江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或−12.若yx=34，则x+yx的值为（）A. 1B. 47C. 54D. 743.若关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A. m<1B. m>−1C. m>1D. m<−14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm5.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若ADDB=12，则DEBC的值为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：3D. 3：16.如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP=2cm，则OP等于（）A. 22cmB. 32cmC. 25cmD. 35cm7.如图，在⊙O中，∠A=10°，∠B=30°，则∠ACB等于（）A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 40∘8.给出下列4个命题：①圆的对称轴是直径所在的直线．②等弧所对的圆周角相等．③相等的圆周角所对的弧相等．④经过三个点一定可以作圆．其中真命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210.如图，正方形OABC的边长为8，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q（m，n），若S△BPQ=19S△OQC，则mn值为（）A. 12B. 16C. 18D. 36二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.在1：25000000的图上，量得福州到北京的距离为6cm，则福州到北京的实际距离为______km．12.一元二次方程x2+3x+2=0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2+x1x22=______．13.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为______．14.已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（0，4）、（6，4）、（0，-1），则这个三角形的外接圆的圆心坐标为______．15.如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是CD中点，若∠ABD=80°．则∠CAB=______．16.如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE=∠DAC，AB=7，AD=10，则CE=______．17.⊙O的半径为1，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC度数为______．18.如图，把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y=-3x（x＜0）的图象上的点C处，另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处，且∠CAO=30°，则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标坐标为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解方程（1）（x-1）2=9；（2）2x2+3x-4=0．20.阅读下面的材料，解决问题：解方程x4-5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2．请参照例题，解方程（x2+x）2-4（x2+x）-12=0．21.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．22.如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD2=BD•CD．（1）求证：∠BAC=90°；（2）若BD=2，AC=26，求CD的长．23.如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．（1）求桥拱的半径R．（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．24.如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．25.请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图①中作出一点D，使得∠ADB=2∠C；（2）在图②中作出一点E，使得∠AEB=12∠C．26.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P在边AD上以每秒2个单位的速度从A出发，沿AD向D运动，同时动点Q在边BD上以每秒5个单位的速度从D出发，沿DB向B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：当某一时刻t，使得t=1时，P、Q两点间的距离PQ=______；（2）是否存在以P、D、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．27.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧BD上，连接AE、ED、DA，连接AE、ED、DA．（1）求证：∠DAC=∠AED；（2）若点E是BD的中点，AE与BC交于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的长．28.如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO=∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1，故选：A．本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=1代入方程式即可求解．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．2.【答案】D【解析】解：∵=，∴==．故选：D．根据合分比性质求解．考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．3.【答案】C【解析】解：根据题意得△=22-4m＜0，解得m＞1．故选：C．根据判别式的意义得到△=22-4m＜0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4.【答案】A【解析】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20=20：x，解得x=12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．故选：A．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴====．故选：C．由于DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，因此它们的边对应相等成比例，由此可求出的值．本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．6.【答案】D【解析】解：过O作OC⊥AB于C，则∠OCP=∠ACO=90°，∵OC⊥AB，OC过O，∴AC=BC=AB=×8cm=4cm，∵BP=2cm，∴PC=BC+BP=6cm，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC===3（cm），在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP===3（cm），故选：D．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出OP即可．本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．7.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，设∠ACB=x，则∠AOB=2x，由题意∠A+∠AOB=∠B+∠ACB，∴10°+2x=30°+x，∴x=20°，故选：B．由题意∠AOB=2∠ACB，设∠ACB=x，则∠AOB=2x，根据∠A+∠AOB=∠B+∠ACB，构建方程求出x即可；本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：①圆的对称轴是直径所在的直线．正确；②等弧所对的圆周角相等．正确；③相等的圆周角所对的弧相等．错误，条件是同圆或等圆中；④经过三个点一定可以作圆．错误，条件是不在同一直线上的三点；故选：B．根据轴对称的性质、圆周角定理、确定圆的条件即可一一判断；本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】A【解析】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95-5（x-1）]件，每件的利润是[6+2（x-1）]元，根据题意得：[6+2（x-1）][95-5（x-1）]=1120，整理得：x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12（舍去）．故选：A．设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95-5（x-1）]件，每件的利润是[6+2（x-1）]元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴=（）2=，∴OC=3PB，∵OC=8，∴PB=，∵==，BO=8，∴OQ=×8=6，∴Q（6，6），∴mn=36，故选：D．由△PBQ∽△COQ，推出=（）2=，推出OC=3PB，由OC=8，推出PB=，由==，BO=8，推出OQ=×8=6，求出点Q坐标即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.【答案】1500【解析】解：6÷：=150000000（厘米）=1500（千米）；答：福州到北京的实际距离是1500千米．故答案为：1500．图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺=实际距离”即可求出两地的实际距离．此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系．12.【答案】-6【解析】解：根据题意得x1+x2=-3，x1•x2=2，所以x12x2+x1x22=x1•x2（x1+x2）=2×（-3）=-6．故答案为-6．先根据根与系数的关系得到x1+x2=-3，x1•x2=2，再将x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体思想代入计算即可．本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．13.【答案】60（1-x）2=48.6【解析】解：第一次降价后的价格为60×（1-x），二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1-x）×（1-x），所以可列方程为60（1-x）2=48.6．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降价的百分率）=48.6，把相应数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14.【答案】（3，32）【解析】解：如图，由题意，△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点Q，∵C（0，-1），B（6，4），∴Q（3，），故答案为（3，）．由题意，△ABC是直角三角形，推出△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点Q，利用中点坐标公式计算即可解决问题；本题考查三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是记住直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点．15.【答案】20°【解析】解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=80°，∴∠DAB=10°，∵D是中点，∴=，∴∠CAD=∠DAB=10°，∴∠CAB=20°，故答案为20°．连接AD．根据直径的性质求出∠DAB，再证明∠CAD=∠DAB即可解决问题；本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】5.1【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC=10，∴∠DAC=∠BCA，又∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE=∠BCA，∵∠B=∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB=7，BC=10，∴BE=4.9，∴EC=5.1．故答案为：5.1．由▱ABCD的性质及∠BAE=∠DAC可得∠BAE=∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长．本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE=∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．17.【答案】75°或15°【解析】解：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°；故答案为：75°或15°．连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC 即可．本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．此题比较好，但是一道比较容易出错的题目．18.【答案】（-3，33）【解析】解：如图：过点C作CE⊥AO于点E∵∠CAO=30°，CE⊥AO∴∠COE=60°，AC=2CE，AE=CE∴CE=EO设点C坐标为（a，-a）∵点C在反比例函数y=-（x＜0）的图象上∴a×（-a）=-解得：a=-1∴点C坐标（-1，）∴CE=，EO=1∴AE=×=3∴AO=4∴点A（-4，0）∵点A（-4，0），点C（-1，）∴直线AC解析式y=∵直线AC与反比例函数y=-相交于点C，点D∴-=解得：x1=-1，x2=-3∴点D坐标为（-3，）故答案为：（-3，）过点C作CE⊥AO于点E，由题意可得：AE=CE，CE=OE，设点C坐标为（a，-a），代入解析式可求a=-1，可求点A坐标，点C坐标，即可求直线AC解析式，直线AC解析式与反比例函数解析式组成方程组，可求点D坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质是解决问题的关键．19.【答案】解：（1）（x-1）2=9，开方得：x-1=±3，解得：x1=4，x2=-2；（2）2x2+3x-4=0，∵a=2，b=3，c=-4，b2-4ac=9-4×2×（-4）=41，∴x=−3±412×2=−3±414，∴x1=−3+414，x2=−3−414．【解析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）利用公式法求解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20.【答案】解：设x2+x=y，原方程可变为y2-4y-12=0，解得y1=6，y2=-2，当y=6时，x2+x=6，得x1=-3，x2=2，当y=-2时，x2+x=-2，得方程x2+x+2=0，∵△=b2-4ac=12-4×2=-7＜0，此时方程无实根，所以原方程有两个根：x1=-3，x2=2．【解析】根据题目中的例子和换元法解方程的方法可以解答本题．本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程．21.【答案】（2，-2）（1，0）10【解析】解：（1）如图所示：C1（2，-2）；故答案为：（2，-2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．22.【答案】（1）证明：∵AD2=BD•CD，∴ADCD=BDAD，∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠BAD=∠C，∵∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠BAD=90°，∴∠BAC=90°；（2）解：∵∠BAC=∠ADC=90°，∠C=∠C，∴△BAC∽△ADC，∴ACCD=BCAC，∴AC2=BC•CD，∴（2+DC）•DC=24，∴DC=4．【解析】（1）根据已知条件得到△ABD∽△CAD，根据相似三角形的性质得到∠BAD=∠C，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．在Rt△AOD中，∵AO2=OD2+AD2，∴R2=64+（R-4）2，解得R=10；（2）在Rt△OEM中，∵OE2=EM2+OM2，∴100=36+OM2，解得OM=8，∴CM=8-6=2，即拱顶C到水面EF的高度是2米．【解析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．24.【答案】解：原图经过平移转化为图1．设道路宽为X米，根据题意，得（20-x）（32-x）=540．整理得x2-52x+100=0．解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．答：道路宽为2米．【解析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．25.【答案】解：（1）如图1，∠ADB即为所作；（2）如图2，∠AEB即为所作．【解析】（1）作AC的垂直平分线交BC于D，则DA=DC，所以∠DAC=∠C，然后根据三角形外角性质可得到∠ADB=2∠C；（2）延长BC到E使CE=CA，则∠E=∠CAE，然后根据三角形外角性质可得到∠AEB=∠C．本题考查了作与-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26.【答案】13【解析】解：（1）∵t=1，∴AP=2，DQ=5，∴PD=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AB=6，BC=8，∴BD=10，∴Q为BD的中点，过Q作QE⊥AD于E，∴QE∥AB，∴AE=DE=4，∴EQ=AB=3，PE=2，∴PQ==；故答案为：；（2）存在，理由：∵AP=2t，DQ=5t，∴PD=8-2t，由（1）知，QE∥AB，∴=，∴=，∴QE=3t，∴DE=4t，∴PE=8-6t，∴PQ=，当D是圆心时，PD=DQ，∴8-2t=5t，解得：t=；当P是圆心时，PD=PQ，∴8-2t=，解得：t=，或t=0（舍去）；当Q是圆心时，PQ=DQ，∴5t=，解得：t=或t=4（舍去），综上所述：t的值为s或s或s．（1）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，根据勾股定理得到BD=10，过Q作QE⊥AD于E，根据三角形的中位线的性质得到EQ=AB=3，PE=2，根据勾股定理即可得到结论；（2）由题意得到AP=2t，DQ=5t，PD=8-2t，根据平行线分线段成比例定理得到QE=3t，根据勾股定理得到PQ=，当D是圆心时，PD=DQ，当P 是圆心时，PD=PQ，当Q是圆心时，PQ=DQ，列方程即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解方程，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．27.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∵∠E=∠ABD，∴∠DAC=∠AED；（2）解：∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠EAD，∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAE=∠CDA+∠EAD，∴∠CFA=∠CAE，∴CA=CF，∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴ACBC=CDAC．即AC2=BC×CD=（5+4）×4=36．解得AC=6．∴CA=CF=6，∴DF=CA-CD=2．【解析】（1）根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据余角的性质和圆周角定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到CA=CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．28.【答案】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA=1，OB=3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC=1，OD=3，∴C（0，1），D（-3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，EFOC=DEDO∴EF=23，∴F（-1，23）；当△DEF∽△COD时，DF=DE cos∠CDO=3105，作FK⊥OD于K，则FK=DF sin∠CDO=35，DK=DF cos∠CDO=95，∴F（-65，35）；（2）如图2，以CD 为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO=∠CQ′O=∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=10，则PQ=12CD=102，又∵P为CD中点，P（-32，12），设Q（-1，a），则（12）2+（a-12）2=52，解得a=2或-1，∴Q（-1，2）或（-1，-1）．【解析】（1）当△DEF∽△COD时，=，DF=DEcos∠CDO=，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO=∠CQ′O=∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD=，则PQ=CD=；然后求出点P的坐标是多少；设Q（-1，a），则（）2+（a-）2=，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．此题还考查了相似三角形的性质，坐标与图形变换，正确的作出图形是解题的关键．第21页，共21页。
