤1≤|a|+|b||a+b|.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是.1⇔|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证a+b2<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,∴|x|>|a|,|x|2>|b|.∴ax +bx2≤ax+bx2=|a| |x|+|b||x|2<|x||x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min =log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)²x≥0,(1-y)²(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=-x-5,x≤-12,3x-3,-1<x<4, x+5,x≥4.作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-12时,函数取得最小值-9.-923.已知a和b是任意非零实数,则|2a+b|+|2a-b||a|的最小值为.≥|2a+b+2a-b||a|=4.4.下列四个不等式:①logx10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③b+a≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴logx10+lg x=1+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,b与a同号,∴ba +ab=ba+ab≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).<0的解集是()4.不等式|x-1|-4|x-2|A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}分母|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log 2x|<|2x|+|log 2x|的解集为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab ≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x ²log 2x>0.又x>0,所以log 2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为 .2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是 .|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x )2,整理得10x>-5,即x>-12,故原不等式的解集为 x x >-1.x >-18.若关于x 的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a= .0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4. 当a>0时,有-8<x<4,因为不等式的解集为(-1,2),所以 -8=-1,4a =2,解得 a =8,a =2,两值相矛盾舍去.当a<0时,有4a <x<-8a ,则 4a=-1,-8a=2,解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f (x )= |x +1|+|x -a |-2(a ∈R ). (1)若a=3,解不等式:f (x )≥2;(2)若f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围.当a=3时,不等式f (x )≥2即为 |x +1|+|x -3|-2≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是 x +1+x -3≥6,x ≥3,或-(x +1)-(x -3)≥6,x ≤-1,或(x +1)-(x -3)≥6,-1<x <3,从而x ≥4,或x ≤-2.故原不等式解集为{x|x ≥4或x ≤-2}.(2)f (x )的定义域为R ,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立, 所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g (x )=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|, 于是|a+1|≥2,解得a ≥1,或a ≤-3.故实数a 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 10.已知函数f (x )=|x+a|+|2x-1|(a ∈R ). (1)当a=1时,求不等式f (x )≥2的解集;(2)若f (x )≤2x 的解集包含 12,1 ,求a 的取值范围.当a=1时,不等式f (x )≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x ≥12时,不等式为3x ≥2,解得x ≥23,故x ≥23; ②当-1≤x<12时,不等式为2-x ≥2,解得x ≤0,故-1≤x ≤0; ③当x<-1时,不等式为-3x ≥2,解得x ≤-2,故x<-1. 综上,原不等式的解集为 x x ≤0或x ≥2. (2)因为f (x )≤2x ,所以|x+a|+|2x-1|≤2x ,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x ≤-a+1.由已知得 -a -1≤12,-a +1≥1,解得-3≤a ≤0.故a 的取值范围是 -32,0 .B 组1.不等式 xx -1 >xx -1的解集为( ) A.