正倒向随机微分方程组的数值解法_赵卫东
第十章 偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
波浪能发电装置输出功率的微分方程模型
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(4), 1698-1703 Published Online April 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.124176波浪能发电装置输出功率的微分方程模型马家耀1，吴彬睿1，吕 平2*1杭州师范大学经亨颐教育学院，浙江 杭州 2杭州师范大学数学学院，浙江 杭州收稿日期：2023年3月24日；录用日期：2023年4月18日；发布日期：2023年4月27日摘要波浪能是当今社会一种十分具有前景的清洁可再生能源，提高波浪能发电装置的转化效率尤为重要。
针对波浪能发电装置只做垂荡运动的情况，本文建立基于微分方程的垂荡模型。
以垂荡模型为基础，本文进一步计算波浪能发电装置的平均输出功率，并建立以波浪能发电装置平均输出功率最大为目标的最优阻尼系数模型。
最后，本文通过多重搜索算法，遍历求解得到最大输出功率及对应的最优阻尼系数。
关键词微分方程，多重搜索法，波浪能发电装置，阻尼系数The Differential Equation Model for the Output Power of Wave Energy ConverterJiayao Ma 1, Binrui Wu 1, Ping Lv 2*1Jing Hengyi School of Education, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 2School of Mathematics, Hangzhou Normal University, Hangzhou ZhejiangReceived: Mar. 24th, 2023; accepted: Apr. 18th, 2023; published: Apr. 27th, 2023AbstractNowadays wave energy as the clean and renewable energy resource has a promising future, so it is particularly significant to enhance the conversion efficiency of wave energy converter. Aiming at the situation that the wave energy converter only does vertical motion, this paper establishes a vertical oscillation model based on differential equation. In terms of this model, the paper further calculates the average output power of wave energy converter, and establishes an optimal damp-ing coefficient model with the goal of the maximum average output power. Finally, the maximum output power and the corresponding optimal damping factor are obtained by traversing the solu-tion through multiple search algorithms.*通讯作者。
条件平均场随机微分方程的最优控制问题
