投资学第5章利率史与风险溢价
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投资学-—第5章__无风险证券的投资价值
货膨胀等都会给该类证券投资带来风险。
货币的时间价值
货币的时间价值是为取得货币单位时间内使用权支 付的价格，它是对投资者因投资而推迟消费所作出 牺牲支付的报酬，它是单位时间的报酬量与投资的 比率，即利息率。
二、名义利率与实际利率
名义利率
名义利率是指利息（报酬）的货币额与本金的货币 额的比率。
（三）到期收益率
1、含义：到期收益率，可以使投资购买债券获得的 未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。 它是投资者按照当前市场价格购买债券并且一直 持有到满期时可以获得的年平均收益率。
2、债券到期收益率的计算公式为：
P m(1C r)(1 C r)2....(C .1 .rF )n
一、即期利率、远期利率与到期收益率
3、有息债券的即期利率即为票面利率 4、无息债券的即期利率由以下公司计算：
其中： St为即期利率 Mt为票面面值 t为债券的期限
Pt
Mt (1ຫໍສະໝຸດ St )t 例1：设某2年期国债的票面面额为100元，投 资者以85.73元的价格购得，问该国债的即利 率是多少？
其中： F为债券的面值，C为按按票面利率每 年支付的利息，Pm为债券的当前市场价格，r为到 期收益率。
3、到期收益率计算标准是债券市场定价的基础， 建立统一、合理的计算标准是市场基础设施建设的重 要组成部分。计算到期收益率首先需要确定债券持有 期应计利息天数和付息周期天数，从国际金融市场来 看，计算应计利息天数和付息周期天数一般采用“实 际天数/实际天数”法、“实际天数/365”法、 “30/360”法等三种标准，其中应计利息天数按债 券持有期的实际天数计算、付息周期按实际天数计算 的“实际天数/实际天数”法的精确度最高。近年来， 许多采用“实际天数/365”法的国家开始转为采用 “实际天数/实际天数”法计算债券到期收益率。
货币的时间价值
货币的时间价值是为取得货币单位时间内使用权支 付的价格，它是对投资者因投资而推迟消费所作出 牺牲支付的报酬，它是单位时间的报酬量与投资的 比率，即利息率。
二、名义利率与实际利率
名义利率
名义利率是指利息（报酬）的货币额与本金的货币 额的比率。
（三）到期收益率
1、含义：到期收益率，可以使投资购买债券获得的 未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。 它是投资者按照当前市场价格购买债券并且一直 持有到满期时可以获得的年平均收益率。
2、债券到期收益率的计算公式为：
P m(1C r)(1 C r)2....(C .1 .rF )n
一、即期利率、远期利率与到期收益率
3、有息债券的即期利率即为票面利率 4、无息债券的即期利率由以下公司计算：
其中： St为即期利率 Mt为票面面值 t为债券的期限
Pt
Mt (1ຫໍສະໝຸດ St )t 例1：设某2年期国债的票面面额为100元，投 资者以85.73元的价格购得，问该国债的即利 率是多少？
其中： F为债券的面值，C为按按票面利率每 年支付的利息，Pm为债券的当前市场价格，r为到 期收益率。
3、到期收益率计算标准是债券市场定价的基础， 建立统一、合理的计算标准是市场基础设施建设的重 要组成部分。计算到期收益率首先需要确定债券持有 期应计利息天数和付息周期天数，从国际金融市场来 看，计算应计利息天数和付息周期天数一般采用“实 际天数/实际天数”法、“实际天数/365”法、 “30/360”法等三种标准，其中应计利息天数按债 券持有期的实际天数计算、付息周期按实际天数计算 的“实际天数/实际天数”法的精确度最高。近年来， 许多采用“实际天数/365”法的国家开始转为采用 “实际天数/实际天数”法计算债券到期收益率。
03利率史与风险溢价
南开大学经济学院
丁宏
2011年3月
16
3.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
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丁宏
2011年3月
17
南开大学经济学院
丁宏
2011年3月
18
南开大学经济学院
丁宏
2011年3月
19
▪ 实际收益率不断提高 ▪ 标准差相对稳定 ▪ 短期利率受到通胀率的影响日趋明显
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2011年3月
41
表3.3 各个时期的资产历史收益率1926- 2005
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42
图3.6 1926-2005年历史收益率
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43
表3.4 资产的历史超额收益率1926- 2005
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44
图3.7 世界名义和实际股权收益率 1900-2000
更一般地，有：
1 EAR 1 rf (T ) n 1 rf (T ) 1/T 1 T APR 1/T
即：APR (1 EAR)T 1 T
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12
连续复制
▪ 假定你的资金可以获得每半年支付一次的 复利，年名义利率为6%，考虑到复利，你 的收益的有效年利率是多少?
