三角形中位线性质的应用
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形中位线性质的活用
三角形中位线性质的活用三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.利用三角形的中位线可以进行几何求值、证明、作图,且能解决生活实际问题.一、证明例1 如图1,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是 .分析:由三角形的中位线位置关系知GH ∥AD 、 GF ∥BC ,数量关系知 GH =12AD 、GF =12BC .要使四边形EFGH 是菱形, 需证平行四边形EFGH 的GH =GF ,所以四边形ABCD 还应满足的一个条件是AD ＝BC .证明: ∵ 在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点, ∴ GH ∥AD , GF ∥BC , EF ∥AD ,HE ∥BC , ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. 又 GH =12AD 、GF =12BC , ∴ 当AD ＝BC 时, 平行四边形EFGH 的邻边GH =GF . 即 平行四边形EFGH 是菱形. 二、实际问题例2 如图2,ABCD 是校园内一块四边形空地,学校在征集对这块空地种花草的设计中选定了如下方案:把这块四边形空地分成九块,种植三种不同品种的花草,其中E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,P 、Q 、R 、K 分别是EF 、FG 、GH 、HE 的中点,现要在四边形PQRK 中种上红色的花,在△PFQ 、△QGR 、△RHK 、△KEP 中种上黄色的花,在△HAE 、△EBF 、△FCG 、△GDH 中种上紫色的花,已知红黄紫三种花的单价分别是8元/㎡、10元/㎡、12元/㎡,而种红花已用去120元,请用学过的数学知识计算种满四边形ABCD 这块空地的花需要多少元?HGFE DCBA 图1KRQPHGFDC BA图2分析:利用三角形的中位线性质推导出“中点四边形”与原四边形的面积关系,得出结论. 解:由三角形中位线性质,可得顺次连接四边形中点所得四边形的面积是原四边形面积的一半,即四边形PQRK 的面积=12四边形EFGH 的面积=14四边形ABCD 的面积, 又 四边形PQRK 的面积=1208=15㎡,∴ 种黄色花需要10×15=150(元), 种紫色花需要12×30=360(元),∴ 种满这块空地共需要120+150+360=630(元).三角形中位线的应用“三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这就说明三角形的中位线与第三边既有位置关系，又有数量关系，所以，中位线的应用相当广泛。
三角形的中位线定理及其应用
效果分析
从整个课堂教学来看，这节课始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。
1、通过前置作业“将一个三角形分成面积相等的四部分”，根据学生的分法引出三角形的中位线的定义，从而顺势进入本节课探究的内容。
我想通过一些问题的有效设问，不断激起学生的认知冲突，使新课知识的探索自然而然的发生，使学生从“感兴趣”自然进入数学知识的探究，达到培养思维能力的效果。
2、在认识了三角形中位线的概念之后，教师不是直接提出三角形中位线定理后再证明，而是先让学生猜测，再通过动画演示，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。
3、在学习了三角形的中位线之后，让学生和以前学过的三角形的中线作比较，从而弄清楚知识间的联系和区别。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形的中位线与中心连线的性质
三角形的中位线与中心连线的性质三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和特点。
其中，三角形的中位线和中心连线是我们常见的几何性质之一。
在本文中，我将详细介绍三角形中位线和中心连线的性质，并通过举例和分析，说明它们的应用和重要性。
一、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC中点D的线段AD就是三角形ABC的中位线。
中位线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分成六个小三角形，且每个小三角形的面积都相等。
2. 重心到三角形各顶点的距离相等，即重心到顶点的距离相等于重心到对边中点的距离。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的重心。
3. 三角形的重心将中位线按照1:2的比例分成两段。
即重心到中点的线段长度是顶点到重心的线段长度的两倍。
这个比例关系在计算三角形的面积时非常有用。
二、中心连线的定义和性质中心连线是连接三角形的顶点和三角形的内心、外心、垂心、重心的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和内心I的线段AI、连接顶点A和外心O的线段AO、连接顶点A和垂心H的线段AH、连接顶点A和重心G的线段AG都是三角形ABC的中心连线。
中心连线具有以下几个重要的性质：1. 三角形的内心、外心、垂心、重心四个中心连线交于一点。
这个点被称为三角形的垂心，它是三角形内心、外心、重心所在直线的垂线交于三角形的交点。
2. 三角形的内心到三条边的距离相等，即内心到三角形各边的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的内心。
3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，即外心到三个顶点的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到三角形的外心。
4. 三角形的垂心将中心连线按照1:2的比例分成两段。
即垂心到顶点的线段长度是垂心到对边的线段长度的两倍。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版,含解析、点评和练习设计)
