倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net应用数学
MATHEMATICAAPPLICATA
2002,15(2):9～13
倒向随机微分方程的理论、发展及其应用Ξ
周少甫1,黄志远2,张子刚3
(1.华中科技大学经济学院,湖北武汉430074;2.华中科技大学数学系,湖北武汉430074;3.
华中科技大学管理学院;湖北武汉430074)
摘要:本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状,介绍了
作者博士论文的主要工作.
关键词:金融数学;倒向随机微分方程;随机微分效用;正—倒向随机微分方程
中图分类号:O211.63 AMS(2000)主题分类:60H30
文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)0220009205
一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于HarryMarkowitz[1]在1952
年的开创性工作,他为现代有价证券的组合理论奠定了基础,他的理论引发了所谓的第一次
“华尔街革命”.许多学者进一步发展了他的理论.下一步重要的发展是1964年Sharpe[2]和
1965年Lintner[3]提出的资本资产定价模型(CAPM)及1976年Ross[4]把CAPM模型扩展成套
利定价模型(APT).1973年,FisherBlack和MyronSchole[5]发展了“期权及公司债务的定价”,提
出了第一个完整的期权定价模型.同一年,RobertMerton[6]发表了“计算期权合理价格的理
论”.这些里程碑式的成果,引发了第二次“华尔街革命”,在理论和实践中都有特别重要的意
义.FisherBlack和MyronSchole的期权定价模型提出之后,金融数学以前所未有的的速度发展.
许多现代的数学工具,如随机微积分[7,8,9],鞅方法,凸分析[10],随机最优控制,多元统计分
析,数学规划[11,12],现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用.许多经济学家和数
学家都为金融数学的发展作出了贡献.他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。
金融数学的发展,也促进了一类新的随机微分方程理论———倒向随机微分方程的出现,发展和
逐步完善.
倒向随机微分方程理论研究的历史较短,但进展却很迅速,除了其理论本身所具有的有趣
数学性质之外,还发现了重要的应用前景.1973年,法国数学家Bismut[13]在研究随机最优控
制时,研究了线性BSDE的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程:
dX(t)=b(t,X(t)dt+σ(t,X)dW(t),
X(T)=X,0≤t≤T.(1)
实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题,即终值问题,在金融理论中,递归效用,微分
Ξ收稿日期:2001212205
基金项目:国家自然科学基金项目(70071011)
作者简介:周少甫(19632),男,汉,华中科技大学管理学院博士后,副教授,研究方向:随机过程.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net效用,期权定价等经济理论研究都需要考虑终值问题,但由于终值变量X是FT可测的,如果要
考虑具有Ft适应过程X(t)满足(1),且X(T)=X,方程(1)往往无解,为此众多学者作了不懈
努力.如利用样本广义解方法,如Huang(1984)[14]把终值问题转化为初值问题求解;利用随
机流产生σ2代数,如Kunita(1990)[15],但其σ2代数流是倒向的;增大σ2代数流,如
Jeulin(1979)[16],令Ft=σ(Ft∪X),但此时Brown运动关于新的σ2代数流一般不再是Brown
运动,而是半鞅;利用Malliavin随机变分学,如Nualart,Pardoux[17]讨论非适应过程的随机微
分方程,但这仅在某些特殊情况下得到较满意的结果.1990年,我国学者彭实戈和法国学者E.
Pardoux受控制问题的启发,在众多学者研究的基础上,发现了下面形式的有限维倒向随机微
分方程是可解的,在系数f满足Lipschitz条件下,解是唯一的.