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38
图3.5B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
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39
3.8 股权收益与长期债券收益的历史记录
3.8.1 平均收益与标准差 基本结论：高风险、高收益
Chap005风险和收益入门和历史回顾
1 T
exp( rcc ) e rcc
1 EAR ercc (1 EAR)T eT rcc exp(T rcc )
得出连续复利下的年化百分比利率。在连续复利条件 下，对于任何期限T，总收益
Total Re turn(T ) rcc (T ) exp(T rcc ) eT rcc
(1 EAR)T 1 Total Re turn(T )
1 EAR 1 T APR
1 T
T 1 EAR 1 APR
T
r (1/2)=2.71%, r(1)=? r(25)=329.18%, r(1)=?
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INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
• • • • • • • • 持有期收益率 总收益率 年收益率 单利 复利 有效年利率 年化百分比利率 连续复利条件下的年化百分比利率
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5-15
表 5.2 1926~2009年短期国库券、通货膨胀率、 实际利率的统计数据
R i r 1 i
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R=6%, i=3%, r≈3%, r=2.91%，费雪公式高估实际利率
5-4
实际利率均衡
• 实际利率由以下4个因素决定: – 供给 – 需求
– 政府行为
– 预期通货膨胀率
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exp( rcc ) e rcc
1 EAR ercc (1 EAR)T eT rcc exp(T rcc )
得出连续复利下的年化百分比利率。在连续复利条件 下，对于任何期限T，总收益
Total Re turn(T ) rcc (T ) exp(T rcc ) eT rcc
(1 EAR)T 1 Total Re turn(T )
1 EAR 1 T APR
1 T
T 1 EAR 1 APR
T
r (1/2)=2.71%, r(1)=? r(25)=329.18%, r(1)=?
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• • • • • • • • 持有期收益率 总收益率 年收益率 单利 复利 有效年利率 年化百分比利率 连续复利条件下的年化百分比利率
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5-15
表 5.2 1926~2009年短期国库券、通货膨胀率、 实际利率的统计数据
R i r 1 i
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R=6%, i=3%, r≈3%, r=2.91%，费雪公式高估实际利率
5-4
实际利率均衡
• 实际利率由以下4个因素决定: – 供给 – 需求
– 政府行为
– 预期通货膨胀率
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投资学习题2004aaa
第一章投资环境1.假设你发现一只装有100亿美元的宝箱。
a.这是实物资产还是金融资产？b.社会财富会因此而增加吗？c.你会更富有吗？d.你能解释你回答b、c时的矛盾吗？有没有人因为这个发现而受损呢？nni Products 是一家新兴的计算机软件开发公司，它现有计算机设备价值30000美元，以及由Lanni的所有者提供的20000美元现金。
在下面地交易中，指明交易涉及的实物资产或（和）金融资产。
在交易过程中有金融资产的产生或损失吗？nni公司向银行贷款。
它共获得50000美元的现金，并且签发了一张票据保证3年内还款。
nni公司使用这笔现金和它自有的20000美元为其一新的财务计划软件开发提供融资。
nni公司将此软件产品卖给微软公司（Microsoft）,微软以它的品牌供应给公众，Lanni公司获得微软的股票1500股作为报酬。
nni公司以每股80元的价格卖出微软的股票，并用所获部分资金还贷款。
第二章金融市场与金融构工具1.美国短期国债的期限为180天，面值10000美元，价格9600美元。
银行对该国库券的贴现率为8%。
a.计算该国库券的债券收益率（不考虑除息日结算）。
8.45%b.简要说明为什么国库券的债券收益不同于贴现率。
2.某一国库券的银行现贴率：以买入价为基础是6.81%,以卖出价为基础是6.90%，债券到期期限（已考虑除息日结算）为60天，求该债券的买价和卖价。
P ask=9886.5,P bid=98853.重新考虑第2题中的国库券。
以买价为基础计算债券的等价收益率和实际年收益率。
证明这些收益率都高于贴现率。
R BEY=6.98%年实际收益率r EAY通过已知条件：以60天的收益率为（10000-9886。
5）/9886。
5=0。
01148年实际收益率（复利）1+r EAY=[1+0。
01148]365/60=[1+（10000-9886。
5）/9886。
5]365/60=（10000/9886。
