五,图像恢复和重建
数字图像处理 第五章_图像复原与重建
1.退化模型
2.代数恢复方法 3.频率域恢复方法 4.几何校正 5.图像重建
数字图像处理
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1
第五章
图像复原与重建
什么是图像复原？ 什么是图像重建？ 数字图像如何进行几何变换（缩放、旋转等）
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2
5.1 退化模型
g Hf
g、f都是M维列向量，H是M×M阶矩阵，矩阵中的每一行 元素均相同，只是每行以循环方式右移一位，因此矩阵H 是循环矩阵。循环矩阵相加或相乘得到的还是循环矩阵。
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18
5.1.2 退化的数学模型
二维离散模型 设输入的数字图像f(x, y)大小为A×B，点扩展函数h(x, y)被均 匀采样为C×D大小。为避免交叠误差，仍用添零扩展的方法， 将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期函数。
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5.1.2 退化的数学模型
退化的数学模型
f (x, y) n (x, y)
h(x,y)
g (x, y)
在时域
g ( x, y) f ( x, y) * h( x, y) n( x, y)
f ( , )h( x , y )dd n( x, y)
二维离散退化模型同样可以表示为：
g Hf
式中，g、 f是MN×1维列向量，H是MN×MN维矩阵。其方法 是将g(x, y)和f(x, y)中的元素排成列向量。
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数字图象处理-Chapter5 图像复原与重建
无约束恢复
假定退化图象遵从以下模型 g(x, y) f (x, y)*h(x, y) n(x, y)
H u, v T e j2 ux0tvy0tdt 0
H u, v e t T / t j2 ux0ntvy0nt
n0
H u,v=
T
ua
vb
sin
ua vb
e j uavb
How to simulate motion-degraded images
g x,
y
T
0
f
x
H u, v T e j2ux0tdt 0 = T e j2uat /T dt 0 = T sin ua e jua ua
H u,v=
T
ua
vb
sin
ua vb
e j uavb
If the motion is not Uniform Linear， How to acquire H(u,v)?
p(z)
exp[
]
2
2 2
噪声概率密度函数
均匀噪声
1 (b a) 如果a z b
p(z)
0
其他
＝(a b) 2
2 (b a)2 12
噪声概率密度函数
脉冲（椒盐）噪声
p(
z
)
Pa Pb
如果z a 如果z b
0 其他
8.1.3 噪声概率密度函数
3. 脉冲（椒盐）噪声
引言
图像增强与图像复原
图像复原（Restoration）？
原图
退化结果（Degradation）
原图
退化结果（Degradation）
在Matlab中进行图像重建和图像恢复的技术
在Matlab中进行图像重建和图像恢复的技术图像重建和图像恢复是数字图像处理领域的重要研究方向。
在Matlab这一强大的工具中，提供了丰富的图像处理函数和算法，使得图像重建和恢复变得更加高效和精确。
本文将介绍在Matlab中进行图像重建和图像恢复的一些常用技术。
一、图像重建的概念和方法图像重建指的是从已损坏或丢失部分信息的图像中恢复出尽可能完整的图像。
常见的图像损坏包括噪声、模糊以及缺失等。
在图像重建中，常用的方法包括逆滤波、维纳滤波、最小二乘法等。
1. 逆滤波逆滤波是一种常见的图像重建方法，其思想是通过求解逆滤波算子来反转图像损坏过程，以实现图像的重建。
在Matlab中，可以使用fft2函数将图像转换到频域进行处理，然后使用ifft2函数将图像转回到空域。
2. 维纳滤波维纳滤波是一种优化的图像重建方法，它考虑了噪声对图像重建的影响。
在Matlab中，可以使用维纳滤波函数wiener2对图像进行恢复。
该函数可以根据图像的噪声方差和信噪比自动调整滤波参数，使得图像的重建效果更好。
3. 最小二乘法最小二乘法也是一种常用的图像重建方法，它通过优化目标函数来求解最优重建结果。
在Matlab中，可以使用lsqnonneg函数进行最小二乘法拟合。
该函数能够在给定约束条件下求解非负解，并适用于一些不完全观测的图像重建问题。
二、图像恢复的概念和方法图像恢复是指在已损坏或丢失部分信息的图像中重建出尽可能高质量的图像。
与图像重建不同，图像恢复更加关注图像质量的提升。