dy(t)=-f(t,y(t),z(t))dt+z(t)dW(t),
y(T)=Y.(2)
(2)和(1)的最大不同在于它中间除了对W(t)适应的未知过程y(t)需要求解外,还有一个适
应过程z(t)也同时要求解.这个z(t)是dW(t)前的系数,也就是布朗运动W对y的运动的干
扰强度.即使d前的系数f(t,y(t),z(t))中不含z(t),一旦f确定后,根据y的最终状态,这个
干扰强度z(t)也就完全确定,因为他们证明了在f关于y,z满足一致Lipschitz条件下,(2)存在
唯一的一对解.巧合的是,1992年,著名经济学家Duffie和Epstein[18]提出,不确定环境下的效
用函数应当由一种新的“随机微分效用”来递归解出,独立地获得了如下特殊情况的倒向随机
微分方程:
dy(t)=g(y(t),z(t))dt-z(t)dW(t),
y(T)=0.(3)
此时,g中的z刻画了效用函数的“风险厌恶”(riskaversion)程度.但他们的理论只能处理g是
z的平方或g不含z的两种情况.Karoui,Peng和Quenez[19]的文章对此进行了系统的论述,合
理地解释了为什么需要更一般的倒向随机微分方程来刻画效用函数.
(2)有下面的一般形式
dy(t)=-f(t,y(t),z(t))dt+(g(t,y(t))+z(t))dW(t),
y(T)=Y.(4)
Peng和Pardoux[20]证明了对固定t,f关于y,z,g关于y满足Lipschitz条件下解的存在唯一性
定理.一般说来,Lipschitz条件太强,许多学者放宽了f,g所满足的条件,证明了(4)解的存在
唯一性,并在d=1情况下,建立了相应的比较定理.Peng(1993)[21]证明了方程(2)在f满足
局部Lipschitz条件下,解的局部和整体存在唯一性.
Daring和Pardoux[22]证明了方程(2)在f关于y满足单调性条件,关于z满足Lipschitz条件
下,解的存在唯一性.毛学荣[23]在类似于Yamada和Watanabe条件下:f(s,・,・)关于y,z,
g(s,・)关于y满足
|f(t,y,z1)-f(t,y2,z2)|2≤ρ(|y1-y2|2)+C|z1-z2|2,
|g(t,y1)-g(t,y2)|2≤ρ(|y1-y2|2),(5)
其中ρ∶R+→R非减凹函数,ρ(0)=0及∫
0+ρ-1(u)du=∞得到BSDE(4)解的存在唯一性.Cao
和Yan[24]给出了d=1时,在毛学荣条件(5)
下方程(2)的比较定理.条件(5)是Lipschitz条件
的自然推广.如K>0定义ρ(u)=Ku,u≥0,则f关于y,z,g关于y满足Lipschitz条件.我
们注意到方程u′=ρ(u)在初始条件u0=0下,有唯一解u≡0.函数ρ(u)有明显的实际意01应用数学 2002
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net义.例如:经济学中的效用函数是一个严格增,严格凹的连续可微函数u∶R+→R且u′(∞)=
0,u′(0+)=∞,它显然不满足Lipschitz条件,但却可能满足上述函数ρ的条件.
1997年,司徒荣[25]考虑了如下带跳有限维倒向随机微分方程的解:
xt=X+∫τ
t∧Tb(s,xs,qs,ps,ω)ds-∫τ
t∧TqsdWs-∫τ
t∧T∫zps(z)Nk(ds,dz),t≥0,(6)
这里τ为有界停时,X是Fτ可测r.v.,NK是Possion鞅测度,其中b可分成两部分:b1+b2,b1满足弱单调性条件,b2满足Lipschitz条件.就本文作者所知,迄今为止,此条件是保证(6)解的
存在唯一性最弱的一组条件.陈增敬[26]考虑了方程(2)在d=1,T被一个停时τ取代,在条
件H1-H3(见[38]第二章)下,解的存在唯一性.在[38]第二章,我们给出了其相应的比较定
理.由于控制理论和经济研究的需要,1993年,Antonelli[27]首先提出了如下形式的
Ut=Jt+∫t
0fs(Us,Vs)dXs,
Vt=E∫T
tgs(Us,Vs)dZs+Y|Ft,0≤t≤T,
VT=Y,(7)
倒向随机微分方程(简称FBSDE),此时(Ω,F,{Ft}0≤t≤T,P)是满足通常条件的完备概率空
间,Y是Ft2可测r.v.,fs,gs,满足Lipschitz条件,Xs和Zs是半鞅,Jt为循序可测过程.加上适当
条件,Antonelli证明了(7)解的存在唯一性.1994年,Ma,Protter和Yong[28]研究了有限维FBSDE的更一般形式:
Xt=x+∫t
0b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t
0σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,
Yt=g(XT)+∫T
t^b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫T
t^σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,0≤t≤T.(8)
当σ非退化时,给出了求解的“四步方法”.为了保证每步行得通,b,^b,σ,^σ和g应满足[28]假
设A1-A4.1995年,Hu和Peng[29]讨论了下面的特殊形式的FBSDE,在其系数满足某种单调
性条件下,解的存在唯一性定理.
