上海初三升高一专题01 数与式的运算(解析版)
专题01 数与式的运算在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识梳理 知识结构模块一绝对值3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．典例剖析【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值，最小值是998+997+....+2+1+0+1+2+....+998=()299899812⨯+⨯ =997002 .1.解绝对值方程：321-=---x x x ．【难度】★★【答案】4=x【解析】分类讨论：x ＜1，1≤x ＜2，x ≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案． 解：当x ＜1时，原方程等价于1﹣x ﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）；当1≤x ＜2时，原方程等价于x ﹣1﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）；当x ≥2时，原方程等价于x ﹣1﹣（x ﹣2）=x ﹣3．解得x=4，综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+；（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 引申：n 次方差公式；对点精练 模块二乘法公式()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a a b a b a b ab a b a b a b a b a b a 根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(n n b a b a --； 定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ． 【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． （2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式22]31)2([+-+=x x222222111()(2)()2(2)22(2)333x x x x x x =+-++-+⨯+⨯⨯-43282212239x x x x =-+-+． 典例剖析（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++=22(68)(58)x x x x ++++=2(2)(4)(58)x x x x ++++（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++--=22226(1)7(1)36x x x x -+--=22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+=22(232)(383)x x x x --+-=(21)(2)(31)(3)x x x x +--+． 1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★【答案】1-【解析】对点精练()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★【答案】9【解析】 ()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xyyz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyz xy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+--=221222a b a b ab ++-+-=2(1)a b --=2(1)x y xy +--=2[(1)(1)]x y ---=22(1)(1)x y --1、分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2、二次根式2a 的意义 2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【例7】试比较下列各组数的大小： （1）1211-和1110-； （2）64+和226－． 【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）∵1211(1211)(1211)1211112111211--+-===++， 1110(1110)(1110)111011101110--+-===++， 又12111110+>+，∴1211-＜1110-．（2）∵226(226)(226)226,226226===－－+－++ 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴64+＜226－.【例8】化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<． 模块三：二次根典例剖析【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）原式5454=++ 22(5)2252=+⨯⨯+ 2(25)=-25=-52=-．（2）原式=21()x x -1x x =-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x -．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★【答案】C 【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1()1(1)(2)1()1()1()1()1(111222222222222222222+-+=+++=+++++=+++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 方法二：可利用特值法将A 、B 、D 一一排除。
初三数学中考第一轮复习⑴ 数与式华东师大版知识精讲
初三数学中考第一轮复习⑴数与式华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习⑴数与式二. 重点、难点扫描：1. 有理数的意义：数轴，相反数，倒数，绝对值，近似数与有效数字；2. 有理数的运算：加减乘除，乘方，有理数的大小比较；3. 数的开方：平方根，立方根，实数；4. 二次根式：二次根式的乘除法、性质、运算.5. 代数的初步知识：代数式的概念，列代数式，求代数式的值.6. 整式的概念：单项式：系数、次数；多项式：项数、次数、同类项、降、升幂排列；7. 整式的加减：合并同类项，去、添括号；8. 幂的运算性质：同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方；同底数幂的除法；零指数与负整指数幂；科学记数法；9. 整式的乘除：单项式乘以单项式；多项式乘以单项式；多项式乘以多项式──乘法公式；因式分解；单项式除以单项式；多项式除以单项式；10. 分式：⑴分式的有关概念：分式，有理式，最简分式，最简分母；⑵分式的基本性质⑶分式的运算.三. 知识梳理：㈠有理数1. 有理数的有关概念要准确把握有理数的概念，特别是负数和绝对值的概念是难点，要深刻理解，并结合数轴理解这两个概念，用数形结合的思想，使抽象的概念具体化，再就是近似数的有效数字的概念也是非常重要的，要理解透彻。
2. 有理数的运算灵活运用有理数的运算法则、运算律、运算顺序以及有理数的混合运算，利用运算律简化运算一定要熟练掌握，运算中的符号问题是易出错的地方，要特别注意，再就是要掌握好减法转化成加法，除法转化成乘法这种转化思想。
㈡实数1. 掌握平方根、立方根的概念和性质学好本章的关键是深刻理解平方根和立方根的概念，再就是懂得平方根和立方根的符号所表示的含义.注意区分平方根和算术平方根.2. 掌握实数的分类，掌握实数可按性质和正负两种方法分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数实数正分数分数负分数正无理数无理数负无理数 或 ⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数㈢代数式1. 正确列代数式首先要注意审题，弄清问题中的基本数量关系，然后把数量关系用代数式表示出来，再就是要把代数式和等式区分开，书写代数式要注意格式. 2. 迅速求代数式的值求代数式的值通常要先化简再求值比较简便，当所代的数是负数时，要特别注意符号. 3. 公式的探求与应用探求公式时要先观察其中的规律，通过尝试，归纳出公式，再加以验证，这几个环节都是必不可少的，再就是灵活运用公式解决实际问题.㈣整式1. 正确理解整式的有关概念整式的系数、次数、项、同类项等概念必须清楚，是学习方程、整式乘除、分式和二次函数的基础.2. 掌握合并同类项、去（添）括号法则要处理好合并同类项及去（添）括号中各项符号处理，式的运算是数的运算的深化，加强式与数的运算对比与分析，体会其中渗透的转化思想。