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x＝0B．x+1＝0C．ax2+bx+c＝0D．2．（3分）若，则＝（ ）A．B．C．D．3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）A．0.382B．3.82C．0.618D．6.185．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A．5B．6C．D．6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．3D．28．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD 并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）A．B．4C．D．二、填空题（共24分）11．（3分）在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 千米．12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： ．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 ．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ．16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC 都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．三、解答题（共96分）19．解方程：（1）x2﹣6x+3＝0；（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ ，n＝ ；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；（2）△ABC外接圆的半径是 ；（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连结BO 并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：AC2＝2AD•BC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝1，OE＝2，直接写出CD的长．参考答案与试题解析一、选择题（共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x＝0B．x+1＝0C．ax2+bx+c＝0D．【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【解答】解：A．x2+2x＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；B．x+1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．2．（3分）若，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质变形即可求解．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝2k，∴，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．【解答】解：∵P的坐标为（﹣4，3），∴．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）A．0.382B．3.82C．0.618D．6.18【分析】设PB＝x，则PA＝10﹣x，根据黄金分割的定义得到，即，解方程即可得到答案．【解答】解：设PB＝x，则PA＝10﹣x，∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），∴，即，∴100﹣20x+x2＝10x，即x2﹣30x+100＝0，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，∴PB的长约为3.82，故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割的定义是解题的关键．5．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A．5B．6C．D．【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；正确的命题有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．3D．2【分析】把a2+b﹣4a+1＝0看作关于a的一元二次方程，则利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，解关于b的不等式得到b的最大值．【解答】解：∵实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，∴关于a的一元二次方程a2+b﹣4a+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，∴b≤3，∴b的最大值为3，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）A．B．C．D．【分析】由正方形的性质得到CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，则由勾股定理得到，求出DE＝2，则，再证明△ABF∽△ACE，得到，即，即可得到．【解答】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴，∵，∴，∴DE＝2，∴，∵∠FAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAF＝∠CAE，又∵∠ABF＝∠ACE＝45°，∴△ABF∽△ACE，∴，即，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解决问题．9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD 并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）A．B．C．D．【分析】连接OA，OC，CE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝30°，根据等边三角形的性质得到AC＝OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：连接OA，OC，CE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA，∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴，∴AC2＝AD•AE，∵AD＝2，DE＝3，∴AC＝＝＝，∴OA＝AC＝，即⊙O的半径为，故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）A．B．4C．D．【分析】连接AC与EF交于点O，连接OG，证明点O是AC的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为弧BC，即可求出结论．【解答】解：连接AC与EF交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∠AEF＝∠CFE，又∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴EO＝FO，AO＝CO，∴点O为AC的中点，连接BD，则与AC交于点O，由折叠得，∠OFC＝∠OFG，CF＝GF，又∵OF＝OF，∴△OFC≌△OFG（SAS），∴，又，∴OG＝3，∴G在以O为圆心，OG为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合，∴G的运动轨迹为，∴连接PO并延长，交于G′时，PG′最大，当O，P，G共线时，即G与G′重合时，PG最大，∴PG＝PG′＝PO+OG′，∵P为AD的中点，O为BD的中点，∵，∴，即PG的最大值为，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．二、填空题（共24分）11．（3分）在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 9.2 千米．【分析】实际距离：图上距离＝比例尺．注意单位统一成千米．【解答】解：设它们之间的实际距离约为x千米，4.6cm＝0.000046km则1：200000＝0.000046：x，解得x＝9.2，故答案为：9.2．【点评】主要考查了对比例尺的应用．注意单位的统一．12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： x2﹣1＝0（答案不唯一） ．【分析】先根据一元二次方程的解法﹣因式分解，写出方程，再化为一般形式．【解答】解：根据题意得：（x+1）（x﹣1）＝0，即：x2﹣1＝0，故答案为：x2﹣1＝0（答案不唯一）．【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 118° ．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，从而求出∠B，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝28°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝62°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°∴∠ADC＝180°﹣∠B＝118°．故答案为：118°．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ﹣4 ．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝﹣2，再由多项式乘以多项式的计算法则得到（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4，据此代值计算即可．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，∴a+b＝3，ab＝﹣2，∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．【分析】连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，由重心的定义得到DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，则GH是△ABC的中位线，即可得到，证明△AGH∽△ABC，可得，再由三角形中线的性质推出，由重心的性质可得，则可证明△EDF∽△GDH，得到．【解答】解：如图所示，连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，∵E、F分别是△ABD、△ACD的重心，∴DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，∴GH是△ABC的中位线，∴，∴△AGH∽△ABC，∴，∴；∵三角形中线平分三角形面积，∴S△AGD＝S△BGD，S△AHD＝S△CHD，∴，∴，由重心的性质可得，又∵∠EDF＝∠GDH，∴△EDF∽△GDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC 都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．【分析】设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，求出OQ1，当Q2与B重合时，BO的延长线与⊙O交于点P2，P2Q2最大值OQ2+OP2．【解答】解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足Q1，交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，则四边形ODCQ1为矩形，AO平分∠BAC，∴CF＝FG，．设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，AC＝AG＝8，BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2，由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22，解得：，∴，∵OE∥GF，∴△AOE∽△AFG，∴，即，∴AE＝3，∴AF＝AE＝3，∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5，∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，如图2，当Q2与B重合时，连接BO，延长BO与⊙O交于点P2，此时P2Q2为最大值，，∴PQ的最大值与最小值的和为：，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是确定PQ的最小值与最大值的位置．18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．【分析】连接BB1，延长CA交BB1于D，证明△AOC∽△B1OB，推出，可得，在Rt△AOB′中，根据构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接BB1，延长CA交BB1于D，∵B，B1关于AC对称，∴CD⊥BB1，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠OAC＝∠BAD，∴∠OAC＝∠DBA，∵∠AOC＝∠BOB1＝90°，∴△AOC∽△B1OB，∴，即，在Rt△AOB1中，，整理得：3m2﹣8nm＝0，∵m≠0，∴，即，故答案为：．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．三、解答题（共96分）19．解方程：（1）x2﹣6x+3＝0；（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+3＝0，∴x2﹣6x＝﹣3，∴x2﹣6x+9＝6，∴（x﹣3）2＝6，∴，解得；（2）∵（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2），∴（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x+1﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和，再把x1+2x2化为5+x2，再根据求根公式求出x2，并判断出x2≤2即可．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣k2＝0，即x2﹣5x+6﹣k2＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣k2）＝25﹣24+4k2＝1+4k2，∵无论k取何值时，总有4k2≥0，∴1+4k2＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝5，∴x1+2x2＝x1+x2+x2＝5+x2，∵x1＞x2，∴x2＝，∵4k2+1≥1，∴≥1，∴≤2，即x2≤2，∴5+x2≤7，即x1+2x2≤7．【点评】本题考查了抛物线与x轴的关系，根的判别式和根与系数的关系，关键是掌握根与系数的关系．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，据此可得出结论；（2）设DP＝x，则AD＝CP＝1+x，然后由（1）的结论得AP：DP＝PC：BP，据此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BC是∠ABD的平分线，∴∠ABC＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，又∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB．（2）解：设DP＝x，∵AP＝PB＝1，∴AD＝AP+DP＝1+x，又AD＝CP，∴CP＝1+x，由（1）得：△APC∽△DPB，∴AP：DP＝PC：BP，即：1：x＝（x+1）：1，∴x2+x＝1，∴x2+x﹣1＝0，解得：，（不合题意，舍去）．∴．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的证明方法，理解相似三角形的性质，难点是设置适当的未知数，利用相似三角形的性质列出方程．22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ 80 ，n＝ 86 ；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ＞ ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值；（2）根据方差公式分别计算出，即可；（3）从平均数和中位数进行分析即可．【解答】解：（1）七年级成绩中8（0分）的最多有3个，所以众数：m＝80，将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87，∴中位数：，故答案为：80，86；（2）∵七年级的方差是：，八年级的方差是：，∴，故答案为：＞；（3）从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高，且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高，综上所述，我认为八年级的成绩较好．【点评】本题考查了中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （2，6） ；（2）△ABC外接圆的半径是 ；（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （3，6） ；（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；（2）利用两点间距离公式计算即可；（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．故答案为（2，6）．（2）连接CO′．CO′＝＝，∴△ABC外接圆的半径是．故答案为．（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．观察图象可知M（3，6）故答案为（3，6）．（4）如图，△A1B1C1即为所求；【点评】本题属于圆综合题，考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．【分析】（1）以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，即可完成作图；（2）证△MBP∽△PCN，可得＝设BP＝x，列出方程＝，整理得x2﹣9x+5a＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，②作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，如图，点P1、P2即为所求；（2）如图，∵∠MP1N＝60°，∴∠MP1B+∠CP1N＝120°，在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，∴∠MP1B+∠BMP1＝120°，∴∠BMP1＝∠CP1N，∴△MBP1∽△P1CN，∴＝，设BP1＝x，∴＝，∴5a＝9x﹣x2，∴x2﹣9x+5a＝0，∵只能作出唯一的点P，∴该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣9）2﹣20a＝81﹣20a＝0，∴a＝．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．【分析】（1）欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；（2）连接AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DC平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥PQ，∴OD⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB∥PQ，∠ABC＝∠Q，∠ADB＝∠BDQ，∵∠ADC＝∠ABC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ADC＝∠Q，∠ACD＝∠BDQ，∴△BDQ∽△ACD，∴＝，∴BD2＝AC•BQ，∴BD2＝4×1＝4，解得：BD＝2或﹣2（舍去）．∴BD的长为2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，依题意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值为50．【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）利用等边三角形的性质和切线的性质定理求得AD，AP的值，进而得到PD的长度，利用时间＝距离÷速度即可得出结论；（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，②当点P在AD的右侧时，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，由题意得：BQ＝t，DP＝t，利用等腰梯形的判定定理和性质定理可得AM＝BQ，利用解直角三角形的知识与等腰三角形的性质可得AF的长，再分别利用AF+FP+PD＝AD和AF+DP﹣FP＝AD，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；（3）利用分段讨论的方法分析，当线段PD取不同数值时，⊙P与△ABC的边的公共点的个数，利用时间＝距离÷速度即可求得t的取值范围．【解答】解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，则PE⊥AC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．∴AD＝＝3，由题意得：PD＝t cm，∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．在Rt△APE中，∵sin∠PAE＝，∴AP＝．∴3﹣t＝．解得：t＝3﹣．∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．（2）设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+FP+PD＝AD，∴t+2+t＝3．解得：t＝﹣；②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．。
2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x+3＝x2B．y2+x+1＝0C．x2﹣2＝0D．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（ ）A．（x+4）2＝4B．（x﹣4）2＝4C．（x+2）2＝2D．（x﹣2）2＝23．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cmC．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．无法确定5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（ ）A．22°B．30°C．32°D．68°6．（3分）下列说法正确的是（ ）A．直径所对的角是直角B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（ ）C．（4，6），（6，0）D．（6，9），（9，0）8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（ ）A．AD＝BDB．△BDA′∽△A′EDC．9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（ ）10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（ ）A．①③B．②③C．①②④D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为 km．12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝ ．13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为 ．14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点 m．（写出所有可能，精确到0.1m）15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝ ．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝ ．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为 ．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC 长度的最大值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知．（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F 处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若测出BD＝a m，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：例题：求代数式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．（1）当时，求的值；（2）当时，则＝ ；（用含n的代数式表示）【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止．已知△PA′D与△PAD关于直线PD对称，连接AA′．设运动时间为t s．（1）当点A′落在对角线BD上时，t＝ ；（2）当点P在BC上运动时，点A，P，A′能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA′的面积的最小值；（3）连接BA′，若△ABA′是直角三角形，请直接写出t的值．2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．【解答】解：A．∵原方程可整理得2x+3＝0，未知数的最高次数是1，∴方程x2+2x+3＝x2不是一元二次方程，选项A不符合题意；B．∵方程y2+x+1＝0含有两个未知数，∴方程y2+x+1＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，选项C符合题意；D．∵方程x﹣＝0不是整式方程，∴方程x﹣＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：C．2．【解答】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝2，（x﹣2）2＝2，故选：D．3．【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴这一组线段成比例．B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．故选：A．4．【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为5cm，∵OA＝6cm＞5cm，∴点A在⊙O外．故选：B．5．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝68°，∴∠BAC＝68°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°．故选：A．6．【解答】解：A、直径所对的圆周角是直角，故本选项说法错误，不符合题意；B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．7．【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），故选：C．8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠的性质可得：∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，∵点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外），∴AD不一定等于BD，故A不符合题意；∵∠B＝∠DA′E＝∠C＝60°，∴∠BDA′+∠BA′D＝∠BA′D+∠CA′E＝120°，∴∠BDA′＝∠CA′E，∴△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；∴＝，故C不符合题意，∴△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意；故选：D．