Xt=x+∫t
0b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t
0σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,
Yt=g(XT)-∫T
th(s,Xs,Ys,Zs)dt-∫T
tZsd
Ws,0≤t≤T.(9)
1998年,Hamadene[30]在Hu和Peng研究基础上,给出了更弱的两组条件,通过定义迭代
序列,分别证明了(9)解的存在唯一性定理.这里要指出的是,对有限维的BSDE,FBSDE解的存
在唯一性证明都依赖于It^o公式,对无穷维倒向随机发展方程适度解的讨论,不能直接用It^o公
式,只能定义Picard迭代序列,通过区间细分的方法,逐段证明适度解的存在唯一性.
到现在为止,有限维倒向随机微分方程的理论研究已趋完善,该理论已被广泛应用到投资
决策,期权定价,递归效用,随机微分效用等经济理论和实践中.特别值得一提的是倒向随机微
分方程理论可以用来对不完备市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提供有力的分析
和近似计算方法.一个典型的例子就是可以解决投资组合受限且限制非凸的情况下定价问题.
随着Hilbert空间中最优控制理论的讨论,要求我们考虑Hilbert空间中倒向随机微分方程
解的存在唯一性问题.Hilbert空间中BSDE理论应看作是有限维BSDE理论的一个自然扩展,11第2期 周少甫等:倒向随机微分方程的理论、发展及其应用
倒向随机微分方程解的比较定理
倒向随机微分方程解的比较定理
曹志刚;严加安
【期刊名称】《数学进展》
【年(卷),期】1999(028)004
【摘 要】毛学荣新近将彭实戈和Ｐａｒｄｏｕｘ关于倒向随机策分方程解的存在性定理推广到非Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ系数情景，此文将彭实戈的比较定理推广到这一情形，主要工具是Ｔａｎａｋａ－Ｍｅｙｅｒ公式，Ｄａｖｉｓ不等式和Ｂｉｈａｒｉ不等式。
【总页数】5页(P304-308)
【作 者】曹志刚;严加安
【作者单位】中国人民大学信息学院;中国科学院系统所
【正文语种】中 文
【中图分类】O211.63
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随机微分方程研究现状
随机微分方程研究现状
一、前言
在现代数学的发展史上，随机微分方程作为一种重要的数学工具，已经被广泛应用于众多领域，如统计物理、金融学、生物学、化学、工程学等。因此，研究随机微分方程的现状显得尤为重要。本文将从理论和应用两个方面，探讨当前随机微分方程研究的现状。
二、理论方面
随机微分方程理论的主要发展分为两个阶段：确定性微分方程理论和随机微分方程理论。确定性微分方程理论是建立在欧拉、拉格朗日、柯西等数学家的工作基础之上。随机微分方程理论则进一步将随机性考虑进入微分方程模型，并通过测度论来描述其解的性质。
随机微分方程的解是关于决策的一个分布，这启发了人们去研究随机微分方程与控制论、优化问题之间的联系。近年来，关于随机微分方程控制的研究逐渐升温，成为随机微分方程理论的研究热点之一。研究表明，几乎所有的随机微分方程控制问题都可以看作是解决某一随机微分方程的最优控制问题，而且这些问题的解在一定的条件下是唯一的。
三、应用方面
在金融学中，随机微分方程的应用十分广泛。随机微分方程被用于对股票价格的预测、对投资组合的最优化配置以及利率和债券价格等的分析。对于这些问题，建立随机微分方程模型是非常有效的。
生物学中也经常使用随机微分方程进行建模和分析。例如，生物学家可以利用随机微分方程来模拟化学反应的随机性，从而掌握某些生物过程的内在原理。此外，随机微分方程模型还可以用于模拟和解决传染病的扩散问题。