2021年中考数学考点一遍过(上海专版) 第1章 数与运算(2)(有理数,实数)(教师版含解析)
第一章 数与运算(2)1.4 有理数 知识梳理1．整数和分数统称为有理数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零．7．两个负数，绝对值大的那个数反而小．有理数的运算1．有理数加法法则：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．(2)异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号． (3)一个数同零相加，仍得这个数． 2．有理数加法的运算律： (1)交换律：a b b a +=+；(2)结合律：()()a b c a b c ++=++． 3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即()a b a b -=+-． 4．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与零相乘，都得零．注意：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有因数为零，积就为零． 5．有理数乘法的运算律： (1)交换律：ab ba =； (2)结合律：()()ab c a bc =； (3)分配率：()a b c ab ac +=+． 6．有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 注意：(1)零除以任何一个不为零的数，都得零；(2)甲数除以乙数(零除外)，等于甲数乘以乙的倒数． 7．有理数的乘方：求n 个相同因数a 的乘积的运算，叫做乘方，记作na ，读作a 的n 次方，na 的结果读作a 的n 次幂．其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果na 叫做幂．规定：11n =，00n=(n 为正整数)．a 0=1( a ≠0) a -n =na 1注意：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 8．有理数的混合运算：有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号． 9．科学计数法：把一个数写成10n a ⨯的(其中110a ≤<，n 是正整数)，这种形式的记数方法叫做科学计数法．10.有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m na a =≥(0)m naa -=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．例题精讲【例1】计算：02|1=+ ．【例2】一个数的相反数是2，则这个数是( )A ．2；B ．2-；C ．12；D ．12-. 【参考答案】B ．【例3】 下列关于“0”的说法中，正确的是( )A ．0是最小的正整数；B ．0没有相反数；C ．0没有倒数；D ．0没有平方根．【参考答案】C ．【例4】12-的倒数是 ． 【参考答案】2-．【例5】4-的绝对值等于 ． 【参考答案】4．【例6】数轴上点A 到原点的距离为2.5，则点A 所表示的数是( )A ．2.5B ．-2.5C ．2.5或-2.5D ．0【参考答案】C ．【例7】已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是( )A ．a b a b +=+；B ．a b a b +=-；C ．11b b +=+；D ．11a a +=+． 【参考答案】D ．【例8】当2x >时，化简：2x -= ． 【参考答案】2x -1.5 实数 知识梳理 实数的概念1．无限不循环小数叫做无理数． 2．有理数和无理数统称为实数． 实数可以进行以下分类：O 1⎧⎧⎫⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪-⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限不循环小数负无理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数思考：3.1416不是π吗？为什么是有理数呢？ 平方根和开平方1．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．3．正数a 的两个平方根可以用“a 的正平方根(又叫算数平方根)，读作“根号a ”，a 的负平方根，读作“负根号a ”．零的平方根记0． 4．平方根的性质： (1)当0a >时，2a =，(2a =．(2)当0a ≥时a ；当0a <时a -．立方根和开立方1．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，记作，读作“三次根号a ”a 叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根． 3．立方根的性质：(1)3a =．a ．n 次方根1．如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数)等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根．求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数． 2．n 次方根的表示：(1)实数a 的奇次方根有且只有一个，用表示立方根．(2)正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用”表示，负n 次方根用“表示．说明：当2n =时，在中省略n ． (3)负数没有偶次方根．(4)零的n 次方根等于零，表示0．用数轴上的点表示实数1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示． 2．实数的绝对值与相反数：(1)一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作a ． (2)绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a 的相反数是a -．3．实数的大小比较： (1)负数小于零，零小于正数．(2)两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小． (3)从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大． 4．数轴上两点之间的距离：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离AB a b =-．实数的运算1．设0a >，0b >，可知：(1)222ab =⋅=．=． = 2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．4．特殊角的锐角三角比：例题精讲【题型一·平方根、立方根、n 次方根的概念】 【例1】2)3(-的平方根等于 ． 【参考答案】3±；【例2】计结果是( )A ．2；B ．2±；C ．2-；D ．【参考答案】A【例3】下列运算正确的是( )A ．1393=±； B ．1393=； C ．1293=±； D ． 1293=．【参考答案】D【题型二·实数的概念】【例1】下列说法中，正确的是( )A 是分数；B ．0是正整数；C ．227是有理数；D . 【参考答案】C ．【例2】下列各数中无理数共有( )输入x输出y× 22 ① –0.21211211121111，②3π，③227，839A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个．【参考答案】C ．【例3】与无理数3最接近的整数是( )A ．1；B ．2 ；C ．3；D ．4．【参考答案】B ．【例4】数轴上任意一点所表示的数一定是( )A ．整数；B ．有理数；C ．无理数；D ．实数.【参考答案】D ．【例5】比较大小：3- 2- 【参考答案】<．【例6】222233+=333388+44441515+…77a ab b+=a 、b 均为实数)则=a ，=b ．【参考答案】7，48．【例7】下图是一个简单的计算程序，若最初输入的值为10，则通过该程序的运算最终输出的数据是( )A ．2；B ．6；C ．10；D ．18．【参考答案】D ．【题型三· 科学计数法】【例1】根据国家统计局1月28日发布《2010年国民经济和社会发展统计公报》，去年全年国内生产总值﹙GDP ﹚为397983亿元．