[0,1) B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)xx -1 >xx -1,所以xx -1<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3|a|对任意实数x 恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立, 所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即-4+b<x<4+b.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则0≤-4+b3<1,3<4+b3≤4⇒4≤b<7,5<b≤8,故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-1时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-1.当-12<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>32.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为 x x<-12或x>1.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x≤2, 2,2<x<4, 2x-6,x≥4.当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x≤0,4x-2a,0<x<a,2a,x≥a.由|h(x)|≤2,解得a-1≤x≤a+1.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.第一讲 不等式和绝对值不等式测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1<1<0,给出下列不等式:①a+b<ab ;②|a|>|b|;③a<b ;④b+a>2.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个b<a<0,所以a+b<ab ,|a|<|b|,ba >0,从而ba +ab >2,因此①④正确.2.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R },B={x||x-b|>2,x ∈R }.若A ⊆B ,则实数a ,b 必满足( ) A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A ⊆B ,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b ≤-3或a-b ≥3,因此选D .3.对于x ∈R ,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( ) A.[0,+∞) B.(0,2) C.[0,2) D.(0,+∞),|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P 在点A 右侧时|PB|-|PC|>8,故x ≥0.4.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x+1x B.y=x 2-2x+4 C.y=x 2+1x 2 D.y= x 2+2+2y=x 2+12中,x 2>0,所以y=x 2+12≥2 x 2·12=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a 等于 ( )A.8B.2C.-4D.-2-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.6.“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的( ) A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a 有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x 的不等式|x+1|+|x+2|<a 的解集非空”的充分不必要条件,故选C .7.已知f (x )=2x+3(x ∈R ),若|f (x )-1|<a 的必要条件是|x+1|<b (a ,b>0),则a ,b 之间的关系是( ) A.b ≥aB.b<aC.a ≤bD.a>b|f (x )-1|<a 可得-a -22<x<a -22, 由|x+1|<b 可得-b-1<x<b-1,由题意可得 -b -1≤-a -22,b -1≥a -22,解得b ≥a 2.8.若x ∈(0,π),则y=sin x cos 2x的最大值等于( ) A.4B.2 3C.23D.492=sin 2xcos 4x=1²2sin 2x ²cos 2x ²cos 2x ≤1 2sin 2x 2+cos 2x2+cos 2x 2 3=4 当且仅当sin 2x 2=cos 2x 2时,等号成立 ,所以y ≤2 39,故所求最大值为2 39.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( ) A.[0,5) B.[0,13) C.[0,9) D.[0,4)2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.10.若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,7) B.(-∞,7] C.(-∞,5) D.(-∞,5]x 2<|x-1|+a 等价于x 2-|x-1|-a<0,设f (x )=x 2-|x-1|-a ,若不等式x 2<|x-1|+a 的解集是区间(-3,3)的子集,则 f (-3)=5-a ≥0,f (3)=7-a ≥0,解得a ≤5,故选D .11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{a n }中,a 2 016=a 2 015+2a 2 014,若a m a n =16a 12,则4+1的最小值等于( ) A.1B.32C.53D.136{a n }的公比为q (q>0),由a 2 016=a 2 015+2a 2 014,得q 2=q+2, 解得q=2或q=-1(舍去).又因为a m a n =16a 12,即a 12²2m+n-2=16a 12,所以m+n=6. 