数学大师谈数学中的几何美

数学大师谈数学中的几何美“数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。

今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望你们专家能够原谅。

今天讲的几何学倒是我的专长，我研究几何学45年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几何学来，以后更应用到很多方面。

现在我们来讲几何的起源。

几何起源很老，基本上有4000年的历史。

古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了，具有一种美感。

于是他们开始研究几何，这种美感令人赞叹。

几何图形，在埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。

1、泰勒斯。

到公元前68年，在希腊文明中才得到明确的推崇。

第一位对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。

这是一个很大的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。

2、毕达哥拉斯他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，这里不是一个人，是一群数学家。

他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。

数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。

这个概念一路影响到今天，不仅仅是几何本身，早在16世纪发展解析几何的时候，就用到坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用数字来描述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布影响到空间几何，也受到空间几何的影响，这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。

3、柏拉图的三个著名几何问题第三个重要的人物是柏拉图（Plato），他是一位哲学家也是数学家，他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy（也称柏拉图学园），相传他的文章讲“不懂几何学者，不能进这个学园的门”，可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。

这种理念也影响了西方科学相当长的时间。

柏拉图虽是哲学家，但他对数学有很浓厚的兴趣，他认为几何上有五种正多面体，在三维空间里只有五个正多面体，跟二维空间不一样。

这个命题在欧几里得的《几何原本》中被证明。

这个命题的证明并不是很简单，可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋，他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。

这种理念影响了很久，甚至到了19世纪，伟大的天文学家开普勒，还企图用此来解释宇宙的结构、身体的运行，不幸地，开普勒的解释是错误的。

可在大自然的晶体里，我们可以找出五种结构出来，这五个结构影响到今天的数学发展。

柏拉图提出了三个著名的几何问题：三等分一角；构造正方形与单位圆同面积；构造立方体，其体积是单位立方体的两倍。

我希望你们在中学学过这三个问题，这三个问题影响数学界差不多2000多年，第三个问题在中国、印度亦出现过。

如果容许用复杂的机械来解决这三个问题，古代数学家早已找到答案，但柏拉图坚持我们用最单纯的几何方法，即只靠圆规和直尺来构造，也因此这三个问题影响了很久。

第三个问题又叫Delos问题，传说Delos城的居民为了解除太阳神Apollo（阿波罗）降给他们的瘟疫，向Delphi（智慧女神）神庙的祭司求救，祭祀要求他们做一个立方体，它的体积要刚巧是Apollo祭坛立方体的一倍。

他们不懂得怎么解决，只好向柏拉图请教。

这个问题有很久的历史，可能是蛮有兴趣的一个传说。

4、伽罗华群论柏拉图提出的这三个几何问题直到19世纪伽罗华理论（Galois Theory）出现后，才得到完满的解决。

伽罗华是位年轻数学家，21岁就去世了，他解决这个问题的时候才20岁，留下了很多重要手稿。

他去世不是病死也不是其他，而是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡，很不幸。

他的方法中是用到一个很重要的概念叫群论，用群论解决了这三个问题。

他们发现这些问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。

他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程式。

然而，假如用圆规与直尺来做的话，这三个问题所产生的数字（比如√π、?2）并不能满足这些方程（1882年的Lindemann证明π为超越数，它不满足任何整数为系数的方程），因此，这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。

所以这三个问题是很古老的问题，直到19世纪用相当高深的数学才能完满地解决。

这三个问题只不过是好奇，可是解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展。

伽罗华群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。

5、欧几里得五条公理欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成，他由五条公理推到大量有趣的命题，实开千古科学演绎法之先河，直接影响到以后牛顿力学体系。

牛顿利用三个基本定律来推导天体的运行，其中逻辑运用之妙，无可伦比。

逻辑运用，是很重要的事情，这也是整个中国科学发展缺少的一部分，西方从希腊数学家就开始了。

欧几里得其实用了柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证法。

三段论证有大前提、小前提、结论，看起来简单，可是学生很少明白，中国的科学也很少用。

欧几里得就是通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见的性质。

举例来讲，两点可以用一条直线连起来等种种不同方法，归纳出五条公理，并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。