9．【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，则AC＝3，BG＝2.5，∵AC∥BG，∴△ACE∽△BGE，∴＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，又∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CD：DA＝DE：CD，∴CD2＝DE•DA，∵点D为BC的中点，∴CD＝DB，∴DB2＝DE•DA，故结论①正确；②∵DB2＝DE•DA，∴DB：DA＝DE：DB，又∵∠BDE＝∠ADB，∴△DBE∽△DAB，∴∠DEB＝∠ABC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠DEB＝∠ABC＝45°，∵CE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴∠FEB＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEB＝∠DEB＝45°，∴BE平分∠DEF，故结论②正确；③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，如图所示：则EH∥FK，∵AC＝BC＝1，点D为BC的中点，∴CD＝BD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：DA＝，∴CD2＝DE•DA，∴，∴DE＝，∴AE＝DA﹣DE＝，∵EH⊥BC，∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴△DEH∽△DAC，∴EH：AC＝DH：CD＝DE：DA，∴，∴EH＝，DH＝，∴CH＝CD﹣DH＝＝，∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，∴△BFK是等腰直角三角形，∴设BK＝FK＝a，则CK＝BC﹣BK＝1﹣a，由勾股定理得：BF＝，∵EH∥FK，∴△CEH∽△CFK，∴EH：FK＝CH：CK，∴，∴a＝，∴BF＝＝，故结论③正确；④∵FK＝a＝，∴S△BDF＝BD•FK＝，∵S△ACD＝DA•CE＝AC•CD，∴，∴CE＝，∵△CEH∽△CFK，∴CE：CF＝EH：FK，∴√，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝，∴S△AEF＝AE•EF＝，∴S△BDF：S△AEF＝＝5：8，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．【解答】解：根据题意得：10÷＝360000（cm），360000cm＝3.6km．故答案为：3.6．12．【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝4．故答案为：4．13．【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%．14．【解答】解：设他选择的位置离A点x m，则离B点（10﹣x）m，由题意得：≈0.618或≈0.618，解得：x＝6.18≈6.2或x＝3.82≈3.8，∴他选择的位置离A点6.2或3.8m，故答案为：6.2或3.8．15．【解答】解：由圆周角定理得：∠D＝∠AOC＝×150°＝75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣75°＝105°，故答案为：105°．16．【解答】解：如图，延长CO交AB于D，∵点O为△ABC的重心，∴CD是△ACB的中线，OC＝CD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝×6＝3，∴OC＝CD＝2．故答案为：2．17．【解答】解：作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，如图所示：则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，∵AD是△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝7，∴sin B＝，∴sin D＝sin B＝，在Rt△ACD中，AC＝4，sin D＝＝∴，∴AD＝，∴OA＝OD＝AD＝．即△ABC外接圆的半径长为．故答案为：．18．【解答】解：以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，如图：∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，∵∠CBD＝2∠CDB＝60°，∴∠CDB＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD，∠CBH＝60°﹣∠DBH＝∠ABD，∴＝＝，∴△BCH∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝4，∴CH＝2，∵AC≤AH+CH，∴AC≤+2，∴AC长度的最大值为+2，故答案为：+2．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+3）2＝x+3，（x+3）2﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣1）＝0，∴x+3＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．20．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+4+4＝（k﹣2）2+4，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根为3，∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，∴k＝2，∴方程为x2﹣4x+3＝0，∴x1＝3，x1＝1，∴另一个根为1，k＝2．21．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB；（2）设AD＝x，∵AB＝5，CD＝4，∴AC＝AD+CD＝x+4，∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，∴52＝x（x+4），整理得：x2+4x﹣25＝0，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），∴AD＝x＝．22．【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求；（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADO中，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5．∴所在圆的半径为5．23．【解答】解：（1）如图，连接CD．∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝62°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝62°﹣28°＝34°，∴的度数是34°．（2）延长BC交圆C于点F．∵BE＝EC＝4，∴BC＝BE+EC＝8，CF＝AC＝EC＝4，∴BF＝BC+CF＝12，在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB＝＝＝4，设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝4﹣x，根据切割线定理，得BD•AB＝BE•BF，∴4（4﹣x）＝4×12，∴x＝，∴AD的长为．24．【解答】解：（1）当m＝45时，45＝300﹣3x，解得：x＝85，∴45×（85﹣60）＝1125（元），答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元；（2）设每件服装的销售价应定为x元，由题意得：（x﹣60）（300﹣3x）＝900，整理得：x2﹣160x+6300＝0，解得：x1＝70，x2＝90，（不符合题意，舍去），答：每件服装的销售价应定为70元．25．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，∴＝，∵CD＝1.5m，DH＝2m，BD＝a m，∴＝，∴AB＝（a+）m；（2）∵EF∥AB，∴△GEF∽△GAB，∴＝，∵CD∥AB，∴△HCD∽△HAB，∴＝，∵CD＝EF，∴＝，∴＝，∴BH＝8，∴＝，∴AB＝6m．26．【解答】解：（1）﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；（2）设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900（元），故商场每天最多盈利4900元．27．【解答】解：（1）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，则∠ADG＝∠DAC，∠BGD＝∠BEC，∵∠AFE＝∠DFG，∴△AFE∽△DFG，∴，∵∠DBG＝∠CBE，∴△BDG∽△BCD，∴，∵＝，∴，∴＝，∵BE是中线，∴AE＝CE，∴，∴＝，（2）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，同（1）中方法可知＝＝，∵，∴，∴＝，故答案为：；【解决问题】分两种情况，①当点D在线段BC上时，如图所示，∵BD＝6，CD＝2，∴＝，由前述结论可知＝，∴，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴DH＝，FH＝，∴BH＝BD+DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝；②当点D在线段BC延长线上时，如图所示，同（1）中方法，可求得＝，∴＝，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴，FH＝，∴BH＝BD﹣DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝．综上，BF的值为或．28．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4cm，AB＝3cm，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5（cm），由题意得PA＝t cm，∴PB＝（3﹣t）cm，∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，且点A′落在对角线BD上，∴DA′＝AD＝4cm，PA′＝PA＝t cm，∠DA′P＝∠DAP＝90°，∴A′B＝BD﹣DA′＝5﹣4＝1（cm），∵∠PA′B＝180°﹣∠DA′P＝90°，∴PA′2+A′B2＝PB2，即t2+12＝（3﹣t）2，解得：t＝，故答案为：；（2）∵△PA′D与△PAD关于直线PD对称，∴AA′⊥DP，AE＝A′E，∴∠AED＝90°，∴S△APA′＝2S△APE，当S△APA′最小时，S△APE最小，∵S△APD＝S矩形ABCD＝×4×3＝6，∴S△ADE＝6﹣S△APE为最大值，∵AD＝4cm，∴当∠DAE＝45°时，S△ADE最大，如图2，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，∴EF＝AD＝2（cm），∴S△ADE＝AD•EF＝×4×2＝4（cm2），∴S△APE＝6﹣4＝2（cm2），∴S△APA′的最大值＝4cm2；（3）连接A′B，如图3，当∠AA′B＝90°时，则∠AA′B＝∠AEP＝90°，∴DP∥A′B，∴△APE∽△ABA′，∴＝＝，∴AP＝AB＝cm，∴t＝；当∠ABA′＝90°时，如图4，由题意得：A′P＝AP＝t cm，PB＝（3﹣t）cm，∵∠AED＝∠DAB＝∠B＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝∠DAE+∠BAA′＝90°，∴∠ADP＝∠BAA′，∴△ADP∽△BAA′，∴＝，即＝，∴A′B＝t，∵PB2+A′B2＝A′P2，∴（3﹣t）2+（t）2＝t2，解得：t＝或t＝（舍去）；当∠BAA′＝90°时，如图5，∵A、A′关于DP对称，∴点P与点C重合，∴t＝7；综上所述，当△ABA′是直角三角形时，t的值为或或7．。
江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。
江苏省无锡市梁溪区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市梁溪区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．10B．57．如图，AB是圆O的直径，弦＝25°，则下列结论错误的是（A ．AE ⊥DEB ．8．如图，⊙O 的半径为1，△形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是（A ．2B ．9．欧几里得的《原本》记载，形如90ACB ∠=︒，2a BC =，AC （）A ．AC 的长B ．10．如图，将边长为a 的正六边形向向右作无滑动滚动，当A （）二、填空题11．关于x 的一元二次方程22(1)620k x x k k -+++-=有一个根是0，则k 的值是________12．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．13．某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是______．14．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x ，则可列方程为___．15．如图，⊙I 为△ABC 的内切圆，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE 为⊙I 的切线，若△ABC 的周长为21，BC 边的长为6，△ADE 的周长为_____．16．O 是ABC 的外接圆，连接OB ，28ABO ∠︒＝，则C ∠的度数为_____，17．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心．AD 的长为半径画弧，再以BC 为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S 1，阴影部分②的面积为S 2，则S 2-S 1的值为______．18．如图，O 的半径为4，定点P 在O 上，动点A ，B 也在O 上，且满足30APB ∠=︒，C 为PB 的中点，则点A 、B 在圆上运动的过程中，线段AC 的最大值为______，此时ACB =∠______．三、解答题19．解方程：(1)2310x x --=(2)()()25250x x x -+-=20．已知关于x 的一元二次方程2(3)2(1)0x m x m -+++=．(1)求证：不论m 为何值，方程总有实数根(2)若该方程有两根为1x ，2x ，且22125x x =+，求m 的值21．如图，在RtΔABC 中，∠BAC=90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆，交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接DE ．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA 的度数；（2）若AC=3，AB=4，求CD 的长．22．如果一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根x 1，x 2均为正数，其中x 1＞x 2，且满足1（1）判断直线BC与圆（2）若30∠= ，OPA24．新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和罩，今年8月份的进价如下表：普通口罩进价（元/包）8（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵价相同，求普通口罩和（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为降价1元时，日均销售量增加价销售，但要保证当天的利润为（3）疫情期间，该药店进货()a≤≤，该款口罩，剩余的6000700010，则N95口罩每包售价是于0025．（1）在图①中，已知⊙（2）在图②中，已知⊙作图，保留作图痕迹，不写作法）(1)如图，⊙O 的半径为1，点①在1(1,0)-P ，222,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭这两个点中，点②点A 的横坐标的最小值为_______(2)⊙O 的半径为1，点(1,0)A ，点是等边三角形，且△ABC 为⊙取值范围；(3)⊙O 的半径为r ，直线y =。
2023-2024学年江苏省无锡市锡东片九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）一元二次方程x 2﹣16＝0的解是（ ）A ．x 1＝2，x 2＝﹣2B ．x 1＝4，x 2＝﹣4C ．x 1＝8，x 2＝﹣8D ．x 1＝16，x 2＝﹣162．（3分）已知关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＝1B ．m ≥1C ．m ＜1D ．m ≠03．（3分）已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定4．（3分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB ＝4，那么AP 的长是（ ）A ．2√5−2B ．2−√5C ．2√5−1D ．√5−25．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．25π6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ）A ．560（1+x ）2＝315B ．560（1﹣x ）2＝315C ．560（1﹣2x ）2＝315D ．560（1﹣x 2）＝3157．（3分）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，若∠CBD ＝55°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．125°D ．110°8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD =AB BC ；④AC 2＝AD •AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，AB ＝2√61，AD ＝10，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（3分）如图，将正方形纸片ABCD 沿PQ 折叠，使点C 的对称点E 落在边AB 上，点D 的对称点为点F ，EF 为交AD 于点G ，连接CG 交PQ 于点H ，连接CE ．下列四个结论中：①△PBE ∽△QFG ；②S △CEG ＝S △CBE +S 四边形CDQH ；③EC 平分∠BEG ；④EG 2﹣CH 2＝GQ •GD ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．12．（3分）若y x =34，则x+y x 的值为 ．13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 ．14．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．15．（3分）如图，点D 、E 分别在AB 与AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，DE ＝3，则BC ＝ ．16．（3分）若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 ．17．（3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，连接AE 、CD 交于点F ，当△AFD 的面积为72时，△ABC 的面积为 ．18．（3分）矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，连结BD ，E ，F 分别在边BC ，CD 上，连结AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF ＝45°，BE ＝3，则DN 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）x 2+6x ﹣16＝020．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）求证：该方程总有两个实数根．21．（10分）如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝∠B ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，BD ＝2，求EC 的长．22．（10分）如图，∠BAC＝90°，点A在⊙O上，过点O作BA的平行线交AC于点E，交过点C的直线于点D，且∠D＝∠BCA．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝2，BC＝2√3，求CE的长．23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．（1）若每件降价2元，则每天可销售件；（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．（1）求证：∠BAC＝∠E；（2）若AB＝8，DC＝2，CE=3√10，求CF的长．25．（10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，当AP＝25时，求线段AM的长度．26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；②x2−2x+89=0；③6x2+x＝0；④13x2+2x+83=0，这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写出a，b，c的等量关系．27．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝4，∠ABC＝60°．点P为射线BC上一点，以BP为直径作⊙O交AB、DC于E、F两点．设⊙O的半径为x．（1）如图2，当⊙O与DP相切时，x＝；（2）如图3，当点P与点C重合时，①求线段CE长度；②求阴影部分的面积；（3）当⊙O与平行四边形ABCD边所在直线相切时，求x的值．28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，①求CF的长；②求PF的长；（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求AJDK的值及∠ARD的度数.2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x1＝4，x2＝﹣4C．x1＝8，x2＝﹣8D．x1＝16，x2＝﹣16【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣16＝0，∴x2＝16，解得：x1＝4，x2＝﹣4．故选：B．2．（3分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＝1B．m≥1C．m＜1D．m≠0【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＞0，解得m＜1．故选：C．3．（3分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（）A．2√5−2B．2−√5C．2√5−1D．√5−2【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝4×√5−12=2√5−2．故选：A．5．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：圆锥的侧面积=12×2π×4×5＝20π，故选：C．6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次降价后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2＝315，故选：B．7．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．105°C．125°D．110°【分析】设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，先由圆内接四边形的性质得∠E＝∠CBD＝55°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，如图所示：∵∠CBD＝55°．∴∠E＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：D．8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD =ABBC；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2√61，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M 上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=√(2√61)2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．10．