因此4+1=1(m+n ) 4+1=16 5+4n m +m n ≥16 5+2 4n m ·m n =32, 当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B .12.设0<x<1,a ,b 都为大于零的常数,若a 2x+b21-x≥m 恒成立,则m 的最大值是( )A.(a-b )2B.(a+b )2C.a 2b 2D.a 2+b 21-x=a 2x +b21-x[x+(1-x )]=a 2+b2+a 2(1-x )+b 2x 1-x≥a 2+b 2+2ab =(a+b )2,当且仅当x1-x =ab 时,等号成立.由a 2x+b21-x≥m 恒成立,可知m ≤(a+b )2.故m 的最大值是(a+b )2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若x>-2,且x ≠0,则1x 的取值范围是 .x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1x >0;当-2<x<0时,有1x <-12,综上,1x 的取值范围是-∞,-1∪(0,+∞).-∞,-12 ∪(0,+∞)14.(2017山东淄博模拟)已知f (x )=lg x2-x ,若f (a )+f (b )=0,则4+1的最小值是 .(x )=lg x2-x ,f (a )+f (b )=0,∴lg a 2-a +lg b2-b=0,∴ab (2-a )(2-b )=1, 整理,得a+b=2(a ,b ∈(0,2)), 则4a +1b =12(a+b ) 4a +1b=12 5+4b a +ab ≥1 5+2 4b ×a =9. 当且仅当a=2b=4时,等号成立.15.若关于x 的不等式|x+1|+|x-3|≥a+4对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .a+4a ≤4,所以(a -2)2a ≤0,解得a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s (单位:米)与时间t (单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t 2-14t+2 000,则平均速度的最小值是 米/分.v (t )=s=0.2t 2-14t +2000=0.2t+2000-14≥2 0.2t ·2000-14=2³20-14=26,当且仅当0.2t=2000t,即t=100时,取得最小值.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a (a ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x+a|+|x-2|的最小值.因为3∈A ,且1∉A ,所以 32-2 <a ,且 12-2 ≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N +,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即-1≤x ≤2时取到等号. 所以f (x )的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=m-|x-2|,m ∈R +,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m 的值;(2)若a ,b ,c ∈R +,且1+1+1=m ,求证a+2b+3c ≥9.f (x+2)=m-|x|,所以f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }, 又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(1)知1a +12b +13c =1,又a ,b ,c ∈R +,所以a+2b+3c=(a+2b+3c ) 1+1+1=3+a 2b +3c 2b +2b a +3c a +a 3c +2b3c =3+ a +2b + 3c +2b + 3c +a ≥3+2 a 2b ·2b a +2 3c 2b ·2b 3c +2 3c a ·a3c=3+6=9(当且仅当a=2b=3c 时,等号成立).故a+2b+3c ≥9.。
高中数学人教A版选修4-5同步辅导与检测1.2.3绝对值不等式的解法2
一层练习
6 1．A＝ xx∈N，且x∈N ，B＝{x||x2－3|≤2x}，
则 A∩B 的所有非空子集有( B ) A．3 个 C．14 个 B．7 个 D．15 个
不等式和绝对值不等式
1.2 1.2.3
绝对值不等式
绝对值不等式的解法(2)
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的 不等式：
|x－c|＋|x－b|≥a.|x－c|＋|x－b|≤a.
1．求解不等式：|x－c|＋|x－b|≥a，|x－c|＋|x－b|≤a.的 第一种方法分讨论去绝对值． 练习1：不等式|x－2|＋|x－1|≥5的解集为：________ 2．求解不等式：|x－c|＋|x－b|≥a， |x－c|＋|x－b|≤a.的第二种方法用几何意义直接求边界 值，再利用几何意义写出解集．
解法二（几何法）x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解x是与数轴上的
点A（-2）及B（1）两点距离之和小于等于4的点.
A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离 之和都等于3，因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不 等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点.
3 1 如图，我们将 B 向右移动 单位至点 B1 2 ，此时 2 B1 与 A 及 B 距离之和增加 1 个单位，同理我们将 A 点 5 1 向左移动 个单位到 A1－2，这时 A1 与 A 及 B 距离之和 2 也增加一个单位．从数轴上可以看到 A1 与 B1 之间的任何 点(包括点 A1 和 B1)到 A，B 的距离之和均小于等于 4，而 5 3 当 x＜－ 或 x＞ 时，x 与 A，B 两点的距离之和都大于 4. 2 2 5 3 因而原不等式的解集为 －2，2 .
