2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版
2018年高考数学(文)考试大纲解读 三角函数
三角函数考纲原文 （八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x ,y =t a n x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.名师解读对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.样题展示考向一 三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-样题2已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α= AB CD 【答案】B12cos()13αβ-=⇒ 5sin()13αβ-=，34sin()cos()55αβαβ+=-⇒+=-，则sin 2sin[()()]ααβαβ=-++ sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=-++-+5412356()()13513565=⨯-+⨯-=-，故选B. 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．考向三 利用正、余弦定理解三角形()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin u A y sin =样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=．样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b=，c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B = ，则18075A B C =--= .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.样题8（2017天津文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c --．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．考向四 解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）求D 救援中心与着陆点A 间的距离．【解析】（1）由题意知,PA AC PA AB ⊥⊥，则,PAC PAB △△均为直角三角形，在Rt PAC △中，1,60PA PCA =∠= ，解得AC =；在Rt PAB △中，1,30PA PBA =∠= ，解得AB =又90CAB ∠= ，则3BC ==．即,B C 万米.。
2018年高考数学总复习-解三角形
第四节 解三角形考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.命题趋势探究1.本节为高考的必考和重点考查容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题.题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.知识点精讲在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,.a b c1.角的关系180,sin sin()A B C A B C ++==+cos cos(),tan tan(),A B C A B C =-+=-+ sincos ,cos sin .2222A B C A B C ++== 2.正弦定理2(2sin sin sin a b c R R A B C===为ABC ∆的外接圆的直径）. 正弦定理的应用： ①已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若a<b,已知角Ａ求角Ｂ. 1,sin 1,21,B B π>⎧⎪⎪===⎨⎪⎪<⎩无解；两解（一锐角、一钝角）若a 〉b,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理2222cos c a b ab C =+-（已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）222cos 2a b c C ab+-=（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角；③已知两边及一边对角不熟第三边.4.三角形面积公式1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B ∆====题型归纳及思路提示题型67 正弦定理的应用思路提示（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；.sin 1sin sin 1A A A ⎧⎪<⎧⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪>⎩⎩大角求小角一解（锐）两解－（一锐角、一钝角）小角求大角－一解－1（直角）无解－ （3）两边一对角，求第三边.一、利用正弦定理解三角形例4.39 已知ABC ∆中，53cos ,sin ,1135A B a ===求cos C 及边长c 分析 已知两角及一边用正弦定理.解析 因为,,A B C 为ABC ∆的角，所以有cos cos[()]cos()C A B A B π=-+=-+cos cos sin sin .A B A B =-+因为(0,),A π∈且5cos 0,13A =>所以(0,),2A π∈12sin 13A =.由此知sin sin 0,AB >>据正弦定理得a b >所以,A B >因此(0,),2B π∈且3sin ,5B =得4cos ,5B = 故5412316cos .13513565C =-⨯+⨯=因此63sin .65C = 由正弦定理得,sin sin c a C A=得631sin 2165.12sin 2013a C c A ⨯=== 评注 本题已知两角及一边，用正弦定理：在ABC ∆中，sin sin .A B a b A B >⇔>⇔> 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C所对边依次为,,,2,a b c a b ==sin cos B B +=则角Ａ的大小为 .例 4.40 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边依次为,,,30,6,a b c B c ∠==记().b f a =若函数()()(g a f a k k =-是常数）只有一个零点，则实数k 的取值围是（ ）..{03A k k <≤或6}k = .{36}B k k ≤≤ .{6}C k k ≥ .{6D k k ≥或3}k = 分析 三角形问题首先根据题意画出三角形，ＡＣ的最小值为ＢＣ边的垂线段，再根据零点的意义及函数求解.解析 由()()0,g a f a k =-=且().b f a =，得(),k f a b ==如图4－34所示，由30,6,B c ∠==知ＡＣ边和的最小值为sin 3,c B =唯一的()a BC =符合()f a k =即若3,k =则()3,f a b ==此时存在函数()g a 有唯一零点，若36k <<时，则()(3,6),f a b =∈此时以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点12,C C ，如图4－34所示，则存在两个a 值1122(,),a BC a BC ==使得()()g a f a k =-有两个零点.