倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)
倒向随机微分方程及其应用
倒向随机微分方程及其应用随机微分方程是一类以随机变量为未知数的微分方程，其解是一个随机过程。
倒向随机微分方程是随机微分方程的一种特殊形式，其解是由后向前求解的。
倒向随机微分方程在金融工程、物理学、生物学等领域中具有重要的应用。
倒向随机微分方程的形式为：dY(t) = f(t, Y(t)) dt + g(t, Y(t)) dW(t)其中，Y(t)是未知函数，f(t, Y(t))和g(t, Y(t))是已知函数，dW(t)是随机微分项，代表布朗运动。
这个方程描述了随机过程Y(t)在时间t的变化规律，受到外部随机因素的影响。
倒向随机微分方程的求解可以通过反演法或数值方法来实现。
反演法是一种基于概率论的解析方法，通过求解方程的特征函数或母函数来得到解析解。
数值方法则通过离散化时间和空间域，将微分方程转化为差分方程，利用数值算法求解。
倒向随机微分方程在金融工程中有广泛的应用。
例如，贝莱克-舒尔斯模型是一种用于定价期权的模型，其基本思想就是通过倒向随机微分方程来描述资产价格随时间的变化。
这个模型不仅可以用于期权定价，还可以用于风险管理和投资组合优化等领域。
在物理学中，倒向随机微分方程可以用于描述粒子在随机力作用下的运动。
布朗运动就是一种倒向随机微分方程的解，描述了被悬浮在流体中的微小粒子的运动轨迹。
布朗运动不仅在物理学中有重要应用，还在金融学、生物学和化学等领域中有广泛应用。
在生物学中，倒向随机微分方程可以用于描述遗传变异和进化过程。
遗传算法是一种基于倒向随机微分方程的优化算法，通过模拟自然进化过程来求解复杂的优化问题。
倒向随机微分方程在遗传算法中起到了重要的作用，帮助寻找最优解。
倒向随机微分方程作为一种重要的数学工具，在金融工程、物理学和生物学等领域中有广泛的应用。
通过倒向求解的方式，可以更好地理解和描述随机过程的演化规律，为解决实际问题提供了有效的数学手段。
随着研究的深入，倒向随机微分方程的应用领域将会进一步扩展，并为人类社会的发展做出更大的贡献。
倒向随机微分方程及其应用_彭实戈
数 学 进 展
ADV AN CES IN M A T HEM A T ICS
V ol. 26, N o. 2 April, 1997
倒向随机微分方程及其应用
彭实戈
( 山东大学数学系 , 济南 , 山东 , 250100)
摘要 本文将 介绍一类新的方程: 倒向随机微 分方程 . 为 便于理解 ,我 们将首先通过与 常微分 方程和经典的 随机微分方 程 ( It. o 方程 )的对 比 . 并 通过数理经 济和数学金 融学中的 一个典 型的例子 来引入倒向 随机微分 方程 . 然 后给出解 的存在唯一 性定理和 比较定 理 . 并 介绍非线性 Fey nma n-Kac 公式 , 它 给出了倒向随机微 分方程的解与一大类 常见的非线性偏 微分 方程 (组 )的 解之间的 对应关系 , 从而为 将来利用 M onté -Ca rlo 型的随机 计算方 法计算 大量的偏微分方程开辟了新的途径 . 最后介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用 .
以下我们转而考虑常微分方程 ( 2)的不确定情况下的推广、即倒向随机微分方程 . 我 们仍然要求方程的解是适应的 . 应该注意到这一要求是非平凡的: 它意味着我们要通过 将来时刻 T 给定的一个 (一般可以是随机的 )目标 yT = a解出现在时刻的值 y ( 0) . 这一 要求乍一看起来似乎不现实 . 为了更好的理解 . 下面我们举一个离散时间情况下的非常 简单的例子 , 它在金融数学中是非常典型的 .
收稿日期: 1993-07-05. 修改稿: 1995-06-27. 国家自然科学基金资助项目 .
98
数 学 进 展
2 6卷
倒向随机微分方程的理论研究的历史较短 , 但进展却很迅速 . 除了其理论本身所具 有的有趣的数学性质之外 , 还因为发现了重要的应用前景 . 著名经济学家 Duf fie 和 Epstein发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好 (即效用函数理论—— 这是计量 经济学的基础 . 见 [ 12 ]) . 彭通过倒向随机微分方程获得了非线性 Fey nma n-Kac公式 ,从 而可以用来处理诸如反应扩散方程和 Navier-St okes方程等众所周知的重要非线性偏微 分 方程组 (见 [ 38] ) . Ei Karo ui和 Quenez发现金融市场的许多重要的派生证券 (如期权 期货等 )的理论价格可以用倒向随机微分方程解出 (见 [ 19, 18, 14, 15 ] ) .