常见的图像损坏包括噪声、模糊以及失真等。
在Matlab中，提供了很多图像恢复的函数和算法，如图像增强、去噪以及去模糊等。
1. 图像增强图像增强是一种常用的图像恢复方法，其目的是使图像在视觉上更加清晰、丰富和易于分析。
在Matlab中，可以使用imadjust函数对图像进行亮度和对比度调整，以达到图像增强的效果。
此外，还可以使用imsharpen函数对图像进行锐化处理，以提高图像的清晰度。
Matlab中的模糊图像恢复与图像重建技术详解
Matlab中的模糊图像恢复与图像重建技术详解引言：随着数码相机、移动设备以及各种图像处理软件的普及，人们对图像质量要求越来越高。
然而，在图像获取和传输过程中，由于种种原因，图像可能会变得模糊，失真或损坏。
为了解决这些问题，图像恢复和重建技术应运而生。
本文将详细介绍基于Matlab的模糊图像恢复与图像重建技术。
一、图像模糊恢复技术1. 模糊图像的概念和原因模糊图像是指由于摄像机移动、图像采集设备问题、环境光线等因素而导致图像失真的现象。
图像模糊会降低图像的细节和清晰度，使得图像难以辨认和识别。
常见的模糊原因有运动模糊、焦距模糊、镜头畸变等。
2. 模糊图像恢复方法为了恢复模糊图像的清晰度和细节，研究人员提出了各种方法。
其中，基于傅里叶变换的频域滤波是最常用的方法之一。
该方法通过将模糊图像转换到频域，应用适当的频域滤波器来消除模糊效果。
Matlab提供了丰富的函数和工具箱来实现这些滤波方法，比如利用低通滤波器恢复运动模糊图像。
另外，基于对图像恢复的数学建模和优化算法也是常用的方法。
例如，最小二乘法、最小化总变差等。
3. Matlab中的模糊图像恢复函数Matlab提供了多种函数用于模糊图像恢复。
其中，`deconvwnr`函数可以用于模糊图像的逆滤波处理。
该函数通过对图像进行频域滤波，去除模糊效果。
另外，`deconvblind`函数可以用于盲去卷积处理，即对图像进行反卷积操作以恢复图像细节。
二、图像重建技术1. 图像重建的意义和应用图像重建指的是利用已有的图像信息来还原、修复或生成新的图像。
与图像恢复类似，图像重建技术对于改善图像质量、还原损坏图像、生成虚拟图像等方面有着重要的应用。
图像重建技术在医学影像、图像压缩和增强、虚拟现实等领域都有广泛的应用。
2. 图像重建算法在Matlab中，图像重建可以通过多种算法实现。
其中一种常用的算法是基于插值的图像重建方法。
该方法通过对已有图像的像素进行插值来生成新的图像。
图像复原与重建
图像退化的数学模型 1.线性位移不变成像系统图像退化模型
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
g(x,y)—退化图像
f(x,y)--理想图像
h(x,y)--点扩散函数
n(x,y)
n(x,y)--加性噪声
f(x,y)
第五章 图像复原与重建
H
降质系统 12
g(x,y)
2020年9月19日11时43分
第五章 图像复原与重建
h(i)
1 ,if L
L 2
i
L 2
0,
其他
(3). 大气湍流造成的图像降质
这种模糊经常出现在遥感和航空摄影中，由于曝光 时间过长引起的模糊可用高斯点扩散函数来表示：
h(i,
j)
K
exp(
i2
2
j2
2
)
式中K是一个归一化常数，保证模糊的大小为单位 值，σ2可以决定模糊的程度。
找退化原因→建立退化模型→反向推演→ 恢复图像
可见，图像复原主要取决于对图像退化过程 的先验知识所掌握的精确程度，体现在建立的退 化模型是否合适。
4
图像复原和图像增强的区别： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而 是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果 。因此，图像增强可以不顾增强后的图像是 否失真，只要看得舒服就行。 而图像复原就完全不同，需知道图像退 化的机制和过程等先验知识，据此找出一种 相应的逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再 作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。
像，其方法是添加零。即：
f (x, y) fe (x, y) 0
0 x A 1 0 y B 1
其它
数字图像处理(冈萨雷斯)
均匀噪声
高斯噪声
瑞利噪声
噪声
指数噪声
椒盐噪声
第14页，共62页。
①高斯噪声
高斯噪声的概率密度函数(PDF)
p(z) 1 e(z )2 /2 2 (5.2 1)
2
灰度值
✓ 当z服从上式分布时，其值有70%落在 , ， 有 95%落在
范围内。 2 , 2
✓ 高斯噪声的产生源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的 传感器噪声。
其中zi值是像素的灰度值, p(zi )表示相应的归一化直方图.