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；△CDG③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG ＝∠ECM +∠GCM =12∠BCD ＝45°，由于EC ⊥HP ，则∠CHP ＝45°，由折叠可得：∠EHP ＝∠CHP ＝45°，则EH ⊥CG ；利用勾股定理可得EG 2﹣EH 2＝GH 2；由CM ⊥EG ，EH ⊥CG ，得到∠EMC ＝∠EHC ＝90°，所以E ，M ，H ，C 四点共圆，所以∠HMC ＝∠HEC ＝45°，通过△CMH ≌△CDH ，可得∠CDH ＝∠CMH ＝45°，这样，∠GDH ＝45°，因为∠GHQ ＝∠CHP ＝45°，易证△GHQ ∽△GDH ，则得GH 2＝GQ •GD ，从而说明④成立．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°．由折叠可知：∠GEP ＝∠BCD ＝90°，∠F ＝∠D ＝90°．∴∠BEP +∠AEG ＝90°，∵∠A ＝90°，∴∠AEG +∠AGE ＝90°，∴∠BEP ＝∠AGE ．∵∠FGQ ＝∠AGE ，∴∠BEP ＝∠FGQ ．∵∠B ＝∠F ＝90°，∴△PBE ∽△QFG ．故①正确；②过点C 作CM ⊥EG 于M ，由折叠可得：∠GEC ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠GEC ，在△BEC 和△MEC 中，{∠B =∠EMC =90°∠BEC =∠GECCE =CE， ∴△BEC ≌△MEC （AAS ）．∴CB ＝CM ，S △BEC ＝S △MEC ．∵CG ＝CG ，∴Rt △CMG ≌Rt △CDG （HL ），∴S △CMG ＝S △CDG ，∴S △CEG ＝S △BEC +S △CDG ＞S △BEC +S 四边形CDQH ，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠GEC ，即EC 平分∠BEG ．∴③正确；④连接DH ，MH ，HE ，如图，∵△BEC ≌△MEC ，△CMG ≌△CDG ，∴∠BCE ＝∠MCE ，∠MCG ＝∠DCG ，∴∠ECG ＝∠ECM +∠GCM =12∠BCD ＝45°，∵EC ⊥HP ，∴∠CHP ＝45°．∴∠GHQ ＝∠CHP ＝45°．由折叠可得：∠EHP ＝∠CHP ＝45°，∴EH ⊥CG ．∴EG 2﹣EH 2＝GH 2．由折叠可知：EH ＝CH ．∴EG 2﹣CH 2＝GH 2．∵CM ⊥EG ，EH ⊥CG ，∴∠EMC ＝∠EHC ＝90°，∴E ，M ，H ，C 四点共圆，∴∠HMC ＝∠HEC ＝45°．在△CMH 和△CDH 中，{CM =CD∠MCG =∠DCG CH =CH，∴△CMH ≌△CDH （SAS ）．∴∠CDH ＝∠CMH ＝45°，∵∠CDA ＝90°，∴∠GDH ＝45°，∵∠GHQ ＝∠CHP ＝45°，∴∠GHQ ＝∠GDH ＝45°．∵∠HGQ ＝∠DGH ，∴△GHQ ∽△GDH ，∴GQ GH =GH GD ，∴GH 2＝GQ •GD ，∴GE 2﹣CH 2＝GQ •GD ．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 34 千米．【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷11000000=3400000（厘米）＝34（千米）． 即实际距离是34千米．故答案为：34．12．（3分）若y x =34，则x+y x 的值为 74 ．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：由合比性质，得x+y x =3+44=74． 故答案为：74． 13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 ﹣3 ．【分析】根据根与系数的关系可得x 1+x 2=−b a =−m ，x 1x 2=c a =−3，把x 1＝1代入，可求x 2，进而可求m ．【解答】解：根据题意可得x 1x 2=c a =3，∵x 1＝﹣1，∴x 2＝﹣3，故答案为：﹣314．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 5 ．【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．【解答】解：∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．故答案为：5．15．（3分）如图，点D 、E 分别在AB 与AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，DE ＝3，则BC ＝ 9 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADES △ABC =（AD AB ）2，∵S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，∴S △ADE S △ABC =（AD AB ）2=19， ∴AD AB =13， ∵△ADE ∽△ABC ，DE ＝3，∴DE BC =AD AB ， ∴3BC =13，∴BC ＝9，故答案为：9．16．（3分）若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 90° ．【分析】利用弧长公式求解即可．【解答】解：设圆心角为n °．则有nπ×4180=2π，∴n ＝90，故答案为：90°．17．（3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，连接AE 、CD 交于点F ，当△AFD 的面积为72时，△ABC 的面积为 21 ．【分析】由题意可得S △ABE ＝S △ACE =12S △ABC ＝S △ADC ＝S △BDC ，S △AFD ＝S △BFD =72，S △CEF ＝S △BEF ，可求S △ABE ＝3S △AFD =212，即可求解．【解答】解：连接BF ，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴S △ABE ＝S △ACE =12S △ABC ＝S △ADC ＝S △BDC ，S △AFD ＝S △BFD =72，S △CEF ＝S △BEF ，∴S △CEF ＝S △AFD ＝S △BFD =72=S △BEF ，∴S △ABE ＝3S △AFD =212，∴S △ABC ＝21，故答案为：21．18．（3分）矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，连结BD ，E ，F 分别在边BC ，CD 上，连结AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF ＝45°，BE ＝3，则DN 的长为 12√55 ．【分析】根据矩形的性质，由勾股定理得出BD ，延长AB 至P ，使PB ＝AB ＝6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ，延长AE 交PQ 于H ，连接HF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点P 重合，得到△APG ，由旋转的性质可得PG ＝DF ，∠APG ＝∠ADF ＝90°，AG ＝AF ，∠P AG ＝∠DAF ，证出∠GAF ＝90°，得出∠GAH ＝∠F AH ＝45°，可证△AGH ≌△AFH ，得出GH ＝FH ，证出FH ＝DF +PH ，设DF ＝x ，则FQ ＝DQ ﹣DF ＝12﹣x ，利用勾股定理列出方程求出x ＝4，然后由DF ∥AB ，得△DFN ∽△BAN ，所以DF AB =DN BN =46=23，即可求出DN 的长． 【解答】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，∴BD =√AB 2+AD 2=√62+122=6√5，如图，延长AB 至P ，使PB ＝AB ＝6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ， 延长AE 交PQ 于H ，连接HF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点P 重合，得到△APG ，∵四边形APQD 是正方形，∴AP ＝PQ ＝DQ ＝AD ，∠P AD ＝∠APH ＝∠Q ＝∠ADQ ＝90°，由旋转得：△APG ≌△ADF ，∴PG ＝DF ，∠APG ＝∠ADF ＝90°，AG ＝AF ，∠P AG ＝∠DAF ，∴∠P AG +∠P AF ＝∠DAF +∠P AF ＝∠P AD ＝90°，即∠GAF ＝90°，∵∠HAF ＝45°，∴∠GAH ＝90°﹣45°＝45°，∴∠GAH ＝∠F AH ＝45°，在△AGH 和△AFH 中，{AG =AF∠GAH =∠FAH AH =AH，∴△AGH ≌△AFH （SAS ），∴GH ＝FH ，∵GH ＝PG +PH ＝DF +PH ，∴FH ＝DF +PH ，设DF ＝x ，则FQ ＝DQ ﹣DF ＝12﹣x ，∵AB ＝BP ＝6，BE ∥PQ ，∴AE ＝EM ，∴PH ＝2BE ＝2×3＝6，∴FH ＝DF +PH ＝x +6，HQ ＝PQ ﹣PH ＝12﹣6＝6，在Rt △QFH 中，由勾股定理得：FQ 2+HQ 2＝FH 2，∴（12﹣x ）2+62＝（x +6）2，解得：x ＝4，∴DF ＝4，∵DF ∥AB ，∴△DFN ∽△BAN ，∴DF AB =DN BN =46=23， ∴DN =25BD =25×6√5=12√55． 故答案为：12√55．三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x2+6x﹣16＝0【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法把方程转化为x+8＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±√2，所以x1＝1+√2，x2＝1−√2；（2）x2+6x﹣16＝0，（x+8）（x﹣2）＝0，x+8＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣8，x2＝2．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）求证：该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．【解答】（1）解：当x＝2时，4﹣2m+m﹣1＝0，∴﹣m＝1﹣4，∴m＝3，∴x1+x2＝3，∴另一个根是1；（2）证明：Δ＝（﹣m ）2﹣4×1×（m ﹣1）＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根．21．（10分）如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝∠B ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，BD ＝2，求EC 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由外角的性质可得∠BAD ＝∠CDE ，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠CDE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）∵△ABD ∽△DCE ，∴AB DC =BD EC∴EC =85．22．（10分）如图，∠BAC ＝90°，点A 在⊙O 上，过点O 作BA 的平行线交AC 于点E ，交过点C 的直线于点D ，且∠D ＝∠BCA ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝2，BC ＝2√3，求CE 的长．【分析】（1）根据题意得出BC为圆O直径，根据平行线的性质及垂直的定义推出OE⊥CA，根据直角三角形的性质得出∠D+∠DCE＝90°，等量代换推出∠BCD＝90°，则BC⊥CD，根据切线的判定定理即可得解；（2）利用勾股定理求出AC，可得结论．【解答】（1）证明：∵BA∥OD，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠D＝∠BCA，∴∠BCA+∠DCE＝∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∴CD是圆O的切线；（2）解：∵AB＝2，BC＝2√3，∠BAC＝90°，∴AC=√BC2−AB2=√(2√3)2−22=2√2，∵OB＝OC，OE∥AB，∴AE＝EC，∴EC=12AC=√2．23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．（1）若每件降价2元，则每天可销售64件；（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？【分析】（1）根据该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，列式计算即可；（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可．【解答】解：（1）48+（2÷0.5）×4＝48+16＝64， 故答案为：64；（2）设每件应降价y 元， 依题意，得（40﹣30﹣y ）（48+4y 0.5）＝504，整理，得y 2﹣4y +3＝0， 解方程，得 y ＝1，y ＝3， 要尽快减少库存，所以取y ＝3． 答：每件应降价3元．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D ，弦CE 与AB 交于点F ，连接AE ，AC ，BC ． （1）求证：∠BAC ＝∠E ；（2）若AB ＝8，DC ＝2，CE =3√10，求CF 的长．【分析】（1）由垂径定理推出AC ̂=BC ̂，即可得到∠BAC ＝∠E ； （2）由勾股定理求出AC 的长，由△ACF ∽△ECA ，得到AC EC=CF CA，代入有关数据即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：∵OC ⊥AB OC 是⊙O 的半径 ∴AD ＝BD ，AC ̂=BC ̂， ∴∠BAC ＝∠E ；（2）解：∵∠BAC ＝∠E ， ∵∠ACF ＝∠ECA ， ∴△ACF ∽△ECA ， ∴AC EC=CF CA，∵AB ＝8， ∴AD ＝BD ＝4，∵∠ADC ＝90° AD ＝4，CD ＝2∴AC =√AD 2+CD 2=2√5， ∴√53√10=2√5，∴CF =2√103．25．（10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝10，AC 为对角线，P 是边BC 延长线上一点，连接AP ．（1）在线段AP 上求作点M ，使得∠AMC ＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图条件下，当AP ＝25时，求线段AM 的长度．【分析】（1）作△ABC 的外接圆交AP 于点M ，根据菱形的性质和圆周角定理即可得∠AMC ＝120°； （2）根据菱形ABCD 中，∠B ＝60°，可得△ABC 是等边三角形，证明△CAM ∽△P AC ，可得AM AC=AC AP，进而可得AM 的长度．【解答】解：（1）如图，点M 即为所求；（2）菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝10，∠ACB ＝60°，∴∠ACP ＝120°， ∵∠CAM ＝∠P AC ， ∴△CAM ∽△P AC ， ∴AM AC=AC AP，∴AM =AC 2AP =10025=4．26．（10分）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是x 1＝2，x 2＝4，则方程x 2﹣6x +8＝0是“倍根方程”．（1）方程①x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2−2x +89=0；③6x 2+x ＝0；④13x 2+2x +83=0，这几个方程中，是倍根方程的是 ②④ （填序号即可）；（2）若关于x 的方程（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0是“倍根方程”，求代数式m 2+2m +2的值；（3）若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程，请直接写出a ，b ，c 的等量关系． 【分析】（1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断；（2）利用因式分解法解方程得到x 1＝2，x 2＝m ，再根据新定义m ＝4或m ＝1，然后把m ＝4或m ＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；（3）设方程的根的两根分别为t 、2t ，根据根与系数的关系得t +2t =−b a，t ⋅2t =c a，然后求出α，再计算对应的t 的值，可得结论． 【解答】解：（1）①x 2﹣x ﹣2＝0， 解得x 1＝2，x 2＝﹣1； ②x 2−2x +89=0， 解得x 1=23，x 2=43； ③6x 2+x ＝0，解得x 1＝0，x 2=−16； ④13x 2+2x +83=0，解得x 1＝﹣2，x 2＝﹣4， ∴②④是“倍根方程”． 故答案为：②④；（2）（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣m ＝0， 解得x 1＝2，x 2＝m ，∵（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0是“倍根方程”， ∴m ＝4或m ＝1，当m ＝4时，m 2+2m +2＝16+8+2＝26； 当m ＝1时，m 2+2m +2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m 2+2m +2的值为26或5；（3）∵一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程， ∴设方程的两根分别为t ，2t ，根据根与系数的关系得t +2t =−ba ，t •2t =ca ， ∴t =−b3a ， ∴2（−b3a ）2=ca ， ∴2b 2＝9ac ．27．（10分）如图1，平行四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，∠ABC ＝60°．点P 为射线BC 上一点，以BP 为直径作⊙O 交AB 、DC 于E 、F 两点．设⊙O 的半径为x ． （1）如图2，当⊙O 与DP 相切时，x ＝ 4 ； （2）如图3，当点P 与点C 重合时， ①求线段CE 长度； ②求阴影部分的面积；（3）当⊙O 与平行四边形ABCD 边所在直线相切时，求x 的值．【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AB ∥CD ，AB ＝CD ＝8，得出∠DCP ＝∠ABC ＝60°，再由切线的性质可得DP ⊥BP ，得出∠CDP ＝30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可得CP =12CD＝4，推出⊙O 的直径BP ＝8，即可得出答案； （2）①运用勾股定理即可求得答案；②如图2，连接OE ，利用圆周角定理可得出∠BOE ＝2∠BCE ＝60°，过点E 作EH ⊥OB 于H ，则∠OEH ＝30°，利用勾股定理可求得EH =√3，再运用扇形面积公式和三角形面积公式即可求得答案； （3）分两种情况：①当⊙O 与直线CD 相切时，由切线性质可得∠OFC ＝90°，进而可得OB ＝OF ＝x ，OC ＝4﹣x ，CF =12（4﹣x ），再由勾股定理建立方程求解即可；②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT ＝OB ＝x ，证明四边形ACOT 是矩形，即可得出答案【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝8，BC ＝4，∠ABC ＝60°．∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝8， ∴∠DCP ＝∠ABC ＝60°， ∴∠CDP ＝90°﹣∠DCP ＝30°， ∴CP =12CD ＝4， ∴⊙O 的半径x ＝4； （2）①∵点P 与点C 重合， ∴BC 为⊙O 的直径，∴∠BCE ＝90°﹣∠CBE ＝30°， ∴BE =12BC ＝2， 在Rt △BCE 中，CE =√BC 2−BE 2=√42−22=2√3； ②如图2，连接OE ， ∵BÊ=BE ̂， ∴∠BOE ＝2∠BCE ＝60°，∴OH =12OE ＝1，∴EH =√OE 2−OH 2=√22−12=√3， ∴S 阴影＝S 扇形OBE ﹣S △OBE=60π×22360−12×2×√3=2π3−√3；（3）①当⊙O 与直线CD 相切时，如图3，∴OF ⊥CD ， ∴∠OFC ＝90°， ∵∠OCF ＝∠ABC ＝60°， ∴∠COF ＝30°，∴CF =12OC ， ∵OB ＝OF ＝x ，∴OC ＝4﹣x ，CF =12（4﹣x ）， ∵CF 2+OF 2＝OC 2，∴[12（4﹣x ）]2+x 2＝（4﹣x ）2，解得：x ＝﹣12+8√3或x ＝﹣12﹣8√3（舍去），②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT＝OB＝x，取AB的中点G，连接CG，∴BG＝AG=12AB＝4＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△BCG是等边三角形，∴CG＝BC＝4＝AG，∴∠BAC＝∠ACG＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AC=√82−42=4√3，∴∠ACO＝90°，∴∠TOC＝∠DTO＝∠ATO＝90°＝∠ACO，∴四边形ACOT是矩形，∴x＝OT＝AC＝4√3；综上所述，x＝﹣12+8√3或4√3．28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，①求CF的长；②求PF的长；（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求AJDK的值及∠ARD的度数.【分析】（1）①利用菱形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②过点A 作AT ⊥BC 于点T ，利用菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理求得AE 的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得AP ，AF ，则PF ＝AF ﹣AP ；（2）过点B 作BE ⊥AD ，交DA 的延长线于点E ，过点N 作NF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，利用菱形，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论； （3）连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O ，连接BK ，JL ，BK 与JL 交于点O ′，BD 与AR 交于点W ，利用菱形的性质，旋转的性质和相似三角形的判定与性质得到△ABJ ∽△DBK ，再利用相似三角形的性质得出结论；利用相似三角形的对应角相等，三角形的内角和定理和菱形的性质解答即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ∥AB ，BC ＝AB ＝2， ∴△EFC ∽△EAB ， ∴CF AB =EC EB ， ∴CF 2=44+2，∴CF =43；②过点A 作AT ⊥BC 于点T ，如图，∵∠ABC ＝60°，AB ＝2， ∴∠BAT ＝30°，∴BT ＝1，CT ＝BC ﹣BT ＝1， ∴AT =√AB 2−BT 2=√3， ∵CE ＝4， ∴TE ＝CT +CE ＝5，∴AE =√AT 2+TE 2=√3+25=2√7． ∵AD ∥BC ， ∴△APD ∽△EPB ， ∴AD BE =AP PE，∴26=AP PE，∴AP =13PE =14AE =√72．∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△ECF ， ∴AD CE =AF EF，∴24=AF EF ，∴AF =12EF =13AE =2√73， ∴PF ＝AF ﹣AP =√76；（2）过点B 作BE ⊥AD ，交DA 的延长线于点E ，过点N 作NF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，如图，∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，NF ⊥AD ， ∴四边形BEFN 为矩形， ∴BE ＝NF ．∵∠ABC ＝60°，AB ＝2， ∴∠ABE ＝30°， ∴AE =12AB ＝1，∴BE =√AB 2−AE 2=√3， ∴NF ＝BE =√3． ∵M 是AD 的中点， ∴AM =12AD ＝1， ∴EM ＝AE +AM ＝2， ∴BM =√BE 2+EM 2=√7． ∴MG =√BM 2−BG 2=√6． ∵MN ⊥BM ，∴∠BME +∠NMF ＝90°，∵∠EBM +∠EMB ＝90°， ∴∠EBM ＝∠FMN ． ∵∠BEM ＝∠MFN ＝90°， ∴△BEM ∽△NFM ， ∴ME MB =NF NM，∴√7=√3NM， ∴NM =√212．∵MN ⊥BM ，∴∠BMG +∠NMQ ＝90°， ∵∠BMG +∠MBG ＝90°， ∴∠MBG ＝∠＝NMQ ． ∵∠BGM ＝∠MHN ＝90°， ∴△MGB ∽△NHM ， ∴BM BG=NM MH，∴√71=√212MH， ∴MH =√32．∴GH ＝MG ﹣MH =√6−√32；（3）连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O ，连接BK ，JL ，BK 与JL 交于点O ′，BD 与AR 交于点W ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AC ⊥BD ，AO =12AC ，BO =12BD ，∠ABO =12∠ABC ＝30°，第31页（共31页） ∴AO =12AB ＝1，BO =√3，∴BD ＝2√3，∴BD AB =2√32=√3．∵四边形ABCD 是菱形，分别过点J ，L 作BC ，AB 的平行线，BJ ＝BL ， ∴四边形BJKL 是菱形，∠JBL ＝60°，∴BK ⊥JL ，BO ′=12BK ，JO ′=12JL ，∠JBO ′=12∠JBL ＝30°， ∴BO′BJ =cos30°=√32， ∴BK BJ =√3． ∴BD AB =BK BJ ．∵∠ABJ 和∠DBK 为旋转角，∴∠ABJ ＝∠DBK ，∴△ABJ ∽△DBK ，∴AJ DK =AB BD =√3=√33． ∵△ABJ ∽△DBK ，∴∠BAJ ＝∠BDK ．∵在△ABW 和△DRW 中，∵∠BAJ ＝∠BDK ，∠BWA ＝∠DWR ，∴∠ABW ＝∠ARD ，∴∠ARD ＝∠ABW ＝∠ABD ＝30°．。