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、经济等领域中有广泛的应用。
然而，在实际求解微分方程时，由于计算机运算能力和数值方法的限制，我们无法得到精确解，而只能得到数值解。
因此，对于数值解的误差分析显得尤为重要。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、数值解的精度和稳定性分析在求解微分方程时，我们通常采用数值方法，将连续的方程转化为离散的形式。
而数值解的精度和稳定性是我们评估数值方法好坏的重要指标。
数值解的精度指的是数值解与精确解之间的差别，而数值解的稳定性则是指数值方法对初始条件和参数变化的敏感程度。
为了分析数值解的精度和稳定性，我们可以采用以下方法：1. 改变离散化步长：通过减小离散化步长，我们可以获得更加精确的数值解。
在此过程中，我们可以观察数值解的变化情况，以评估数值解的精度。
2. 比较不同数值方法：在求解微分方程时，存在多种数值方法可供选择，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
我们可以用不同的数值方法分别求解同一个微分方程，然后比较数值解的差别，以评估数值方法的精度和稳定性。
3. 研究截断误差：数值解的误差主要由截断误差和舍入误差组成。
其中，截断误差是由于将无限精度的数值问题转化为离散形式所引入的误差。
通过分析截断误差的大小和变化趋势，我们可以判断数值方法的收敛性和稳定性。
二、舍入误差的估计和控制舍入误差是由计算机数值运算的有限精度所引入的误差。
在求解微分方程时，我们需要进行大量的数值计算，从而会积累舍入误差。
为了减小舍入误差的影响，我们需要采取以下方法：1. 使用高精度计算：可以使用高精度的数值计算库或软件，如GNU多精度库(GMP)、Python中的decimal模块等，以增加计算的精度。
2. 选择合适的计算顺序：在进行数值计算时，不同的计算顺序可能会导致不同的舍入误差。
通过合理安排计算的顺序，可以减小舍入误差的积累。
3. 选取合适的数值格式：计算机内部对数值的表示是有限的，因此我们需要选择合适的数值格式，在保证精度的同时，避免数值过大或过小而引入舍入误差。
正倒向随机微分方程组的数值解法_赵卫东
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随机倒向微分方程
随机倒向微分方程
随机倒向微分方程是一种描述随机系统动力学行为的数学工具。
与传统的随机微分方程不同，随机倒向微分方程是基于观测数据的反向推导，可以更加准确地描述系统的行为。
随机倒向微分方程的基本形式为：
dX_t = f(X_t)dt + g(X_t)dW_t
其中，X_t是系统的状态变量，f(X_t)和g(X_t)是确定性函数，dW_t是Wiener过程的微小增量。
这个方程描述了系统在时刻t的状态变化，其中随机项代表了系统受到的外部随机干扰。
随机倒向微分方程的求解需要使用贝叶斯统计学的方法，即给定初始状态和观测数据，反向推导出系统的状态演化。
这种方法可以避免传统方法中需要对系统的未知参数进行估计的问题，因此具有更高的准确性和可靠性。
随机倒向微分方程在金融、生物、物理、化学等领域中有着广泛的应用。
在金融领域中，它被用于股票价格、汇率、利率等金融市场的建模和预测。
在生物领域中，它被用于描述基因表达、神经元活动、细胞生长等生物系统的动力学行为。
在物理和化学领域中，它被用于描述分子运动、化学反应等物理过程的演化。
随机倒向微分方程的应用还面临着一些挑战。
首先，由于需要反向推导系统的状态演化，需要大量的计算资源和时间。
其次，由于随机项的存在，方程的解不是唯一的，需要进行模型选择和验证。
最后，随机倒向微分方程的参数估计也是一个难题，需要使用高级的统计学方法进行优化。
总之，随机倒向微分方程是一种强大的数学工具，可以更加准确地描述和预测随机系统的动力学行为。
随着计算能力和统计学方法的不断发展，它将在更多的领域中得到广泛的应用。
随机微分方程的数值求解算法
随机微分方程的数值求解算法随机微分方程是一类常用于描述随机现象的数学模型，它包含了随机项，其解的求解过程相对复杂。
为了解决随机微分方程的数值求解问题，研究者们提出了各种算法和方法。
本文将介绍几种常见的随机微分方程数值求解算法，并探讨其应用和优缺点。
一、欧拉-马尔可夫算法欧拉-马尔可夫算法是随机微分方程数值求解的常用方法之一。
它基于欧拉方法，通过将微分方程离散化为差分方程，再引入随机项进行模拟。
具体来说，将微分方程中的导数项用中心差分或前向差分逼近，然后加上一个服从正态分布的随机项，即可得到欧拉-马尔可夫算法的迭代公式。
该算法简单易行，适用于各种类型的随机微分方程，但对于高维问题和强非线性问题的求解效果可能较差。
二、随机Runge-Kutta方法随机Runge-Kutta方法是一种基于Runge-Kutta方法改进的随机微分方程数值求解算法。
该方法通过引入随机项的高阶导数进行估计，提高了数值解的精度和稳定性。
具体来说，随机Runge-Kutta方法将微分方程离散化为差分方程，再使用Runge-Kutta方法求解差分方程的近似解，同时引入随机项进行模拟。
该算法相比于欧拉-马尔可夫算法，求解效果更好，适用于较复杂的随机微分方程，但计算量较大。
三、随机Taylor展开法随机Taylor展开法是一种基于Taylor展开的随机微分方程数值求解算法。
该方法将随机微分方程展开为无穷级数，通过截断展开后的级数来近似求解。
具体来说，随机Taylor展开法使用随机项的高阶导数来估计微分项的取值，然后通过级数相加得到近似解。