用科学记数法保留三个有效数字为( ) A ．53.9710⨯亿元； B ．50.3910⨯亿元 ；C ．53.9810⨯亿元 ；D ．63.9810⨯亿元．【参考答案】C ．【例2】太阳的半径为696000千米，其中696000用科学记数法表示为 ． 【参考答案】56.9610⨯．【例3】随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加，据报道，2013年海外学习汉语的学生人数已达1500000000人，1500000000用科学计数法表示为 人． 【参考答案】91.510⨯【题型四·实数的运算】 【例1】计算:101)sin60( 3.14)π-+--【参考答案】解：(1) 21==【例2】计算：()()()1312236813-+--+-.【参考答案】 解：原式=42-=2-=2-=2- 【例3】 计算：()120111452tan -⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【参考答案】解：原式()201112--= 12- = 1．【例4】(本题满分10分)计算：22160+602451sin cos sin --．【参考答案】解：原式2212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭311)44=-++121=-+4=．【例5】计算：(213023cot π-⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭．【参考答案】解：原式 =143． 【例6】计算：11225--+ 【参考答案】解:原式5=51=-+-6=．真题训练1．(2019•上海)如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 √3 ． 【答案】解：∵正方形的面积是3， ∴它的边长是√3．故答案为：√3【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义．2．(2019•上海)计算：|√3−1|−√2×√6+2−√38 2 3【答案】解：|√3−1|−√2×√6+2−√38 2 3=√3−1﹣2√3+2+√3−4＝﹣3【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．3．(2017•上海)计算：√18+(√2−1)2−912+(12)﹣1．【答案】解：原式＝3√2+2﹣2√2+1﹣3+2=√2+2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．模拟题专练一、选择题1．(2019•嘉定区二模)拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为()A．324×105B．32.4×106C．3.24×107D．0.32×108【答案】解：32400000＝3.24×107元．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2．(2019•宝山区二模)32400000用科学记数法表示为()A．0.324×108B．32.4×106C．3.24×107D．324×108【答案】解：32400000用科学记数法表示应记为3.24×107，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(2019•奉贤区二模)电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为()A．45.59×108B．45.59×109C．4.559×109D．4.559×1010【答案】解：4559000000＝4.559×109，故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．4．(2019•普陀区二模)2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率π有关，下列表述中，不正确的是()A．π＝3.14B．π是无理数C．半径为1cm的圆的面积等于πcm2D．圆周率是圆的周长与直径的比值【答案】解：(A )π≈3.14，故A 错误； 故选：A ．【点睛】本题考查无理数，解题的关键是正确理解π，本题属于基础题型． 5．(2019•金山区二模)下列实数中，是有理数的是( )A ．πB ．√8C ．√32D ．37【答案】解：有理数是整数和分数的集合， 故选：D ．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的定义，本题属于基础题型． 6．(2019•闵行区二模)下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4【答案】解：(A )原式=34，故A 不是无理数；(B )原式＝﹣2，故B 不是无理数；(C )237是分数，故C 不是无理数；故选：D ．【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型． 7．(2019•崇明区二模)下列计算中，正确的是( )A ． 412=2 B ．40＝0 C ． 4−12=−2 D ．4﹣1＝﹣4【答案】解：A .412=√4=2，故A 正确；B .40＝1，故B 错误；C .4−12=1412=√4=12，故C 错误；D .4﹣1=141=14，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查了分数指数幂、零指数幂与负指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解题的关键．8．(2019•杨浦区二模)如图，已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a ，b ，那么下列等式成立的是( )A ．|a +b |＝a ﹣bB ．|a +b |＝﹣a ﹣bC ．|a +b |＝b ﹣aD ．|a +b |＝a +b【答案】解：∵b ＜0＜a ，|b |＞|a |， ∴a +b ＜0， ∴|a +b |＝﹣a ﹣b ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 二．填空题1．(2019•浦东新区二模)52的相反数是 −52．【答案】解：52的相反数是−52，故答案为：−52．【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．2．(2019•长宁区二模)今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为 5.09×106 ．【答案】解：5090000＝5.09×106，故答案是：5.09×106．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(2019•普陀区二模)月球离地球近地点的距离为363300千米，数据363300用科学记数法表示是3.633×105．【答案】解：363300＝3.633×105，故答案为3.633×105．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．4．(2019•徐汇区二模)2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600000米的洲际量子密钥分发，数字7600000用科学记数法表示为7.6×106．【答案】解：7600000＝7.6×106，故答案为7.6×106【点睛】本题考查了科学记数法表示交大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．5．(2019•松江区二模)计算：|−5|+(√2−1)0=6．【答案】解：原式＝5+1＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．6．(2019•虹口区二模)在数轴上，实数2−√5对应的点在原点的左侧．(填“左”、“右”)【答案】解：根据题意可知：2−√5＜0，∴2−√5对应的点在原点的左侧．故填：左【点睛】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，很容易得出正确答案．7．(2019•长宁区二模)计算：(12)−2−23÷24= 312． 【答案】解：原式＝4﹣2﹣1 ＝4−12＝312．故答案为：312．【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 三．解答题1．(2019•青浦区二模)计算：(﹣1)2019﹣|1−√2|√2−1+(−13)2．【答案】解：原式＝﹣1﹣(√2−1)+√2+1+19＝119．