北京大学平时习题

量子力学习题（三年级用）

北京大学物理学院

二O O三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的Broglie d e

-波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为eV .0250的慢中子

()

克2410671-?=μ

.n

；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a

；

（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量

可能值。

第二章 波函数与波动力学

1、设()()

为常数a Ae x x a 222

1

-=

?

（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x

x ==

2、求ikr

ikr e r

e r -=?=?1121和的几率流密度。

3、若()

,Be e A kx kx -+=?

求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结

论？（其中k 为实数）

4、一维运动的粒子处于

()?

?

?<>=?λ-0

00x x Axe x x

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证

0=υ??

其中ρ=

υ/j

6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0

求：

?)t ,x (=?2

第三章 一维定态问题

1、粒子处于位场

()00

0000

???

?≥?=V x V x V

中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）

2、一粒子在一维势场

??

???>∞≤≤<∞=0

000x a x x V )

x ( 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2=

()

.n a x x ??

? ??π-=-2222

6112

3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为

如

D

S A S B D S A S C 22211211+=+=

这即“出射”波和“入射”波之间的关系，

证明：0

1

1222112112

22

2

21

212211

=+=+=+**S S S S S S S S

这表明S 是么正矩阵

4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数

()?????>≤≤<∞=a

x V a x x V X 0

00

0 5、求粒子在下列位场中运动的能级

()???

??>μω≤∞=0

2

102

2x x x V X

6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用

()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0

求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态，

02

121>=k kx V )

x (

（1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为

22kx V )X (=

随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；

（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的22

x p ,x ??，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量

1、 若()

)z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ

=2

2221 证明：,x V i ]P ,H [x ??=

,p i ]x ,H [x

μ

-=

2、设

[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明

（1）

[],ihpf )q (f p ,q 22

=

（2）[];f p i

)q (f p ,p '=2

2

3、证明

0≡++]]B ?,A ?[,C ?[]]A ?,C ?[,B ?[]]C ?,B ?[,A

?[ 4、如果，B A ?,?是厄密算符 （1）证明

(

)[]B ?,A

?i ,B ?A ?n

+是厄密算符；

（2）求出B ?A

?是厄密算符的条件。 5、证明：

[][][][]][[] ++++=-A ?,L ?,L ?,L ?!,A ?,L ?,L ?!A ?,L

?A e A ?e L ?L 3121

6、如果B ,A 与它们的对易子[]

B ?,A

?都对易，证明 []

B ?,A ?B A ?B ?A e e e 21++=?

（提示，考虑(),e e e )

(f B ?

A ?

B ?

A ?

+λ-λλ??=λ证明

[]f B ,A d df

λ=λ

然后积分）

7、设λ是一小量，算符1

-A ?A

?和存在，求证

+λ+λ+λ+=λ---------1112121111A ?B ?A ?B ?A ?A ?A ?B ?A ?A ?)B ?A

?( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明

()?=+*

0d x u x p xp u nj x x ni

从而证明：?δ=τij nj x ni d xu p u i 2

9、一维谐振子处在基态

()2

2

122/x a /e

a x -π

=

?

求： （1）势能的平均值;X m A

222

1

ω=

（2）动能的平均值;m /P T x 22=

（3）动量的几率分布函数

其中

ω

=m a

10、若证明,iL L L y x ±=±

(1)

±

±±=L ?]L ?,L ?[z 022==-

+]L ?,L ?[]L ?,L ?[ (2)

11++=lm lm Y C Y L ?

12--=lm lm Y C Y L ?

(3)

()-

-+++=-L ?L ?L ?L ?L ?L ?y x 2

122

11、设粒子处于),(Y lm ?θ状态，利用上题结果求2

2

y x l ,l ??

12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ?随时间的变

化为：

()()

()()()()

22

2

0000

2

21212t P p x X p XP X X x t x X X t

?μ+??????-+μ+

?=? （注：自由粒子2

x x P ,P 与时间无关）。

第五章 变量可分离型的波动方程

1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。

2、对于球方位势

(){

000><=

r V a r r V

试给出有0=l

n 个的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态

()()()()()?θ-?θ=?θ?-,Y r R ,Y r R ,,r 112110212

3

21

求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。 4、证明

[]

r r r ,??+=?1212 []

?=?r ,2

2

1 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域()0?=-T V E 的几

率。

6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V

其中，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位

能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：

()2r

A r e Z r +'=φ

其中，e Z '表示原子实的电荷，0>A ，证明，电子在原子实电场中的能量为

()