这是一个漂亮伟大的贡献。

第5条公理叫平行公理，在直线外任何一点，必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交，就是一个平行线。

我们都学过这个公理，很多人现在认为可以接受。

可是差不多有20世纪，哲学家都不大愿意接受这条公理，他们企图用其他四条公理去证明，但都没有办法成功。

今天看起来好像简单的一个问题，可是哲学家始终不服输，一路到19世纪初期，算术几何的面世，才发现平行公理是不能用其他四条公理证明的。

6、高斯、黎曼、傅里叶因此，我们又产生了一个新的几何——算术几何。

算术几何跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。

算术几何以后，通过两个伟大的几何学家——高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变。

空间不再是欧式几何那样简单的一个空间，而是能够变动、能够影响我们天天看到的物理现象有关的空间。

由于平行公理的变化，从平行移动的观念引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化，内对称主宰一切已知粒子的变化，著名的物理学家杨振宁先生的理论就是要从内对称演绎的。

近代数学开始影响近代物理学的发展。

19世纪伟大的法国数学家傅里叶，他讲数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以他讲数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。

数学是很抽象的，可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己的空间、发展的方法，不一定跟其他自然科学有同样的问题，它是走自己的路。

以简制繁的观念也影响到艺术的发展。

大部分学者认为统御自然界的共通原理必须简洁，从牛顿、到爱因斯坦、到笛卡尔、到杨振宁，都是这样的看法。

所以，描述自然界的绘画，或者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。

这种观念，我认为起源于希腊的基本精神。

调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。

数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。

下面讲讲古希腊人的精神。

也是从我父亲的一本书里所引，我父亲是个哲学家（编者注：丘成桐父亲名丘镇英）。

英国一个出名的作者叫狄更逊（Dickinson）在其所著《希腊人的人生观》（The Greek View of Life）中说：调和呦！就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。

希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一的。

1、美与善之调和柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善，而善之真际，即同时流露于其身目，有如清风之来自蓬莱，人之灵魂与同情之美，于不知不觉之间。

”2、身与心之调和希腊大政治家伯里克理斯（Pericles）讲：“我们是美之爱好者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶冶心灵，但我们也不失却丈夫气。

”柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基。

前者是养身，后者是修心，可见注重身心调和。

3、个人与国家的调和亚里士多德说“国家系相同的人们，求达可能的最善生活的一种组合。

”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，但也要个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。

4、神与人的调和希腊人认为神是美丽而人性的生物。

男神是雄伟的美男子，女神是纯洁的美女子。

你可以讲它是宗教，其实不是宗教，这是希腊人的理想，假借众神来表现。

调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。

数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。

也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。

远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都对历法有浓厚的兴趣。

这些关于星体运行的学问，自然牵涉到几何学。

事实上，古希腊人早已知道如何量度地球的半径和地球到太阳的距离。

古代中国人对地图的制作有重要贡献，刘安在《淮南子》中也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方面由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历法的计算。

而希腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运行；托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三角发展出来，可见天文学对数学的影响。

现在回头再讲数学、几何学，从古希腊想法发展出来的结果，对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。

是怎么产生的呢？举一个例子来讲，我们设想几何图形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击打这个鼓，会发出不同的声音，这个声音用谱来分析，可以推测鼓的形状，这是一个重要的问题。

也可以看出几何与音乐的关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图形是怎样的。

音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。

美丽的音乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和之意。

这种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端的琴弦，弹奏时会形成很多不同的波，这些波由基本的正弦函数组成，如弦长为L，这些函数可写成sin （nx/l），这是个很漂亮的函数，有调和的意思在里边。

什么叫调和函数？调和函数的定义是这样子，它定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕这点上球的平均值。