第30页，共62页。
5.3 空间域滤波复原（唯一退化是噪声）
当唯一退化是噪声时，则退化系统H(u,v) 1
g( x, y) f ( x, y) ( x, y) (5.3 1)
G(u, v) F (u, v) N (u, v) (5.3 2)
的开关操作）
第22页，共62页。
例5.1 样本噪声图像和它们的直方图
✓ 用于说明噪声模型的测试图
✓ 由简单、恒定的区域组成 ✓ 仅仅有3个灰度级的变化
第23页，共62页。
例5.1 样本噪声图像和它们的直方图
高斯噪声
瑞利噪声
伽马噪声
图像
直方图
第24页，共62页。
例5.1 样本噪声图像和它们的直方图
➢在图像获取中从电 力或机电干扰中产生.
➢是空间相关噪声.
➢周期噪声可以通过 频率域滤波显著减少.
周期噪声
被不同频率的 正弦噪声干扰 了的图像
呈圆形分布 的亮点为噪 声频谱
第27页，共62页。
典型的周期噪声---正弦噪声
• Sinusoidal （单 一频率）
图像恢复与超分辨率重建方法研究
图像恢复与超分辨率重建方法研究摘要：随着数字图像技术的不断发展，图像恢复与超分辨率重建成为了计算机视觉领域的热门研究方向。
本文将对图像恢复与超分辨率重建的方法进行探讨，并比较不同方法的优缺点，为进一步研究提供参考。
1. 引言图像恢复与超分辨率重建是指通过计算机算法对损坏、模糊或低分辨率的图像进行重建和恢复，以获得更清晰、更高分辨率的图像。
这项技术在许多领域中都有广泛的应用，包括医学图像处理、视频增强、监控和安全领域等。
本文将主要关注图像恢复与超分辨率重建的方法研究。
2. 图像恢复方法2.1 基于插值的方法基于插值的方法通过插值算法对低分辨率图像进行像素值的估计，然后恢复图像的细节信息。
最常用的插值算法有双线性插值、双三次插值等。
此方法的优点是简单易用，但在恢复图像细节方面效果有限。
2.2 基于边缘保持的方法基于边缘保持的方法通过保持图像边缘信息的清晰度来恢复损坏或模糊的图像。
边缘保持滤波器是其中的一种常用方法，它通过对图像进行滤波以增加边缘的对比度。
这种方法能够有效地恢复图像的边缘信息，但对于细节恢复效果较差。
2.3 基于统计建模的方法基于统计建模的方法通过对图像统计特征的分析来恢复图像的细节信息。
其中，基于小波变换的图像恢复是一种常见的方法。
小波变换能够将图像分解成不同尺度的小波系数，通过对小波系数的阈值处理和重构来实现图像的恢复。
这种方法能够在恢复细节的同时保持图像的整体结构。
3. 超分辨率重建方法3.1 基于插值的方法基于插值的超分辨率重建方法通过对低分辨率图像进行插值来增加图像的分辨率。
最常见的方法是双线性插值和双三次插值。
这种方法的优点是简单易用，但由于插值算法本身的局限性，恢复图像的质量较低。
3.2 基于例子的方法基于例子的超分辨率重建方法通过利用高分辨率图像库中的样本学习低分辨率图像与高分辨率图像之间的映射关系，并利用该关系对低分辨率图像进行重建。
这种方法能够较好地恢复图像的细节，但对于数据集的要求较高。
如何使用深度学习技术进行图像恢复和重建
如何使用深度学习技术进行图像恢复和重建图像恢复和重建是利用深度学习技术处理损坏、模糊或缺失的图像，通过算法和模型的学习能力进行信息恢复和重建的过程。
在过去的几年中，深度学习技术已经在图像处理领域取得了重要的突破，为图像恢复和重建提供了全新的方法和工具。
在开始讨论如何使用深度学习技术进行图像恢复和重建之前，我们首先需要了解一些基本的概念和方法。
其中最核心的概念是卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，简称CNN）和生成对抗网络（Generative Adversarial Networks，简称GAN）。
卷积神经网络（CNN）是一种深度学习模型，主要用于图像处理和识别。
它的主要特点是层层叠加的卷积层和池化层，通过学习图像的特征来进行分类和识别。