投资学第5章利率史与风险溢价
16
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法 期望收益与标准差： 方法
均值与方差(expected value and 均值与方差 variance)
记不确定情形的集合为s，p ( s )为各情形的概率， r ( s )为各情形的HPR，E (r )为期望收益，σ为标准差 则有：E (r ) = ∑ p ( s )r ( s )
22
5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均 收益率的算术平均数： 收益率的算术平均数：
1 n E(r) = ∑=1 p(s)r(s) = ∑=1r(s) s s n
n
23
5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
19
美元， 例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 假定投资于某股票，初始价格 美元 有期1年 现金红利为4美元 美元， 有期 年，现金红利为 美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。 下三种可能，求其期望收益和方差。
r(1) = (140 −100 + 4)/100 = 44%
43
5.10 非正态分布的风险度量
风险价值(value at risk, VaR) 风险价值
VaR即分布的分位数 ， 是指一个处在低于 即分布的分位数(q)， 即分布的分位数 q%价值的值，从业者使用 价值的值， 价值的值 从业者使用5%的分位数作为分 的分位数作为分 布的风险价值。 有期收益
股票收益包括两部分：红利收益 股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 资本利得(capital gains) 与资本利得 持有期收益率(holding-period return) 持有期收益率
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法 期望收益与标准差： 方法
均值与方差(expected value and 均值与方差 variance)
记不确定情形的集合为s，p ( s )为各情形的概率， r ( s )为各情形的HPR，E (r )为期望收益，σ为标准差 则有：E (r ) = ∑ p ( s )r ( s )
22
5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均 收益率的算术平均数： 收益率的算术平均数：
1 n E(r) = ∑=1 p(s)r(s) = ∑=1r(s) s s n
n
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5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
19
美元， 例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 假定投资于某股票，初始价格 美元 有期1年 现金红利为4美元 美元， 有期 年，现金红利为 美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。 下三种可能，求其期望收益和方差。
r(1) = (140 −100 + 4)/100 = 44%
43
5.10 非正态分布的风险度量
风险价值(value at risk, VaR) 风险价值
VaR即分布的分位数 ， 是指一个处在低于 即分布的分位数(q)， 即分布的分位数 q%价值的值，从业者使用 价值的值， 价值的值 从业者使用5%的分位数作为分 的分位数作为分 布的风险价值。 有期收益
股票收益包括两部分：红利收益 股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 资本利得(capital gains) 与资本利得 持有期收益率(holding-period return) 持有期收益率
《投资学》第05讲 风险与收益Ⅰ
T rn为期限T（如0.25年）内总收益率
26
表 5.1 年复合增长率EAR和平均年收益率APR rn ，对应发生的概率 为 p1, p2 , pn 。定义：
简单几何均值收益（SGMR, Sample Geometric Mean Return）
总体几何均值收益（PGMR, Population Geometric Mean Return）
APR
1 T
*
rn
(1 EAR)T 1 rn 1 T * APR
(1 EAR)T 1 APR
T
rn为期限T（如0.25年）内总收益率
21
连续复利收益率
连续复利（continuous compounding）： 计算复利的时间间隔无限切割。
将时间无限细分 由W0 (1 EAR)T Wn，可得到连续复利EAR， 1年，T 1； 1天，T 0.0027。 下面看T 0的情形：
费雪公式：R r E(i) R为名义利率，r为实际利率， E(i)为预期通货膨胀率
模块二、比较不同持有期的收 益率
11
总收益率
假设0时刻本金为W0，将这些本金进行投资，
到n时刻本金变为Wn，总收益率
rn
Wn W0 W0
例子：零息债券收益率
假设：有零息债券, 面值 = $100, T = 持有期（年）, P(T) = 零息债券价格, rf(T) = 零息债券收益率
例子
对25年期的国债而言
(1 EAR)25 1 3.2918 EAR 6%
例子：宇宙最神奇的公式
1000000 (1 0.2)20 38337599 1000000 (1 0.2)70 ?