2

2

241

2l nl n z e E δ+'μ-

=

而l δ为l 的函数，讨论l δ何时较小，求出l δ小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量

()x x V m

p H +=22

的能级为)

(n E 0，试用H ellm ann

F eynm en

-定理，求 m

P H H x

λ+

=0

的能级n E 。

10、设有两个一维势阱

()()x V x V 21≤

若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为() 2121,n E ,E n

n =

（1）证明n n E E 21≤

（提示：令()()211V V x ,V

λ+λ-=λ

（2）若粒子的势场

?????=<>b

x KX b

x Kb )

X (V 22212

1

中运动，试估计其束缚能总数的上、下限

11、证明在规范变换下

?*?=ρ

()

?*?μ-??-?*?μ=* A ?c

q P ?P ?j 21 ???

?

?-=υμA ?c q P ??

不变。

12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。

13．带电粒子在外磁场()B ,,B 00=

中运动，如选

??

? ??-=02121,xB ,yB A ?或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论

1、列出下列波函数在动量表象中的表示

（1）一维谐振子基态：()t i

x a e

a t ,x ω--π

=

ψ

222122

（2）氢原子基态：()t E i a r n

e

a t ,r 2031

--

π=

ψ

2、求一维无限深位阱（0≤x ≤a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

3、求在动量表象中角动量x L

?的矩阵表示。 4、在（z l ,l

2

）表象中，求1=l 的空间中的x L

?的可能值及相应几率。 5、设)r (V p H +μ

=22，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则

()∑μ

=-n

nm

m n x E E 22

2

（提示：求

[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元[][]>m X ,X ,H m ）

6、若矩阵A ，B ，C 满足iA CB BC ,I C B A 2222

=-===

（1）证明：0=+=+CA AC BA

AB ；

（2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。

7、设),x (V p H x

+=μ

22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。 8、在正交基矢21ψψ,和3ψ展开的态空间中，某力学量??

?

???????=010100002a A 求

在态32121

212

1ψ+ψ+ψ=ψ中测量A 的可能值，几率和平均值。

第七章 自 旋

1、设λ为常数，证明λσ+λ=λσsin i cos e

z i z

。

2、若()

,i y x σ±σ=σ±2

1

证明02=σ±

3、在z σ表象中，求n

?σ的本征态，()θ?θ?θcos ,sin sin ,con sin n 是)

,(?θ方向的单位矢。

4、证明恒等式：()()()()

B A i B A B A ??σ+?=?σ?σ其中B ,A 都与σ 对易。

5、已知原子

c 12

的电子填布为22

020221j )p ()s ()s (，试给出

（1）简并度；

（2）给出jj 耦合的组态形式； （3）给出LS 耦合的组态形式；

6、电子的磁矩算符S e l e 0

02μ-μ-=μ，电子处于z j ,j ,l 22的本征态>j j m l 中，求磁矩μ。

j m j j z j j j m l m l =>μ=<μ

7、对于自旋为

2

1的体系，求y x S ?S ?+的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应的态中，测量2

=

z s

?的几率是多大？ 8、自旋为2

1

的体系，在0=t 时处于本征值为2/ 的x S 的本征态，将其置于

()B ..B 00=的磁场中，求t 时刻，测量x S 取2/ 的几率。

9、某个自旋为21/的体系，磁矩00<σμ=μt

,时，处于均匀磁场0B 中，0

B

指向Z 方向，0≥t

时，再加上一个旋转磁场)t (B 1，其方向和Z 轴垂直。 201102122e ?t sin B e

?t cos B )t (B ω-ω=

其中c /B 000μ=ω

已知0≤t

时，体系处于2/s z =的本征态21/κ，求0>t 时，体系的自旋波

函数，以及自旋反向所需要的时间。

10、有三个全同粒子，可以处于

321ψψψ,,三个单粒子态上，当

1213213211======n ,n ;n n n ;n 三种情形下的对称或反对称波函数

如何写？

11、两个全同费米子体系处于一个二维方势阱中，假设两粒子间无相互作用，

求体系最低两上能级的能量和波函数。

??