数学年刊A辑2021,42(1):75-88DOI:10.16205/ki.cama.2021.0007条件平均场随机微分方程的最优控制问题吴霜1提要作者研究了一个条件平均场随机微分方程的最优控制问题.这种方程和某些部分信息下的随机最优控制问题有关，并且可以看做是平均场随机微分方程的推广.作者以庞特里雅金最大值原理的形式给出最优控制满足的必要和充分条件.此外，文中给出一个线性二次最优控制问题来说明理论结果的应用.关键词条件平均场随机微分方程，随机最大值原理，倒向随机微分方程，线性二次最优控制，黎卡堤方程MR(2000)主题分类93E20,60H10中图法分类0225,0231.3文献标志码A文章编号1000-8314(2021)01-0075-141引言本节先给出在以后章节中出现的符号.令(C,兀｛兀｝0€圧丁，町是一个完备的概率空间，这里的T>0是一个常数,兀=<7(叭s);0W s5尸=斤，而｛VT(t)｝舜o表示一个标准的d维布朗运动.令QtQTt是一个给定的子-代数，它表示控制者在时刻t所能获得的信息.通篇我们以K"表示n维欧式空间，以R nxd表示nxd矩阵空间，以上标r表示向量或矩阵的转置.对给定的欧式空间，我们以〈•,•〉(〔•|)表示内积(范数)，以U 表示一个非空凸子集.此外若一个卯-值,兀-适应的(或弘适应的)随机过程如)满足妙(t)Fdt<+oo,我们记为讽・)e仍(0,T;肿)(或仍(0,T;腐));若一个肿-值,兀-适应的连续随机过程炉(・)满足E[sup⑷⑴鬥<+oo,我们记为炉(・)e S|(0,T;R").研究的初衷始于如下部分信息下的随机控制问题，其中的状态方程是一个受控的随机微分方程(SDE)'dX(t)=雎,X(t),叫X(t)|$],"(t),叫u(t)覘)dt<+a{t,X(t),叫X(t)|$],呃),叫u(t)覘)dW(t),X(0)=x,指标泛函为』(“(•))=町/T lit,X(t),IE[X(t)|$],u(t),IE["(t)|$])dt+/z(X(T))],而w(-)e U ad是容许控制•这里的容许控制集为U ad={"(•)e L^(O,T;R fe)|u(t)G uyt e[0,T]}.(1-1) (1-2) (1.3)本文2019年5月11日收到，2020年11月15日收到修改稿.1■中国石油大学(华东)应用数学系，山东青岛266580.E-mail:namozhuntipusa©76数学年刊A辑42卷然后我们考虑如下的控制问题.CMF问题对于(1.1)和(1.2),寻找iT(J e%山使得丿("*(•))=inf丿("(•))・(1.4)U(-)eWad方程(1.1)是更为一般的平均场型随机微分方程.因其含有条件期望,我们称之为条件平均场随机微分方程(CMF-SDE).显然,CMF-SDE可以看做是对近年来广受学者关注的平均场随机微分方程(MF-SDEs)的推广.MF-SDEs通常用于描述大量个体的群体行为，比如交互作用的粒子系统，其研究工作可以追溯到文[1]并由此引出了所谓的McKean-Vlasov 随机微分方程•从那时起，陆续有很多关于MF-SDEs的研究文献,领域涉及方程理论、最优控制、微分对策以及金融工程等•参见文[2-8],本文组织如下•第二节会给出有关CMF-SDEs的基本结果.第三节规范CMF-SDEs 的最优控制问题并建立最优性条件(最大值原理).第四节讨论了一个条件平均场型的线性二次最优控制问题(LQ问题)来展示所获结果的应用.最后，在第五节对本文做了最后的总结.2基本结果这一节给出CMF-SDEs解的存在唯一性，尽管一个CMF-SDE含有条件期望项，但仍然可以运用不动点理论来证明这一点.现在从下面的CMF-SDE开始.<'dX(t)=b(t,X(t),E[X(t)|$])dt+c(t,X(t),E[X(t)£])dW(t),〔X(0)=z€1R",i•这里&:x[0,T]x R n x R"->R",o-:Q x[0,T]x R"x R n R nXd是给定的可测映射并满足(H2.1)b(-,x,x)和是兀-适应的；存在C>0,使得\b(t,x,x)-b(t,y,y)\+ \cr(t,x,x}-<7(i,y,y)|W C(\x—示|+\y-y\),t e\0,T],x,x,y,y e R n,B卩b和是一致Lipschitz的；(H2.2)&(-,0,0)e^(0,7;®"),ct(-,O,O)e L^(0,T;R nXd).以下定理确保了方程⑵1)解的存在唯一性.定理2.1假设(H2.1)和(H2.2)成立，则CMF-SDE(2.1)有唯一的兀-适应解X(・)e L^(0,T;R n).证为简化论述，对于认)e仍(o,T；R"),使用符号x(t)=叫叹)|羽并引入如下SDE:dX(t)=&(t,a:(t),方(t))dt+(i,a:(i), ))d TV(f),(2-2)、X(0)=x.1期吴霜CMF-SDE的最优控制问题77由于(2.2)有唯一的解X(.)e0纟(0,丁;氏")，我们可以定义一个映射I:0纟(O,T;R")T 仍(0,T;肿)，使得X(・)=弘(.)].现需要证明I是压缩映射.为此，引入Banach空间0纟(0,丁;氏")的等价范数~T丄归(•川0=何/。
哈尔滨工业大学硕士学位论文iii...