若6k ≥时，则()6,f a b =≥则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点3C ，使得3a BC =，故函数()g a 有唯一零点.综上，实数k 的取值围为3k =或6.k ≥故选Ｄ.评注 三角形问题一般先根据题意作出图形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形.变式1 （1）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且32,2,b a == 如果三角形有解，则角A 的取值围是 ; (2) 在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且1,2,b a ==如果三角形有解，则角B 的取值围是 ;（3）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且23,3,a c ==如果三角形有解，则角C 的取值围是 .二、利用正弦定理进行边角转化例4.41 在ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值围为（ ）. A.(1,2) .(1,3)B C.(2,2) D.(2,3)分析 题中有边与角的关系及角的围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的围来定边的围.解析 由正弦定理知sin sin 22cosB,sin sinBa A Bb B ===且()(0,),A B π+∈即03B π<<得03B π<<，因此1cos (,1),2B ∈所以(1,2).a b∈ 故选A. 评注 在ABC ∆中，利用正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，进行边与角的转化，在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解.变式1 （1）若在锐角ABC ∆中，若A=2B ，则a b 的取值围为 ; （2）若在直角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 ; （3）若在钝角ABC ∆中，若A=2B ，则a b的取值集合为 . 变式2 在ABC ∆中，60,B AC ==，则AB+2BC 的最大值为 . 变式3（2012课标全国理17）已知,,,a b c 分别为ABC ∆三个角,,A B C的对边，cos sin 0a C c b c +--=，（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为，求,b c .变式4 （2012理17）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知4A π=，sin()sin(),44b C c B a ππ+-+= （1）求证：;2B C π-=（2）若a =ABC ∆的面积. 题型68 余弦定理的应用思路提示(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.(2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值0,ABC 0,ABC .0,ABC >∆⎧⎪=∆⎨⎪<∆⎩则为锐角三角形则为直角三角形则为钝角三角形 一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 ABC ∆中，21,3b c C π==∠=，则①a= . ② ______.B ∠=分析 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理.解析①由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，得21312()2a a =+-⨯- ，即 220a a +-=，且 0a >，故 1.a = ②由正弦定理得，sin sinbc B C=，即1sin B = 1sin 2B =，又 b c B C <⇔< ，则 30B ∠=变式1在 ABC ∆中， 3,2,a b B A ==∠=∠， (1)求cos A 的值；（2）求 c 的值.变式2（2012理11）在 ABC ∆中，若12,7,cos 4,a b c B =+==-，则______.b =变式3（2012理13）已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 .例 4.43 （2012理9）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,,a b c 若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）..2A 2B 1.2C 1.2D - 解析 因为2222222221cos 2222a b c c c c C ab ab c a b +-==≥==+当且仅当a b =时取“=”，所以cos C 的最小值为1.2故选C. 变式1 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 1.30a c B +=∠=，求b 的取值围.变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若 4.60,b B =∠=，求ABC S ∆的最大值.二、利用余弦定理进行边角转化例4.44在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若222()tan ,a c b B +-=则角B 的值为（ ）..6A π .3B π .6C π或56π .3D π或23π解析 （边化角）已知等式可变化为222tan ,22a c b B ac +-=则sin cos cos 2B B B ⋅=得sin (0,),2B B π=∈所以3B π=或23π.故选D. 变式1在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（1）求A 的值；（2）求sin +sin B C 的最大值.变式2 在锐角三角形中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若+=6cos b a C a b ，则tan tan +=______.tan tan C C A B 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且22-=2,sin cos =3cos sin a c b A C A C ，求.b题型69 判断三角形的形状思路提示（1）求最大角的余弦，判断ABC ∆是锐角、直角还是钝角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.例4.45 在ABC ∆中，若sin =2cos sin C A B ，则此三角形必为（ ）.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 分析 角化边或sin =sin(+)C A B .解析 解法一：角化边. 2222222+=2222c b c a b c b c a R bc R-⋅⋅⇒=+-b a ⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.解法二：因为sin =sin(+)C A B ，所以sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B +=sin cos cos sin 0A B A B ⇒-=， sin()0,(),,(0,)A B A B k k Z A B ππ-=-=∈∈0k A B ⇒=⇒=，则三角形为等腰三角形，故选A.