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2．(2019•浦东新区二模)计算：(﹣3)0﹣912√3+1+|2−√3|．【答案】解：原式＝1﹣3+√3−1+2−√3=−1．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点的运算．3．(2019•静安区二模)计算： 42+(√2−1)2√3+√2+|1−√2|．【答案】解：原式=√14+(2+1﹣2√2)+(√3−√2)+√2−1=12+3﹣2√2+√3−√2+√2−1 =52+√3−2√2． 【点睛】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每一项准确化简是正确计算的关键．4．(2019•嘉定区二模)计算：(﹣2018)0+(12)﹣2−12+tan 60°+√(3−π)2．【答案】解：原式＝1+42+√3π﹣3＝π+√3．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．(2019•宝山区二模)计算：(12)−2+(−2019)0−12+cot 30°+√(3−π)2．【答案】解：=4+12+√3+π−3＝π+2﹣(2−√3)＝π+√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．6．(2019•松江区二模)计算：√27+(√3−1)2−1612+(2+√3)−1【答案】解：√27+(√3−1)2−1612+(2+√3)−1＝3√3+3﹣2√3+1﹣42+√3＝3√3+3﹣2√3+1﹣4+2−√3＝2．【点睛】本题考查完全平方公式、负整数指数幂和分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．7．(2019•普陀区二模)计算：|2sin60°﹣2|+2712−(12)−1−(−1)2019．【答案】解：原式＝|√3−2|+√27−2+1＝2−√3+3√3−1＝2√3+1，【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．8．(2019•金山区二模)计算：(√3)0+812+√2(√2−1)+(√3+√2)﹣1．【答案】解：原式＝1+2√2+2−√21√3+√2＝1+2√2+2−√2+√3−√2＝3+√3；【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、分数指数幂、负指数幂是解题的关键．9．(2019•黄浦区二模)计算：√3tan60°−cos30°−2713+|1−√3|﹣(√2019)0．【答案】解：原式=√3√3−23+√3−1−1=2−3+√3−2=−3+√3．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．10．(2019•徐汇区校级一模)计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+(﹣1)2019【答案】解：原式=12+2﹣1﹣1 =12．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．11．(2019•青浦区一模)计算：(sin30°)﹣1+|1﹣cot30°|+√3tan30°−1cos 245°．【答案】解：(sin30°)﹣1+|1﹣cot30°|+√3tan30°−1cos 245°＝(12)﹣1+|1−√3|+√3×√33(√22)2=2+√3−1+1−2=√3．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．12．(2019•徐汇区一模)计算：2√3−tan45°．【答案】解：原式=6×12−4×(√22)2+√3√3−1=3−2+√3√3−1=(√3+1)2 (√3+1)(√3−1)＝2+√3．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．13．(2019•徐汇区二模)计算：√8+(√3−1)−1+|√2−√3|−(−√3)2．【答案】解：原式＝2√2√3−1+(√3−√2)﹣3＝2√2+√3+12+√3−√2−3=3 2√3+√2−52．【点睛】本题考查了根式化简，熟练掌握分母有理化与最简二次根式化简是解题的关键.。
初高衔接第一课时数与式的运算
Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化：1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解：
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行，运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法
与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式：
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初升高衔接第一讲 数与式的运算
第一讲 数与式的运算知识链接 1、平方差公式 ：22()()a b a b a b +-=-；2、完全平方公式 ：222()2a b a ab b ±=±+．3a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0)a ≥ 4、分式的性质：A A MB B M ⨯=⨯ A A M B B M÷=÷知识延伸 1、三项平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++2、立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+3、立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-4、和立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++5、差立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+- 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3 将下列式子化为最简二次根式：（1 （2）0)a ≥； （30)x <．例4若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例5（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ．例6 化简：（1 （21)x <<例7已知x y ==22353x xy y -+的值 ．．例8 试比较下列各组数的大小：（1 （2和.例9 c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．例10 化简：20042005⋅．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；（5＝__ ___；（6(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（7）=__ ___；（8）若x =+=______ __． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数（3）若223x y x y -=+，则x y ＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65（4=成了的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．计算（1）正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值． （2）1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．（3）若b =，求a b +的值．（4）比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．。
初升高自主招生——数与式（含答案）
初升⾼⾃主招⽣——数与式（含答案）初升⾼⾃主招⽣研讨——数与式（答案）【涉及知识点】1、数列（1）求和：基础、裂项、错位、倒序（2）其他：找规律、累加累乘等2、⼆重根式直接法、乘2除2法、解⽅程组、字母变形、平⽅法3、乘法公式（1）基础公式（7+3）（2）拓展公式4、因式分解（1）多项式的因数定理与余数定理（2）多项式除以多项式（综合除法）（3）⼀猜（有理根）⼆添、⼆拆、⼆除、⼆待（3）猜不中（⽆理根）⼆待、⼆凑（4次⽅凑平⽅和+平⽅差）5、代数式恒等变形（重中之重）6、其他（1）简单计数与数论（2）三个⾮负数、两次有理化、【涉及⽅法】1、猜、凑2、配⽅法3、待定系数法4、换元法【涉及思想】1、消元与降次思想2、构造思想3、整体与讨论思想4、定义域与化简优先【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）【题型⼆】分式（化简、求值、求和）【题型三】⼆次根式（化简、求值、求和、⼆重根式）【题型四】整式（多项式、因式分解、乘法公式、化简、求值）【题型五】数列（找规律、简单计数、求和、新定义）【题型⼀】基础题（指数计算、三个⾮负数等）1、若()6255252=xxx，则x=________________。