2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )A. 3(x+2)=8B. 3x2+6x=8C. ax2+bx+c=0D. 1=1x+22. 一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3. 某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸(单位：码)整理后的数据如下：36，38，38，39，40，40，41，41，41，41，42，43，44.那么这组数据的中位数和众数分别为( )A. 40，40B. 41，40C. 40，41D. 41，414. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次( )A. 正面朝上的可能性大B. 反面朝上的可能性大C. 正面朝上与反面朝上的可能性一样大D. 无法确定5. 在直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则P(3,4)与⊙O的位置关系为( )A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O内D. 无法确定6. 下列命题中正确的是( )A. 三点确定一个圆B. 在同圆中，同弧所对的圆周角相等C. 平分弦的直线垂直于弦D. 相等的圆心角所对的弧相等7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC=40°，则∠A的度数为( )A. 105°B. 110°C. 115°D. 120°8. 如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E=42°，则∠CDB等于( )A. 22°B. 24°C. 28°D. 48°9. 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( )A. 52√3 B. 3√3 C. 3√2 D. 4√210. 如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )A. √2+1B. √2+12C. 2√2+1 D. 2√2−12二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 一元二次方程x2−x=0的解是______．12. 一元二次方程2x2+4x−1=0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是______．13. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”.掷小正方体后，朝上的一面数字为2的概率是______ ．14. 一组数据5、8、6、7、4的方差为______．15. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是______．16. 在半径为3的⊙O中，弦AB的长是3√3，则弦AB所对的圆周角的度数是______．17. 如图所示，一个半径为1的圆过一个半径为√2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为______．18. 如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最大值是______．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。
江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+1x2=0B. ax2+bx+c=0C. (x−1)(x+2)=1D. 3x2−2xy−5y2=02.方程x2-4x-3=0的解的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根3.一元二次方程2x2+6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，6，9B. 6，2，9C. 2，6，−9D. 6，2，−94.下列语句中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 在同一平面上的三点确定一个圆C. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等5.等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A. 3：2：1B. 1：2：3C. 2：3：1D. 3：1：26.如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD等于（）A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘7.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx+12与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（）A. 24B. 10C. 8D. 259.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）10.如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于G，BD和AF相交于H，那么四边形BEGH的面积是（）A. 13B. 25C. 715D. 815二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一元二次方程x（x+2）=0的根为______．12.用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______．13.若关于x的方程x2+2（k-1）x+k2=0有两个不等实根，则k的取值范围是______．14.已知a为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）-15=0，则代数式a2+b2的值为______．15.如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论正确的是______．①AE⊥AF；②EF：AF=2：1；③AF2=FH•FE；④FB：FC=HB：EC．16.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为______时，△ADP和△ABC相似．17.如图，已知⊙O与Rt△AOB的斜边交于C，D两点，C、D恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于5，则AB的长为______．18.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.（1）计算：（-2）-2×|-3|-（6）0（2）解不等式组：2x+1＞x−1x−1≤13(2x−1)四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.解方程：（1）x2-3x=1（2）x（x-3）=3-x21.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．22.已知△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，AE=52，DE⊥AC．且DE=DB，求AD的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．24.某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价-进价）×售出件数）25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．26.如图1，Rt△ACB中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．（1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；（2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线段AC的黄金分割点（即DCAD=ADAC），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．27.如图，直线11∥l2，⊙O与11和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1=60°（1）当MN与⊙O相切时，求AM的长；（2）当∠MON为多少度时，MN与⊙O相切，并给出证明．28.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动：与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts （1）当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，⊙P与边BC公答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．故选：C．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：在方程x2-4x-3=0中，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：A．计算判别式的值即可得．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3.【答案】C【解析】解：方程整理得：2x2+6x-9=0，则二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-9．故选：C．方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4.【答案】D【解析】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；C、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误；D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确；故选：D．根据圆的有关概念、确定圆的条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可．本题考查了圆的有关的概念，属于基础知识，必须掌握．5.【答案】B【解析】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH=30°，∴点O在AH上，∴OH=r，连接OB，∴∠ABO=∠CBO=30°，∴OA=OB，在Rt△OBH中，OB=2OH=2r，∴AH=2r+r=3r，∴OH：OA：AH=1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，利用等边三角形的性质得AH平分∠BAC，则可判断点O在AH上，所以OH=r，连接OB，再证明OA=OB=2r，则AH=3r，所以OH：OA：AH=1：2：3．本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．6.【答案】B【解析】解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD=∠B=60°．（弦切角定理）故选：B．由于弦切角∠DAC所夹弧的圆周角正好是∠B，因此可直接利用弦切角定理求解．本题主要考查弦切角定理的应用．7.【答案】D【解析】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选：D．根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．解：对于直线y=kx+12，当x=0时，y=12，故直线y=kx+12恒经过点（0，12），记为点D．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图BC⊥OD，连接OB，∴OB=13，OD=12，由勾股定理得：BD=5，∴BC=2BD=10，故选：B．易知直线y=kx+12过定点D（0，12），得OD=12，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（，12）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．对应边成比例，列方程解答即可．本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．10.【答案】C【解析】解：∵BC∥AD，∴△BFH∽△DAH，且相似比为1：2，∴△ADH的面积为×2×=，△FBH的面积为×1×=，又∵，∴△ABF≌△DAE，（SAS）∴∠BAF=∠ADE，∠BAF+∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∴△AEG∽△EDA，∴=，=，解得AG=，EG=，∴△AEG的面积=，∴四边形BEGH=×2×2--=．故选：C．根据BC∥AD，可证△ADH∽△FBH，可以计算△ADH的面积，根据△AEG∽△DEA可以求△AEG的面积，即可解题．本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中求△AEG，△ABH的面积是解题的关键，难度较大，注意知识点的融会贯通．11.【答案】x=0或x=-2【解析】解：∵x（x+2）=0，∴x=0或x+2=0，根据两整式相乘为0，两整式至少有一个为0得到x与x+2中至少有一个为0，即可求出方程的解．此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12.【答案】20【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=，解得：r=20，故圆锥的底面半径为10．故答案为：20．根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．13.【答案】k＜12【解析】解：根据题意得△=4（k-1）2-4k2＞0，解得k＜．故答案为k＜．根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．14.【答案】3【解析】解：设x=a2+b2，方程化为x2+2x-15=0，可得x-3=0或x+5=0，解得：x=3或x=-5，∵a2+b2≥0，∴a2+b2=3．故答案为：3设x=a2+b2，方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2+b2的值．此题考查了换元法解一元二次方程，做题时注意a2+b2的值为非负数这个隐含条件．15.【答案】①②④【解析】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，故此选项①正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，故此选项②正确；∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故此选项③错误，∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，故此选项④正确．故选：①②④．由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否．此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键．16.【答案】4或9【解析】解：当△ADP∽△ACB时，∴=，∴=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴=，∴=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论是解题的关键．17.【答案】310【解析】解：过O作OH⊥AB，∴CH=DH，∵AC=BD=AB，∴AH=BH，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OH=AH，设AC=CD=BD=x，∴AH=OH=1.5x，∴CH2+OH2=OC2，∴（x）2+（x）2=52，∴x=，∴AB=3，故答案为：3．过O作OH⊥AB，由陈经理得到CH=DH，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OH=AH，设AC=CD=BD=x，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18.【答案】π2【解析】解：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC=BC=，∠ACB=90°，∴AB==2，∴OP=AB=1，∵CM=MP，CK=OK，∴MK=OP=，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长=•2•π•=，故答案为．如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得KM=，推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆．本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．19.【答案】解：（1）原式=1(−2)2×3-1=14×3-1=-14；（2）2x+1＞x−1①x−1≤13(2x−1)②解①，得x＞-2，解②，得x≤2，∴不等式组的解集为-2＜x≤2．（1）先化简（-2）-2、|-3|、0，再计算；（2）先求出组中每个不等式的解，再确定不等式组的解．本题考查了实数的运算、一元一次不等式组的解法，解决本题的关键是掌握零指数、负整数指数幂的意义及不等式组的解法．20.【答案】解：（1）x2-3x=1，x2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=13，∴x=3±132×1=3±132，∴x1=3+132，x2=3−132；（2）x（x-3）=3-x，x（x-3）+（x-3）=0，（x-3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【解析】（1）整理成一般式，利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21.【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（-2，-2）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．22.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，△ADE∽ABC，∴DEBC=ADAB，即5−AD3=AD5，解得AD=258，故AD的长为258．【解析】先由勾股定理求出AB的长，然后△ADE∽ABC列出方程即可求得AD的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，根据三角形相似的性质正确列出方程是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵OB=4，∴B（0，4）∵A（-2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则−2k+b=0b=4，解得k=2b=4，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴12AD•OB=5，∴12（m+2）•m=5，即m2+2m-10=0，解得m=-1+11或m=-1-11（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B的运动路径长为：14×2π×（-1+11）=−1+112π．【解析】（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积公式和弧长计算，难度一般．24.【答案】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意，得：（x-5）[32-4（x-9）]=140，解得：x1=12、x2=10，答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元．（2）根据题意，得：y=（x-5）[32-4（x-9）]=-4x2+88x-340=-4（x-11）2+144，故当x=11时，y最大=144，（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；（2）根据题中等量关系为：利润=（售价-进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价-进价）×售出件数是解答此题的关键．25.【答案】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴S△AFD=S△OFA，∴S阴=S扇形OFA，∵OD=OA=2，AB=6，∴OB=4，∴OB=2OD，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∵OF=OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∴S阴=S扇形OFA=60π⋅22360=2π3．【解析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴=S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题；本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．26.【答案】解：（1）如图1，⊙O为所作；（2）BD与⊙O相切．理由如下：连接OD，如图1，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠CBD=∠A，∴∠CBD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB=CB：CA，∴CB2=CD•CA，∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD2=CD•AC，∵AD=CB，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，在△ADE和△BCD中∠A=∠CBDAD=BC∠ADE=∠C，∴△ADE≌△BCD，∴DE=DC，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴四边形CDEF为矩形，∴四边形DEFC是正方形．【解析】（1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆；（2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；（3）先证明△CDB∽△CBA得到CB2=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到AD2=CD•AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形．本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆周角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分割的定义；会作线段的垂直平分线．27.【答案】（1）解：当MN与⊙O相切，如图，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，∠AMO=12∠AMN=12×60°=30°，在Rt△AMO中，tan∠AMO=OAAM，即AM=133=3，在Rt△OBN中，∠ONB=12∠BNM=60°，tan∠ONB=OBBN，即BN=13=33，当MN在AB右侧时，AM=33，∴AM的长为3或33；（2）当∠MON=90°时，MN与⊙O相切；证明：作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图，∵⊙O与11和l2分别相切于点A和点B．∴∠OAF=∠OBN=90°，∵直线11∥l2，∴A、O、B共线，在△OAF和△OBN中，∠AOF=∠BON∠OAF=∠OBNOA=OB∴△OAF≌△OBN（AAS），∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN为⊙O的切线．【解析】（1）连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN 中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；（2）当∠MON=90°时，MN与⊙O相切，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切28.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=12∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；如图1，连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC，∴OB=12AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA=3（cm），AC=2OA=23（cm），运动ts后，AP=3t，AQ=t，∴APAQ=ACAB=3，又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=12PC=3-32t由PM=PQ=AQ=t，即3-32t=t解得t=43-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；∴当0≤t＜43-6时，⊙P与边BC有0个公共点；如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1∴当43-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即23-3t=t，∴t=3-3．