变式1设ABC ∆的角为,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若cos cos sin ,b C c B a A += 则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式2（2012理16）在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状为（ ）.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定变式3已知ABC ∆中，2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形变式4（1）已知函数22()cos cos sin .f x x x x x =+-求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若()22A f =且2a bc =，试判断ABC ∆的形状.题型70 正、余弦定理与的综合思路提示先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.例4.46在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且 1.AB AC BA BC ⋅=⋅=（1）求证：;A B = （2）求边长c 的值；（3）若6AB AC +=，求ABC ∆的面积. 分析（3）中AB AC +为ABCD 对角线AD 长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC ，设AB 中点为M ，12ABC S AB CM ∆=⋅ 解析 （1）利用数量积定义，cos cos 1bc A ac B ==cos sin cos sin b B B a A A⇒==tan tan A B ⇒=.A B ⇒= （2）如图4-35所示，取等腰三角形AB 边上的中线（即高线CM ，则cos 2c AM b A ==.cos 12c AB AC cb A c ⋅==⋅=，故 2.c =或2c AM =是AC 在AB 方向上的投影，由向量数量积的几何意义可知21 1.2AB AC AB AM c ⋅===故 2.c = (3)如图4-35所示，ABCD 中，6,AB AC AD +== 在ABD ∆中，222,2cos(),BD a b AD c a a A π===+--在ABC ∆中，2222cos .BC b c bc A =+-2222262cos 2cos c a ac A a b c bc A ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩①②由①+②得22222622622,2,a c a a c a +=+⇒=-==即2a b c ===，在等边ABC ∆中，1133sin 222222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=或233.42ABC S a ∆== 评注 ①+②得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和，即在ABCD 中，222222AD BC AB AC +=+.变式1（2012理7）在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=，则BC=（ ）．ABCD 变式2在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a bc ,(12.6A c b π=+=(1)求C ； （2）若1CB CA ⋅=+,,.a b c 变式3在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c且cos3.25A AB AC =⋅= （1）求ABC ∆的面积； （2）6b c +=，求a 的值. 变式4在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 且cos 3cos cos .b C a B c B =-（1）求cos B 的值；（2）若2,BA BC ⋅=且b =，求a 和c 的值.题型71 解三角形的实际应用思路提示根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.例4.47 如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，123cos ,cos .135A C == （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么围？分析 （1）cos ,cos A C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC ∆中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离；（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题意列不等式求解.解析 （1）在ABC ∆中，因为123cos ,cos .135A C ==所以54sin ,sin .135A C ==从而 sin sin[()]sin()sin cos cos sinB AC A C A C A C π=-+=+=+5312463.13513565=⨯+⨯= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 1040().63sin 565AC AB C m B =⋅=⨯= 所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了（100+50t ）m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯ 2200(377050).t t =-+由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605sin 500().63sin 1365AC BC A m B =⋅=⨯= 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(),m ⨯++=还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得50071033,50v -≤-≤解得1260625.4314v ≤≤ 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min ）围. 评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单位.变式1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，如图4-37所示，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得30,ADC ∠=2分钟后，该船行驶到B 处，此时测得60,45ACB BCD ∠=∠=60,ADB ∠=则船速为 .(km /min).最有效训练题20（限时45分钟）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 若角,,A B C 依次成等差数列，且1,3,a b ==则().ABC S =.2A 3.B .3C .2D 2.ABC ∆的三个角,,A B C 所对边分别为,,,a b c 2sin sin cos 2,a A B b A a +=则().b a =.23A .22B .3C .2D3.已知ABC ∆的三边长分别为,,,a b c 且面积2221(),4ABC S b c a ∆=+-则().A ∠=.15A .30B .45C .120D4 .若ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=且60C =，则ab 的值为（ ）.4.3A .8B -.1C 2.3D 5. .在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值围是（ ）..(0,]6A π .[,)6B ππ .(0,]3C π .[,)3D ππ 6.在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值围为（ ）..(0,2A 1.[,22B .(0,1)C .(,1)2D7.在ABC ∆中，若120,5,A c ∠==ABC ∆的面积为，则______.a =8.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c 如果,30,c B ==那么角C 等于 .9.已知ABC ∆的一个角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆ 的面积为 .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若sin a c A =，则a b c +的最大值为 .11.在ABC ∆中，已知2, 2.ABC AB AC S ∆⋅==（1）求tan A 的值；（2）若sin 2cos sin B A C =，求BC 的长.12.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图4-38所示，要求60,ACB BC ∠=的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，并求出此时BC 的长度.。
三角函数做题技巧与方法总结
三角函数做题技巧与方法总结一、三角函数的重要性三角函数在数学里那可是相当重要的一部分呢。
就像盖房子的砖头一样，是基础中的基础。
它在很多地方都能用到，像物理里研究波的运动，工程里计算一些结构的角度，甚至在计算机图形学里，想要做出逼真的3D效果，也离不开三角函数。
二、三角函数的基础概念1. 正弦函数正弦函数sin，大家可以想象成是一个波浪形状的东西。
它的值呢，就是在直角三角形里，对边和斜边的比值。
比如说一个直角三角形，一个锐角是30度，那它的sin30度就是1/2。
这个1/2是怎么来的呢？就是这个30度角所对的边，和斜边的长度比。
2. 余弦函数余弦函数cos，它是邻边和斜边的比值。
还是拿刚才30度的直角三角形来说，cos30度就是根号3/2。
这就像是从另一个角度去看这个三角形的边的关系。
3. 正切函数正切函数tan，那就是对边和邻边的比值了。
tan30度就是根号3/3。
这三个函数就像是一个小团队，各自有着不同的任务，但是又相互关联。
三、三角函数的做题技巧1. 记忆特殊值特殊值是一定要记住的，像sin0度是0，sin90度是1，cos0度是1，cos90度是0等等。
这些特殊值就像是打开三角函数大门的钥匙，很多题目只要一看到这些特殊的角度，就可以直接把特殊值代入计算。
2. 画图形辅助做三角函数题的时候，画个图是超级有用的。
比如说有个题是关于三角形里某个角的三角函数值，那你画个三角形出来，把已知的边和角都标上去，一下子就清晰多了。
就好像你要在一个陌生的地方找路，有个地图在手里，是不是就不那么慌了？3. 利用公式转换三角函数有好多公式，像sin²α+cos²α = 1，tanα = sinα/cosα等等。
当题目里给的形式和我们熟悉的不一样的时候，就可以利用这些公式来转换。
比如说有个题给的是sinα的值，让求cosα，那我们就可以根据sin²α+cos²α = 1这个公式来计算。
2018高考数学文热点题型：三角函数与解三角形 全国通用 含解析 精品
三角函数与解三角形热点一 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)解 因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象， 由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二 解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (x )＝2sin(x －A )cos x＋sin(B ＋C )(x ∈R )，函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称. (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域； (2)若a ＝7，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积.解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0， 又A ∈(0，π)，则A ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3， 即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143， 则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13.由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A ，即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，即bc ＝40.则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.【类题通法】三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求角C 的大小和线段BD 的长度；(2)求四边形ABCD 的面积.解 (1)设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝1＋4－x 22×2×1， 在△BCD 中，由余弦定理，得cos C ＝9＋4－x 22×2×3， ∵A ＋C ＝π，∴cos A ＋cos C ＝0.联立上式，解得x ＝7，cos C ＝12.由于C ∈(0，π).∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32.又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD 的面积为2 3.热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间. 解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。
2018届高考高三文科数学三角函数专题典型题型总结
2018届⾼考⾼三⽂科数学三⾓函数专题典型题型总结2018届⾼考⾼三⽂科数学三⾓函数专题典型题型总结⾼考三⾓函数题主要涉及以下四类问题：（1）应⽤同⾓变换、诱导公式、两⾓和与差的三⾓函数公式；求值和等式证明问题；（2）与三⾓函数图像、性质有关的问题；（3）三⾓形中的三⾓函数问题（解三⾓形及其应⽤）；（4）与平⾯向量、导数、数列等综合问题。
（⼀）注意三⾓函数公式的运⽤。
三⾓函数内容最⼤的特点就是公式多，变换的形式和⽅法多，如何找准⽅向，灵活运⽤三⾓函数公式，使学⽣学会公式的“正⽤、逆⽤、变⽤、巧⽤”是解题的关键。
案例1.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最⼤值和最⼩值.同类问题1：已知函数()4cos sin (0)4f x x x π=?+> ??的最⼩正周期为π。
（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。