2019人教版高中数学选修4-5学案第一讲1.1-1.1.2基本不等式含解析
第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2≥2ab ， 而a b ＋ba≥2等价于ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2；③若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：B3．函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.因为x >3，所以x －3>0，所以1x －3>0，所以y ≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：C5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值及此时x 的值为( )A.16， 3 B.16，± 3 C.16，－ 3 D.16，±3 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2(x ≠0)， 因为x 2＋9x2≥2x 2·9x 2＝6，所以y ≤16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时，y max ＝16.答案：B 二、填空题6．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±27．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________． 解析：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2 4x y ·9y x ＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 4 三、解答题9．(1)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值． (2)已知0<x <12，求函数y ＝x (1－2x )的最大值．解：(1)因为x <2，所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）·42－x＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0.所以y ＝x (1－2x )＝12·2x (1－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，等号成立．所以函数y ＝x (1－2x )的最大值为18.10．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .B 级 能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a ，b ∈R ，ab ＞0， 所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.答案：43．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x ＞0，知原不等式等价于0＜1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0＜1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。
选修4-5 不等式选讲
选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一 绝对值不等式的解法[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5.[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解； 当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立； 当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2， 解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]． 2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|， 两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0， 解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤a 4.由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.考点二 绝对值不等式性质的应用[典例] (2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解] (1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1<x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法] 绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|≤|x ＋2 019－x ＋2 018|＝4 037， 所以函数f (x )＝|x ＋2 019|－|x －2 018|的最大值为4 037. 2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三 绝对值不等式的综合应用[典例] (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1， 解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)． [解题技法] 两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||； ③利用零点分区间法． [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意， 当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立， 即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤34，2上恒成立， ∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－114，0. [课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立； 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <2a ， 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]． 4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. (1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4， 即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤0，12. (2)因为f (x )＝⎩⎨⎧(3＋a )x ＋2，x ≥13，(a －3)x ＋4，x <13，所以f (x )有最小值的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥0，a －3≤0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)解不等式f (x )>－x ；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a 2－2a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)原不等式等价于f (x )＋x ＞0，不等式f (x )＋x >0可化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)，解得x >－3，即－3<x <－1； 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1，解得x <1，即－1≤x <1； 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3，综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤a 2－2a 可得|x －2|－|x ＋1|≤a 2－2a ，∵|x －2|－|x ＋1|≤|x －2－x －1|＝3，当且仅当x ∈(－∞，－1]时等号成立， ∴a 2－2a ≥3，即a 2－2a －3≥0，解得a ≤－1或a ≥3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|.(1)若a ＝2，求不等式f (x )＞x ＋2的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ＜－1，3，－1≤x ＜2，2x －1，x ≥2，不等式f (x )＞x ＋2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x ＋1＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜2，3＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1＞x ＋2，解得x ＜1或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞3}．(2)∵f (x )＝|x －a |＋|x ＋1|≥|(x －a )－(x ＋1)|＝|a ＋1|，当(x －a )(x ＋1)≤0时取等号． ∴若关于x 的不等式f (x )＜2的解集不是空集，只需|a ＋1|＜2， 解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 7．