【参考答案】2或-12、已知: 23a =，32b =，则1111a b +=++______________.【参考答案】13、已知()21240x y x y --+++=则32x y -=（）-1A 、 -2B 、 2C 、 1D 、【参考答案】Ｄ4、已知实数a 满⾜2008a -a ，那么a －22008值是（）（A ）2009 （B ） 2008 （C ） 2007 （D ） 2006【参考答案】A【参考答案】-15、()1015323π-??-+---=( ).A ．4-B ．12C ．4D ．2【参考答案】Ｃ7、有理数a ，b 在数轴上的位置如图所⽰，则a b +的值是( ).A ．0⼩于B ．0⼤于C ．a ⼩于D ．b ⼤于【参考答案】Ｂ8、若,,a b c三个数在数轴上对应点的位置如图所⽰，化简：。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
2021年初升高数学无忧衔接(沪教版2020)专题01 数与式(详解版)
专题01 数与式《初中课程要求》在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．《高中课程要求》由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、单选题1．（2020·上海高一开学考试）下列分解因式错误的是（）A．a2-5a+6=(a-2)(a-3)B．1-4m2+4m=(1-2m)2C．-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)D．3ab+14a2b2+9=(3+12ab)22．（2020·上海高一开学考试）实数a､b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．55a b->-B．66a b>C．a b->-D．0a b->3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e均为正整数，且满足15.18111abcde=++++，则a b c d e++++=（）A．13B．14C．15D．16课程要求热身练习二、填空题4．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.5．（2020·上海高一开学考试）分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 6．（2020·上海高一开学考试）已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.三、解答题7．（2020·上海高一开学考试）已知2310x x -+=，求3313x x ++的值.一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+； （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）知识精讲将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(nn b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；三、二次根式 1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程． 2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩四、分式 1、分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．五、幂的运算 1、幂的运算法则①n m n m a a a +=⋅ ②n m n m a a a -=÷ ③()n m nma a ⋅= ④()n n nb a ab ⋅=2、当指数由正整数扩充到有理数时，有如下规定：①()010a a =≠ ②()；为正整数m a a amm,01≠=- ③()；为正整数n m a a anmnm ,,0≥= ④().,,011为正整数n m a aaa nmnmnm >==-六、不定方程或方程组我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程32=-y x ，方程组⎩⎨⎧=++=++18023100z y x z y x 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果a 、b 是互质的正整数，c 是整数，且方程c by ax =+ ①有一组整数解0x 、0y ，则此方程的一切整数解可以表示为⎩⎨⎧+=-=aty y btx x 00（t 为任意正整数）证：因为0x 、0y 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②因此()()c by ax at y b bt x a =+=++-0000．这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解．设x '、y '是方程①的任一整数解，则有c y b x a ='+'③③-②得()()00y y b x x a -'-=-'④由于()1,=b a （互质），所以a ｜0y y -'，即at y y +='0，其中t 是整数．将at y y +='0代入④，即得bt x x -='0．因此x '、y '可以表示成bt x x -=0，at y y +=0的形式，所以bt x x -=0，at y y +=0表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.典例剖析【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.B AO B(A)O A O o【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++； （2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ； （4）()()()()1111842++++a a a a ．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++； （2）432673676x x x x +--+．【例7】试比较下列各组数的大小：（1 （2【例8】化简：（1； （21)x <<．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【例10】若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．【例11】设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．【例12】计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝．【例13】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且17,,2345=-==c a d c b a ，求d －b 的值．【例14】求71511=+y x 的整数解．【例15】求方程6x+22y=90的非负整数解．1.解绝对值方程：321-=---x x x ．2．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．3．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．4．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．对点精练5．化简下列各式：(1(21)x ≥6．计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2 (3 (4)7．计算：(1)21)(1++-- (2+8．设x y =，求33x y +的值．9．已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值．10．请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭．11.求方程7x+19y=213的所有正整数解．