同类问题2：已知函数xx x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。
（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最⼩正周期；（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间。
同类问题3：函数y=sin2x +23sin 2x 的最⼩正周期T 为________.同类问题4：已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则=α2sin （改：理科第7题求tan α=?）(A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 1同类问题5：若42ππθ??∈，， sin 2θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C (D) 34案例2.在中，已知BC BA AC AB ?=?3．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若求A 的值．同类问题1：△ABC 在内⾓A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =2，求△ABC ⾯积的最⼤值．同类问题2：在ABC ?，内⾓,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且b a >，则=∠BA ．6πB ．3πC ．23πD ．56π同类问题3：已知,,a b c 分别为ABC ?三个内⾓,,A B C 的对边，c = 3a sin C －c cos A ．（Ⅰ）求A （Ⅱ）若2a =，ABC ?的⾯积为3；求,b c ．案例3.设为锐⾓，若，则的值为▲．同类问题1：若31sin sin cos cos =+y x y x ，则_______)22cos(=-y x ．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=．同类问题2：设θ为第⼆象限⾓，若1tan 42πθ?+=，则sin cos θθ+=________.同类问题3：已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．同类问题4：若02πα<<，02πβ-<<，31)4cos(=+απ，cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= ABC ?tan 3tan B A =5cos 5C =，α4cos 65απ?+= )122sin(π+a（A ）33 （B ）33- （C ）539 （D ）69-（⼆）注重三⾓函数的图像与性质的研究在学习三⾓函数时，学习了函数的奇偶性和周期性，进⼀步深⼊了解对函数的概念和性质的认识，因此，在⾼考中突出考查它的图像与性质，对三⾓函数中的公式和恒等变换的考查通常与三⾓函数的图像与性质相结合，重点考查三⾓函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性、有界性、五点法作图，考查相关的数学思想⽅法，主要是数形结合思想、函数与⽅程思想和化归与转化思想。
2018年高考数学专题15三角函数求值问题黄金解题模板
专题15 三角函数求值问题【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大. 【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题】已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为（ ） A.1468 B. 2168 C. 6814 D. 6821【答案】B【变式演练1】已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+的值为（ ） A ．15-B ．37-C ．15D ．37【答案】A 【解析】 试题分析：22tan()tan 33παα-=-⇒=cos()3sin()cos()3sin()13tan()121cos()9sin cos()9sin 19tan 165απααααπααααα-++---====--+-+-+-+，选A ．考点：同角间三角函数关系【变式演练2】已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ）A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】 试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C. 考点：同角三角函数基本关系 【变式演练3】已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 【答案】35-考点：三角函数的变形与求值．【变式演练4】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ） A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】试题分析：tan()tan 2παα-=-=-，则tan 2α=，2222221sin cos cos 2cos cos sin cos ααααααα+=+-+2222tan 12152tan 222αα++===---. 考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.【变式演练5】已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．【答案】3-考点：诱导公式及同角三角函数的关系的运用．方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学文试题】设α为锐角，若1cos 63πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A.725 B. 2818 C. 17250- D. 25【答案】B【变式演练6】若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．33 B ．33-．63．69- 【答案】C 【解析】 试题分析：30,2444ππππαα<<∴<+<，且1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122sin()1cos ()14493ππαα∴+=-+=-=，又0,24422πππβπβ-<<∴<-<，且3sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭216cos 1sin 1424233πβπβ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而cos()cos[()]2442βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭ cos()cos()sin()sin()442442ππβππβαα=+-++- 16223633333=⨯+⨯=故选C ．考点：1．同角三角函数的关系；2．两角和与差的三角函数． 【变式演练7】设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin 的值为（ ）A ．271 B ．275 C ．31D ．2723【答案】C考点：同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式.【变式演练8】若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ） （A ）17 （B ）16 （C ）57 （D ）56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 考点：两角和与差的正切公式．