在图像恢复和重建中，CNN可以用于恢复图像中的缺失部分或恢复模糊的图像，通过学习已知图像的特征来预测未知图像的特征。
生成对抗网络（GAN）是一种由生成器和判别器组成的网络结构，通过对抗训练的方式来生成逼真的数据。
在图像恢复和重建中，GAN的生成器负责生成缺失或损坏的图像，而判别器则负责判断生成的图像与真实图像的差异。
通过不断优化生成器和判别器之间的对抗训练，最终可以得到高质量的恢复或重建图像。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求进行选择和调整模型。
以下是一些常用的深度学习模型和方法：1. 基于CNN的图像修复：这种方法通过训练一个CNN模型，学习已知图像的特征，并预测未知图像的特征。
可以通过给定部分图像进行无缝修复或补全图像的缺失部分。
2. 基于GAN的图像重建：这种方法通过训练一个GAN模型，生成缺失或损坏的图像。
生成器生成逼真的图像，而判别器则负责判断生成的图像与真实图像的差异。
通过不断优化生成器和判别器之间的对抗训练，可以得到高质量的重建图像。
3. 基于超分辨率的图像恢复：这种方法通过训练一个神经网络模型，将模糊的低分辨率图像转换为清晰的高分辨率图像。
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五，图像恢复和重建2007-3-55.1 概述和分类5.2 退化模型和对角化5.3 无约束恢复5.4 有约束恢复5.5 交互式恢复5.6 几何失真校正5.7 投影重建概述和分类图象恢复也称图象复,原图象恢复与图象增强相同之处是，它们都要得到在某种意义上改进的图象，或者说都希望要改进输入图象的视觉质量。
图象恢复与图象增强不同之处是，图象增强技术一般要借助人的视觉系统的特性以取得看起来较好的视觉结果，而图象恢复则认为图象是在某种情况下退化或恶化了(图象品质下降了)，现在需要根据相应的退化模型和知识重建或恢复原始的图象。
换句话说，图象恢复技术是要将图象退化的过程模型化，并据此采取相反的过程以得到原始的图象。
由此可见，图象恢复要根据一定的图象退化模型来进行。
在给定模型的条件下，图象恢复技术可分为无约束和有约束的两大类。
根据是否需要外来于预，图象恢复技术又可分为自动和交互的两大类。
另外根据处理所在域，图象恢复技术还可分为频域和空域两大类。
许多图象恢复技术借助频域处理的概念，但越来越多的空域处理技术得到应用。
从广义的角度上来看图象恢复，它还可包括对在图象采集过程中产生的几何失真(畸变)进行校正以及根据对物体的多个投影重建图象的技术。
前一种情况里将图象的几何失真看成一种退化，对其校正则看作是一种恢复过程。
后一种情况里将图象的投影看作一种退化过程，而将重建图象作为一种恢复手段。
退化模型和对角化5．2．1 退化模型H 可有如下4个性质：(1)线性：如果令k1和k2为常数，f1(x，y)和f2(x，y)为2幅输入图象，则：(2)相加性：式(5．2．2)中如果kl=k2=1，则变成：(3)一致性：式(5．2．2)中如果f2(x，y)=0，则变成：上式指出线性系统对常数与任意输入乘积的响应等于常数与该输入的响应的乘积，(4)位置(空间)不变性：如果对任意f(x，y)以及a和b，有：线性系统的响应只与在该位置的输入值有关而与位置本身无关。
(1)图(a)是1种非线性退化的情况，摄影胶片的冲洗过程可用这种模型表示，摄影胶片的光敏特性是根据胶片上留下的银密度为曝光量的对数函数来表示的，光敏特性除中段基本线性外，两端都是曲线。
(2)图(b)表示的是1种模糊造成的退化。
对许多实用的光学成象系统来说，由于孔径衍射产生的退化可用这种模型表示。
(3)图(c)表示的是1种目标运动造成的模糊退化。
(4)图(d)表示的是随机噪声的迭加，这也可看作1种具有随机性的退化。
退化模型的计算-对2个函数f(x)和h(x)进行均匀采样，其结果为尺寸A 和B的2个数组。
扩展函数尺寸到M≥A+B-1卷积的循环矩阵表示H 阵计算示例:1-D 退化系统计算－对A=4和B=3，可取M=6。