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3， 解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.第二节 不等式的证明一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一 比较法证明不等式[典例] 已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |. [题组训练]1．当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，求证：(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2. 解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b.考点二 综合法证明不等式[典例] (2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题技法] 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a ，b ，c ，d 均为正数，若a ＋b ＝c ＋d ，且ab >cd ，求证：a ＋b >c ＋d . 证明：因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd . 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此 a ＋b >c ＋d .2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )． (1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy . 解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，∴m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0， ∴⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ×9xy＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号，∴1x ＋1y ≥16，即x ＋y ≥16xy . 考点三 分析法证明不等式[典例] (2019·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解] (1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2，得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.[解题技法] 分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语． [题组训练]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， 知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ， 只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，∴只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 即证2a 2－ab －b 2>0， 即证(a －b )(2a ＋b )>0， 即证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0， ∴(a －b )(a －c )>0显然成立， 故原不等式成立． 2．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b )． 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B 为锐角． 证明：要证∠B 为锐角，只需证cos B >0， 所以只需证a 2＋c 2－b 2>0， 即a 2＋c 2>b 2，因为a 2＋c 2≥2ac ， 所以只需证2ac >b 2， 由已知得2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证b (a ＋c )>b 2，即a ＋c >b ，显然成立． 所以∠B 为锐角．2．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4； (2)若a ，b 满足(1)中不等式，求证：2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.解：(1)当x <－3时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1－x －3＝－2x －4<4，解得x >－4，所以 －4<x <－3；当－3≤x <－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝－x －1＋x ＋3＝2<4恒成立， 所以－3≤x <－1；当x ≥－1时，|x ＋1|＋|x ＋3|＝x ＋1＋x ＋3＝2x ＋4<4，解得x <0，所以－1≤x <0. 综上，不等式|x ＋1|＋|x ＋3|<4的解集为{x |－4<x <0}． (2)证明：因为4(a －b )2－(ab ＋2a ＋2b )2 ＝－(a 2b 2＋4a 2b ＋4ab 2＋16ab ) ＝－ab (b ＋4)(a ＋4)<0， 所以4(a －b )2<(ab ＋2a ＋2b )2， 所以2|a －b |<|ab ＋2a ＋2b |.4．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， ∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t ，∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴(t －3)(t 2＋1)t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .6．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|. (1)求f (x )<2的解集；(2)若f (x )的最小值为T ，正数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤T .解：(1)f (x )＝|2x －3|＋|3x －6|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ＋9，x <32，－x ＋3，32≤x ≤2，5x －9，x >2.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知，f (x )<2的解集为⎝⎛⎭⎫75，115. (2)证明：由图象可知f (x )的最小值为1， 由基本不等式可知a ＋b2≤ a ＋b2＝ 14＝12， 当且仅当a ＝b 时，“＝”成立，即a ＋b ≤1＝T . 7．已知函数f (x )＝|2x －1|－⎪⎪⎪⎪x ＋32. (1)求不等式f (x )<0的解集M ；(2)当a ，b ∈M 时，求证：3|a ＋b |<|ab ＋9|.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧52－x ，x <－32，－3x －12，－32≤x ≤12，x －52，x >12.当x <－32时，f (x )<0，即52－x <0，无解；当－32≤x ≤12时，f (x )<0，即－3x －12<0，得－16<x ≤12；当x >12时，f (x )<0，即x －52<0，得12<x <52.综上，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－16<x <52. (2)证明：要证3|a ＋b |<|ab ＋9|，只需证9(a 2＋b 2＋2ab )<a 2b 2＋18ab ＋81， 即证a 2b 2－9a 2－9b 2＋81＞0， 即证(a 2－9)(b 2－9)＞0.因为a ，b ∈M ，所以－16<a <52，－16<b <52，所以a 2－9<0，b 2－9<0， 所以(a 2－9)(b 2－9)>0， 所以3|a ＋b |<|ab ＋9|.8．已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)法一：依题意知f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0， 即|x ＋2|≤m ⇔－m －2≤x ≤－2＋m .由题意知不等式的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，解得m ＝1.法二：因为不等式f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]，所以－3，－1为方程f (x －2)＝0的两根，即－3，－1为方程m －|x ＋2|＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －|－3＋2|＝0，m －|－1＋2|＝0，解得m ＝1.(2)证明：由(1)可知1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号。
人教A版高中数学选修4-5不等式选讲同步测试(有解析)