摘要
本文主要研究了倒向随机微分方程解的连续相依性理论，系统给出了各 种连续相依性的定义，建立了一系列倒向随机微分方程解的连续依赖性定 理，并给予定理以详细证明。
倒向微分方程在一类奇异最优控制中的应用
（ １ ＿ 同济大学 数学 系， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ２ ；２ ． 上海 理工大学 理学院 ， 上海 ２ ０ ０ ０ ９ ３ ）
摘要 ： 利用 Ｋｒ ｏ ｔ ｏ ｖ方法把一 类奇 异最优 控 制问题 转化 为一 其 中 ｆ （ ｕ ， Ｕ ｚ ， …， ） 是次数低于 ２ ｚ 的实 值 多项 式 族 球约束 的全局优化 问题 ， 然后 引入一族初值连续依赖 于时
Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ Ｏｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｂ ｙ
Ｃ ａ ｎ ｏ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｂ ａ ｃ ｋ ｗａ ｒ ｄ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
的演示 ．
（ １ ．Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｔｏ ｎ ｇ ｊ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ
２ ０ ０ ０ ９ ２， Ｃｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ， Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ｆ ｏ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ９ ３，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｉ ｔ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｌ ｙ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ．ｓ ｉ ｎ ｕｌ ｇ ａ ｒ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ；ｇ ｌ ｏ ａｌ ｂ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ；
常微分方程数值解法_OK
y(xi )
O(h3)][yi
hf
(xi ,
yi )]
h2 2
y(xi ) O(h3 )
O(h2 )
欧拉法具有 1 阶精度。4
2. 隐式 Euler法
用向后差商公式代替导数项
y(xi1 ) h
y(xi )
y' (xi1 )
h 2
y' ' ( i
)
y(xi1 ) h
y(xi )
f (xi1, y(xi1 ))
i1 y(xi1 ) yi1 O(h3f)x ( x, y) f y ( x, y) f ( x, y) Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K2 f (xi ph, yi phK1)
f (xi , yi ) phfx (xi , yi ) phK1 f y (xi , yi ) O(h2 ) y(xi ) phy(xi ) O(h 2 )
f
(
xi
1
,
y(
xi
1
))]
h3 12
f
''( )
所以，有格式为：
yi1
yi
h[ f 2
(xi , yi )
f
(xi1, yi1 )]
上式称为梯形格式。
类似，可以算出梯形格式的误差估计式：
i1 O(h3 )
2阶的方法
梯形法是二阶、隐式单步的方法，要用迭代法求解。怎么求？
8
改进欧拉格式 /* modified Euler’s Formula */
xi1, yi h f ( xi , yi )
(i 0, ..., n 1)
基于Bernstein多项式逼近的几类积分方程数值解
参考文献…………………．…………………．……．．……．………．．……．３３
一13宁夏大学硕士学位论文第三章bemstcin多项式数值求解线性volterra积分微分方程第三章bernstein多项式数值求解线性voiterra积分微分方程31bernstein多项式数值求解线一i生volterra积分微分方程在本节里通过b锄stein多项式及其导数逼近未知函数及其导数进而把积分微分方程转化为线性方程组给出线性v01tem积分微分方程的数值解该方法计算简单并且可以得到很好的近似解
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｎｅ，ｔｈｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ，ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｖｏｌｔｅｒｒａ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｓｉｍｐｌｙ．
Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ａｎｄ ｍａｋｅｓ ａ ｐｒｏｐｏｓａｌ ｆｏｒ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｒｓｔｅｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，Ｖｏｌｔｅｒｒａ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ，Ｉｎｔｅｇｒｏ—
第5章常微分方程数值解法
2hyxn
2h3 3!
y
yxn1
yxn1 2hyxn
h3 3
y ②
将①、②两式相减：
y
xn1
h3 yn1 3
y
——两步法局部截断误差
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（2）梯形公式
yn1
yn
h 2
f
xn , yn
f
xn1 , yn1
yxn
hf
2
xn ,
yn1 yxn1 2hyxn ①
2024年8月7日
17
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将函数用泰勒级数展开：（ h 较小， 相差不大）
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y
yxn1
yxn
h
1!
yxn
h2
2!
yxn
h3
3!
y
yxn1
yxn1
yxn
f
xn1 , yxn1
yn1
yxn
h 2
y
xn
yxn1 ①
将函数用泰勒级数展开：
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y ②
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
y ③
（ h 较小， 相差不大）
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①、②两式相减，并代入③式：
（图示表示梯形法计算结果）