这时需要在f(x)后补2个为零的元素，在A(z)后补3个为零的元素，H 为6 x 6矩阵。
H 是1个循环矩阵(每行最后1项等于下1行最前1项，最下1行最后l 项等于第1行最前1项)以上结果推广到2-DHi 是1个循环矩阵循环矩阵对角化将H 的M 个本征矢量组成1个M x M 的矩阵W ：1.循环矩阵的对角化－循环矩阵H(设为M x M)的本征矢量和本征值分别为：对角矩阵D其元素是H 的本征值，即D(K ，K)=λ(k)2.块循环矩阵的对角化3.退化模型对角化的效果大系统方程的求解通过计算MxN 的傅里叶变换完成。
无约束和有约束恢复在对n没有先验知识的情况下，需要寻找1个f的估计，使得H 在最小均方误差的意义下最接近f，即要使n的模或范数(norm)最小：有约束恢复选取的1个线性操作符Q ,使得║Q ║2最小。
这个问题可用拉格朗日乘数法解决。
L是拉格朗日乘数，取s=1／L－“冈书”翻译不准确在一幅图像中惟一存在的退化是噪声, 当仅有加性噪声存在时，可以选择空间滤波方法。
在这一特殊情况下，图像的增强和复原几乎是不可区别的。
均值滤波器算术均值滤波器几何均值滤波器谐波均值滤波器对于“盐”噪声效果更好善于处理像高斯噪声逆谐波均值滤波器Q >0消除“胡椒”Q <0消除“盐”Q=0为算术均值滤波器Q=-1为谐波均值H 的冲激响应输入输出关系线性系统加性均匀性线性、位置不变的退化“冈书”有加性噪声的情况下,线性退化模型H 是位置不变的模型估计法－由于退化模型可解决图像复原问题,因此多年来一直在应用。
在某些情况下,模型要把引起退化的环境因素考虑在内。
例如,基于大气湍流的物理特性的退化模型。
模型化的另一个主要方法是从基本原理开始推导一个数学模型。
如均匀线性运动模糊。
1 图像观察估计法－观察包含简单结构的强信号区一小部分图像,像某一物体和背景的一部分g s (x,y) ，构建一个不模糊的图像(x,y) ，假定噪声效果可忽略。
2试验估计法－使用与获取退化图像的设备相似的装置,理论上得到一个准确的退化估计。
如利用相同的系统设置,由成像一个脉冲(小亮点)得到退化的冲激响应。
估计退化函数“冈书”许多退化类型可近似表示为线性的位置不变过程。
这一方法的优点在于广泛的线性系统理论工具对于解决图像复原问题很实用。
非线性的与位置有关的技术,虽然更加普遍(通常会更加精确),但是它们会带来很多困难,常常没有解,或者解决计算问题时非常困难。
(a)可忽略的湍流,(b)剧烈湍流,k=0.0025,(c)中等湍流,k=0.001,(d)轻微湍流,k=0.00025。
模型估计法（例－大气湍流模型）“冈书”试验估计法－－如利用相同的系统设置,由成像一个脉冲(小亮点)得到退化的冲激响应G(u,v)。
脉冲的傅立叶变换为常数,A 为表示冲激强度常数系统辨识: 确定系统传递函数(参考K.R.Casteleman书）通过测试靶进行系统辨识点源测试靶正弦波测试靶线测试靶边缘测试靶频率扫描测试靶不需要对输出进行变换来计算传递函数输入非相关白噪声图像辨识系统根据退化的图像本身来确定退化PSF:点源线边缘由退化图像频谱确定OTF取大气湍流模型因为N(u,v)是一个随机函数,而它的傅里叶变换未知。
即使知道退化函数,也不能准确地复原未退化的图像。
还有更糟的情况。
如果退化H(u,v)是零或非常小的值,N(u,v)／H(u,v)会放大噪声影响。
通常用恢复转移函数M(u,v) 5.3.1逆滤波用式<5.7.1)复原图.25(b).<a)用全滤波的结果,(b)半径w 0为40时截止H 的结果,(c)半径w 0为70时的结果,(d)半径w0为85时的结果5.3 无约束恢复可以解析地得到。
如匀速直线运动造成的模糊。
设有沿x 方向的运动，即xo(t)=ct ／T5.3.2 消除匀速直线运动模糊从模糊点源获得转移函数进行图象恢复当n 为整数时，H 在u = n ／c 处为零。
无约束恢复-例对x 求导设L =K c ，K 为整数m 为x ／c 的整数部分。