不等式选讲A 组1．若,a b 是任意的实数,且a b >,则()(A)22b a >(B)1<a b (C)lg()0a b ->(D)b a )21()21(< 2．不等式32->x 的解集是() (A ))32,(--∞(B))32,(--∞),0(+∞Y (C))0,32(-),0(+∞Y (D))0,32(-3．不等式125x x -++≥的解集为()(A)(][)+∞-∞-,22,Y (B)(][)+∞-∞-,21,Y (C)(][)+∞-∞-,32,Y (D)(][)+∞-∞-,23,Y 4．若0n >,则232n n +的最小值为() (A)2(B)4(C)6(D)85．若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________. 6．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： 1）()()()8a b b c c a abc +++>；2）a b c ab bc ca ++>++.7.．已知x ，y R ∈，求证222x y +≥2()2x y +8．如图1，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9．已知a ，b ，0c >，且不全相等，求证222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10．已知1a ，2a ，…，+∈R a n ，且121=n a a a Λ，求证nn a a a 2)1()1)(1(21≥+++Λ.B 组11.已知x ，0>y ，且2>+y x .试证：yx +1，xy +1中至少有一个小于2.12.求函数x x y 21015-+-=的最大值.13.已知122=+b a ，求证θθsin cos b a +≤1.14.已知12=+y x ，求22y x +的最小值.15.已知10432=++z y x ，求222z y x ++的最小值.16.已知a ，b ，c 是正数，求证2229a b b c c a a b c++≥+++++.17.证明：)(53+∈+N n n n 能够被6整除.18.设,,a b c R +∈,求证：32a b c b c c a a b ++≥+++.不等式选讲答案1.D.提示：注意函数1()2xy =的单调性； 2.B.提示：先移项，再通分，再化简；3.D.提示：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，解得x ≤－3，即不等式组2125x x x ≤-⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是(,3]-∞-.当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5， 即3≥5，矛盾.所以不等式组21125x x x -<<⎧⎪⎨-++≥⎪⎩，的解集为∅，当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2，即不等式组1125x x x ≥⎧⎪⎨-++≥⎪⎩的解集是[2,)+∞.综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞U ; 4.C.提示：22323222n n n n n +=++;5.A B <.提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系. 因为(3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22(1021)(1024)x x x x =++-++30=-< 所以(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++;6．提示：a b +≥Q b c +≥Q c a +≥Q分别将以上三式相乘或相加即可;7.提示:222222222()()2()2442x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=;8.提示:设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则2(2)V a x x=-3311(2)(2)42(2)(2)4[]44327a x a x x a a x a x x -+-+=--⨯≤= 当且仅当224a x a x x -=-=，即当6ax =时，不等式取等号，此时V 取最大值3227a .即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子容积最大. 9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22()a b c +≥2abc .① 因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc .② 因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22()c a b +≥2abc .③由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.10．提示：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a Λ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决.证明：因为+∈R a 1，所以111121a a a =⋅≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，……n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，+∈R a n ，由不等式的性质， 得n n nn a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ΛΛ.因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a Λ时取等号. 11.提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法. 证明：假设y x +1，x y +1都不小于2，即21≥+y x ，且21≥+xy. 因为x ，0>y ，所以y x 21≥+，且x y 21≥+.把这两个不等式相加，得)(22y x y x +≥++，从而2≤+y x .这与已知条件2>+y x 矛盾.因此，yx +1，xy +1都不小于2是不可能的，即原命题成立.12.提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为bd ac +的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为[]5,1，且0>y .x x y -⨯+-⨯=521536427=⨯=当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时函数取最大值36. 13.提示:cos sin a b θθ+=114.提示:22222221(2)(12)()5()x y x y x y =+≤++=+Q 2215x y ∴+≥. 15.提示:2222222100(234)(234)()x y z x y z =++≤++++Q 222100.29x y z ∴++≥16.提示:111[2()]()a b c a b b c c a+++++++ 2111[()()()]()(111)9.2229.a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b c=+++++++≥++=+++∴++≥+++++ 17.提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证1=n 时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k k 53+能够被6整除的前提下，证明)1(5)1(3+++k k 也能被6整除.证明：1）当1=n 时，653=+n n 显然能够被6整除，命题成立. 2）假设当)1(≥=k k n 时，命题成立，即k k 53+能够被6整除. 当1+=k n 时，55133)1(5)1(233+++++=+++k k k k k k 633)5(23++++=k k k k6)1(3)5(3++++=k k k k .由假设知k k 53+能够被6整除，而)1(+k k 是偶数，故)1(3+k k 能够被6整除，从而6)1(3)5(3++++k k k k 即)1(5)1(3+++k k 能够被6整除.因此，当1+=k n 时命题成立.由1）2）知，命题对一切正整数成立，即)(53+∈+N n n n 能够被6整除; 18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：91112a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只须证：111[2()]()9a b c b c c a a b++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。
人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)
2
因为 ab a2 b2 d 2 ，当且仅当 a b 时等号成立 22
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
d2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ，所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 ， a22 x22 2a2x2 ，……， an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ，所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab ， b3 c3 (b c)bc ， c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ，即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、（1）因为 a,b,c R ，所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3，
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
（2）因为 a,b,c R ，所以 a b c 33 abc 0 ， a2 b2 c2 33 a2b2c2 0
2020版人教A版数学选修4-5同步配套___第一讲 不等式和绝对值不1.2.1
-1-
1.绝对值三角不等式
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典例透析
1.理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及其应用.