【变式演练9】已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯ 考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 求值：（1）cos40(13tan10)+（2）tan17tan 43tan30(tan17tan 43)++ 【答案】()()1121考点：三角函数基本公式及诱导公式.【变式演练103 ）①tan25tan353tan25tan35︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=A.14- B.14C.18- D.18【答案】D【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．2. 【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D3. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4.【2015高考新课标1，理2】oooosin 20cos10cos160sin10- =( ) （A ）3（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+ =osin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．7.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2017北京文，9】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 【答案】13【解析】试题分析：α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，所以()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-== 【考点】诱导公式【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈，9.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-2k αβππ-=+ k Z ∈.10.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-= 则tan α= .【答案】7511.【2017全国I 卷文，15】已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．310【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=又22sin cos 1αα+=所以21cos 5α=因为(0,)2πα∈所以525cos αα==因为cos()cos cossin sin444πππααα-=+所以52252310cos()4πα-==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 12.【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】62. 【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=. 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==. 法三、62626sin15sin 75442-++=+=. 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【反馈练习】1．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】若111sin cos tan 26παα+=，则sin2α=（ ）A. 14-B. 1112-C. 14D. 1112【答案】B【解析】1113sin cos tan 266παα+==-，∴()21sin cos 1sin212ααα+=+=，∴11sin212α=-.选B 。
(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)
关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处 理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于 sin cos 与 sin cos （或 sin2 ） 的关系的推广应用：2sin cos 1 2sin cos 故知道 (sin cos ) ，必可推出 sin cos (或 sin2 ) ，例如：例1 已知 sin cos3, 求 sin 3 33cos 。
分析：由于 sin 3cos 3 (sin cos )(sin 2 sin cos cos 2 )(sin2cos )[(sin cos ) 3sin cos ]其中， sin cos已知，只要求出 sin cos 即可，此题是典型的知 sin -cos ，求sin cos 的题型。
解：∵ (sincos)2 1 2sincos故：132 112sin cos () sin cos333 3 sin3 cos(sin cos )[(sin2cos ) 3sin cos ]3 32 [( )2 3 1]31 433 3333 9例2 若sin +cos =m 2，且 tg +ctg =n ，则 m 2 n 的关系为（ ）。
2 21 ，选 B 。
n例 3 已知： tg +ctg =4，则 sin2 的值为（1、由于 (sincos )2 sin 2cos 2A ．m 2=nm 2=2 1n分析：观察 sin +cos 与 sin cos的关系：而： sincos(sincos )2 1 2m 2 1tgctgsin ncos 故：分析：由于 ctgcos sin，故必将式子化成含有 cos sin的形式，而此题与例 4 有所不同，式子本身没A．1 B ． 122C．1 ．4D ． 14分析： tg +ctg = 1 4 sin cos1sin cos4故：sin2 2sin cos sin2 1 。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
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2018届高三文科数学三角函数与解三角形解题方法规律技巧详细总结版高考考纲对于解三角形的要求为：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．【3年高考试题分析】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1．边和角的计算．2．面积的计算．【必备基础知识融合】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理222a=b+c-2bccos A; abc ===2R 222b=a+c-2accos B; 内容??????A??????B??????C(其中R是△ABC外接圆的半径) 222c=a+b-2abcos C a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; abc222b+c -a sin A=,sin B=,sin C=; 公式 cos A=; 2R2R2R2bc 的变∶∶∶∶abc=sin Asin Bsin C; 222a+c-b cos B=; asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin 形应 2ac222a+b-cC=csin A; 用 cos C= 2aba+b+c=2R ??????A+??????B+??????C 2.三角形中的常用公式及变式 abc1111SbcAacBabC=abcr．Rr(1)三角形面积公式＝sin ＝sin ＝sin =(＋＋)其中，分别为三角形外R22242．接圆、内切圆半径ABCπ＋ABCABCABCABCA(2)＋＋＝π，则＝π－(＋)，＝－，从而sin＝sin(＋)，cos＝－cos(＋)，tan222ABCABCA＋＋1BCABCABC＝－tan(＋)；sin