这里g'(x)是已知的，所以要求得到f(x)就只需估计p(x)5.3.6式5.3.7式低通滤波模拟退化图像(5.3.16)定义从模糊图象直接估计p(x)上式右边第1项为未知，但当K 很大时接近f(·)的均值。
设它为1个常数A 消除匀速直线运动模糊当x 从0变到L 时，m 从0变到K-1。
这样p 在f(x)的自变量从0取到L 时重复K 次。
现在对每个kc≤x<(k+1)c计算式(5.3.17)，并将k=0，1，…，K-1的结果加起来得到1／8，即32个象素。
图(b)为取移动距离为32而得到的结果，图象得到了较好的恢复。
图(c)和图(d)分别为取移动距离为24和40而得到的结果，由于对运动速度估计得不准，所以恢复效果均不好。
消除匀速直线运动模糊－例(5.8.1)中误差函数的最小值在频域的解。
这个结果就是众所周知的维纳滤波。
通常还叫做最小均方滤波器,或最小二乘方误差滤波器。
讨论综合了退化函数和噪声统计特征两个方面进行复原处理的方法。
误差度量式－5.4.1 维纳滤波-维纳滤波的方法是一种统计方法。
它用的最优准则基于图象和噪声各自的相关矩阵，所以由此得到的结果只是在平均意义上最优。
5.4 有约束恢复设R f 和R n 分别是f和n 的相关矩阵当处理白噪声时,谱|N(u,v)|2是一个常数,大大简化了处理过程。
未退化图像的功率谱很少是已知的。
当这些值未知或不能估计时,经常使用的方法是用下面的表达式近似：a)图5.25(b)（剧烈湍流,k=0.0025）的全逆滤波结果,(b)半径受限的逆滤波结果,(c)维纳滤波的结果逆滤波和维纳滤波的比较(1)如果s ＝1，方括号中的项就是维纳滤波器；(2)如果。
是变量，就称为参数维纳滤波器；(3)当没有噪声时，Sn(u,v)=0，维纳滤波器退化成5.3.1小节的理想逆滤波器由式(5.2.40)－通式5.4.1(b)所示1列图为用逆滤波方法分别进行恢复得到的结果。
图5.4.1(c)所示1列图为用维纳滤波方法分别进行恢复得到的结果。
逆滤波和维纳滤波的比较卷积产生模糊，再迭加零均值，方差分别为8，16和32的高斯随机噪声象得到最优结果。
维纳滤波存在的困难是未退化图像和噪声的功率谱必须是已知的。
本节讨论的方法只要求噪声方差和均值的知识。
这些参数经常能从一个给定的退化图像计算出来。
最小的准则函数C,定义：f(x,y)在(x,y)处的二阶微分可用下式近似：最小化某些二阶微分的函数。
5 .4.2有约束最小二乘方恢复算子最优准则将p(x,y)扩展要求满足以下约束：最优解需要调节s以满足约束式(5.4.18)，式(5.4.21)才能达到最优。
s的估计方法是有约束最小二乘方恢复残差矢量r调节s以满足a是1个准确度系数。
如果，‖r‖2=‖n‖2,则约束式(5.4.18)严格满足。
找s 的方法是：(1)赋给s某个初始值；(2)计算和‖r‖2；(3)如果满足式(5.4.23)，停止计算；否则就增加s(如果‖r‖2<‖n‖2-a)或减少s(如果‖r‖2>‖n‖2+a)，然后返回(2)。
可以证明║r║2能用噪声的均值和方差表示有约束最小平方恢复过程总结如下：(1)选1个初始值赋给s，用式(5.4.24)算得║n║2的估计；(2)利用式(5.4.21)计算F(u,v)，再求其反傅里叶变换得到；(3)根据式(5.4.22)组成残差矢量r，计算q(s)=║r║2；(4)如果║r║2<║n║2-a，就增加s，如果║r║2>║n║2+a，则减少s；(5)如果式(5.4.23)不满足，返回(2)；否则停止，此时就是恢复了的图象,我们发现前者对于高、中噪声情况下的处理稍有优势,而在低噪条件下两者差不多。
当人为地选择参数以取得更好的视觉结果时,约束最小二乘方滤波器有可能要比维纳滤波器更好。
(a)为以散焦半径R=3的滤波器对第1章图1.1.1(b)进行模糊得到的图象，图(b)是用维纳滤波对图(a)恢复的结果，图(c)是用有约束最小平方滤波对图(ay 恢复的结果。