专题复习:三角形中位线定理的运用例谈 赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分“含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究DEF 的周长与ABC 的周长的关系？ 分析: 点D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，可知：,,,111EF BC DE AB DF AC 222===∴()1EF DE DF BC AC AB 2++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半练习：以上面的图为例，若DEF 的周长为16cm ，则ABC 的周长为 .⑵.面积关系如图点D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究 DEF 的面积与ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC 是全等的，故它们的面积是相等的，则ABC S=DEF 4S.所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14.说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了.练习：以上面的图为例，若ABC 的面积为216cm ，则DEF 的面积为 .2、中点四边形顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：⑴.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的平行四边形.如图⑴，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，试探究中点四边形EFGH 的形状. 略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：,EH BD GF BD EH GF ∴ 同理：HG EF ;故中点四边形EFGH 的形状是平行四边形. （还有其它方法证明）⑵.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个菱形.如图⑵，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD =,试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：易证点四边形EFGH 的形状是平行四边形，由,11EH BD EF AC EH EF 22==∴=；故中点四边形EFGH 是个菱形.⑶.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个矩形.如图⑶，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD ⊥试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：易证点四边形EFGH 的形状是平行四边形，由,EH BD EF AC 可以进一步推得HEF 90∠=,故中点四边形EFGH 是个矩形.⑷.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个正方形.如图⑷，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD AC BD =⊥，，试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由⑵和⑶的方法推理易得点四边形EFGH 既是菱形又是矩形，故中点四边形EFGH 是个正方形. （还有其它方法证明）练习：1.顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；C 图（1）C 图（2）图（3）A 图（4）2.顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是；3.顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是；4.顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是；5.顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是 .3、三角形的中位线与梯形⑴.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系.如图，梯形ABCD中，AD BC,E F、分别是两腰AB DC、的中点，请探究EF与AD BC、的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决.连结AF延长交BC的延长线于G点.根据题中条件易证ADF≌GCF,得：AF GF CG AD==，吧在ABG中，由,AE BE AF GF==可以推出,1EF BG EF BG2=.可以进一步得出：(),,1EF BC EF AD EF AD BC2=+.结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.⑵.连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系.如图，梯形ABCD中，,AD BC BC AD>,E F、分别是两对角线AC BD、的中点，请探究EF与AD BC、的关系.分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决.连结DF延长交BC于M点.根据题中条件易证ADF≌CMF,得:DF MF CM AD==，.在D BM中，由,DE BE DF MF==可以推出,1EF BM EF BM2=.可以进一步得出：(),,1EF BC EF AD EF BC AD2=-.结论：连结梯形两对角线中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半.练习:1.若一梯形的高为h，其中位线长为m，则此梯形的面积为 .2.以上面的⑵题为例的条件的基础上，若增添梯形ABCD的中位线长为14cm EF8cm=，，求梯形ABCD的两底AD BC、的长分别是多少？4.巧添三角形的中位线来破题添三角形中位线是几何图形辅助线比较常见的辅助线.