该算法精度较高，适用于低维问题和弱非线性问题，但对于高阶问题的求解可能存在数值不稳定性。
综上所述，随机微分方程的数值求解算法有欧拉-马尔可夫算法、随机Runge-Kutta方法和随机Taylor展开法等多种选择。
在实际应用中，根据问题的具体性质和求解要求，选择合适的算法进行求解是非常重要的。
未来的研究中，还可以通过改进算法的数值稳定性、提高算法的计算效率等方面，进一步完善随机微分方程的数值求解方法。
方程的数值解法及其误差分析
方程的数值解法及其误差分析随着计算机技术的不断发展，数值解法在科学计算中得到了广泛的应用。
方程的解是科学研究、工程设计及经济决策中常常要求得到的重要信息之一。
而大多数方程无法通过解析方法求得精确解，因此需要使用数值解法进行计算，得到近似解。
数值解法的误差分析是研究数值解法精度和可靠性的重要方法，本文将介绍方程的数值解法及其误差分析。
一、数值解法数值解法是一种用数值计算的方法寻找或逼近某一方程或系统的解。
数值解法可以分为直接方法和迭代方法两种。
直接方法是通过运用一些固定的算法来直接求出答案，但代价是计算程度较高。
例如，高斯消元法、LU分解法就是常见的直接方法。
迭代方法是通过从一个开始值开始一直进行计算的方式，来逼近方程数值解的方法。
迭代方法计算量相对比较小，常常被用于大规模数据的计算。
常见的迭代方法有牛顿迭代法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
数值解法的误差分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于采用数值计算方法得出的结果和真实结果的差值所引入的误差。
舍入误差是由于计算机进行计算时，因为计算机对数据所能表示的精度有限，导致近似值和真实值的差值所引入的误差。
二、误差分析误差分析对于确保数值解计算精度、保证计算结果可靠非常重要。
误差分析的基本方法有理论分析法和实验分析法两种。
实验分析法是通过实验数据分析误差特征、精度评定得出误差估计结果的方法。
这种方法相对比较直接，但是实验数据的质量和数量很大程度上影响了误差的分析精度。
而理论分析法通过推导计算或数学模型，直接得出误差算式或误差范围，从而得到误差估计值。
这类方法应用非常广泛，是基本的误差分析方法之一。
误差分析方法对于保证数值解法的精度和可靠性有重要意义。
不同的误差分析方法在实际应用中需要根据具体情况进行选择，以提高误差估计的准确性和精度。
三、数值解法应用数值解法应用广泛，例如在工程设计中，常常需要通过数值解法来求解大规模非线性方程组。
微分方程中的数值解误差分析方法
微分方程中的数值解误差分析方法在数学领域中，微分方程是描述自然现象和物理现象的一个非常重要的工具。
然而，大多数微分方程很难用解析的方法求解，因此我们通常使用数值方法来近似求解。
然而，这些数值解不可避免地会引入误差。
本文将介绍微分方程中的数值解误差分析方法。
一、局部截断误差在使用数值方法求解微分方程时，我们通常会引入一个步长h。
在每个步长上，我们通过一系列迭代计算来逼近真实的解。
然而，由于近似计算和舍入误差等原因，我们得到的数值解与真实解之间存在误差。
这个误差被称为局部截断误差。
局部截断误差可以通过泰勒展开来近似计算。
假设我们使用的数值方法是Euler方法，那么可以得到如下的局部截断误差公式：$$LTE = \frac{y(t_{n+1}) - [y(t_n) + hf(t_n, y(t_n))]}{h}$$其中，$y(t_n)$是真实解在时间点$t_n$的值，$f(t_n, y(t_n))$是微分方程的右侧函数在$t_n$和$y(t_n)$处的取值。
二、全局截断误差除了局部截断误差之外，我们还需要考虑全局截断误差。
全局截断误差是指在整个求解过程中，数值解与真实解之间的误差累积情况。
通过对局部截断误差进行逐步累积，我们可以得到全局截断误差的估计。
例如，使用Euler方法求解微分方程，假设总共迭代了N步，步长为h，则全局截断误差的估计为：$$GTE = \frac{LTE}{h} \times N = \frac{y(T) - y(t_0)}{h} = O(h)$$其中，$y(T)$是真实解在求解区间的终点处的值，$y(t_0)$是真实解在求解区间的起点处的值。
三、稳定性分析除了局部截断误差和全局截断误差，稳定性也是数值解的一个重要性质。
在数值方法中，一个稳定的方法可以保证数值解不会因为舍入误差或者数值不稳定性而发散。
稳定性分析通常通过稳定性函数来进行判断。
对于一个给定的数值方法，我们可以将其误差传播到未来的时间点，然后观察误差是否会趋于无穷大。
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倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计
倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。
1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。
非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。
Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。
从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。