∴当1＜t≤3-3时，⊙P与边BC有一个公共点，当3-3＜t＜2时，⊙P与边BC有0个公共点；当点P运动到点C，即t=2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时，⊙P 与边BC有一个公共点，综上所述：当0≤t＜43-6或3-3＜t＜2时，⊙P与边BC有0个公共点；当t=43-6或1＜t≤3-3或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当43-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点；【解析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=PC=-t，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值，由此即可判断；本题考查菱形的性质，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）A．2024B．2023C．2022D．20213．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝574．（3分）下列说法正确的是（ ）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）A．B．C．∠AED＝∠C D．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．47．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）A．8B．4C．3.5D．39．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（ ）A．B．C．D．5二.填空题（共8小题）11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ ．12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 cm2．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ （结果保留π）．15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 ．16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H 为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 ．17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．三.解答题（共10小题）19．解方程：（1）（x﹣1）2＝36；（2）2x2﹣7x+3＝0．20．解方程：（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．27．【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC 于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．（1）求证：∠AED＝∠ABC．（2）若，求CE的长．（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【解答】解：A、2x+1＝0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；C、x2+y＝1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．2．（3分）若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（ ）A．2024B．2023C．2022D．2021【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将m代入方程得m2﹣2m﹣3＝0，再整体代入即可得解．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，∴m2﹣2m﹣3＝0．∴m2﹣2m＝3．∴2026﹣m2+2m＝2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣3＝2023．故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键．3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ）A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，⇒x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故选：A．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）下列说法正确的是（ ）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对C、D进行判断．【解答】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．原式考查了圆心角、弦、弧的关系和三角形的外接圆．5．（3分）在△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（ ）A．B．C．∠AED＝∠C D．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：如图：A、，不能判定DE∥BC，故A符合题意；B、∵，∴DE∥BC，故B不符合题意；C、∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，故C不符合题意；D、∵，∴DE∥BC，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】连接OC，由垂径定理求出EC的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．【解答】解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴EC＝CD＝×6＝3，∵AB＝10，∴OC＝OA＝5，∴OE＝＝4，∴AE＝OA﹣OE＝1．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理求出CE 的长，由勾股定理求出OE的长．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且点D在上．若∠D＝130°．则∠CAB的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B＝50°，再求出∠CAB即可．【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝130°，∴∠B＝50°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）A．8B．4C．3.5D．3【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到结论．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，∴DE＝，∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，∵DE+DF＝6.5，∴EF＝10.5﹣6.5＝4，故选：B．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．9．（3分）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和定理得到∠ABE＝＝108°，等量代换得到∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在正五边形ABEFG中，∠ABE＝＝108°，∵将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，∴∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝108°+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BAC＝36°，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAC＝36°，∴∠BCD＝∠BAC，AD＝CD＝BC，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∵AB＝BC+1，∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣BC＝1，∴＝，∴BC＝，∴AB＝BC+1＝，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．10．（3分）如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD＝4，则AC为（ ）A．B．C．D．5【分析】连接BD、CD、BI，由已知可得BD＝CD＝4，进而可证ID＝BD＝4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，利用OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．【解答】解：连接BD、CD、BI，∵I为△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∴，∴BD＝CD＝4，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI＝∠DAB+∠ABI＝∠BID，∴ID＝BD＝4，∵OI⊥AD，∴AD＝2ID＝8，∴AB＝，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE＝x，则OE＝AB﹣x＝2﹣x，∵OB2﹣OE2＝BD2﹣DE2，∴（2）2﹣（2﹣x）2＝42﹣x2，解得：x＝，∴BE＝，∴BC＝2BE＝，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD＝2BD是解此题的关键，有一定的难度．二.填空题（共8小题）11．（3分）若方程x2﹣ax+3＝0的一个根为1，则a＝ 4 ．【分析】把x＝1代入原方程得到关于a的方程1﹣a+3＝0，然后解方程即可．【解答】解：把x＝1代入原方程得，1﹣a+3＝0，解得a＝4．故答案为4．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义：使方程左右两边成立的未知数的值叫方程的解．12．（3分）已知圆锥的底面半径是5cm，母线长10cm，则侧面积是 50π cm2．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π（cm），则圆锥的侧面积是：．故答案为：50π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜2且m≠1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2且m≠1．故答案为m＜2且m≠1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．（3分）如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝ π （结果保留π）．【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．【解答】解：由作图知：OP垂直平分AB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∵扇形的半径是1，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．15．（3分）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则⊙O与直线l的位置关系为 相离 ．【分析】首先求出方程的根，得到圆心O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【解答】解：∵x2﹣4x﹣5＝0，∴（x+1）（x﹣5）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∵点O到直线l距离是方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，∴x＝5，∴点O到直线l的距离d＝5，∵r＝4，∴d＞r，∴直线l与圆相离，故答案为：相离．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，解决问题的关键是掌握比较圆心到直线的距离d与圆的半径r大小关系判定直线与圆的位置关系．16．（3分）如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H 为AF与DG的交点．若HD＝3，则AC的长为 18 ．【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，可求出EF的长，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出AC的长．【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵HD＝3，AE＝2AD，∴3：EF＝AD：2AD，∴EF＝6，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵EF＝6，AB＝3BE，∴6：AC＝BE：3BE，∴AC＝18，故答案为：18．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．17．（3分）如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为 ．【分析】连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，根据FE//BC得△DOF∽△DBC，然后设圆的半径为r，OE＝OC＝r，求出r＝5﹣x，用含x的式子表示出OF，CF，OC，再在△OCF中，利用勾股定理构建方程求出x，继而可得答案．【解答】解：连接OE，并延长EO交点CD于点F，连接OC，设半径为r，AE＝x，则BE＝4﹣x，则EF⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，∴EF∥BC，∴△DOF∽△DBC，四边形BCFE是矩形，∴，即＝，CF＝BE＝4﹣x，∴r＝5﹣x，则OF＝x，CF＝4﹣x，在Rt△OCF中，∵CF2+OF2＝OC2，∴（4﹣x）2+（x）2＝（5﹣x）2，解得x＝或x＝﹣6（舍），则r＝5﹣x＝，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一动点，以AC为边在其左侧作正方形ACEF．连接BF，则的最大值为 ．【分析】连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B，先求出点F在以r为半径的⊙O上运动，取得BF最大值为BO1+r，再根据勾股定理求出BO1＝r，最后代入化简即可．【解答】解：连接OC，把△AOC绕点A顺时针旋转90°，得到△AO1F，连接O1B．设AO＝OC＝r，则AB＝2r，∴O1F＝OC＝r，∴点F在以r为半径的⊙O上运动，∴当点F运动至BO1的延长线与⊙O1的交点处（B，O1，F三点共线）时，BF取得最大值，最大值为BO1+r．在Rt△AO1B中，BO1＝＝r，∴BF的最大值为（+1）r，∴的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，求圆上一点到圆外一点的最短距离，熟练掌握各知识点是解题的关键．三.解答题（共10小题）19．解方程：（1）（x﹣1）2＝36；（2）2x2﹣7x+3＝0．【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x﹣1＝±6，∴x1＝7，x2＝﹣5；（2）（2x﹣1）（x﹣3）＝0，2x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣直接开平方法，解决本题的关键是掌握因式分解法和直接开平方法．20．解方程：（1）（x﹣5）2＝2x﹣10；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）方程整理，得：（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，因式分解，得：（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0．于是，得：x﹣5＝0或x﹣7＝0，解得x1＝5，x2＝7；（2）（2x﹣5）2﹣（2x﹣5）﹣2＝0．因式分解得：（2x﹣5+1）（2x﹣5﹣2）＝0，即（2x﹣4）（2x﹣7）＝0，∴2x﹣4＝0或2x﹣7＝0，解得：x1＝2，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．21．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求m的值．【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可求解．（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．【解答】解：（1）有两个不相等的实数根，理由如下：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝m2+2m+13＝（m+1）2+12，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+12≥12，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得：x1x2＝m﹣1，x1+x2＝m+3，∴3x1﹣x1x2+3x2＝3（x1+x2）﹣x1x2＝3（m+3）﹣（m﹣1）＝12，解得：m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．22．如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．【分析】（1）先由角平分线的定义说明∠BAC＝∠EAD，再由已知可得结论；（2）先由（1）三角形相似得∠B＝∠E，再由已知角平分线的定义、公共角可得△BDF∽△BAD，代入计算得结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（2）解：由（1）知△AED∽△ABC，∴∠B＝∠E．又∵∠EFA＝∠BFD，∴∠EAB＝∠EDB．∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EDB＝∠BAD．又∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD．∴＝．∴AB＝＝＝．答：AB的长为．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握角平分线的定义和相似三角形的性质与判定是解决本题的关键．23．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？（2）能否通过降价使商店每天盈利达到1600元？请说明理由．【分析】（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（2）解：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设每件工艺品单价应降x元（x＜40），则当天销售量为（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1050，整理，得x2﹣30x+125＝0，解得：x1＝25，x2＝5（不合题意，舍去）．答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，每件工艺品单价应降25元；（2）不能，理由如下：设每件工艺品单价应降为y元（y＜40），则当天的销售量为（20+2y）件，依题意，得：（40﹣y）（20+2y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到1600元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．24．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．【分析】（1）如图1，连接AD，由于AB为直径，则∠ADB＝90°，由于AB＝AC，所以AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠EAD，于是得到BD＝DE；（2）如图2，延长CA交圆于E，连接BE、DE，与（1）一样得到∠BAD＝∠DAC，而∠DAC＝∠DBE，所以∠DBE＝∠BAD，所以DE＝BD．【解答】解：（1）如图1，DE为所作：（2）如图2，DE为所作：【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．25．如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝12，求DF和AE的长．【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后可得OC是△ABC的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；（2）由（1）知，则根据勾股定理可得AD＝8，然后根据等积法可得，进而可得△CDE∽△CAB，则根据相似三角形的性质可进行求解．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴DC＝DB，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，在△ABD中，由勾股定理得，，由得，；∵∠DCE＝∠ACB，∠CED＝∠CBA，∴△CDE∽△CAB，∴，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．如图，平行四边形ABCD的面积为96，AB＝10，BC＝12，∠B为锐角．点E在边BC上，过点E作边BC的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在EF的右侧作正方形EFGH．（1）如果点G在对角线AC上，则正方形EFGH的面积为 ；（2）设EF与对角线AC交于点P，如果点G与点D重合，求AP：CP的值；（3）如果点F在边AB上，且△GCH与△BEF相似，求BE的长．【分析】（1）过A作AM⊥BC垂足为M，根据面积计算出AM＝8，根据勾股定理计算出，从而得到AM垂直平分BC，再证明△BEF≌△CHG得到BE＝HC，设FE＝x，分别得到，根据BC＝BE+EH+HC建立方程，解方程即可得到答案；（2）根据矩形的性质推到得EF＝AM＝8，得出AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，再根据勾股定理计算出CH＝6，通过AF∥EC证明△AFP∽△CEP，通过三角形的相似比计算出AP：CP；（3）根据∠B＝∠HCG和∠B＝∠HGC两种情况进行讨论，当∠B＝∠HCG可利用（1）得结论得到答案，当∠B＝∠HG C时，EF＝x，得；，EH＝GH＝x，根据HC＝BC﹣BE﹣EH得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，∵AM⊥BC，平行四边形ABCD的面积为96，∴BC•AM＝96，∴AM＝8，∴，∴MC＝6，∴AM垂直平分BC，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB，设FE＝x，∵AM⊥BC，EF⊥BC，∴AM∥EF，∴△BFE∽△BAM，∴，∴，∴，在△BEF和△CHG中，∴△BEF≌△CHG（AAS），∴，∵EH＝EF＝x，BC＝BE+EH+HC，∴，∴S正方形EFGH＝；（2）如图所示，过A作AM⊥BC垂足为M，∴AM∥EF，AM⊥BC，∵平行四边形ABCD，∴AF∥BC，∴四边形AMEF为矩形，∴EF＝AM＝8，∵AD＝BC＝12，FD＝EF，∴AF＝AD﹣FD＝12﹣8＝4，∵CD＝10，DH＝8，∴CH＝6，∴EC＝EH﹣CH＝8﹣6＝2，∵AF∥EC，∴∠FAP＝∠PCE，∠AFP＝∠PEC，∴△AFP∽△CEP，∴，∴AP：CP＝2：1；（3）如图所示，∵△BEF∽△CHG，当∠B＝∠HCG时，点G在AC上时，由（1）得△BEF≌△CHG，；当∠B＝∠HGC时，点G不在AC上，如图所示，∵△BEF∽△CHG，∴，设EF＝x，得，EH＝GH＝x，∴，∴，，∴，∴，∴．【点评】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形性质和判定和相似三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用相似三角形的相似比建立方程．27．【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，延长DG交BE的延长线于点H，请直接写出BE与DG的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG“；改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4”，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若，求BE的长．