348888956932 3488亿元
26
表 5.1 年复合增长率EAR和平均年收益率APR rn ，对应发生的概率 为 p1, p2 , pn 。定义：
简单几何均值收益（SGMR, Sample Geometric Mean Return）
总体几何均值收益（PGMR, Population Geometric Mean Return）
APR
1 T
*
rn
(1 EAR)T 1 rn 1 T * APR
(1 EAR)T 1 APR
T
rn为期限T（如0.25年）内总收益率
21
连续复利收益率
连续复利（continuous compounding）： 计算复利的时间间隔无限切割。
将时间无限细分 由W0 (1 EAR)T Wn，可得到连续复利EAR， 1年，T 1； 1天，T 0.0027。 下面看T 0的情形：
费雪公式：R r E(i) R为名义利率，r为实际利率， E(i)为预期通货膨胀率
模块二、比较不同持有期的收 益率
11
总收益率
假设0时刻本金为W0，将这些本金进行投资，
到n时刻本金变为Wn，总收益率
rn
Wn W0 W0
例子：零息债券收益率
假设：有零息债券, 面值 = $100, T = 持有期（年）, P(T) = 零息债券价格, rf(T) = 零息债券收益率
例子
对25年期的国债而言
(1 EAR)25 1 3.2918 EAR 6%
例子：宇宙最神奇的公式
1000000 (1 0.2)20 38337599 1000000 (1 0.2)70 ?
348888956932 3488亿元
投资学(博迪)答案
d. Lanni公司以每股80元的价格卖出微软的股票，并用所获部分资金还贷款。
a.银行贷款是L a n n i公司的金融债务；相反的，L a n n i的借据是银行的金融资产。L a n n i获得的现
金是金融资产，新产生的金融资产是Lanni公司签发的票据(即公司对银行的借据)。
b. L a n n i公司将其金融资产(现金)转拨给其软件开发商，作为回报，它将获得一项真实资产，即
年实际收益率（复利）1+rEAY=[1+0。01148]365/60=[1+（10000-9886。5）/9886。5]365/60=（10000/9886。5）365/60=1。0719；年实际收益率rEAY=7。91%
4.以下哪种证券的实际年收益率更高？（分析方法同上）
a.i.3个月期国库券，售价为9764美元10.02%
10.67%; -2.67%; -16%
e.假设一年后，Intel股票价格降至多少时，投资者将受到追缴保证金的通知？p=28.8
购买成本是8 0美元×250=20 000美元。你从经纪人处借得5 000美元，并从自有资金中取出
15 000美元进行投资。你的保证金账户初始净价值为15 000美元。
a. (i)净价值增加了2 000美元，从15 000美元增加到：8 8美元×2 5 0Hale Waihona Puke 5 000美元=17 000美元。
2.某一国库券的银行现贴率：以买入价为基础是6.81%,以卖出价为基础是6.90%，债券到期期限（已考虑除息日结算）为60天，求该债券的买价和卖价。Pask=9886.5,Pbid=9885
P=10 000[1-rB D(n/ 3 6 0 ) ]，这里rB D是贴现率。
a.银行贷款是L a n n i公司的金融债务；相反的，L a n n i的借据是银行的金融资产。L a n n i获得的现
金是金融资产，新产生的金融资产是Lanni公司签发的票据(即公司对银行的借据)。
b. L a n n i公司将其金融资产(现金)转拨给其软件开发商，作为回报，它将获得一项真实资产，即
年实际收益率（复利）1+rEAY=[1+0。01148]365/60=[1+（10000-9886。5）/9886。5]365/60=（10000/9886。5）365/60=1。0719；年实际收益率rEAY=7。91%
4.以下哪种证券的实际年收益率更高？（分析方法同上）
a.i.3个月期国库券，售价为9764美元10.02%
10.67%; -2.67%; -16%
e.假设一年后，Intel股票价格降至多少时，投资者将受到追缴保证金的通知？p=28.8
购买成本是8 0美元×250=20 000美元。你从经纪人处借得5 000美元，并从自有资金中取出
15 000美元进行投资。你的保证金账户初始净价值为15 000美元。
a. (i)净价值增加了2 000美元，从15 000美元增加到：8 8美元×2 5 0Hale Waihona Puke 5 000美元=17 000美元。
2.某一国库券的银行现贴率：以买入价为基础是6.81%,以卖出价为基础是6.90%，债券到期期限（已考虑除息日结算）为60天，求该债券的买价和卖价。Pask=9886.5,Pbid=9885
P=10 000[1-rB D(n/ 3 6 0 ) ]，这里rB D是贴现率。
ch05利率史与风险溢价
5-14
方差或期望收益偏差的计算 方差或期望收益偏差的计算
Measuring Variance or Dispersion of Returns
举例Using Our Example: 举例 方差Var =(.25)(44-14)2+(.5)(14-14)2+ (.25)(-16-14)2 方差 方差Var= 450 方差 标准差S.D.= [ 450] 1/2 =21.21% 标准差
5-2
影响利率的因素 Factors Influencing Rates
资金供给 Supply – 居民 Households 资金需求 Demand – 企业 Businesses Government' 政府净供给或净需求 Government's Net Supply and/or Demand – 联邦储备银行运作 Federal Reserve Actions