这些知识点既是初中的基础，也是高中的敲门砖，我们将其深入拓展，以适应高中的难度，同学们一定要将这些知识点了解掌握，为高中的数学学习打下一个良好的基础．反思总结一、单选题1．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）把多项式2221a a b --+分解因式，结果是（ ） A ．(1)(1)a b a b +-++ B ．(1)(1)a b a b --+- C ．(1)(1)a b a b --++D ．(1)(1)a b a b ---+2．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）若多项式2317x x b +-分解因式的结果中有一个因式为4x +，则b 的值为（ ） A ．20B ．-20C ．13D ．-133．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）在2-，(3)--，5，6-这四个数中，最大的数是（ ） A ．2-B ．(3)--C ．5D ．6-4．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价%a ，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（ ） A ．2188(1%)118a += B ．2188(1%)118a -=C ．188(12%)118a -=D ．()21881%118a -=5．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）据报道，今年我市高考报名人数约为76500人，用科学记数法表示的近似数为47.710⨯，则精确到（ ） A ．万位B ．千位C ．个位D ．十分位6．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）求值：111111114916225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为（ ） A ．815B ．1115C ．1315 D ．14157．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）因式分解22a a b b --+=（ ） A ．()()1a b a b -+- B ．()()1a b a b -++ C ．()()1a b a b ++-D ．()()1a b a b +--8．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）若23a b =，则a ba b +=-（ ） A ．6- B ．5-C ．6D ．5课后练习二、填空题9．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）如果2a b cx y z===，则456456a b c x y z ++++=___________；10．（2020·天津南开中学高一开学考试）已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________.11．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）计算22tan 602--︒+=___________. 12．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）计算+=2019___________13．（2020·上海交大附中高一开学考试）若,x y 为非零实数，且2220x xy y +-=，则22223x xy yx y ++=+____________.14．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知4,2a b ab +==，则22a b +=____________. 15．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）分解因式：22a ab +=______.16．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）已知0x y z ++=，0xyz ≠，则111111x y z y z x z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.17．（2020·四川眉山市·=________．18．（2020·四川省武胜烈面中学校高一开学考试）把2712x x -+分解因式的结果是______. 三、解答题19．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）先化简，再求值：22224431a ab b b a b a ab a b a ⎡⎤++÷---⎢⎥--⎣⎦，其中a ，b 满足42a b a b +=⎧⎨-=-⎩20．（2020·220201413(2)(1)|3|4π-⎛⎫⨯-----+- ⎪⎝⎭．21．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）先化简，再求值：已知1x =，求221121x x x x x x x+⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭的值.22．（2020·江苏徐州市·高一月考）（1）分解因式：424139x x -+； （2）已知方程2310x x --=的两根为1x 和2x ，求()()1233x x --的值.23．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）已知()()224a b abA ab a b +-=- （a ，0b ≠且a b ）（1）化简A ；（2）若点(),P a b 在反比例函数5y x=-的图象上，求A 的值.24．（2020·江苏南通市·启东中学高一开学考试）把下列各式分解因式： （1）a 7－ab 6 ；（2）(x 2＋x )2－5(x 2＋x )＋6 ；（3）x 3＋19x －20 ．25．（2020·安徽省舒城中学）（1（2）先化简再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =专题01 数与式《初中课程要求》在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．《高中课程要求》由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、单选题1．（2020·上海高一开学考试）下列分解因式错误的是（ ） A ．a 2-5a +6=(a -2)(a -3) B ．1-4m 2+4m =(1-2m )2 C ．-4x 2+y 2=-(2x +y )(2x -y ) D ．3ab +14a 2b 2+9=(3+12ab )2【答案】B【分析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A 选项根据十字相乘分解因式可知正确；B 选项中的1+4m 2-4m =(1-2m )2，左右两边不相等，所以B 是错的；C 选项根据平方差公式可知正确；D 选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题.2．（2020·上海高一开学考试）实数a ､b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）课程要求热身练习A ．55a b ->-B ．66a b >C ．a b ->-D ．0a b ->【答案】C【分析】根据数轴判断出,a b 对的正负关系以及绝对值的大小，即可求解，得到答案. 【详解】由图可知，实数0b a <<，且b a <， 所以55a b ->-，66a b >，a b -<-，0a b ->， 故关系式不成立的是选项C . 故选：C.【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，以及绝对值的大小比较，着重考查分析问题和解答问题的能力.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【分析】根据表达式进行转化． 【详解】9111115.1850.185555555051115055559119911515144=+=+=+=+=+=+=++++++++， ∴5,5,1,1,4a b c d e =====，∴16a b c d e ++++=． 故选：D ．【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础． 二、填空题4．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________. 