化学中的动力学问题同样可以用随机微分方程来刻画。通过随机微分方程模型，我们可以更好地理解化学过程中不确定性与随机性的组合效应。
工程学中，随机微分方程被广泛应用于控制理论、通信系统、自适应控制等领域。例如，通过建立随机微分方程模型，可以对信号处理系统进行建模和仿真，从而更好地预测系统行为和性能。
四、结语
总的来说，随机微分方程在理论和应用方面汇聚了广泛而深刻的研究成果。未来，我们可以继续探索随机微分方程模型的新领域，拓展其应用空间，充分发挥其在各领域的优势和作用。
倒向随机微分方程在原保险定价中的应用
倒向随机微分方程在原保险定价中的应用
曹姗姗
【期刊名称】《湖北师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(036)002
【摘 要】主要讨论在金融市场只有两种资产(无风险资产和风险资产)的条件下,建立原保险价格满足倒向随机微分方程的定价摸型,求解方程,得到定价公式P=1/1-h*E[ξexp(-∫T0(s)ds].并通过“均值+方差”定价法的对比,检验定价公式的可行性.
【总页数】4页(P60-63)
【作 者】曹姗姗
【作者单位】湖北师范大学数学与统计学院,湖北黄石435002
【正文语种】中 文
【中图分类】F832.p
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关于倒向随机微分方程生成元的逆比较定理(英文)
关于倒向随机微分方程生成元的逆比较定理(英文)
江龙
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2004(17)4
【摘 要】Coquet等人在g(t,y ,0 )≡ 0的条件下建立了一个关于倒向随机微分方程生成元g的逆比较定理 .本文对一般的倒向随机微分方程的生成元以及对L2 有界的生成元分别得到了两个新的逆比较定理 .
【总页数】8页(P575-582)
【关键词】倒向随机微分方程;生成元;比较定理;逆比较定理;L^2—有界生成元
【作 者】江龙
【作者单位】山东大学数学与系统科学学院
【正文语种】中 文
【中图分类】O211.6
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条件平均场随机微分方程的最优控制问题
数学年刊A辑
2021, 42(1):75-88
DOI: 10.16205/ki.cama.2021.0007
条件平均场随机微分方程的最优控制问题
吴霜1
提要作者研究了一个条件平均场随机微分方程的最优控制问题.这种方程和某些部分信息下的随机最
优控制问题有关，并且可以看做是平均场随机微分方程的推广.作者以庞特里雅金最大值原理的形式给
出最优控制满足的必要和充分条件.此外，文中给出一个线性二次最优控制问题来说明理论结果的应用.
关键词 条件平均场随机微分方程，随机最大值原理，倒向随机微分方程，线性二次最优控制，
黎卡堤方程
MR (2000)主题分类 93E20, 60H10
中图法分类0225, 0231.3
文献标志码A
文章编号 1000-8314(2021)01-0075-14
1引言
本节先给出在以后章节中出现的符号.令(C,兀｛兀｝0€圧丁，町是一个完备的概率空
间，这里的T > 0是一个常数,兀=<7(叭s);0 W s 5
尸=
斤，而｛VT(t)｝舜o表示一
个标准的d维布朗运动.令QtQTt是一个给定的子-代数，它表示控制者在时刻t所
能获得的信息.通篇我们以K"表示n维欧式空间，以Rnxd表示nxd矩阵空间，以上
标r表示向量或矩阵的转置.对给定的欧式空间，我们以〈•,•〉(〔• |)表示内积(范数)，以U
表示一个非空凸子集.此外若一个卯-值,兀-适应的(或弘适应的)随机过程如)满足
妙(t)Fdt < +oo,我们记为讽・)e仍(0,T;肿)(或仍(0,T;腐));若一个肿-值,兀-适
应的连续随机过程炉(・)满足E[ sup⑷⑴鬥< +oo,我们记为炉(・)e S|(0,T;R").