State of the Economy Probability Boom .25 Normal growth .50 Recession .25
HPR 44% 14 –16
5-11
均值计算: 均值计算:期望收益
Measuring Mean: Scenario or Subjective Returns
5-3
利率水平 Level of Interest Rates 利率Interest Rates 利率 供给Supply 供给 r1 r0 Demand 需 求 Funds 资金
5-4
Q0 Q1
真实利率与名义利率 Real vs. Nominal Rates
费雪效应: 费雪效应: 近似 Fisher effect: Approximation 名义利率 =真实利率+通货膨胀率 真实利率+ nominal rate = real rate + inflation premium R = r + i or r = R - i 例如 Example r = 3%, i = 6% R = 9% = 3% + 6% or 3% = 9% - 6% 费雪效应: 费雪效应: 严格 Fisher effect: Exact r = (R - i) / (1 + i) 2.83% = (9%-6%) / (1.06) (9%5-5
方差或期望收益偏差的计算 方差或期望收益偏差的计算
Measuring Variance or Dispersion of Returns
举例Using Our Example: 举例 方差Var =(.25)(44-14)2+(.5)(14-14)2+ (.25)(-16-14)2 方差 方差Var= 450 方差 标准差S.D.= [ 450] 1/2 =21.21% 标准差
5-2
影响利率的因素 Factors Influencing Rates
资金供给 Supply – 居民 Households 资金需求 Demand – 企业 Businesses Government' 政府净供给或净需求 Government's Net Supply and/or Demand – 联邦储备银行运作 Federal Reserve Actions
State of the Economy Probability Boom .25 Normal growth .50 Recession .25
HPR 44% 14 –16
5-11
均值计算: 均值计算:期望收益
Measuring Mean: Scenario or Subjective Returns
5-3
利率水平 Level of Interest Rates 利率Interest Rates 利率 供给Supply 供给 r1 r0 Demand 需 求 Funds 资金
5-4
Q0 Q1
真实利率与名义利率 Real vs. Nominal Rates
费雪效应: 费雪效应: 近似 Fisher effect: Approximation 名义利率 =真实利率+通货膨胀率 真实利率+ nominal rate = real rate + inflation premium R = r + i or r = R - i 例如 Example r = 3%, i = 6% R = 9% = 3% + 6% or 3% = 9% - 6% 费雪效应: 费雪效应: 严格 Fisher effect: Exact r = (R - i) / (1 + i) 2.83% = (9%-6%) / (1.06) (9%5-5
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T 0
1/ T
e
rcc
即： EAR e 1 rcc ln( EAR) 1
rcc
10Table 5.1 Anual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
11
5.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
32
图5.6 1926-2005年历史收益率
33
5.8.2 风险资产组合的其他统计量
5.8.3 夏普比率
5.8.4 时间序列相关性
5.8.5 偏度与峰度 5.8.6 历史风险溢价的估计 5.8.7 全球历史数据
34
表5.4 资产的历史超额收益率1926- 2005
35
图5.7 世界名义和实际股权收益率 1900-2000
45
本章小结
实际利率与名义利率 证券均衡期望收益率 风险与收益的权衡 风险投资在长期看并不安全 非标准正态分布的风险度量
46
实际收益率不断提高，见表5-2 标准差相对稳定,见表5-2 短期利率受到通胀率的影响日趋明显， 见图5-2. 名义财富指数与实际财富指数相差越来 越大。
12
Table 5.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2005
7
5.2 持有期收益率
若T为持有期，P(T )为买入价格， 则贴现债券的持有期收 益率为： 100 rf (T ) 1 P(T ) 折为有效年利率 (EAR,effectiveannualrate) ，则为： 1 EAR 1 rf (T )
1/T
8
5.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率 (AP R annualpercent age e) ， rat 来表示，即若 1 一年为n 期，每期利率为 f (T )，则有： r T APR n r f (T )或r f (T ) T APR 更一般地，有： 1 EAR 1 r f (T )