123
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1.绝对值的几何意义 (1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. (2)对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那 么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.
题型一 题型二 题型三
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典例透析
【变式训练 2】
证明：不等式:
|������+������| 1+|������+������|
≤
|������| 1+|������|
+
1+|������||������|.
证明：当 a+b=0 时,不等式显然成立.
当
a+b≠0
时,∵|a+b|≤|a|+|b|,∴
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典例透析
1
2
2.对绝对值三角不等式几何意义的理解 剖析：用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,当向 量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有|a+b|<|a|+|b|.当向量a,b共线 时,若a,b同向(相当于ab≥0)时,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异向(相当于 ab<0)时,则|a+b|<|a|+|b|,这些都是利用了三角形的性质定理,如两边 之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式, 更易于记忆定理,并应用定理解题. 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度” 还要仔细把握,如下面的式子: |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 我们较为常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,但有些学生就会 误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于||a|-|b||的.
人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法Word版含解析
第一讲不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.2 绝对不等式的解法A级基础巩固一、选择题1．(2019·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1，4) D．(1，5)解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．答案：A2．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≥3C．a≤1 D．a≤3解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B ；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．答案：B3．(2019·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为|x －2|＜1等价于1＜x ＜3，x 2＋x －2＞0等价于x ＜－2或x ＞1，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分不必要条件．答案：A4．不等式|3x －2|＞4的解集是() A.{}x|x ＞2 B.x x ＜－23C.x x ＜－23或x ＞2 D.x －23＜x ＜2解析：由|3x －2|＞4得3x －2＞4或3x －2＜－4所以x ＞2或x ＜－23. 答案：C5．如果关于x 的不等式|x －a|＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪5，＋∞)B ．－5，－3]C ．3，5]D ．(－∞，－5]∪－3，＋∞)解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案：D二、填空题6．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______．解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又1≤x≤3，所以k＝2.法二：由题意可知x＝1，x＝3是|kx－4|＝2的两根，则|k－4|＝2，|3k－4|＝2，解得k＝2.答案：27．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a＜0时，显然成立；因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋4a≤4.所以a＝2，综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是?，则a的取值范围是________．解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.答案：a＜3三、解答题9．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|∈a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋1|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是2，＋∞)．10．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．解：(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，所以a－m＝－1，a＋m＝5，解得a＝2，m＝3.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，所以f(x)＋t≥f(x＋2t)，所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t.当t＝0时，不等式恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于x＜2－2t，2－2t－x－（2－x）≤t或2－2t≤x＜2，x－2＋2t－（2－x）≤t 或x≥2，x－2＋2t－（x－2）≤t，解得x＜2－2t或2－2t≤x≤2－t2或x∈?，即x≤2－t 2 .综上所述，当t＝0时，原不等式的解集为R；当t＞0时，原不等式的解集为x x≤2－t 2.B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞)C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．(2019·重庆卷)若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a ＝________．解析：当a≤－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝－3x＋2a－1，x＜a，x－2a－1，a≤x≤－1，3x－2a＋1，x＞－1，所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；当a＞－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝－3x＋2a－1，x＜－1，－x＋2a＋1，－1≤x≤a，3x－2a＋1，x＞a.所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.综上所述，实数a的值为－6或4.答案：－6或43．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3?|x－3|＋|x－2|≥3?x≤2，3－x＋2－x≥3或2<x<3，3－x＋x－2≥3或x≥3，x－3＋x－2≥3.?x≤1或x∈?或x≥4.故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)原命题?f(x)≤|x－4|在1，2]上恒成立?|x＋a|＋2－x≤4－x在1，2]上恒成立?－2－x≤a≤2－x在1，2]上恒成立?－3≤a≤0.故a的取值范围是－3，0]．。