在El Karoui和Mazliak[30],Ma和
Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。
倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。
但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。
在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。
相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。
出现这
一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。
其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。
在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。
这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。
2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。
本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。
下面我们列出本文的主要结果。
第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。
第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。
证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。
当
θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。
在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。
我们称下面两个解(?)的方程为离散
BSDE(2-1)的θ格式:对该格式的误差估计主要有下面的定理。
定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。
定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式
(2-12)和(2-13)在θ=(?)时的解,(y_t,z_t)(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的真实解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有全离散θ格式可以如下定义:给定随机变量y_i~N,i∈Z,寻找近似解(?)满足全离散θ格式的误差为:定理2.7.令
(y_t,z_t)是BSDE(2-1)的解,(y_i~n,z_i~n)是通过线性多项式插值计算(?)的
全离散格式(2-70)和(2-71)的解,那么在假设2.1下,对一般的θ∈[0,1]的全
离散θ格式有特别的,对θ=(?)的全离散θ格式有对θ=1的全离散θ格式
有第三章:对一般的多维BSDE提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计,证明格式是二阶收敛的。
在本章最后对第二章以及本章的数值格式进行了数值模拟。
对n=N,N-1,…,0和终端条件(?)和(?),称下面两个式子为BSDE(3-1)分量形式的Crank-Nicolson格式,这里(?)是矩阵(?)的第j列。
写成矩阵形式为:Crank-Nicolson格式的误差估计有下面的定理。
定理3.1.假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有误差估计其中y_t和y~n分别是BSDE(3-1)和Crank-Nicolson格式(3-18)和(3-19)的解,C是一个仅依赖于T,φ和f的导数的上界以及(3-4)的解u(t,x)的正常数。
定理3.2.令z_t和z~n分别是(3-15)和(3-21)的解,假设2.1成立,那么对足够小的时间步长Δt_n我们有BSDE(3-1)的时间空间全离散Crank-Nicolson格式为:寻找(?),使得(y_i~n,z_i~n)满足第四章:对一般形式的BSDE提出了Adams格式,对f不依赖于z的情形进行了误差估计,证明了Adams格式的高精度收敛。
对n=N-m,…,0,BSDE(4-1)的Adams格
式为:终端值y~N由BSDE(4-1)的终端条件给出。
全离散Adams格式可以如下定义:给定随机变量y_i~B,先用Runge-Kutta方法求出(?)的值,然后寻找近似解(?)满足对生成元不依赖于z的BSDE的Adams格式的误差估计由下面两定理给出。
定理4.1.假设2.1成立并且假定(?),则对足够小的时间步长,我们有误差
估计其中y_t和y~n分别是BSDE(4-1)和Adams格式(4-25)和(4-26)的解,C是一个仅依赖于T,函数φ,f和(1-4)的解u(t,x)上界的常数。
定理4.2.令z_t
和z~n分别是(4-23)和(4-25)的解,假设2.1成立并且(?),则对足够小的时间步长我们有
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