T
1 2 gT T 2
39
5.9.2 夏普比率回顾
夏普比率的时间维度
5.9.3 长期未来收益率模拟 设总体的分布F未知，但已有一个容量 为n的来自分布F的数据样本，自这一样 本按放回抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，这种样本称为自举样本。相继 地、独立地自原始样本中取很多个自举 样本，利用这些样本对总体F进行统计 推断，这种方法称为自举法。 5.9.4 长期预测
通货膨胀率为i，即消费者物价指数 (CPI， consumer price index)变化的百分率。
近似地看，有： R i, r 其中r为实际利率， 为名义利率， 为通胀率 R i 严格上讲，有： 1 R Ri 1 r r 1 i 1 i
4
5.1.2 实际利率均衡
四因素：供给、需求、政府行为和通胀率
投资学 第5章
从历史数据中学习收益与风险
本章主要内容
利率水平的确定 期望收益与波动性 风险价值
2
5.1 利率水平的确定
利率水平的决定因素： 资金供给(居民) 资金需求(企业) 资金供求的外生影响(政府)
3
5.1.1 实际利率(real interest rate)与 名义利率(nominal interest rate)
记不确定情形的集合为，p( s)为各情形的概率， s r ( s)为各情形的HPR，E (r )为期望收益， 为标准差 则有：E (r ) p( s)r ( s )
2 p( s)[r ( s) E (r )]2
s
s
17
Scenario Returns: Example
State 1 2 3 4 5 Prob. of State .1 .2 .4 .2 .1 r in State -.05 .05 .15 .25 .35
利率 E’ ● 供给
均衡的 真实利率
E ●
需求 均衡资金借出 资金
5
5.1.3 名义利率均衡
费雪方程(Fisher equation)
R r E (i)
含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加
6
5.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 ， R 则税后名义利率为 (1 t ) R 税后实际利率为： R(1 t ) i (r i )(1 t ) i r (1 t ) it 可见：税后实际利率随 着通胀率的上升而下降
Risk Premium Sharpe Ratio for Portfolios = SD of Excess Return
26
5.6 正态分布
27
5.7 偏离正态
偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
Er ( s) E (r )
3
skew
3
峰度：
kurtosis
r (1) (140 100 4) /100 44%
20
21
5.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价 其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return) 例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％， 若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为 21.2元）的补偿。 投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌 恶(risk aversion)程度
5.4.1 持有期收益
股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains) 持有期收益率(holding-period return)
股票期末价格- 期初价格 现金红利 HPR 期初价格
16
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法
均值与方差(expected value and variance)
22
5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均 收益率的算术平均数：
1 n E (r ) s 1 p( s)r ( s) s 1 r ( s) n
n
23
5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
TVn (1 r1 )(1 r2 )(1 rn )
q%价值的值，从业者使用5%的分位数作为分 布的风险价值。
尾部条件期望(conditional tail expectation, CTE) 低偏标准差(Lower partial standard deviation,LPSD)
44
表5.5 Risk Measures for Non-Normal Distributions
历史数据的方差估计：
1 r (s) r n s 1 无偏化处理：
2
n
2
1 n [r ( s) r ]2 n 1 s 1
25
5.5.5 报酬-风险比率(夏普比率) The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
13
Figure 5.2 Interest Rates and Inflation, 1926-2005
14
Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills, 1966-2005