???<><>∞<<<<=0

0000

y ,

L y x ,L x L y ,L x V )

y ,x (

12、设有两个全同粒子，处于一维谐振子势中，彼此间还有与相互距离成正比的作用力，即位能为

02

121221232121>-++=

k ,a ,)x x (a )x x (k )x ,x (V

求体系的能量本征值及本征函数，按波函数的交换对称性分别讨论之。

第八章 量子力学中的近似方法

一、定态微扰论

1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：01E 及02E 现在受到微扰H

?'的作用，微扰矩阵元为b ,a ,b H H ,a H H ==='='22112112

都是实数，

用微扰公式求能量至二级修正值。 2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x 方向： （1）用微扰法求能量至二级修正；

（2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。

3、设在0H 表象中，H 矩阵表示为

???????

???

????**)()()(E b a b E a

E 03020100

试用微扰论求能量的二级修正。

4、设自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件

)L ()L (2

2ψ=-ψ

波函数的形式可取为

21022

200,,n L

n k kx sin L

,kx cos L

)

()

(=π=

=ψ=

ψ-+

设粒子还受到一个“陷阱”的作用

L a e

V H a /x )

x (<<-=-2

201

试用简并微扰论计算能量一级修正。

5、一体系在无微扰时有两条能级，其中一条是二重简并的，在0H 表象中

)()()()

()(E E E E E 0201020101000000

????

???

????

在计及微扰后，哈密顿量为

???

????

???????**)()()(E b a b E a E 02010100

（1）用微扰论求H 本征值，准到二级近似；

（2）把H 严格对角化，求H 的精确本征值，然后进行比较。 二． 变分法

1、试用变分法求一维谐振子的基态波函数和能量（试探波函数取2

x e λ-，λ为

特定参数）。

2、设氢原子的基态试探波函数取为

2

)a /r (Ne )r ,(λ-=λψ

22e /a μ=

N 为归一化常数，λ为变分参数，求基态能量，并与精确解比较。

3、粒子在一维势场中运动0<)

x (V （当)V ,x )x (0→±∞→，试证明：至

少存在一个束缚态,E 0<取试探波函数。

2

4

122/x e

)x ,(λ-π

λ=

λψ

三、量子跃迁

1、氢原子处于基态，受到脉冲电场作用

00εδε=ε

)

t ()t (是常数

试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。

2、具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动。在光的照射下发生

跃迁，入射光能量密度分布为)(ωρ，波长较长，求 （1）跃迁选择定则；

（2）设离原来处于基态，求跃迁到第一激发态的几率。

3、设把处于基态的氢原子放在平板电容器中，取平板法线方向为Z 轴方向，电

场沿Z 轴方向可视为均匀，设电容器突然充电，然后放电，电势随时间变化为

???>ε<=ετ

-0

000t e

t )t (/t （τ为常数）

求充分长的时间之后，氢原子跃迁到S 2态及p 2态的几率。

4、有一自旋2/ ，磁矩μ，电荷为零的粒子，置于磁场B

中，开始时

)B ,,(B B ,t 00000=== ，粒子处于z ?σ的本征态)(0

1，即01>-=σ。t z 时，

再加上沿x 方向较弱的磁场),,,B (B 001= 从而)B ,,B (B B B 01100=+=

，求0>t 时，粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”)(z 1=σ的几率。

四、散射问题 1、用玻恩近似法，求在下列势中的散射微分截面 （1）)a (e

V )r (V ar 02

0>=- （2）)a (e V )

r (V ar

00>=-

2、用分波法公式，证明光学定量

T k )(f Im σπ

=40

3、设势场,r /V )

r (V 20=用分波法求l 分波的相移。

4、质量为μ的粒子束，被球壳δ势场散射。

)a r (V )r (V -δ=0

在高能近似下，用玻恩近似法计算散射振幅和微分截面。 5、求各分波相移l δ，并和刚球散射的结果比较。

6、求中子一中子低能S )E (0→波散射截面，设两中子间的作用为

?

?

?>≤σ?σ=0

0210r a r V V

其中2100σσ>,,V 是两中子的pauli 自旋算符，

入射中子和靶中子都是未极化的。

7、实验发现，中子一质子低能S 波散射的散射振幅和散射截面与中子一质子体

系的自旋状态有关。对于自旋单态和自旋三重态，散射振幅分别为

cm

.f cm .f 12

212110

538010372--?=?-=

（1）分别求自旋单态和三重态的总散射截面；

（2）如入射中子)n (和质子)p (都是未极化的，求总截面；

（3）如入射中子自旋“向上”，质子靶自旋“向下”，求总截面，以及散射后，

p n 、自旋均转向相反方向的几率。