中心对称与三角形的中位线
三角形的中位线与中心
三角形的中位线与中心三角形是初中数学学习的重要内容之一，中位线是三角形的一个重要性质。
本文将介绍三角形的中位线以及与之相关的中心。
一、中位线的概念在三角形ABC中，连接线段AD、BE和CF的三条线段称为三角形ABC的中位线。
其中，D、E和F分别是AB、BC和AC的中点。
二、中位线的性质1. 三角形中位线的长度相等在三角形ABC中，有AD=BE=CF。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以三角形ADB、BEC和AFC都是等边三角形，因此AD=BE=CF。
2. 三角形的中位线互相平行在三角形ABC中，有AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
这是因为D、E和F分别是AB、BC和AC的中点，所以由平行线性质可知，AD∥BC，BE∥AC和CF∥AB。
三、三角形的中心三角形的中位线交于一点，这个点称为三角形的中心。
在三角形ABC中，三条中位线AD、BE和CF的交点是三角形的重心G。
四、重心的性质1. 重心到各顶点的距离比例为2:1在三角形ABC中，设重心为G，连接AG、BG和CG，有AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1。
这是由于重心是三角形的中位线交点，根据中位线的性质可知，AD=2DG，BE=2GE，CF=2GF。
2. 重心将三角形分成六个小三角形，且这些小三角形的面积相等以重心G为顶点，将三角形ABC分成了六个小三角形：△BAG、△CBG、△ACG、△AGD、△BGE和△CGF。
这六个小三角形的面积相等。
这是因为重心等分了中位线，并且中位线等分了三角形的面积。
3. 重心是重心轴的对称中心重心轴是连接重心和对边中点的线段，对于三角形ABC，重心轴是DE。
重心是重心轴的对称中心，即以重心G为中心，DE为轴进行对称，对应的点分别为A和C。
五、应用三角形的中位线和重心在数学中有广泛的应用。
例如：1. 在几何证明题中，可以利用重心的性质推导出其他结论。
2. 在力学中，可以利用重心的概念计算物体的重心位置。
八年级数学第五节 三角形中位线定理、第六节 中心对称图形北京实验版知识精讲
初二数学第五节三角形中位线定理、第六节中心对称图形实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：第十六章第五节三角形中位线定理 第六节中心对称图形二. 教学目标：1. 探索并掌握三角形中位线定理。
2. 认识中心对称图形。
3. 进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的能力。
三. 重点、难点：重点：三角形中位线定理和中心对称图形 难点：三角形中位线定理的熟练应用四. 教学过程（一）知识要点：1. 三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
如图所示：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 是△ABC 的中位线。
B C注：三角形共有三条中位线。
2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如上图所示：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点∴=DE BC DE BC //且123. 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边。
如图所示：△ABC 中，D 是AB 中点，DE//BC ，∴AE=EC 。
B C4. 顺次连结四边形各边中点，原四边形的两条对角线和中点四边形之间的关系。
5. 中心对称图形：定义：一般地，在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
互相重合的点叫对称点。
性质：中心对称图形对称点的连线被对称中心平分。
【典型例题】例1. 已知：如图所示在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
证明：连结ACAH HD CG GDHG AC HG ACEF AC EF ACEF HG==∴==∴，，同理，1212////// ∴四边形EFGH 是平行四边形。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，BD=DC ，E 是AC 上一点，BE 、AD 交于F ，若AE=EF ，求证：BF=AC 。
初中数学_【课堂实录】三角形的中位线(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
《三角形的中位线》教学设计一、教材分析《三角形的中位线》是义务教育教科书五四制鲁教版八年级上册第五章《平行四边形》的第三节。
三角形的中位线是“空间与图形”领域研究的主要对象之一。
三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，它不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，堪称数形结合的典范。
在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了转化的思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
三角形的中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用。
二、教学目标知识与技能：理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，会运用定理进行推理证明和计算，解决有关问题。
过程与方法：经历观察、猜想和归纳，探索三角形中位线的概念和性质，体验解决实际问题方法的多样性，培养大胆猜想、合理论证的科学精神。
情感态度价值观：提高用数学语言表达问题的能力，体会与他人合作解决问题的重要性和转化的数学思想方法。
三、教学重点、难点教学重点：三角形中位线的性质和应用教学难点：三角形中位线定理的推理证明四、教学方法●学情分析认知分析：学生已掌握了如何构造中心对称图形以及中心对称的性质，这将成为本课学生研究和探索三角形中位线性质的基础知识。
能力分析：在前面已经学习了全等三角形、平行四边形等相关内容，具备一定的操作、归纳、推理和论证能力，但在数学意识与应用能力方面尚需要进一步培养。
情感分析：八年级的学生，参与意识强，思维活跃，对于真实问题情境及现实生活中的数学问题具有一定的兴趣，能够积极参与动手操作与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强；少数学生主动性不够强，尚需通过营造一定学习氛围，来加以带动。
●教法分析依据本节教学内容及学生知识建构的特点，尚需依赖于直观形象的学习方法，选用了合作探究式教学法，通过设计问题序列，引导学生动脑、动手、动口、主动探究，参与整个教学过程，体现学生的自主性和合作精神主动愉快地进行创造性学习。
苏教版八上八下数学定理 全面 必背
八上定理
一、轴对称的性质
1.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
二、线段的垂直平分线：
①性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；
②判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点
．．．．的距离相等
三、角的角平分线：
①性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
②判定定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边
．．．的距离相等。
四、等腰三角形：
1、性质定理：
①等边对等角
②三线合一
2、判定定理：等角对等边。
五、等边三角形：
1、性质定理：
①三边相等
②三个角都是60°
拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一
．．．．这性质。