研究的初衷始于如下部分信息下的随机控制问题，其中的状态方程是一个受控的随
机微分方程(SDE)
'dX(t)=雎,X(t),叫 X(t)|$],"(t),叫 u(t)覘)dt
< +a{t, X(t),叫X(t)|$],呃),叫u(t)覘)dW(t),
倒向随机微分方程 书籍
倒向随机微分方程 书籍
关于随机微分方程的书籍有很多值得推荐的。首先，我建议你阅读Stochastic Differential Equations: An Introduction
with Applications，这是一本由 Bernt Øksendal 编写的经典教材，它涵盖了随机微分方程的基本概念和应用。此外，还有一本名为Stochastic Differential Equations and Applications，作者是 Avner Friedman，这本书也是一个很好的选择，它深入讨论了随机微分方程在生物学、金融学和工程学等领域的应用。另外，还有一本书是Stochastic Differential Equations: Theory and
Applications，作者是 Arnljot Hoyland和David Applebaum，这本书对随机微分方程的理论和应用进行了全面的介绍。最后，还有一本书是Introduction to Stochastic Differential Equations，作者是 Hans-Otto Georgii，它也是一本很好的入门教材，适合想要快速了解随机微分方程基本概念的读者。希望这些推荐能够对你有所帮助，如果你对特定领域的随机微分方程有兴趣，也可以进一步寻找针对该领域的专业书籍。
平均场倒向随机微分方程下的随机微分效用
分类号学号M201070073学校代码10487
密级
硕士学位论文
平均场倒向随机微分方程下
的随机微分效用
学位申请人：陈莹莹
学科专业：概率论与数理统计
指导教师：王湘君副教授
答辩日期：2012.5.19AThesisSubmittedinPartialFulfillmentoftheRequirements
fortheDegreefortheMasterofScience
StochasticDifferentialUtilityBasedon
Mean-FieldBackwardStochasticDifferential
Equations
Candidate:ChenYingying
Major:ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics
Supervisor:AssocAssociateiate
ProfProfessoressor
essorWangWang
Xiangjun
HuazhongUniversityofScience&Technology
Wuhan430074,P.R.China
May,2012独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的
研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人
或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已
在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：
日期：年月日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权
保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借
阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进
行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
保密□，在年解密后适用本授权书。
不保密□。
（请在以上方框内打“√”）
从复制到倒向随机微分方程
作者： 王忠玉;刘培杰
出版物刊名： 科学中国人
页码： 53-54页
主题词： 期权定价 买进期权 随机微分方程 股票价格 证券投资组合 股票期权 衍生证券 布
莱克 投资者 套期保值
摘要： 一、期权与期权定价 随着布莱克和斯科尔斯合著的一篇载于《政治经济学杂