【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG，如图3，AD＝5，AC＝6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，过点P作PQ⊥AF，垂足为点Q，连接QC，当∠PQC＝∠DAC时，求AP的长．【分析】（1）证明两三角形全等，证得相关线段与角的关系，进一步证明相似，进而得出位置关系；（2）由矩形相似得出对应边成比例且夹角相等，证得相似得出比例线段，再根据勾股定理求出关键线段，即可求解；（3）根据题意进行分类讨论，画出图形，运用解直角三角形、勾股定理、相似三角形、特殊四边形、角平分线特性，求出关键线段即可求解．【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG．证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝AD，AE＝AG，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴∠EBA＝∠GDA，BE＝DG，∵∠BOH＝∠AOD，∴△BHO∽△DAO，∴∠BHO＝∠BAD＝90°，∴BE⊥DG；（2）过点A作AM⊥DE于点M，∵矩形ABCD∽矩形AEFG，AE＝3，AG＝4，∴，∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，即∠EAB＝∠GAD，∴△EAB∽△GAD，∴，在Rt△AEG中，＝5，，∴AM＝，MG＝，MD＝，∴GD＝MD﹣MG＝4，∵，∴BE＝3；（3）①当点P在线段AG上时，根据题意作图如下：连接BD交AC于点O，作CM⊥AF，交AF的延长线于点M，作CN∥AG交AF 于点N，∵菱形ABCD∽菱形AEFG，∴∠DAB＝∠GAE，∠DAC＝∠BAD，∠GAF＝∠GAE，BD⊥AC，AO＝AC＝3，∴∠DAC＝∠GAF，∴∠DAG＝∠CAF，∵AG平分∠DAC，∴∠DAG＝∠DAC，∴∠GAC＝∠CAF＝∠GAF，∵CN∥AG，∴∠GAC＝∠ACN，∠CNM＝∠GAF，∴∠CAF＝∠ACN，∴AN＝CN，在Rt△ADO中，cos∠DAC＝，∴cos∠CNM＝cos∠PQC＝cos∠PAQ＝，∴tan∠APQ＝＝，∵PQ⊥AF，∴∠PAQ+∠APQ＝∠PQC+∠CQM＝90°，∴∠APQ＝∠CQM，∴tan∠CQM＝tan∠APQ＝＝，即，在Rt△CNM中，可得三边比值为：MN：CM：CN＝3：4：5，∵AN＝CN，∴CM：AM＝1：2，在Rt△CAM中，设CM为3x，则QM＝4x，AM＝6x，根据勾股定理得：AM2+CM2＝AC2，即（6x）2+（3x）2＝62，解得：x＝，∴AQ＝AM﹣QM＝2x＝，∴AP＝AQ＝；②当点P在线段AG的延长线上时，根据题意作图如下：过点C作CM⊥AF于点M，同①可知：此时AQ＝AM+MQ＝10x，∴AQ＝10×＝，∴AP＝AQ＝，所以AP的长为或．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与相似、正方形、矩形、菱形的性质、勾股定理、角平分线性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识和技能，根据图形进行分类讨论是解题的关键．28．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB，AC上的点，DF∥BC交AC 于F点，过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，交BE于G，连结DE．（1）求证：∠AED＝∠ABC．（2）若，求CE的长．（3）如图2，M为BE的中点，连结FG，DM．①当FG与△DMB的一边平行时，求所有满足条件的DM的长．②连结FM交DE于点H，若，求△EFM的面积．【分析】（1）由DF∥BC可知∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，再由过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D得出∠ADE＝90°，从而利用同角的余角相等即可得证；（2）取DE的中点O，连接EO，GO，则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，证明∠BEC＝∠ABC从而得到△BEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出，从而得解；（3）①分FG∥BD和FG∥DM两种情况讨论，当FG∥BD时，利用垂径定理得到EF＝EG，再利用平行线分线段成比例得到证明AE＝BE，从而设AE＝BE＝x，根据勾股定理列方程得到62+（8﹣x）2＝x2，求出BE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；当FG∥DM时，先利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明，再过点M作MP⊥BE，构造垂直平分线，从而得到PE＝PB，有利用AAS证明△PDE≌△ADE，从得到AD＝PD，DE＝3x可得AD＝PD＝4x，PB＝5x，利用AB的长度列方程可求出x，利用勾股定理得到BE，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DM即可；②过点E作EQ∥BC，FM于点Q，延长FM交BC于点R，取CE的中点S，则SM是△CEB的中位线，则有MS⊥AC，，设AF＝4a，则CF＝8﹣4a利用EQ∥DF求出EQ，求出DF和EF 的长，利用SSA证明△EQM≌△BRM，从而得到EQ＝BR＝2a，CR＝BC﹣BR＝6﹣2a，最后利用△EFQ∽△CFR得到，解出a，得到EF的长度，根据三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠AFD＝∠C＝90°，∴线段DE是过点D，E，F的外接圆的直径，又∵过点D，E，F的外接圆于AB相切于点D，∴∠ADE＝90°，∠AED+∠A＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠AED＝∠ABC；（2）解：取DE的中点O，连接FO，GO，则点O是过点D，E，F的外接圆的圆心，DO＝FO＝EO＝GO，∵∠DFE＝∠ADE＝90°，∴∠AED+∠EDF＝∠AED+∠A＝90°，∴∠EDF＝∠A，∠AED＝90°﹣∠A，又∵DO＝FO＝EO＝GO，∴∠DFO＝∠EDF＝∠A，∵＝，∴FD＝FG，∵FD＝FG，DO＝GO，FO＝FO，∴△DFO≌△GFO（SSS），∴∠DFO＝∠GFO＝∠A，∴∠DEG＝∠DFG＝∠DFO+∠GFO＝2∠A，∴∠BEC＝180°﹣∠DEG﹣∠AED＝180°﹣2∠A﹣（90°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝∠AED＝∠ABC，∵∠BEC＝∠ABC，∠BCE＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△ABC，∴，。
2023-2024学年江苏省无锡市高级中学实验学校九年级(上)期中数学(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．122．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√54．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．都不对5．（3分）在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．40°B ．160°C ．80°或160°D ．40°或140°6．（3分）下列说法中，正确的是（ ） A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+29．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√310．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tan α=45，则cos α＝ ．12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 m ． 13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ °． 14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．15．（3分）如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝6∠OAC＝48°，则∠BCI＝°．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，sin∠BCD=14，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，则AC的值为．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．20．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知3b＝2c，斜边上的高CD=√3．（1）求tan A的值；（2）求BD的长．̂上一点，连接BD，AD，OC，21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；̂的长．（结果保留π）（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BC22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP．（1）求AP的长；（2）求tan∠DCP的值．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a＝．24．（10分）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当t ＝2时，PQ ＝ ； （2）在运动过程中，当∠DPQ ＝45°时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的⊙O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD ＝；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．12【分析】直接根据sin60°=√32求解． 【解答】解：sin60°=√32．故选：A ．2．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定【分析】点在圆上，则d ＝r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 【解答】解：∵OP ＝3＜4，故点P 与⊙O 的位置关系是点P 在圆内． 故选：A ．3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√5【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得 AB =√AC 2+BC 2=√5． 由锐角的余弦，得cos A =ACAB =15=√55． 故选：C ．4．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A．35°B．55°C．65°D．都不对【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD ＝35°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠ABD＝35°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝55°，故选：B．5．（3分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．40°B．160°C．80°或160°D．40°或140°【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据切线的判定定理对A 进行判断；根据三角形内心的定义对B 、D 进行判断；根据确定圆的条件对C 进行判断．【解答】解：A 、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A 选项错误； B 、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B 选项正确； C 、不共线的三点确定一个圆，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选：B ．7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【分析】由cos30°=√32，cos45°=√22，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵√22＜34＜√32， 又∵cos30°=√32，cos45°=√22，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A ＜45°． 故选：B ．8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+2【分析】连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．证明TA ＝TC =√2EC ，EC ＝DE ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵点C 是AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴AC ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵点D 为BC ̂的中点， ∴CD̂=DB ̂， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝22.5°，∵∠ADC ＝∠ABC ＝45°，CE ⊥DE ，DE ＝1， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ECD ＝∠EDC ＝45°， ∴EC ＝DE ＝1，∴EC ＝DE ＝1，CT =√2， ∵∠ETC ＝45°＝∠TAC +∠ACT ， ∴∠TAC ＝∠TCA ＝22.5°， ∴AT ＝TC =√2， ∴AE ＝AT +TE =√2+1． 故选：C ．9．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√3【分析】作△ABC 的外接圆，延长AO 交BC 于D ，因此A 在BAĈ上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，AO =23AD ，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，求出AD =√32BC =√32×6＝3√3，推出3＜AD ≤3√3，得到3×23＜AO ≤3√3×23，即可求出AO 的取值范围． 【解答】解：作△ABC 的外接圆O ′，延长AO 交BC 于D ，∵∠BAC 的大小不变，∴A 在BAC ̂上运动（不与B 、C 重合），∵O 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD =√32BC =√32×6＝3√3，∵A 不与B 、C 重合，∴12BC ＜AD ， ∴3＜AD ≤3√3，∵O 是△ABC 的重心，∴AO =23AD ，∴3×23＜AO ≤3√3×23，∴2＜AO ≤2√3．故选：D ．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，证明BD ＝DG ，根据直角三角形斜边中线的性质得AD ＝BD ，可作判断；②如图2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，设AE ＝x ，则BF ＝EF ＝x ，BE =√2x ，AB ＝AC ＝x +√2x ，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据sin ∠ABC =EF BE =AC BC =13，设EF ＝a ，BE ＝3a ，则AE ＝EF ＝a ，证明Rt △ACE ≌Rt △FCE （HL ），得AC ＝CF =√2a ，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④如图4，延长BD ，CA 交于点G ，证明△AEC ∽△AGB ，列比例式，并结合三角函数可作判断．【解答】解：①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝BD，故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=√2x，AB＝AC＝x+√2x，∴CE=√AE2+AC2=√x2+(x+√2x)2=√4+2√2x，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE =（CEBE）2=(4+2√2)x22x2=2+√2，∴S△ACE＝（2+√2）S△BDE，故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EFBE=ACBC=13，设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝2√2a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=√2a，延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝3√2a，BD＝DG，∴AG＝2√2a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×2√2a×4a＝2√2a2，S△ABC=12•√2a•4a＝2√2a2，∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG =ACAB，由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB=m，∴CE2BD=m，∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tanα=45，则cosα＝5√4141．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．【解答】解：设∠A＝α，所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tanα=45，即ab=45，设a＝4k，则b＝5k，∴c=√a2+b2=√41k，∴cosα=bc=41k=5√4141．故答案为：5√4141． 12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 25 m ．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝50m ，则BC =12AB =12×50＝25（m ），所以这山的高度是25m ，故答案为：25．13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ 120 °．【分析】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形的性质求出x ，得到∠B 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，则2x +7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 24π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl ＝π•3•8＝24π（cm 2）．故答案为：24π．15．（3分）如图，点O 、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心，若∠CAB ＝6∠OAC ＝48°，则∠BCI ＝ 25 °．【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝8°，再根据三角形外心的性质得到OA＝OC，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC＝164°，接着根据圆周角定理得到∠ABC＝82°，则利用三角形内角和可计算出∠ACB＝50°，然后根据三角形内心的性质得到∠BCI的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠CAB＝6∠OAC＝48°，∴∠OAC＝8°，∵点O是锐角△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝8°，∴∠AOC＝180°﹣8°﹣8°＝164°，∴∠ABC=12∠AOC＝82°，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣82°＝50°，∵点O是锐角△ABC的内心，∴∠BCI=12∠ACB=12×50°＝25°．故答案为：25．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1.（结果保留π）【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．故答案为：π﹣1．17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为（﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．【分析】如图，设G（m，0），由点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，可得A′（3+m，m+3），根据OA′＝2，构建方程求出m即可．【解答】解：如图，设G（m，0），∵点A （﹣3，3）绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴A ′（3+m ，m +3），∵OA ′＝2，∴（3+m ）2+（3+m ）2＝22，解得，m ＝﹣3±√2，∴G （﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．故答案为：(−3+√2，0)或(−3−√2，0)．18．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，sin ∠BCD =14，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为 2√13或√73 ．【分析】由△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，因此要分以下两种情况进行讨论：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，先证△BAD ∽△BCE 得∠ABD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠BEC ，进而证△ABC 和△DBE 全等得AC ＝DE ，然后在Rt △DCE 中，利用勾股定理求出DE 即可；（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ，在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，先证△ABD ∽CBM ，得∠ABD ＝∠CBM ，进而证△ABC ∽△DBM 得BC ：DM ＝AB ：BD ＝1：2，则BC =12DM ，然后在Rt △DCM 中，利用勾股定理求出DM ．【解答】解：∵△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，如图1所示：∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BAD＝∠BDA，AD＝2AH，∠BAD+∠ABH＝90°，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCD，∵sin∠BCD=1 4，∴sin∠ABH=AHAB=14，∴AB＝4AH＝2AD，∴AD：AB＝1：2，∵CE=12BC＝4，∴BC：CE＝1：2，∴AD：AB＝BC：CE，∵CE⊥CD，∴∠BCE+∠BCD＝90°．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，又AD：AB＝BC：CE，∴△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，∠BDA＝∠BEC，∴∠BDA＝∠BEC＝∠BDA＝∠BCE，∴BC＝BE＝8，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ， 即∠ABC ＝∠DBE ， 在△ABC 和△DBE 中， {BD =BA∠ABC =∠DBE BC =BE， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）， ∴AC ＝DE ，在Rt △DCE 中，CD ＝6，CE ＝4，由勾股定理得：DE =√CD 2+CE 2=2√13， ∴AC ＝DE =2√13．（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ， 在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，如图2所示：∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝2AN ，∠ADN +∠BAD ＝90°， 又∵∠BAD +∠BCD ＝90°， ∴∠ADN ＝∠BCD ， ∵sin ∠BCD =14，∴sin∠ADN=ANAD=14，∴AD＝4AN＝2AB，∴AB：AD＝1：2，∵CM＝2BC＝16，∴BC：CM＝1：2，∴AB：AD＝BC：CM，∵CM⊥CD，∴∠BCM+∠BCD＝90°，又∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCM，又∵AB：AD＝BC：CM，∴△ABD∽CBM，∴∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD＝∠CBM＝∠DAB＝∠BCM，∴BM＝CM＝2BC＝16，∵∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC，即∠ABC＝∠DBM，∵AB：BD＝1：2，BC：BM＝1：2，∴AB：BD＝BC：BM，∴△ABC∽△DBM，∴BC：DM＝AB：BD＝1：2，∴BC=12 DM，在Rt△DCM中，CD＝6，CM＝16，由勾股定理得：DM=√CD2+CM2=2√73，∴BC=12DM=√73．