＝cos，cos＝sin，tan＝.tan＋tan＋tan＝tantantan. BC22222＋tan2BACAC－＋⇔2cosabcbacBAC(3)若三角形三边，，成等差数列，则2＝＋⇔2sin＝sin＋sin ⇔2sin＝cos222ACAC－
1⇔tan＝costan＝. 2223ABCabCcBbaCcAcaBbA(4)在△中，＝cos＋cos，＝cos＋cos，＝cos＋cos.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)
【解题方法规律技巧】Bb cos ABCabcABC典例1：在△中，，，分别是角，，的对边，且＝－. Cac cos2＋B(1)求的大小；bacABC．(2)若＝13，＋＝4，求△的面积222222acbabcBb＋－＋－cos BC解：(1)由余弦定理知，cos＝，cos＝，将上式代入＝－得acabCac22cos2＋222acbabb＋－2·，＝－222acabcac2＋－2＋222acbac整理得＋－＝－. 222acbac＋－－1B∴cos＝＝＝－. acac2222BB∵为三角形的内角，∴＝π. 322 2222bacBbacacBacacac(2)将＝13，＋＝4，＝π代入＝＋－2cos，得13＝4－2－2cosπ，解得＝3. 33133SacB∴＝sin＝. ABC△24【规律总结】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注ABC意应用＋＋＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，．注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状同时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，A，B，C成等差数
列的充要条件是B＝60°. 222典例2：在△ABC中，A、B、C是三角形的三个内角，a、b、c是三个内角对应的三边，已知b＋c ＝a＋bc. ①求角A的大小；3②若sinBsinC＝，试判断△ABC 的形状，并说明理由．4
32π3由sinBsinC＝，得sinBsin(－B)＝. 4342π2π3即sinB(sincosB－cossinB)＝. 3343132sinBcosB＋sinB＝，224 313sin2B＋(1－cos2B)＝，44431πsin2B－cos2B＝1，∴sin(2B －)＝1. 226ππ7ππππ又∵－<2B－<，∴2B－＝，即B＝. 666623π∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．3【规律总结】应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；．(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解典例3：设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
→→π77AB＋AC11→→→→→→2222(2)方法一：因为AD＝()＝(AB＋AC＋2AB·AC)＝(1＋4＋2×1×2×cos)＝，所以|AD|＝，2443427从而AD＝. 21222方法二：因为a＝b＋c－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，2π222所以a＋c＝b，B＝. 2337，AB＝1，
所以AD＝1＋＝. 因为BD＝242【规律总结】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也．是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用．．初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想
典例4：已知，，分别为三个内角，，的对边，. A（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求的取值范围.
（Ⅱ）由正弦定理：，
又，得，；
32所以，.
典例5：在，，（1）
若，求的长（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值. 2
【规律总结】（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理. （2）如果遇到的式子中含有角的正弦或边
的一次式时,则考虑用正弦定理. （3）以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到. （4）解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. （5）遇见中点时要想到与向量的加法运算结合；（6）遇见角平分线时要想到角平分线定理. （7）在三角形中，大边对大角，正线大则边大，自然角就大. （8）解三角形的实际应用问题的求解关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,然后利用正、余弦定理求解.
O．O典例6：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口北A．偏西30°且与该港口相距20 n mile的处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该vnt．小艇沿直线方向以mile/h的航行速度匀速行驶，经过 h与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大．小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向C．设小艇与轮船在处相遇RtOACOCAC在△中，＝20cos30°＝103，＝20sin30°＝10. ACtOCvt又＝30，＝，101103tv此时，轮船航行时间＝＝，＝＝303. 30313
nmileh．即小艇以303 /的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小10＋103tanθ2t于是，当θ＝30°时，＝取得最小值，
且最小值为. 303【规律总结】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供．的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解②解三角形的方法在实际问题中，有广．．泛的应用在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法近年的高考中我们发现以解三角形为．背景的应用题开始成为热点问题之一③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，．将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形④本题用．几何方法求解也较简便【归纳常用万能模板】ABCABCabcCaBbA【引例】(2016·全国Ⅰ卷)△的内角，，的对边分别为，，，已知2cos (cos ＋cos )。