直线与双曲线的交点
直线与双曲线交点总结
直线与双曲线交点总结直线和双曲线是数学中常见的图形，它们在平面几何和解析几何中都有重要的应用。
而直线与双曲线的交点问题，也是一个常见的问题，对于理解和运用这两种图形都有着重要的意义。
在本文中，我们将总结直线与双曲线的交点问题，希望能够对读者有所帮助。
首先，我们来看直线与双曲线的交点问题。
直线与双曲线的交点可以分为两种情况，一种是直线与双曲线相切于一个交点，另一种是直线与双曲线相交于两个交点。
对于第一种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标。
而对于第二种情况，我们可以通过求解直线和双曲线的方程组来确定交点的坐标，并且需要注意直线与双曲线的位置关系，以确定是否有两个交点。
其次，我们来讨论一些特殊情况下的直线与双曲线的交点问题。
当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将没有交点；当直线与双曲线的渐近线重合时，直线与双曲线将有无穷多个交点；当直线垂直于双曲线的渐近线时，直线与双曲线将有两个交点。
这些特殊情况需要我们特别注意，并且在求解交点时需要进行相应的讨论。
最后，我们需要总结一些常见的解题方法和技巧。
在求解直线与双曲线的交点时，我们可以利用直线和双曲线的方程进行求解，也可以通过几何分析和图形性质进行求解。
同时，我们还可以利用参数方程和极坐标系等方法来求解直线与双曲线的交点。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并且需要注意化简计算和检查结果的合理性。
综上所述，直线与双曲线的交点问题是一个重要且常见的问题，对于理解和运用直线和双曲线都有着重要的意义。
在解决这类问题时，我们需要注意特殊情况的讨论，选择合适的方法进行求解，并且需要进行合理的化简和检查。
希望本文的总结能够对读者有所帮助，也希望读者能够在实际问题中灵活运用这些知识，解决相关的问题。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
直线与双曲线渐近线的交点问题
直线与双曲线渐近线的交点问题
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的性质。
直线是一种简单且容易理解的图形，其方程通常可以用斜率和截距来描述。
而双曲线则是一种曲线，其方程通常可以用二次方程来描述，具有两个分支，分别向两个方向无限延伸。
双曲线还有一个重要的性质，就是它的渐近线。
渐近线是一条直线，它与曲线在无穷远处相交，并且在该点处的切线与渐近线平行。
对于双曲线来说，它有两条渐近线，分别与两个分支相交。
现在，让我们考虑直线与双曲线的渐近线的交点问题。
假设我们有一条直线和一条双曲线，它们的方程分别为y=mx+b和
y=±sqrt(a^2 + x^2)，其中a为双曲线的参数。
我们的问题是找出直线与双曲线的渐近线的交点坐标。
为了解决这个问题，我们可以利用微积分的知识来求解。
首先，我们需要找出双曲线的渐近线的方程。
对于双曲线
y=±sqrt(a^2 + x^2)，当x趋向正无穷时，y也趋向正无穷，因此双曲线的渐近线是y=±a。
现在我们可以将直线和渐近线的方程代入，解出它们的交点坐标。
这涉及到方程的求解和代数运算，最终我们可以得到交点的坐标。
通过以上的分析，我们可以看到直线与双曲线的渐近线的交点
问题涉及到了多个数学领域的知识，包括代数、微积分和解析几何。
这个问题不仅具有理论意义，还可以应用到实际问题中，例如在工
程和物理学中的应用。
因此，研究直线与双曲线渐近线的交点问题
不仅可以增进我们对数学的理解，还可以拓展我们对实际问题的解
决能力。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
7弦问题1•直线与双曲线的位置关系的判断2 2设直线l:y = kx+ 工0),双曲线亠一亠=i(a > 0上> 0)联立解得(b 2 -a 2k 2)x 2 -2a 2mkx-a 2m 2 -a 2b 2 =0若b 2-a 2k 2= 0即k = ±-,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点; a 若戾一心2 H0即 a A = (~2a 2mk)2 -4(Z?2 -a 2k 2)(-a 2m 2 -a 2b 2)△ >0二>直线与双曲线相交，有两个交点：△ = o=>直线与双曲线相切，有一个交点：△ <0=>直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2•直线与圓锥曲线相交的弦长公式设直线/:.V=h+小 圆锥曲线：F(x,y)=O,它们的交点为P\ Uhyj), PiF(x. y) = 0且由 < ，消去 y —^ax 2+hx+c=0 (a*0), S=b 2 —4uc 。
y = kx+n设人(旺，”),3(£,儿)，则弦长公式为：贝UI AB 1= Jl +以J (册+七尸—4“勺若联立消去X 得y 的一元二次方程：©2 +by + c = 0(。
H 0)则I AB 1= {1 +右*儿+儿)'一4儿儿\PF\ 焦点弦长：—— =£ (点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，〃是P 到相应于焦 d 点F 的准线的距离，e 是离心率)。
2 2【例1】过点P (J7,5)与双曲线—=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别 7 25 求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x = V7 •此时仅有一个交点(、/亍0),满足条件： 若直线的斜率存在时，设直线的方程为y_5 = k(x_# )则『=kx 七5-k#,(25 Jk 、》一7x2kx(5-k 厲 + (5-k 耐 一*25 = 0,当k = 0时，方程无解，不满足条件:直线与双曲线的位置关系及中点X 2 伙X + 5_kJ7)2 T_ 25 =1,••• 25x 2 一 7(匕 + 5 - MF = 7 x 25 ,当k = _丄时，2x5“xxlO = 75方程有一解，满足条件；7当&丰耳时，令厶= [14R(5 — M)F—4(25 — 7L)[(5 —Rd” 5] = 0,化简得: k无解，所以不满足条件：所以满足条件的直线有两条x = *和，=一节^'+1°。
直线和双曲线关系 直线与双曲线位置关系及交点个数
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
双曲线微专题三 直线与双曲线相交问题(一)
b2 a
x12 y12 1, (1) − = 1 1 a 2 b2 0 证明： 2 (1)－( 2 ) 得 2 ( x12 − x22 ) − 2 ( y12 − y22 ) = 2 a b x2 − y2 = 1, (2) a 2 b2
规律整理：
在双曲线
x2 y 2 − = 1 (a＞0，b＞0) 中， k AB 表示双曲线以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的弦 AB 的斜率，令 M(x0，y0) a 2 b2 b2 a
1 ( y1 + y 2 ) 2 − 4 y1 y 2 2 k
例 2：直线 l：y = k ( x − 2) 与双曲线 C：
x2 y 2 − = 1 交于 A、B 两点，若 AB > 6 2 ，求 k 的取值范围. 2 2
y = k ( x − 2) 2 2 2 2 ，消 y，整理得： 1 − k x + 4 k x − 4 k − 2 = 0 ∵直线 l 与双曲线 C 有两个交点 解：由 x 2 y2 =1 − 2 2
解 将直线 x=5 代入双曲线方程联立得 y = ±
求弦长的一般方法：设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为 P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由
F ( x, y ) = 0 2 2 ，Δ=b －4ac. ，消去 y→ax +bx+c=0（a≠0） y = kx + n
( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB |= 1 + k 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay 2 + by + c = 0(a ≠ 0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点.
5 k 1 2
x2 y2 1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. （1，1）
。
变题:将点P(1,1)改为
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
△＜0
②相切一点:
③相 离:
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 1
直线与双曲线的交点
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0∆=0Fra bibliotek∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
注:
①相交两点: △＞0 同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行 △=0