已知三角形边上的中点，直接连结构成中位线是最常见的添中位线的方式，也是同学们容易想到的，这里不举例；下面这些例子添三角形中位线的途径有些有一定的技巧性，希望能给同学们从中得到一些启发.⑴.补全三角形，得到三角形的中位线.例.如图E F G H、、、分别是AB BD CD CA、、、的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：本题求证的是四边形EFGH在的线段并非是某完整三角形的边，如果我们连结AD或BC问题便解决了.如图，当连结BC后，在ABC和DBC，由于E F G H、、、分别是AB BD CD CA、、、定理可得：,;,.,11HE BC GF BC HE BC GF BC HE GF HE GF22==∴=.故四边形EFGH是平行四边形.⑵.再取中点，连成中位线例1. 如图，D为△ABC的边AB的中点，,1CE AC OE23==,求OB的长？分析：在三角形的一边上有一中点，根据条件很容易再取一中点来连结而成三角形的中位线来解决问题.如图，根据本题的条件若取出线段AE的中点F,容易得出E F、是线段AC的三等分点，E F、就分别是线段CF AE、的中点，连结DF后，在ABE中，又由于D为AB的中点，根据三角形的中位线定理可得：,BE2DF DF BE=;因为已得出E为线段CF的中点，根据平行线等分线段（属于选学内容）可以得出O为线段CD的中点,即OE为CDF的中位线，所以,DF2OE BE2DF4OE8=∴===;所以.OB BE OE826=-=-=例2.四边形ABCD中，对角线AC=BD,E、F分别为AB、DC的中点,点O为AC、BD的交点,M、N为EF分别与DB、AC的交点，求证：OM=ON分析：本题的E F、分别为AB DC、的中点，但并非为某三角形和梯形（四边形ABCD没有告诉是梯形）的中位线，本题的E F、分别为AB DC、的中点，若化在ABC和ABC来看，它们有一公共边，若在公共边BC取一中点G,连结GE GF、（见图示），此时GE GF、就分别是ABC和ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得：且,11GE AC GF BD22==；又AC BD GE GF GFE GEF=∴=∴∠=∠;∵,GE AC GF BDADB CEOFA DB CE M N FOG∴,;ONE GEF OMF GFE ONE OMF OM ON ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=.例3.M 、N 分别为AD 、BC 的中点，且AB=CD,求证：∠1=∠2分析：本题要证明的是两个角相等，而两个角相等的直接条件没有，再加上在图形上两个角的位置上有比较分散，所以我们应思考把分散位置上的12∠∠、转化在一起，很容易联想到由平行线来帮忙.由本题有线段中点的条件，所以可以尝试再取一中点连成三角形的中位线来提供平行线. 略证：如图，连结AC ,取出线段AC 的中点E . 又M N 、分别是线段AD BC 、的中点,,,NE CD ME AB NE CH ME BC 11NE CD ME AB22AB CD NE MEEMN ENM ∴===∴=∴∠=∠即,,NE CH ME BC1ENM 2EMN 12∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ 点评：本题在添加辅助线上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的12∠∠、“搬”到同一个三角形中且要使它们相等来解决问题，根据本题提供的条件这样的辅助线是应该想到的.另外例2和例3都有一个都一个共同的特点，要把问题转化到同一个三角形中，关键要找到或构造共同的边的中点,例2的公共边BC 的中点G 和例3构造的公共边AC (对角线)的中点E .⑶.挖出隐含的中点构成中位线. 例1.如图，,ME AB ME AB =，D 为线段EC 的中点,A M D 、、三点共线 求证：四边形ABCD 是梯形 分析：证明四边形ABCD 是梯形当然关键是证明有且只有一组对 边平行，根据本题提供的条件就是要证明AD BC .提供平行线 除了以前常用的方法，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径.根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点，连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =可以得出：四边形ABM E 是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在EBC 中，根据三角形的中位线定理可以得出,OD BC AD BC 即.例2. △ABC 中，AD 平分∠BAC，CD ⊥AD,E 为BC 的中点，求证：DE ∥AB分析：本题和例1的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使 问题得以解决.如图若我们延长CD 交AB 于带点F ,根据题中条件容易证得AFD ≌ADC ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点；又E 为BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB 即.例3.BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G 求证：GF ∥BC分析：本题和例1、例2的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从而来使 问题得以解决.如图若我们分别延长AG AF 、交BC 于点M N 、,根据题中条件容易证得 AGC ≌MGC ,所以AG MG =,即G 为AM 的中点；同理可以得到F 为 AN 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DG MN DG BC 即.点评:隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节；我们同学有的虽然有这方面的知识积累，但却没有这方面的意识，这也难以找到破题的的途径.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一、平行线等分线段、中垂线等等知识点.