【答案】()221x -【分析】利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+分解因式【详解】解：2441x x -+=()221x - 故答案为：()221x -【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题.5．（2020·上海高一开学考试）分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 【答案】()()22x y x y +++【分析】前三项用十字相乘法分解因式()()22322x xy y x y x y =++++，后两项提公因数()2422x y x y +=+，在对其提公因式()2x y +得答案.【详解】利用分组分解法（前三项与后两组）()()()()()22322422222x xy y x y x y x y x y x y x y ++++=++++=+++故答案为：()()22x y x y +++【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题.6．（2020·上海高一开学考试）已知210x x ++=，求20072006x x +++321x x x +++=_______.【答案】１【分析】将式子三个一分组，每组都有因式x 2+x +1，求得答案. 【详解】由210x x ++=，则20072006x x +++321x x x +++20052200222(1)(1)(1)11x x x x x x x x x =++++++++++=.故答案为：１.【点睛】本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题. 三、解答题7．（2020·上海高一开学考试）已知2310x x -+=，求3313x x ++的值. 【答案】21. 【分析】先求出13x x +=，再化简原式为211[()3]3x x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭，即得解. 【详解】2131003x x x x x-+=∴≠∴+=.由题得原式=222111113[()3]3x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++=++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2333321=-+=.故答案为：21【点睛】本题主要考查因式分解、配方和求代数式的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+； （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：知识精讲()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(nn b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；三、二次根式 1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程． 2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩四、分式 1、分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯；A A M B B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质． 2、繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．五、幂的运算 1、幂的运算法则①n m n m a a a +=⋅ ②n m n m a a a -=÷ ③()n m nma a ⋅= ④()n n nb a ab ⋅=2、当指数由正整数扩充到有理数时，有如下规定：①()010a a =≠ ②()；为正整数m a a amm,01≠=- ③()；为正整数n m a a anmnm ,,0≥= ④().,,011为正整数n m a aaa nmnmnm >==-六、不定方程或方程组我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程32=-y x ，方程组⎩⎨⎧=++=++18023100z y x z y x 等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．定理：如果a 、b 是互质的正整数，c 是整数，且方程c by ax =+ ①有一组整数解0x 、0y ，则此方程的一切整数解可以表示为⎩⎨⎧+=-=aty y btx x 00（t 为任意正整数）证：因为0x 、0y 是方程①的整数解，当然满足c by ax =+00②因此()()c by ax at y b bt x a =+=++-0000．这表明bt x x -=0，at y y +=0也是方程①的解．设x '、y '是方程①的任一整数解，则有c y b x a ='+'③③-②得()()00y y b x x a -'-=-'④由于()1,=b a （互质），所以a ｜0y y -'，即at y y +='0，其中t 是整数．将at y y +='0代入④，即得bt x x -='0．因此x '、y '可以表示成bt x x -=0，at y y +=0的形式，所以bt x x -=0，at y y +=0表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．典例剖析【答案】0<x 或4>x 【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？ （2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.13A B x4C D xP |x －1||x －3|图1．1－1【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值； （4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值. 【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值，B(A)O BAOoA O o.【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++； （2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ． 【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式22]31)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++．（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++； （2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++ （2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+． 【例7】试比较下列各组数的大小：（1 （2【难度】★★【解析】（11===，1===，>，（2）∵1=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，【例8】化简：（1； （21)x <<． 【难度】★★【解析】（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-． 【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C 【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1()1(1)(2)1()1()1()1()1(111222222222222222222+-+=+++=+++++=+++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 方法二：可利用特值法将A 、B 、D 一一排除。
数与运算、整式与分式、二次根式课件2022年上海市徐汇区位育中学中考数学第一轮专题复习01
因式分解 把一个多项式分成几个整式的乘积的形式，叫因式分解.
几个重要的概念
A
分 分式 形如 B ( A、B 是整式，且B中含有字母)的式子叫做分式.
式
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
中
的
注意：
重
分式有意义的条件——分母不能为0
要
概
念
有理式 整式和分式统称为有理式.