15
5.4 风险和风险溢价
E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)… + (.1)(.35) E(r) = .15
18
Variance or Dispersion of Returns
Variance:
p( s ) r ( s ) E (r )
2 s
2
Standard deviation = [variance]1/2
Er ( s) E (r )
4
4
3
28
图 5.5A 正态与偏度分布 (mean = 6% SD = 17%)
29
图5.5B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
30
5.8 股权收益与长期债券收益的历史记录
5.8.1 平均收益与标准差
基本结论：高风险、高收益
31
表5.3 各个时期的资产历史收益率1926- 2005
Using Our Example:
Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2…+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
19
例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
42
图5.12 Wealth Indexes of Selected Outcomes of Large Stock Portfolios and the Average T-bill Portfolio
43
5.10 非正态分布的风险度量
风险价值(value at risk, VaR)
VaR即分布的分位数(q)，是指一个处在低于
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV
1/ n
1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)
1/ T
e
rcc
即： EAR e 1 rcc ln( EAR) 1
rcc
10Table 5.1 Anual Percentage Rates (APR) and Effective Annual Rates (EAR)
11
5.3 短期国库券与通货膨胀(1926-2005)
32
图5.6 1926-2005年历史收益率
33
5.8.2 风险资产组合的其他统计量
5.8.3 夏普比率
5.8.4 时间序列相关性
5.8.5 偏度与峰度 5.8.6 历史风险溢价的估计 5.8.7 全球历史数据
34
表5.4 资产的历史超额收益率1926- 2005
35
图5.7 世界名义和实际股权收益率 1900-2000
45
本章小结
实际利率与名义利率 证券均衡期望收益率 风险与收益的权衡 风险投资在长期看并不安全 非标准正态分布的风险度量
46
实际收益率不断提高，见表5-2 标准差相对稳定,见表5-2 短期利率受到通胀率的影响日趋明显， 见图5-2. 名义财富指数与实际财富指数相差越来 越大。
12
Table 5.2 History of T-bill Rates, Inflation and Real Rates for Generations, 1926-2005
7
5.2 持有期收益率
若T为持有期，P(T )为买入价格， 则贴现债券的持有期收 益率为： 100 rf (T ) 1 P(T ) 折为有效年利率 (EAR,effectiveannualrate) ，则为： 1 EAR 1 rf (T )
1/T
8
5.2.1 年百分比利率
短期投资利率常用年百 分比利率 (AP R annualpercent age e) ， rat 来表示，即若 1 一年为n 期，每期利率为 f (T )，则有： r T APR n r f (T )或r f (T ) T APR 更一般地，有： 1 EAR 1 r f (T )
T
1 2 gT T 2
39
5.9.2 夏普比率回顾
夏普比率的时间维度
5.9.3 长期未来收益率模拟 设总体的分布F未知，但已有一个容量 为n的来自分布F的数据样本，自这一样 本按放回抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，这种样本称为自举样本。相继 地、独立地自原始样本中取很多个自举 样本，利用这些样本对总体F进行统计 推断，这种方法称为自举法。 5.9.4 长期预测
通货膨胀率为i，即消费者物价指数 (CPI， consumer price index)变化的百分率。
近似地看，有： R i, r 其中r为实际利率， 为名义利率， 为通胀率 R i 严格上讲，有： 1 R Ri 1 r r 1 i 1 i
4
5.1.2 实际利率均衡
四因素：供给、需求、政府行为和通胀率
投资学 第5章
从历史数据中学习收益与风险
本章主要内容
利率水平的确定 期望收益与波动性 风险价值
2
5.1 利率水平的确定
利率水平的决定因素： 资金供给(居民) 资金需求(企业) 资金供求的外生影响(政府)
3
5.1.1 实际利率(real interest rate)与 名义利率(nominal interest rate)
记不确定情形的集合为，p( s)为各情形的概率， s r ( s)为各情形的HPR，E (r )为期望收益， 为标准差 则有：E (r ) p( s)r ( s )
2 p( s)[r ( s) E (r )]2
s
s
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Scenario Returns: Example