练习：1. 如图，AD 、BE 、CF 分别是△ABC 三边中线交于点O ，FM ∥BE ，EM ∥求证：四边形ADCM 是平行四边形.2.如图，ABC 中，D 为边BC 上的一点，中线BE 与线段AD 交于的F ,且1DF AD =，求:BD DC 的值？如图正方形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ,BAC ∠的平分线交BD 于点F .求证：1OF CE 2= G B A D N M H 21EA DC B M E ODE C AF A B C FG E DONM C5.三角形中位线的实际应用举例例.A B 、两点被池塘隔开，现在要测出A B 、两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 略解：在池塘外的空地上取一点C ,用绳子“连结”CA CB 、CA CB 、的中点分别为M N 、，量出M N 、之间的距离，此时AB =根据是三角形的中位线定理.（见右图图解）练习：怎样测量一座建筑底面是四边形地基的对角线的长？请画出示意图进行解答说明.课外选练：1、 如图，等腰梯形ABCD 的ADBC ,若E F G H 、、、分别是AD BD BC AC 、、、的中点，请判断四边形EFGH 的形状，并说明理由. 2、如图ABC 中，EF 为三角形的中位线，AD 是BC 边上的中点，点O 为EF 和AD 的交点.求证：EF 和AD 互相平分.3、如图，点D E F 、、分别是ABC 的三边AB AC BC 、、的中点，是BC 的高。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用
1、已知正方形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAC，
分别交BC、BO于点E、F，求证：OF=CE．
分析：
1、从已知条件中你可以得到什么？
易得：(1)、正方形的四条边相等，对角线相等且互相平分。
(2)、∠1=∠2
2、要证的是一条线段的长等于另一条线段的一半，你会想到以前学过的那些定理和这个很类似？
：三角形的中位线定理。
3、题目中的线段OF是三角形的中位线吗？
：不是。
4、根据已知条件能在图形中做出一条三角形的中位线吗？
：注意到图形中点O是AC的中点，因此取AE的中点G．联结OG，则OG= CE，故只须证明OG=OF即可。
点拨：
平面几何中的常用辅助线可以创造出中位线，这就是把未知问题
转化为已知问题的一种途径．
证明：
取AE的中点G，联结OG，则OG是△AEC的中位线．由中位线定理，得
OG//CE，OG=CE．
∴∠3=∠4．
∵∠OFG=∠1＋∠5，
∠OGF=∠2＋∠3=∠2＋∠4，
∠1=∠2，∠4=∠5=45°，
∴∠OFG=∠OGF，
∴OG=OF，
∴OF=CE．。
直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.垂直平分猜想：MN1图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A DADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB0∥，求证：FAB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2图E 1B取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质CD CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B．MN=（AB-CD）求证：3图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP的中点．是AEODP．求证：BPEBC4图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D．中点，求证：AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
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三角形中位线性质的应用
三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度．
例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F
因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝
2
1AC ＝NF ，PF ＝2
1AB ＝ME
PE ∥AC ，PF ∥AB
所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC
所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ．
例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ．
证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝
2
1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2
1CF
因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ，
所以∠3=∠4=
1802
M PN
-∠
，
∠MPN ＋∠BAC ＝180
（两边分平行的两个角相等或互补）
所以∠1=∠2=1802
M PN
-∠
， 所以∠2=∠3．
因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ．
练一练：
1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形；
②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形．
2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC
N
P
图1
C
M
图
2
图3
的中点．求MN的长．（提示：延长CM交AB于E）
1．平行四边形；菱形；矩形；垂直且相等．
2．5.1
D
N
图4。