几个重要的概念
近与数倒似有字数数效等于数即有近注（意：效似它意其义数数a本a：中进字身=a10行一似， 一的如的的化个数-aa个末:a倒ba0数简与 四.近 位数0.有1准 舍1aaa似 数0为00=><确 五_0,）数 字0010_值 入1a10， 止_n.从相 到为和_从，，_左0近 哪整所左没_a-边1， 一数、_有边有_不但 位.的第倒_b是又 ，_数一数互_0有 就字个的.为.差 说都不数倒异这是是字数的个这01 的开数数个数始叫精数a字，近确的b起到似到=有，末1数哪效到位一.数一这数位字个个字.近. 数
“>”、“<” 或”=“号.
的
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，
重
所有字母的指数和叫做单项式的次数.
要 多项式
几个单项式的和叫做多项式， 其中每一个单项式叫做多项式的项，
概
多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数.
念 整式
单项式和多项式统称为整式.
同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，
知识运用
例4 因式分解： x2 bx a2 ab
分析：对四项式进行因式分解，一般都要进行分组 （一、三或三、一或二、二），分组的目的 是为了能有公因式可提或能用公式法进行分 解. 特别要关注是否分解到底了.
专题1.数与式(解析版)
2019年中考数学典题精选系列专题01 数与式1．3月30日，我区航空经济产业功能区2019年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行．参加此次集中开工仪式项目共计71个，总投资超过249亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都．用科学记数法表示249亿元为（）A．249×108元B．24.9×109元C．2.49×1010元D．0.249×1011元【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将249亿用科学记数法可表示为2.49×1010．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【答案】C.3．按如图所示的运算程序运算，能使输出的结果为7的一组x，y的值是（）A．x＝1，y＝2 B．x＝﹣2，y＝1 C．x＝2，y＝1 D．x＝﹣3，y＝1【答案】C【解析】【分析】将各项中的x与y代入程序计算，即可得到结果．【详解】A、当x＝1，y＝2时，原式＝2﹣2＝0，不符合题意；B、当x＝﹣2，y＝1时，原式＝8+1＝9，不符合题意；C、当x＝2，y＝1时，原式＝8﹣1＝7，符合题意；D、当x＝﹣3，y＝1时，原式＝18+1＝19，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．4．下列整数中，比小的数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可根据有理数大小比较的方法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．通过比较直接得出．【详解】∵-3＞-π，0＞-π，1＞-π，-4＜-π故选D．【点睛】本题考查有理数比大小，深刻理解有理数中正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值越大的反而越小．5．已知23ab=，则代数式a ba+的值为（）A．52B．53C．23D．32【答案】B【解析】由23ab=得到：a=23b，则代入可得2533b ba bb b++==．故选：B．6．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算求出每个式子的值，再根据结果判断即可．【详解】A 、与不是同类项，故本选项错误；B 、，故本选项错误；C 、，故本选项正确；D 、，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了合并同类项法则，有理数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．7．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n =（n为不小于2的整数），则a100=（）A ．B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】根据表达式求出前几个数后发现：每三个数为一个循环组．用100除以3，根据商和余数的情况确定a100的值即可．解：根据题意得，a 2==2，a 3==﹣1，a 4==，a 5==2，…，依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵100÷3=33…1，∴a 100是第34个循环组的第一个数，与a 1相同， 即a 100=．故选A ．8．已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C ．【解析】由a ﹣b=3，得到a=b+3，则原式=（b+3）2﹣b 2﹣6b=b 2+6b+9﹣b 2﹣6b=9．故选C ．学科*网 9．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n ，我们可得到同理可得那么， 23420162017••••••i i i i i i ++++++。
专题01 数与式的运算(学生版)-2024年新高一(初升高)数学暑期衔接讲义
号)
三、解答题 16．(2023·浙江温州·校考二模)(1)计算： 25 5 (5)0 52 ．
3x 2 x
(2)解不等式组
x
3
2
x
，并把解表示在数轴上． 1
17．(2023·浙江·校联考三模)化简与计算：
(1)化简： x 12 x x 1 ；
(2)计算： 1 2023 22 4 cos2 30 ．
A． 2 3 5
B． 2 3 3 2
C． 1 2 2 2
D． 2 6 2 3
5．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． 12
B． 3 2
C． 6
D． 1.8
6．(2023·陕西西安·校考三模)在下列计算中，正确的是( )
A． a3 + 2a3 = 3a6
式( )
A．1 个
B．2
C．3 个
D．4 个
3．(2023·八年级单元测试)直线 l： y (m 3)x n 2 (m、n 为常数)的图象如图，化简：| m 3 | n2 4n 4
得( )
A． 3 m n
B．5
C．-1
D． m n 5
4．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列计算正．确．的有( )
(2)请你给一个适当的 x 值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积．(海伦公式：
S p p a p b p c ，其中 a ， b ， c 分别是三角形的三边长，记 p a b c )
2
题型四：分式
例
10．(2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)分式
a
变式
10．(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)先化简，再求值 1