综上所述：AC的长为2√13或√73．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°； （2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．【分析】（1）先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1）(√3)2−π°+√3cos30° ＝3﹣1+√3×√32 ＝3﹣1+32 =72；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5| ＝4﹣1+5 ＝8．20．（9分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，已知3b ＝2c ，斜边上的高CD =√3． （1）求tan A 的值； （2）求BD 的长．【分析】（1）首先利用勾股定理用b 表示a ，然后利用tan A 的定义即可求解； （2）首先利用已知条件证明∠A ＝∠BCD ，然后利用已知条件即可求解． 【解答】解：（1）∵3b ＝2c ， ∴c =32b ，而a =√c 2−b 2=√52b ， ∴tan A =a b =√52； （2）∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴tan A ＝tan ∠BCD ， ∴BD CD=√52，而CD=√3，∴BD=√152．21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BĈ上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BĈ的长．（结果保留π）【分析】（1）连接OB，结合垂径定理得到弧AB＝弧AC，，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到∠AOB和∠AOC之间的关系，进而求出∠AOC的度数；（2）要求劣弧弧BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE的长，进而在Rt△BOE中利用勾股定理求出OE的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【解答】解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴弧AB＝弧AC，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°．（2）∵OA⊥BC，∴BE =12BC =9，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°， ∴OB ＝2OE ，∴BE =√OB 2−OE 2=√3OE =9， ∴OE =3√3cm ，OB =6√3cm ． ∴劣弧BC 的长=120π×6√3180=4√3π(cm)． 22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ． （1）求AP 的长； （2）求tan ∠DCP 的值．【分析】（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，H 是AB 的中点，得∠ABC ＝90°，AH ＝BH =32，则CH =√BH 2+BC 2=52，由折叠得PH ＝BH ＝AH ，CH 垂直平分PB ，则∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，可证明∠APB ＝90°，则AP ∥CH ，∠P AB ＝∠BHC ，所以AP AB=cos ∠BHC =35，则AP =35AB =95；（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，则EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝∠AFP ＝90°，所以AF AP =cos ∠P AB =35，PF AP=sin ∠BHC =45，则AF =35AP =2725，PF =45AP =3625，所以CE ＝BF =4825，PE =1425，即可求得tan ∠DCP =PECE =724．【解答】解：（1）连接PB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点， ∴∠ABC ＝90°，AH ＝BH =12AB =32， ∴CH =√BH 2+BC 2=√(32)2+22=52，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH ＝BH ＝AH ， ∴CH 垂直平分PB ，∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，∴∠APB ＝∠HPB +∠HP A ＝∠HBP +∠HAP =12×180°＝90°， ∵AP ⊥BP ，CH ⊥BP ， ∴AP ∥CH ， ∴∠P AB ＝∠BHC ，∴APAB =cos ∠P AB ＝cos ∠BHC =BH CH =3252=35， ∴AP =35AB =35×3=95， ∴AP 的长是95．（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ， ∵∠FEC ＝∠ECB ＝∠FBC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形， ∴EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝90°， ∴∠AFP ＝90°， ∴AF AP=cos ∠P AB =35，PFAP=sin ∠P AB ＝sin ∠BHC =BC CH =252=45， ∴AF =35AP =35×95=2725，PF =45AP =45×95=3625， ∴CE ＝BF ＝AB ﹣AF ＝3−2725=4825，PE ＝EF ﹣PF ＝2−3625=1425， ∴tan ∠DCP =PE CE =14254825=724， ∴tan ∠DCP 的值为724．23．（10分）如图，在等边△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 边上．（1）在BC 边上求作点P ，使∠MPN ＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB ＝9，BM ＝5，设CN ＝a ，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则a ＝8120．【分析】（1）以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ，作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2，即可完成作图；（2）证△MBP ∽△PCN ，可得MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，列出方程5x=9−x a，整理得x 2﹣9x +5a ＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P 有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P 只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P 不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ， ②作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2， 如图，点P 1、P 2即为所求；（2）如图，∵∠MP 1N ＝60°， ∴∠MP 1B +∠CP 1N ＝120°， 在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠MP 1B +∠BMP 1＝120°， ∴∠BMP 1＝∠CP 1N ， ∴△MBP 1∽△P 1CN ， ∴MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，∴5x =9−x a，∴5a ＝9x ﹣x 2， ∴x 2﹣9x +5a ＝0， ∵只能作出唯一的点P ， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣9）2﹣20a ＝81﹣20a ＝0， ∴a =8120． 故答案为：8120．24．（10分）如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 是⊙O 上一点，过C 作CE ⊥AC ，交AD 的延长线于点E ，连接DB ，且CD ＝CE ． （1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC ＝90°，则OD ⊥DC ，可得出结论；（2）证明△BCD ∽△DCA ，由相似三角形的性质得出BC CD=CD AC=BD AD，设CB ＝x ，则CD ＝2x ，得出方程（2x ）2＝x •（x +15），解方程求出x 即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵CE ⊥AC ， ∴∠ACE ＝90°， ∴∠A +∠E ＝90°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∴∠A +∠CDE ＝90°， ∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠ADO +∠CDE ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 与⊙O 相切；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠A +∠ABD ＝90°， 又∵∠BDC +∠ODB ＝90°， ∴∠BDC ＝∠A ， ∵∠BCD ＝∠ACD ， ∴△BCD ∽△DCA ， ∴BC CD=CD AC=BD AD，∵tan ∠BDC ＝tan ∠A =BDAD =12， 设CB ＝x ，则CD ＝2x ， ∴CD 2＝CB •CA ，∴（2x ）2＝x •（x +15）， ∴x ＝5， ∴CD ＝CE ＝10．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【分析】过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，解直角三角形求出CN 、BN 的长，得出BF 的长，再求出AE AB≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE＝（3x +4.5）米，然后证AF ＝AD ，则4x +3.5＝3x +4.5，解得x ＝1，即可求解． 【解答】解：过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，如图所示： 则CN ∥AD ，∴∠NCF ＝∠ADC ＝45°，在Rt △BCN 中，CN ＝BC •sin37°≈2.5×35=1.5（米），BN ＝BC •cos37°≈2.5×45=2（米）， 在Rt △CNF 中，∠NCF ＝45°， ∴△CNF 是等腰直角三角形， ∴NF ＝CN ＝1.5（米）， ∴BF ＝BN +NF ＝3.5（米）， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝53°， ∴∠ABE ＝37°，∴tan ∠ABE ＝tan37°=AE AB ≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE ＝（3x +4.5）米， 在Rt △ADF 中，∠ADC ＝45°， ∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当t＝2时，PQ＝4√2cm；（2）在运动过程中，当∠DPQ＝45°时，求t的值；（3）在运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围．【分析】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm），可得BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），故PQ=√BP2+BQ2=4√2（cm）；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，由∠DPQ＝45°，可得△PQM是等腰直角三角形，从而△PMN≌△MQK（AAS），PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则（6﹣t）+x＝2t﹣x，得x=3t−62，证明△MPN∽△DP A，有即3t−62t=t+6212，即可解得t的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q与AD相切于T时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，连接QT，可得√(6−t)2+(2t)2=6，解得t＝0（舍去）或t＝2.4，当⊙Q经过D时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，可得√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足2.4＜t＜6√13−18．【解答】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），∴PQ=√BP2+BQ2=√42+42=4√2（cm），故答案为：4√2cm；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，如图：根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝（6﹣t）cm，由作图可知四边形BQKN是矩形，∴BN＝QK，BQ＝NK＝2t cm，∵∠DPQ＝45°，∴△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ＝90°，PM＝QM，∴∠PMN＝90°﹣∠QMK＝∠KQM，∵∠MNP＝90°＝∠QKM，∴△PMN≌△MQK（AAS），∴PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则MN＝NK﹣MK＝（2t﹣x）cm＝QK，∵BN＝QK，∴（6﹣t）+x＝2t﹣x，∴x=3t−6 2，∴PN=3t−62（cm），MN＝2t−3t−62=t+62（cm），∵∠MPN＝∠DP A，∠MNP＝90°＝∠A，∴△MPN ∽△DP A ，∴PN AP =MN AD ，即3t−62t =t+6212，解得t ＝15+3√17（舍去）或t ＝15﹣3√17；∴t 的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q 与AD 相切于T 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，如图：∵∠A ＝∠B ＝∠ATQ ＝90°，∴四边形ABQT 是矩形，∴QT ＝AB ＝6cm ＝PQ ，∴√(6−t)2+(2t)2=6，解得t ＝0（舍去）或t ＝2.4，由图可知，⊙O 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足t ＞2.4；当⊙Q 经过D 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，如图：此时PQ＝DQ，∴√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足t＜6√13−18；∴当2.4＜t＜6√13−18时，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝5√33；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接OM，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质求得AE，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点G在点P的上方时，过点O作OF⊥CH 于点F，连接AH，利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理求得线段HF的长度，再利用三角形的中位线定理和勾股定理求得GF的长度，则GH＝GF﹣HF；②当点G在点P的下方时，过点O作OK⊥CH 于点K，连接AH，利用①的方法解答即可．【解答】解：（1）连接OD，如图，∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°，∴tan A =OD AD ，∴AD =OD tan60°=5√3=5√33． 故答案为：5√33； （2）连接OM ，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图，∵BC 边与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥BC ，∵OE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形OMCE 为矩形，∴CE ＝OM ＝5．∵AC ＝8，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴OE=√OA2−AE2=√52−32=4，∴OC=√OE2+CE2=√42+52=√41．∴C（√41，0）；（3）①当点G在点P的上方时，如图，过点O作OF⊥CH于点F，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OF⊥CH，∴CF＝HF=12CH＝3．∵OF⊥CH，AC⊥CH，∴OF∥AC，∴OF为△HAC的中位线，∴OF=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP+PG＝5+1＝6，∴GF=√OG2−OF2=√62−42=2√5，∴GH＝GF﹣HF＝2√5−3；②当点G在点P的下方时，如图，过点O作OK⊥CH于点K，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OK⊥CH，∴CF＝HK=12CH＝3．∵OK⊥CH，AC⊥CH，∴OK∥AC，∴OK为△HAC的中位线，∴OK=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP﹣PG＝4，∴OG＝OK，∴点G，K重合，∴GH＝HK＝3．综上，GH的长为2√5−3或3．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是P1，P2（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2√5，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（−12，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO=√5，OP1=√5，AP1=√10，则OP12+OA2=AP12，∴∠AOP1＝90°，∴OP2=√52，AP2=52，则AP22=OA2+OP22，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O 关于点A 的“联络点”是P 1，P 2；故答案为：P 1，P 2；（2）如图2，依题意，点C 关于点D 的“联络点”P 在CD 的垂线上且过点C ，∵直线y =−12x +1与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝2，∴C （2，0），D （1，0），∴OD ＝1，OC ＝2，∴tan ∠COD =OD OC =12，CD =√OD 2+OC 2=√5， ∵tan ∠CPD =12，∴CP 1＝2√5，∴DP 1＝5，则P 1（0，﹣4），设直线CP 的解析式为y ＝kx ﹣4，则0＝2k ﹣4，解得：k ＝2，∴直线CP 的解析式为y ＝2x ﹣4；设P （p ，2p ﹣4），∵tan ∠CPD =12，∴CD CP =12，∴CP＝2CD＝2√5，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2=(2√5)2，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，第41页（共41页）∴T （0，2）或T （0，6），结合图形可得2≤t ≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t ≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t ≤6或﹣2≤t ≤﹣6．。
江苏省无锡市新吴区梅里中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市新吴区梅里中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．255x x -=B ．321x y +=C ．3511x x +=D ．2267x y -=2．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，70A ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．70︒B ．80︒C ．100︒D ．110︒3．我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，8个班在此次比赛中的得分分别是：9.19.89.19.29.99.19.99.1，，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（）A ．9.19.1，B ．9.19.15，C ．9.19.2，D ．9.99.2，4．若⊙O 的内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为210万，设新注册用户数的年平均增长率为()0x x >，根据题意所列方程正确的是（）A ．2100210x =B ．()21001210x -=C ．()210012210x +=D ．()21001210x +=6．如图，已知AB 是半圆O 的直径，36DAC ∠=︒，D 是弧AC 的中点，那么BAC ∠的度数是（）A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°7．下列命题中，真命题的个数是（）①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弦相等；③等边三角形的外心与内心重合；④任意三点可以确定一个圆；⑤三角形有且只有一个外接圆．A ．0B ．1C ．2D ．38．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元A．63π二、填空题18．如图，在平面直角坐标系中，已知B在x轴上，且OA OB=．点为．三、解答题19．解方程：(1)()21250x --=；(2)2410x x --=（配方法）；(3)27120x x -+=；(4)()()22x x x +=+．20．已知关于x 的方程()()22210x m x m -++-=．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根：(2)若此方程的一根是1，求另一个根及m 的值．_______________；(2)请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据）(3)规定成绩80分以上（含80分）的同学成为全明星”的人数．22．秋高气爽，小明和小华准备游览一下无锡本地著名景点，为A）、鼋头渚（记为B）、梅园（记为C）、荡口古镇（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．(1)小明选择去梅园的概率为______；(2)用树状图或列表的方法求小明和小华选择去同一个地方游玩的概率．23．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．(1)若实际单价定为56元，则一个月的利润为______元；(2)针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？24．如图，已知△ABC是锐角三角形.⑴利用直尺与圆规画出△ABC的外接圆⊙O.（保留作图痕迹）⑵利用直尺与圆规画出（1）中经过点B的⊙O的切线l.（保留作图痕迹）25．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，延长BC 至点D ，使DC CB =，延长DA 与O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．(1)求证：E D ∠=∠；(2)若6AB =，2BC AC -=，求CE 的长．26．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E ，AB 平分∠CAE ．（1）判断BE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ACB=30°，⊙O 的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．(2)求证：AC＝AB．(3)若MP=4，点P为射线MN上的一个动点，①求MR的值②在点P的运动过程中，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求此时所有满足条件的MQ的值．。