志》1973年5月号的“期权定价与公司债务”的发表,期权定价这个神秘的问题被认为在金融经
济学上有了新的重要意义。此期权定价模型公式的诞生是1973年金融界出现两个重大事件之一,
另一个是1973年4月,第一家现代期权交易市场,即芝加哥期权交易所(CBOE)正式开张营业,挂牌
推出12种期权交易。从此,股票期权交易登上官方金融产品交易项目
带有随机生成元的倒向随机微分方程的共单调定理
２００８，２８Ａ（１）：１１６—１２７
数学物理学报
带有随机生成元的倒向随机微分方程的共单调定理
张慧 （山东财政学院 统计与数理学院 济南２５００１４）
摘要：该文利用Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分的方法研究带有随机生成元的倒向随机微分方程（简记ＢＳＤＥ）， 给出了关于比较某些ＢＳＤＥ的解（Ｙ，Ｚ）中Ｚ的方法，在此基础上继续研究（Ｙ，Ｚ）的某些重要 性质，指明了当ＢＳＤＥ的生成元是随机的情况下，ｚｅｎ鲥ｉｎｇ Ｃｈｅｎ等人文章中得到的共单调 定理是不成立的，然后寻找带有随机生成元的ＢＳＤＥ的共单调定理成立的特殊情况，最后研 究了一类９一期望的可加性以及Ｃｈｏｑｕｅｔ积分表示定理．
关键词：倒向随机微分方程（简记ＢＳＤＥ）；Ｍａｌｌｉａｖｉｎ微分；９一期望；Ｃｈｏｑｕｅｔ积分．
ＭＲ（２０００）主题分类：６０Ｈ１０ 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标识码 Ａ
文章编号：１００３—３９９８（２００８）０１—１１６－１２
１ 引言
对固定的时间Ｔ＞０，令（ ）０＜ｔ＜Ｔ是ｄ一维标准布朗运动．关于∈和ｇ给出一些假设
条件，Ｐａｒｄｏｕｘ和彭实戈（见文献［１】）证明了存在唯一的一对适应过程，记作（Ｙ，Ｚ）且满足
下面的ＢＳＤＥ 厂Ｔ 厂Ｔ Ｙｔ＝∈＋／ －９（８，Ｙ ，ｚ￣）ｄｓ一／（ｚ ） ｄⅥ ，０ ｔ Ｔ． （ ） ｌ，ｔ ｄｔ
由于这一方面的理论与数理金融、随机控制、偏微分方程、随机决策、随机几何、数理经济
等有密切关系，从此，许多科研工作者致力于倒向随机微分方程解的性质的研究．其中彭实
戈于１９９１年得到的关于解的第一部分Ｙ的比较定理是比较杰出的工作．
有趣的问题是如何比较ＢＳＤＥ（ ）的解（Ｙ，Ｚ）的第二部分Ｚ，Ｚ的性质又如何？事实上，
了解Ｚ的性质以及比较Ｚ的大小是非常重要的，因为在期权定价中Ｚ表示投资组合．彭实戈
把倒向随机微分方程理论和偏微分方程理论联系起来，利用偏微分方程的有关理论考察了Ｚ
倒向随机微分方程在欧式期权中的应用_史正伟
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 文章编号
:1001-2486(
2003)
05-0094-04
倒向随机微分方程在欧式期权中的应用Ξ
史正伟
,傅一歌
(国防科技大学理学院
,湖南长沙
410073)
摘 要
:假设市场为无套利市场
,而且市场上只有两种证券
:一种是无风险债券
;一种是有风险的股票。
通过自筹资策略
,得到期权价格所满足的倒向随机微分方程(
BSDE)
,利用倒向随机微分方程给出欧式期权价
格概率表示
;并证明欧式期权的完全套期保值性。
关键词
:自筹资策略
;欧式期权
;倒向随机微分方程
;Gisanov定理
中图分类号
:O2111
63;O29 文献标识码
:A
TheApplicationofBackwardStochasticDifferential
EquationstoEuropeanOption
SHIZheng2
wei,FUYi2
ge
(
CollegeofScience,NationalUniv.ofDefenseTechnology,Changsha410073,China)
Abstract:Assumingthatthereisnoarbitrageandtherearetwosecuritiestraded,risklessandriskyinthemarket,by
self2
financingstrategyweobtaintheBSDEoptionpricesatisfies,andthenwewillgettheprobabilityexpressionformulaofthe
Europeanoptions’
pricebyBSDE.WewillgivetheproofofthecompletehedgingoftheEuropeanoption.