2、判定定理：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、直角三角形推论：
1、直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：直角三角形常用面积法
．．．求斜边上的高。
三、中心对称图形
第三章中心对称图形（一）§3.1图形的旋转知识点：1、旋转基本内涵。
将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
2、旋转与平移的区别和共同点：变换要素性质共性平移平移的方向和距离对应点的连线段的长度等于平移的距离，对应点的连线段平行（或在同一条直线上）；对应线段平行（或同一条直线上）且相等变换前后的两个图形的形状与大小不变（全等）轴对称对称轴对称点的连线被对称轴垂直平分旋转旋转的中心、方向和旋转角对应点与旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角考点：主要围绕旋转的定义、性质来作图以及解决一些简单数学问题和实际应用问题。
典型例题：例1、（2008 盐城）如图，△ABC是等腰三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，且PA=3，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP’重合，那么线段PP’的长等于---------。
例2、画出△ABC绕点A逆时针90°后的图形。
例3、（2008 南京）如图，菱形ABCD与菱形EFGH的形状、大小完全相同，请从下列序号中选择正确选项的序号填在横线上。
①点E、F、G、H；②点G、F、E、H；③点E、H、G、F；④点G、H、E、F。
D HA C E GB F图1 图2（1）如果图1 经过一次旋转后得到图2，那么点A、B、Ｃ、Ｄ对应点分别是＿＿＿。
P’AB CPAB C（2）如果图1经过一次轴对称后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。
（3）如果图1经过一次平移后得到图2 ，那么点A ，B ，C ，D 对应点分别是＿＿＿。
§3.2中心对称与中心对称图形 知识点：1、中心对称与中心对称图形联系和区别：中心对称是指两个图形之间的关系：一个图形绕着一点旋转180°，与另一个图形完全重合，那么着这两个图形叫做中心对称；中心对称图形是一个图形而言，一个图形绕着一点旋转180°，它与自身重合，那么这个图形叫中心对称图形。
苏科版数学八年级下册-三角形的中位线课件
菱形
视察—猜想—探索
（6）顺次连结对角线相等的 四边形各边中点所得的四边形 是什么？
菱形
（7）顺次连结对角线垂直的 四边形各边中点所得的四边形 是什么？
（8）顺次连结对角线相等且 垂直的四边形各边中点所得的 四边形是什么？
顺次连结对角线相等或垂直的四边形各边 中点所得的四边形分别是什么四边形?
连接对角线相等的四边形各边中点所得 的四边形是菱形. 连接对角线互相垂直的四边形各边中点 所得的四边形是矩形.
不明白
学习感悟（基本图 形 /技能/方法、知 识结构图/问题 等）：
检测反馈
A 1．如图：在△ABC中，DE是中位线
D
E（1）若∠ADE=60°,则∠B= 度；
（2）若BC=8cm， 则DE= cm。
B B
D 4F 53
A
E
C
2.如图：在△ABC中，D、E、F分 别是各边中点， AB=6cm,AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长= cm，面积为 cm2。
视察—猜想—说理
若四边形ABCD是特殊的四边形， 将会有特殊的四边形EFGH吗？
菱形
（1）顺次连结矩形各边中点所得 的四边形是_______；
（2）顺次连结菱形各边中点所得的 四边形是________；
矩形
（3）顺次连结正方形各边中点所得的 四边形是________ 。
正方形
知识要点
掌握
基本掌握
A
D
C
实际问题
B E
数学化 三角形的中位线
如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什
么四边形?为什么?
视察 猜想 说理 解题反思：
9.5 三角形的中位线 苏科版八年级数学下册教案
9.5《三角形的中位线》教学设计一、教材分析《三角形的中位线》是新课标苏科版八年级（下）第九章《中心对称图形---平行四边形》的第五节的教学内容，教材安排一个学时完成。
本节教材是在学生学完了平行四边形和矩形，菱形，正方形内容之后,作为平行四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.二、学情分析本章从内容上讲是《9.3》和《9.4》的继续，初二的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。
对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题.三、教学目标1.知识与能力：理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；2.过程与方法：进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识3.情感态度价值观在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。
四、教学重难点重点：三角形中位线性质定理证明及应用难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领.五、教学方法与学法指导对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。
在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，使学生易于理解和接受。
六、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板.七、教学过程（一）创设情境，导入新课1.从生活中的事例导入，A、B两地被建筑物隔开,如何测出A、B两地之间的距离？2.引入课题：三角形的中位线（板书课题）（设计意图：从生活的事例出发，激发学生的学习兴趣）（二）展示目标，自主学习认真研读课本86-87页，思考下列问题：1、回顾三角形中线的概念，在练习本上画出一个三角形,并画出它的中线。
中位线概念
1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
角平分线上的点，到角两边的距离相等。
平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。
（10）平行四边形ABCD 中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。
（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；最常用的：19.1 平行四边形1. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
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中心对称与三角形的中位线
·能力提升
1.如图，有一块长方形土地ABCD，其中有一口圆形井.现将此土地分给甲、乙两户种植蔬
菜，若使两家所分的地公平合理，你想怎么帮他们分？简要说明你的分法.（假设土地都一样好）
B
2.已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°,M为AB的中点，∠PMQ=90°.
求证：PQ2=AP2+BQ2 Array
A
3. 如图，在△ABC 中BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，点E 为AC 中点. 求证：（1）DE ∥BC ；（2）)(2
1
AB BC DE -=
A
C
B
4. 如图，△ABC 中，∠A=2∠B ，CD ⊥AB ，E 为AB 的中点.
求证：AC DE 2
1
=
A
B
5. 如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E
、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？。