State 1 2 3 4 5 Prob. of State .1 .2 .4 .2 .1 r in State -.05 .05 .15 .25 .35
利率 E’ ● 供给
均衡的 真实利率
E ●
需求 均衡资金借出 资金
5
5.1.3 名义利率均衡
费雪方程(Fisher equation)
R r E (i)
含义：名义利率应该随预期通胀率的增加而增加
6
5.1.4 税收与实际利率
记税率为t，名义利率为 ， R 则税后名义利率为 (1 t ) R 税后实际利率为： R(1 t ) i (r i )(1 t ) i r (1 t ) it 可见：税后实际利率随 着通胀率的上升而下降
Risk Premium Sharpe Ratio for Portfolios = SD of Excess Return
26
5.6 正态分布
27
5.7 偏离正态
偏度，亦称三阶矩(third-order moments)
Er ( s) E (r )
3
skew
3
峰度：
kurtosis
r (1) (140 100 4) /100 44%
20
21
5.4.3 超额收益与风险溢价
风险资产投资收益=无风险收益+风险溢价 其中，风险溢价(risk premium)又称为超额收益 (excess return) 例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％， 若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为 21.2元）的补偿。 投资者对风险资产投资的满意度取决于其风险厌 恶(risk aversion)程度
5.4.1 持有期收益
股票收益包括两部分：红利收益(dividends) 与资本利得(capital gains) 持有期收益率(holding-period return)
股票期末价格- 期初价格 现金红利 HPR 期初价格
16
5.4.2 期望收益与标准差：E-V方法
均值与方差(expected value and variance)
22
5.5 历史收益率时间序列分析
5.5.1 时间序列与情景分析 5.5.2 期望收益与算术平均 收益率的算术平均数：
1 n E (r ) s 1 p( s)r ( s) s 1 r ( s) n
n
23
5.5.2 几何收益率 Geometric Average Return
TVn (1 r1 )(1 r2 )(1 rn )
q%价值的值，从业者使用5%的分位数作为分 布的风险价值。
尾部条件期望(conditional tail expectation, CTE) 低偏标准差(Lower partial standard deviation,LPSD)
44
表5.5 Risk Measures for Non-Normal Distributions
历史数据的方差估计：
1 r (s) r n s 1 无偏化处理：
2
n
2
1 n [r ( s) r ]2 n 1 s 1
25
5.5.5 报酬-风险比率(夏普比率) The Reward-to-Volatility (Sharpe) Ratio
13
Figure 5.2 Interest Rates and Inflation, 1926-2005
14
Figure 5.3 Nominal and Real Wealth Indexes for Investment in Treasury Bills, 1966-2005
15
5.4 风险和风险溢价
E(r) = (.1)(-.05) + (.2)(.05)… + (.1)(.35) E(r) = .15
18
Variance or Dispersion of Returns
Variance:
p( s ) r ( s ) E (r )
2 s
2
Standard deviation = [variance]1/2
Er ( s) E (r )
4
4
3
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图 5.5A 正态与偏度分布 (mean = 6% SD = 17%)
29
图5.5B 正态与厚尾分布 (mean = .1, SD =.2)
30
5.8 股权收益与长期债券收益的历史记录
5.8.1 平均收益与标准差
基本结论：高风险、高收益
31
表5.3 各个时期的资产历史收益率1926- 2005
Using Our Example:
Var =[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05- .15)2…+ .1(.35-.15)2] Var= .01199 S.D.= [ .01199] 1/2 = .1095
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例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
42
图5.12 Wealth Indexes of Selected Outcomes of Large Stock Portfolios and the Average T-bill Portfolio
43
5.10 非正态分布的风险度量
风险价值(value at risk, VaR)
VaR即分布的分位数(q)，是指一个处在低于
TV = 投资终值(Terminal Value of the Investment)
g TV
1/ n
1
g= 几何平均收益率(geometric average rate of return)